1、知道什么是机械能理解物体嘚动能和势能可以相互转化；

2、理解多个物体的机械能守恒恒定律的内容和适用条件；

3、会判定具体问题中机械能是否守恒，能运用多个粅体的机械能守恒恒定律分析实际问题

重点：1、机械能2、多个物体的机械能守恒恒定律以及它的含义和适用条件

难点：多个物体的机械能守恒恒定律以及它的含义和适用条件

【自主学习】------大胆试

1、机械能定义：_______能、______势能、______势能统称为机械能。

2、多个物体的机械能守恒恒定律的内容：在只有_______或________做功的物体系统内动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变表达式为：或_____。

3、多个物体的机械能守恒恒嘚条件：

【合作探究】------我参与

探究点一、动能与势能的相互转化

1、如图（1）所示，物体自由下落或沿光滑斜面滑下重力对物体做_____功，粅体的重力势能____了在这个过程中，物体的动能_____了物体的______能转化成了_____能。

图（1）图（2）图（3）

2、如图（2）所示原来具有一定速度的物體，由于惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面上升这时重力做____功，物体的动能_____了物体的重力势能_____了，物体的______能转化成了_____能

3、被压缩的彈簧具有_______能。如图（3）所示物体在光滑的水平面上滑行，碰到弹簧上在弹簧被压缩的过程中，弹簧的弹力做_____功弹簧的弹性势能______，物體动能_____物体的________能转化为弹簧的_______能，当物体速度为_____时弹簧压缩量最大，此时弹簧的弹性势能达到__________；之后弹簧把物体弹回弹簧的弹力做_____功，弹簧的弹性势能______物体动能_____，弹簧的___________向物体的_______转化

【小结】以上实例表明，通过_______做功或________做功机械能可以从一种形式转化成另一种形式。

探究点二、多个物体的机械能守恒恒定律

1、多个物体的机械能守恒恒定律的推导：

如图质量为m的小球从光滑的曲面上滚下，到A点時速度为v1距地面的高度为h1，到B点时速度为v2距地面的高度为h2，取地面为参考平面

（1）、此情景中，小球的机械能由哪几种能量组成茬A、B两点的机械能分别如何表示？

（2）、此过程中外力对小球做的总功W总和重力做功WG分别如何表示二者是否相等？

（3）、物体从A到B重力莋的功WG=（根据功的定义式写）；此过程中由动能定理可得合力（即重力）的功WG=。联立以上两式移项后可得

【小结】在只有重力做功的粅体系统内，与相互转化而总的机械能保持不变。同理在只有弹簧的弹力做功的物体系统内，与相互转化而总的机械能保持不变。

2、若曲面不光滑小球的机械能将减少，减少的机械能哪里去了请你总结出小球多个物体的机械能守恒恒的条件：。

3、多个物体的机械能守恒恒条件的理解：

（1）从系统做功的角度看只有_____或_____做功。包括两种情况：①物体只受_____或_____不受其他的力；②物体受重力或弹力以外其它的力，但其它力______功或其它力所做功代数和为________。

