一个平面几何问题的向量方法证明ooo数学竞赛
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一个平面几何问题的向量方法证明ooo数学竞赛
一个平面几何问题的向量证明(1)文/王扬（许康华竞赛优学）（许兴华数学/选编）题目解说: 本题为沈文选《高中数学竞赛解题策略——几何分册》P3性质6——(6). 本题大家通常看到和想到的都是平面几何方法, 这里给出一个不同凡响的看起来好像是很奇异(较为麻烦)的好方法——向量方法. 此法虽然看起来有些麻烦, 似乎完全脱离开了平面几何, 但是他却可以给我们带来意外的惊喜, 为证明本题, 需要以下几个引理.（作者/深圳育才中学王扬）一个平面几何问题的向量证明(2)题目解说: 这是1988年的第29——IMO中的一道平面几何试题, 本题通常大家看到的证明都是纯正的平面几何方法, 此法过多的依赖于平面几何知识, 不是一个能反映题目本质的好方法, 更不易于移植到空间, 这里我们给出一个可以移植到空间里的通法——向量方法, 而且一次性可以解决其它相关问题, 为证明本赛题, 我们先证明如下几个引理.
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喜欢该文的人也喜欢解高考立体几何解答题的方法探讨（几何法、向量法）解高考立体几何解答题的方法探讨（几何法、向量法）杨老师数学工作室百家号本文精选2018数学高考模拟题中有关立体几何的一道题，通过求二面角的余弦值讲解几何法与向量法的应用，立体几何虽然在高考解答题中放在前几道题的位置，看似比较基础，却是每年高考必考题型，必须引起重视，不容失分。题目解题指导（Ⅰ）第一问先证明AO垂直平面EBC，再利用平行四边形的判定和性质证明出ED平行AO,即可得结论（略）。（Ⅱ）第二问要求二面角平面角的余弦值。求二面角的平面角余弦值通常有几何法和向量法。几何法的步骤有：（1）作出二面角的平面角；（2）证明该角为平面角；（3）归纳到三角形中求角；在作二面角的平面角时通常有以下技巧:A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。我们先用几何法来求解：这题中我们利用题中条件作出平面角，再利用余弦定理求出其余弦值。向量法解立体几何中是一种十分简洁的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，分别求出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。此时得到的这个角的余弦值,未必就是这个二面角的平面角的余弦值,还需要根据图形来判断下. 下面用向量法来解：两种方法的比较：1. 几何法（传统方法）的优点是省去了大量的计算量；缺点就是许多题其实是很难找到需要的二面角，所以几何法的应用范围比较小。2. 向量法（也称坐标法）优点就是“无脑”，几乎不需要思考就可以写出各点的坐标，进而求出两个面对应的向量，利用矢量点积的恒等式可以得到二面角；缺点就是，计算量较大，容易出错。我的建议是，如果你能很快的找到二面角，那就用传统方法；找不到，或者很难找，就使用向量法。这两种方法，各有千秋。作业题：答案（2）为三分之根号三。我是杨老师，高中数学、高考教育二十年，不定期推出经典题分析，高考模拟题选讲，高一高二都适用，敬请关注！如果觉得对你有益的话请点个赞吧，欢迎收藏与分享，感谢。本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。杨老师数学工作室百家号最近更新：简介:内涵文章，中小学数学教育作者最新文章相关文章您所在位置： &
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向量法在初等几何中的应用毕业论文【参考】.doc 41页
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毕 业 论 文（设计）
论文（设计）题目：向量在初等几何中的应用
数学与统计学院
数学与应用数学
指导教师：
毕 业 论 文（设 计） 开 题 报 告
系别: 数学系
专业:数学与应用数学
论文（设计）题目 向量法在初等几何中的运用
命题来源 □教师命题
√学生自主命题
□教师课题
选题意义(不少于300字)：
向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体,有着异曲同工之妙。向量既能体现“ 形 ”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带;而解析几何也具有数形结合与转换的特征。
向量与中学数学的许多主干知识综合,形成知识的交汇点。因此, 它或作为知识的载体,或作为解决问题的工具,几乎渗透到数学的所有支之中。它的引入给高中数学增添了新的活力,给学生的思维搭建了一个更加广阔的平台。高中数学中许多难度较大的问题,用向量来处理就能迎刃而解。自从向量引入高中数学后,高考每年都考查一个向量基本知识的选择或填空题,并在很多解答题中都有体现。因此在平面解析几何的考查中,经常以向量为载体给出各类几何条件,在解题中,以向量的基本知识为切入点,考查解析几何的知识,体现了高考在知识的交汇点处命题的原则,成为中学数学命题的一个新的亮点。本文主要就向量在解析几何、立体几何等问题中的应用进行了详细的探讨。
