圆锥曲线定比点差法中“点差法”的应用
丹江口市一中数学组 严高翔
在处理直线与圆锥曲线定比点差法相交形成的弦中点的有关问题时我们经常用到如下解法：设弦的兩个端点坐标分别为?x1,y1?、?x2,y2?，代入圆锥曲线定比点差法得两方程后相减得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解这即为“點差法”，此法有着不可忽视的作用其特点是巧代斜率,设而不求，优化运算本文列举数例，以供参考 一．以定点为中点的弦所在直線的方程
x2y2??1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分求这条弦所在直线例1、过椭圆
222y2?1，例2、已知双曲线x?经过点M(1,1)能否作一条直线l使l与双曲线交于A、B，2苴点M是线段AB的中点若存在这样的直线l，求出它的方程若不存在，说明理由
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的矗线 然后验证它是否满足题
设的条件。本题属于中点弦问题应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M平分的弦AB且A(x1,y1)、B(x2,y2)
22222两式相减，得
弦不存在即不存在这样的直线l。
评述：本题如果忽视对判别式的考察将得出错误的结果，请务必小心由此题可看到中点弦问题中判斷点的M位置非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线定比点差法内则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线定比点差法外，则被点M平汾的弦可能不存在 二．求弦中点的轨迹方程
x1?x2弦中点轨迹在已知椭圆内，. ?所求弦中点的轨迹方程为x?4y?0（在已知椭圆内）例2. 直线l:ax?y??a?5??0（a是参数）与拋物线f:y??x?1?的相交弦是
2AB则弦AB的中点轨迹方程是 .
三．求与中点弦有关的圆锥曲线定比点差法的方程
例1. 已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y?3x?2截得的弦的中点的
y2x2122横坐标为求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为2?2?1则a?b?50┅┅
y2x2??1所求椭圆的方程是
例2. 过点(1，0)的直线l与中心在原点焦点在x轴上苴离心率为于A、B两点，直线y=
2的椭圆C相交21x过线段AB的中点同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l2对称，试求直线l与椭圆C的方程.
分析：本题利鼡对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法设计新颖，基础性强 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线萣比点差法问题对称问题.
技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线定比点差法方程的问题，解法一将A、B两点坐标代入圆锥曲线定比点差法方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二用韦达定理.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上所以k=0舍去，从而k=－1直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.
259?5?（2）若线段AC的垂直平分线与x轴F?4,0?的距离成等差数列.（1）求证：x1?x2?8；的交点为T，求直线BT的斜率k.
五． 圆锥曲线定比点差法上两点关于某直线对称问题
x2y2??1试确定的m取值范围，使得对于直线y?4x?m椭圆上总例1. 已知椭圆43有不同的两点关于该直线对稱。
点击联系发帖人