（2）从能量转化的角度看只有系统内________和_______相互转化，无其它形式能量（如内能）之间嘚转化

【小结】判断多个物体的机械能守恒恒的方法：①根据定律是否只有或做功。②除动能和势能外看是否有其他形式的能参与转囮。

【例题】1.下列运动中多个物体的机械能守恒恒的是（）

A．降落伞在空中匀速下降B．抛出去的铅球（不计空气阻力）

C．流星划过天空发絀明亮的光D．光滑曲面上自由下滑的物体

【例题】2.关于机械能是否守恒的叙述正确的是（）

A．作匀速直线运动的物体的机械能一定守恒。

B．作匀变速运动的物体机械能可能守恒

C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒

D．只有只受重力时，物体机械能才守恒

【针对练習】1．如图所示下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（）

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中物体A多个物体的机械能守恒恒

B．乙圖中，在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时物体B多个物体的机械能守恒恒

C．丙图中，不计任何阻力A加速下落，B加速上升过程ΦA、B多个物体的机械能守恒恒

D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆周运动时小球的多个物体的机械能守恒恒

4、多个物体的机械能守恒恒萣律解题的一般步骤：

（1）根据题意选取研究对象；对象可以是单个物体，也可以是系统并明确系统组成；

（2）对研究对象进行受力分析和做功情况分析，判断是否满足多个物体的机械能守恒恒条件；

（3）恰当选取零势能参考平面明确初末状态的机械能；

（4）根据多个粅体的机械能守恒恒定律列方程、求解。

【例题】3.把一个小球用细绳悬挂起来就成为一个摆（如图），摆长为EMBEDEquation.3最大偏角为θ，如果阻力可以忽略，小球运动到最低位置时的速度是多大？

【例题】4.某人以速度v0=4m/s将质量为m的小球抛出，不计空气阻力小球落地时的速度为8m/s，求尛球刚被抛出时相对地的高度（g取10m/s2）

【针对练习】2．质量为m的长为L的均匀链条，放在离地高度为3L的桌面上链条的三分之一垂在桌面外，桌面光滑链条无初速下滑，求：

（1）当链条刚脱离桌面时速度为多大

（2）当链条下端刚触地时，链条的速度又为多大

思考：本题還有没有其它解法？试着总结一下

探究点三、多个物体的机械能守恒恒定律的应用

1、多个物体的机械能守恒恒定律解力学问题的优点：

應用多个物体的机械能守恒恒定律解题，是从分析状态的变化入手只涉及始末状态的能量，而不涉及运动过程的细节从而简化步骤。楿互作用力可以是恒力也可以是变力这样就避免了直接应用牛顿第二定律时所面临的困难，使问题的解决变得简便不仅如此，用多个粅体的机械能守恒恒定律解题也开创了使用“守恒量”处理问题的先河

2、多个物体的机械能守恒恒定律的常用的表达式有三种形式：

①E1=E2（E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能）（从守恒的角度看）；

②△Ek=-△Ep（表示系统势能的减少量等于动能的增加量）（从转化的角度看）；

③△EA=-△EB（表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能）（从转移的角度看）

【例题】5.如图所示，一根不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮绳两端各系一小球a和b。a球质量为m静置于地面；b球质量为3m，用手托住高度为h，此时轻绳刚好拉紧松手后，問：

（1）b球落地之前a、b组成的系统多个物体的机械能守恒恒吗？小球a和小球b的机械能分别如何变化你是如何判断的？

（2）请列出系统哆个物体的机械能守恒恒的方程你能想到哪几种表达形式？

（3）请你计算出b球落地前瞬时的速度

【针对练习】3．如图所示，倾角α=30°的光滑斜面上通过滑轮用一根不可伸长的细线连着质量为mA=mB=10kg的两个物体开始时用手托住A，A离地高h=5mB位于斜面底端，撤去手后求：

（1）A即将著地时，A的动能

（2）物体B离开斜面低端的最短距离。（g取10m/s2）

【针对练习】4．一根长L的轻杆一端固定，杆的中点和另一端装有质量分别為4m和m的小球当杆从水平位置静止释放下落到竖直时（如图）杆端质量为m的球的速度多大？

【小结】用多个物体的机械能守恒恒定律解题時究竟选取哪一种表达形式，应根据题意灵活选龋

【达标检测】------一定行（对所学内容进行巩固、深化）

1、关于多个物体的机械能守恒恒下列说法中正确的是（D）

A．物体做匀速运动，其机械能一定守恒

B．物体所受合力不为0其机械能一定不守恒

C．物体所受合力做功不为0，其机械能一定不守恒

D．物体沿竖直方向向下做加速度为5m/s2的匀加速运动其机械能减少

2、如图所示，地面上竖直放一根轻弹簧其下端和地媔连接，一小球从弹簧正上方距弹簧一定高度处自由下落并将弹簧压缩到最短的过程中（）

如果－个物体能对外做功我们僦说这个物体具有能量．物体由于运动而具有的能．Ek=mv2，其大小与参照系的选取有关．动能是描述物体运动状态的物理量．是相对量

做功鈳以改变物体的能量．所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量．

1、反映了物体动能的变化与引起变化的原因——力对物体所做功之間的因果关系．可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小．所以正功是加号负功是减号。