研究综述(前人的研究现状及进展情况，不少于600字):
向量概念的演变首先是物理学发展的需要，大约从17世纪开始，向量相加“平行四边形法则”就已经被用来确定两个运动“合成”运动所驱使的点的运动。17世纪中叶，向量的加法和数乘运算已广泛运用与物理学等自然科学研究之中。为了复数应用的合法化，韦塞尔（C.wessel）于1797年，阿尔岗于1806年独立的建立起复数的几何表示，而高斯的工作是这些原理变得广为人知，并且被数学家们所接受，再熟悉了复数的几何表示后，数学家们认识到复数可用来表示和研究平面上的向量，数学家们试图将这种思想转到三维空间去。经过长期的努力，在1843年，哈曼顿终于得到有4个分量的四元素。
大约19世纪中期，格拉斯曼借助直角坐标系，引进了向量的向量积以及两个向量的向量积，并自然的引进了三个向量的混合积和二重向量积等运算，并研究它们的运算性质。在微分几何的发展中，高斯和黎曼等在19世纪引入张量的概念，随后又发展成张量分析，进而建立和发展了黎曼几何，n维空间中的标量和向量都是张量的特例。希尔伯特于20世纪初，以平方和数列空间为标本，将n维欧几里得空间理论推广到无限维。在希尔伯特空间中，有内积、夹角、也有正交性，这实际是无限维的解析几何学。希尔伯特空间理论对其后的量子力学的诞生和发展起了巨大作用。
向量作为一种理论工具在几何中的运用，确实1918年著名数学家韦尔提出了欧几里得几何学的“向量”论证，他应用欧几里得向量空间作为辅助结构，将向量空间元素作为点空间的算子，并用向量空间的维数来确定空间的维数。韦尔的公里体系是欧几里得空间的理论转化为线性代数的语言。
研究的目标和主要内容（不少于400字）
研究的目标
探讨向量法在初等几何中几大求解问题中的应用，在熟记基本公式、性质以及基本作图方法的基础上，分析向量法在初等几何问题上的简便应用，进行分类归纳，从而找出规律性的方法和技巧。同时，遇到具体问题要仔细分析，选择一个合适而简单的方法，达到灵活运用、熟练掌握不定积分的计算方法与技巧的目标。
1、在直线的共点问题中的应用
2、在点共线问题中的应用
3、在直线平行问题中的应用
4、在直线垂直问题中的应用
5、在距离问题 中的应用
6、关于面积问题的应用
7、关于两直线夹角问题的应用
拟采用的研究方法
文献法014年月月2014年月2014年月自然科学版，）:169-171.
[5] 李永杰，刘展.一类三角函数有理式积分计算的简便方法及推广[J].平顶山学院学报，）：68-70.
[6] 陈庆轩.介绍一类不定积分的解法[J].重庆交通学院学报，1986,（3）:184-194.
[7] 展丙军，李兆兴.两类不定积分的巧解[J].高等数学研究，）：20-24.
指导教师意见
该生的选题拟采查阅资料、归纳
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解析几何解题新路——用向量方法解高考数学中解析几何试题,向量与解析几何,解析几何解题技巧,高中解析几何解题技巧,空间向量与立体几何,向量内积的几何意义,向量点乘的几何意义,向量叉乘的几何意义,向量积的几何意义,向量点积的几何意义
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解析几何解题新路——用向量方法解高考数学中解析几何试题
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3秒自动关闭窗口高中数学解题技巧篇，向量法解决代数问题和几何问题的作用及优点
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高中生数学学霸锻造“1天1道”行动
向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁。通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化，使代数问题和几何问题相互转化，从而体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。
1、向量法使代数问题几何化
2、向量法使几何问题代数化
初中的时候直接当结论用，同样也利用矩形得性质证明，现在利用向量证明，使得几个问题代数化。
利用三点共线，找到坐标之间的关系，向量法使几何问题代数化。
3、向量法使几何与代数问题相互转化
几何问题向量法解决常见的就是把几何关系转化成代数关系，利用向量的坐标运算，使得最后计算的就是向量的加减数乘的线性运算，这比找几何关系更简单直接。往往又从平行垂直夹角等切入，数量积又作为重点高频使用公式，此类问题的难度就在于转化思想的运用，多积累，从量变到质变，数学还是一定要做题，从做题中认识真正的数学思想方法。
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