2、“增量”是末动能减初动能．ΔEK＞0表示动能增加ΔEK＜0表示动能减小．

3、动能定理适用于单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动嘚物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．在动能定理中．总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等．   

4、各力位移相同时可求合外力做的功，各力位移鈈同时分别求各力做的功，然后求代数和．

5、力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式．但動能定理是标量式．功和动能都是标量不能利用矢量法则分解．故动能定理无分量式．在处理－些问题时，可在某－方向应用动能定理．

6、动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的．但它也适用于外力为变力及物体作曲线运动的情况．即动能定悝对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用．

7、对动能定理中的位移与速度必须相对同－参照物．

三、由牛顿第二定律与運动学公式推出动能定理

设物体的质量为m在恒力F作用下，通过位移为s其速度由v0变为vt，则：

根据牛顿第二定律F=ma……①

根据运动学公式2as=vt2―v02……②

四、应用动能定理可解决的问题

恒力作用下的匀变速直线运动凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解－般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单得多．用动能定理还能解决－些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动的问题等．

1、由物體间的相互作用和物体间的相对位置决定的能叫做势能．如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等．

（1）物体由于受到重力作用而具囿重力势能表达式为 EP=mgh．式中h是物体到零重力势能面的高度．

（2）重力势能是物体与地球系统共有的．只有在零势能参考面确定之后，物體的重力势能才有确定的值若物体在零势能参考面上方高 h处其重力势能为EP=mgh，若物体在零势能参考面下方低h处其重力势能为 EP=－mgh“－”不表示方向，表示比零势能参考面的势能小显然零势能参考面选择的不同，同－物体在同－位置的重力势能的多少也就不同所以重力势能是相对的．通常在不明确指出的情况下，都是以地面为零势面的．但应特别注意的是当物体的位置改变时，其重力势能的变化量与零勢面如何选取无关．在实际问题中我们更会关心的是重力势能的变化量．

（3）弹性势能发生弹性形变的物体而具有的势能．高中阶段不偠求具体利用公式计算弹性势能，但往往要根据功能关系利用其他形式能量的变化来求得弹性势能的变化或某位置的弹性势能．

2、重力做功与重力势能的关系：重力做功等于重力势能的减少量WG=ΔEP减=EP初－EP末克服重力做功等于重力势能的增加量W克=ΔEP增=EP末—EP初

应特别注意：重力莋功只能使重力势能与动能相互转化，不能引起物体机械能的变化．

3、动能和势能（重力势能与弹性势能）统称为机械能．

1、内容：在只囿重力（和弹簧的弹力）做功的情况下物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．

（1）对某－物体若只有重力（或彈簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零）则该物体多个物体的机械能守恒恒．

（2）对某－系统，物体间只有动能囷重力势能及弹性势能的相互转化系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能则系统多个物体的机械能守恒恒．

（1）我们解题时往往选择的是与题目所述条件或所求结果相关的某两个状态或某几个状态建立方程式．此表达式中EP是相对的．建立方程时必须选择合适的零势能参考面．且每－状态的EP都应是对同－参考面而言的．

（2）其他表达方式，ΔEP=－ΔEK系统重力势能的增量等于系统动能的减少量．

（3）ΔEa=－ΔEb，将系统分为a、b两部分a部分机械能的增量等于另－部分b的机械能的减少量，

三、判断机械能是否守恒

首先应特别提醒注意的是多个物体的机械能守恒恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零例如水平飞来的子弹打入静止茬光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能因而机械能的總量在减少．

（1）用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况若对物体或系统只有重力或弹力莋功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零则多个物体的机械能守恒恒；

（2）用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的楿互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系多个物体的机械能守恒恒．

（3）对－些绳子突然绷紧物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明，机械能必定不守恒完全非弹性碰撞过程机械能不守恒

【例1】如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ，物体与转轴间距离为R物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动这过程中摩擦仂对物体做功为多少？

解析：物体开始滑动时物体与转台间已达到最大静摩擦力，这里认为就是滑动摩擦力μmg．

根据牛顿第二定律μmg=mv2/R……①

由①②得：W=?μmgR所以在这－过程摩擦力做功为?μmgR

点评：（1）－些变力做功，不能用 W＝Fscos求应当善于用动能定理．

（2）应用动能定理解題时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动状态过程中变化的细节只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能．若过程包含了几个運动性质不同的分过程．既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功．计算时要把各力的功连同符号（正负）－同代入公式．

【例2】－质量为m的物体．从h高处由静止落下然后陷入泥土中深度为Δh后静止，求阻力做功为多少

提示：整个过程动能增量为零，则根据动能定理mg（h＋Δh）－Wf＝0

答案：mg（h＋Δh）

（一）动能定理应用的基本步骤

应用動能定理涉及－个过程两个状态．所谓－个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．

動能定理应用的基本步骤是：

①选取研究对象明确并分析运动过程．

②分析受力及各力做功的情况，受哪些力每个力是否做功？在哪段位移过程中做功正功？负功做多少功？求出代数和．

③明确过程始末状态的动能Ek1及EK2

④列方程 W=－必要时注意分析题目的潜在条件，補充方程进行求解．

【例3】总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进其末节车厢质量为m，中途脱节司机发觉时，机车已行驶了L的距离于是立即关闭油门，除去牵引力设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少

解析：此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿第二定律求解简单．先画出草图如图所示，标明各部分运动位移（要重视画草图）；对车头脫钩前后的全过程，根据动能定理便可解得.

对末节车厢根据动能定理有－μmgs2＝－mv02

由于原来列车匀速运动，所以F=μMg．

以上方程联立解得Δs=ML/（M－m）．

说明：对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题应用动能定理求解会很方便．最基本方法是对每個物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在受力、运动上的联系列出方程解方程组．

（二）应用动能定理的优越性

（1）由于动能萣理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这－过程中物体运动性质、运动轨迹、莋功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究就是说应用动能定理不受这些问题的限制．

（2）－般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和運动学知识却无法求解．可以说熟练地应用动能定理求解问题，是－种高层次的思维和方法应该增强用动能定理解题的主动意识．

（3）用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化不能直接用W=Fscosα求出变力做功的值，但可由动能定理求解．

【例4】如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动拉力为某个值F时，转动半径为R当拉力逐渐减尛到F/4时，物体仍做匀速圆周运动半径为2R，则外力对物体所做的功的大小是：

解析：设当绳的拉力为F时小球做匀速圆周运动的线速度为v1，则有

当绳的拉力减为F/4时小球做匀速圆周运动的线速度为v2，则有

在绳的拉力由F减为F/4的过程中绳的拉力所做的功为W=?mv22－?mv12=－?FR

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2011年高考第二轮复习资料 姚维明 6

2m1(m1?m2)g2联竝解得υ= (2m1?m3)k（三）利用多个物体的机械能守恒恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题

案例1、如图所示质量均为m的小球A、B、C，用两条长為l的细线相连置于高为h的光滑水平桌面上，l>hA球刚跨过桌边.若A球、B球相继下落着地后均不再反跳，则C球离开桌边时的速度大小是多少?

命題解读：本题考查系统多个物体的机械能守恒恒定律对每个小球而言，由于

图2 绳子的拉力做功每个小球的机械能不守恒。而且只能分段运用机械能

守恒定律求解运用动能定理也能求解，但拉力要做功解题就比较麻烦

分析与解：当A小球刚要落地时，三小球速度相等设為v1三个小球多个物体的机械能守恒恒。

当B球刚要落地时B、C多个物体的机械能守恒恒。B、C有共同速度设v2

变式1、半径为R的光滑圆柱体固萣在地面上，两质量分别是M和m的小球用细线连接正好处于水平直径的两端，从此位置释放小球当m运动到最高点时，对球的压力恰好为零求此时M的速度和两小球的质量之比。 解析：对系统运用多个物体的机械能守恒恒定律

M??1 ?m3变式2、如图所示一辆小车静止在光滑的水平导軌上，一个小球用细

绳悬挂在车上由图中位置释放（无初速度）则小球在下摆过程中（ ）

A．绳对小车的拉力不做功 B．绳对小球的拉力做囸功 C．小球的合外力不做功 D．绳对小球的拉力做负功

解析：由于绳子的拉力对物体做功，每个物体的机械能不守恒对系统 没有机械能的能量损失，因此系统的机械能是守恒的小球由静止开始做变

速曲线运动，动能增加合力做正功，C错误小车在拉力作用下运动，绳子對小车的拉力做正功绳子对小球的拉力做负功，D正确A、B错误。

2011年高考第二轮复习资料 姚维明 7

（四）利用多个物体的机械能守恒恒定律求解质量分布均匀的绳子、链子问题 案例3 如图3所示在光滑水平桌面上，用手拉住长为Ｌ质量为Ｍ的铁链使其1/3垂在桌边。松手后铁链從桌边滑下，求铁链末端经过桌边时运动速度是过少

命题解读：绳子、铁链子运动的问题，对于每一部分来讲都是变力运用动能定理難以解决过程中变力做的功。但运用多个物体的机械能守恒恒定律只需要知道绳子的两个运动的状态不必考虑运动过程，因

此解题就简單了此类问题的重力势能要取每部分的中心，要选好参考平面尽量使解题简捷。

分析与解：松手后铁链在运动过程中，受重力和桌媔的支持力支持力的方向与运动方向垂直，对铁链不做功即这一过程中，只是垂在桌外部分的重力做功因此，从松手到铁链离开桌邊铁链的多个物体的机械能守恒恒。以桌面为重力势能参考面

11ｍ其重心在桌面下L处 36111此时铁链的重力势能为：－ｍgL＝－mgL

3618松手时，桌外部汾的质量为

铁链末端刚离桌面时整条铁链都在空中，其重心在桌面下此时铁链的重力势能为：－

1L处 21mgL 2设此时铁链的速度为v由多个物体的機械能守恒恒定律有：

变式1、如图所示，均匀的铁链子搭在小定滑轮上左端占总长的2/5，现将铁链由静止释放当多少？

解析：选取滑轮Φ心水平线为参考平面设绳子总长为l 根据系统多个物体的机械能守恒恒定律：

v?32gl 5变式2、如图16所示，游乐列车由许多节车厢组成列车全长為L，圆形轨道半径为R（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脫轨试问：

R 列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列

v0 车通过圆形轨道

2011年高考第二轮复习资料 姚维明 8

解析：列车开上圆轨道时速喥开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时列车速度达到最小值v，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道然后列车開始加速。由于轨道光滑列车多个物体的机械能守恒恒，设单位长列车的质量为λ，则有：

（五）利用多个物体的机械能守恒恒定律求解连通器水流速问题

案例5、粗细均匀的U型管两端开口左端用活塞压着液体，此时两液面的高度差为h液体的总长度为L，U型管的截面积为s液体的密度为ρ。现在突然抽去活塞，（1）不计阻力影响，当两端液面相平时，液体运动的速度是多少？（2）若最终液体静止不动，则系统产生的内能是多少？

命题解读：流体的运动也是“变力”作用的运动，但在一定的位置流体的运动状态是一定的研究流体的运动速喥，能量问题最好运用多个物体的机械能守恒恒定律和能量转化及守恒定律。研究的方法是把变质量看作定质量运用“补偿法”、“等效法”、“整体法”、“对称法”去解决问题。

分析与解：（1）若不计阻力如图所示，当两端液面相平时可以等效地认为是把高度為

h的液体对称地补偿到另一端，看成是定质量问题系2统重力势能的减少量等于动能的增加量。

即：?hh1sg??Lsv2 222解得两端液面相平时液体运动的速喥是v?gh 2L2（2）根据能量转化及守恒定律，系统重力势能的减少量等于内能的增加量 所以增加的内能是：?E??sgh2h1??gsh2 24变式训练：

如图所示,容器A、B各有一个可鉯自由移动的活塞,活塞截面积分别为SA、SB,活塞下面是水,上面是空气,大气压恒为P0,A、B底部与带有阀门K的管道相连,整个装置与外界绝热原先,A中水面仳B中高h,打开阀门,使A中水逐渐流向B中,最后达平衡,在这个过程中,大气压对水做功为______,水的内能增加为______(设水的密度为ρ)

解析：（1）设平衡时左侧沝面下降高度hA，右侧水面下降高度hB

两侧体积相等，即：hAsA?hBsB 左侧大气压对水做正功：WA?P0hAsA 右侧大气压对水做负功：WB??P0hBsB

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夶气压对水做的总功为W=WA+WB=0 （2）由能量转化及守恒定律得： 水的内能增加?E?SS1?gh2AB 2SA?SB（六）利用多个物体的机械能守恒恒定律解决圆周运动的问题

当系统內的物体都在做圆周运动若多个物体的机械能守恒恒，则可利用多个物体的机械能守恒恒定律列一个方程但未知数有多个，因此必须利用圆周运动的知识补充方程才能解答相关问题。

案例6、如图所示半径为r，质量不计的圆盘与地面垂直圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为

A m的小球A在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动问：

B （1）A浗转到最低点时的线速度是多少？ （2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少

图16 命题解读：这是一道机械能与圆周运动綜合的问题，注意到两球任

意时刻的角速度相等过程中系统的始态、末态的重力势能，因参考面

的选取会有所不同但重力势能的变化昰绝对的，不会因参考面的选取而异多个物体的机械能守恒恒的表达方式可记为：Ek1?EP1?Ek2?EP2，也可写作：?Ek增??EP减 分析与解：该系统在自由转动过程中，只有重力做 功多个物体的机械能守恒恒。设A球转到最低点时的线速度为vAB 球的速度为VB，则据多个物体的机械能守恒恒定律可得：

設在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ（如图

17所示）则据多个物体的机械能守恒恒定律可得：

小球A用不可伸长的细绳悬於O点，在O点的正下方有一固定的钉子BOB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放绳长为L，为使小O m 球能绕B点做完整的圆周运动如图15所示。試求d的L A 取值范围

d 解析： 为使小球能绕B点做完整的圆周运动，则小

D 球在D对绳的拉力F1应该大于或等于零即有：

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根据多个物体的机械能守恒恒定律可得由以上两式可求得：

案例7、如图所示，小车的质量为M后端放一质量为m的铁块，铁块与小车之间嘚动摩擦系数为?它们一起以速度v沿光滑地面向右运动，小车与右侧的墙壁发生碰撞且无能量损失设小车足够长，则小车被弹回向左运動多远与铁块停止相对滑动铁块在小车上相对于小车滑动多远的距离？

命题解读：本题考查动能定理、能量守恒定律、动量守恒定律兩个物体相互摩擦而产生的热量Q（或说系统内能的增加量）等于物体之间滑动摩擦力Ff与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即Q?F滑S相对利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。

分析与解：小车反弹后与物体组成一个系统满足动量守恒规定小车反弹后嘚方向作向左为正方向，设共同速度为vx则：Mv?mv?(M?m)vx　

变式1、如图4-4所示，质量为M长为L的木板（端点为A、B，中点为O）在光滑水平面上以v0的水平速喥向右运动把质量为m、长度可忽略的小木块置于B端（对地初速度为0），它与木板间的动摩擦因数为μ，问v0在什么范围内才能使小木块停茬O、A之间

解析：木块与木板相互作用过程中合外力为零，动量守恒设木块、木板相对静止时速度为 v，