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每个组取前30%，如何用公式实现
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没看懂，有没有完成了的手写的实例
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=SUMIF($A$2:A2,A2,$B$2:B2)/SUMIF(A:A,A2,B:B)复制代码C2公式 下拉！
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基于泰勒级数展开的一点超前差分公式的推导
传统的数值微分公式有前向差分、后向差分和中心差分公式.所谓一点超前差分公式,就是后向差分公式在形式上“前移”一点来计算一阶导数的公式.该公式有效地弥补了传统差分公式的不足之处.不同于以前研究中使用拉格朗日公式来推导一点超前公式的做法,给出了基于泰勒级数展开的对该组公式及其截断误差的推导,从另一个角度验证了一点超前公式,使其更为完善.
ZHANG Yu-nong
DENG Jian-hao
LIU Jin-rong
作者单位：
中山大学信息科学与技术学院,广东广州,510006
中山大学软件学院,广东广州,510006
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作者：贾朝华教授
轻松的日子过得快，转眼就过去了一年多。比起他的数学才能来，哥德巴赫与人打交道的能力要更突出一些，因而， 在 1726 年，圣彼得堡科学院院长就向朝廷推荐哥德巴赫， 想让他担任彼得 o 阿列克谢耶维奇 o 罗曼诺夫（） 的家庭教师。
小彼得是阿列克谢的独生子，也就是彼得大帝的孙子。他此 时 11 岁，是罗曼诺夫王朝唯一的男性继承人，因此对于他的影响是一件很重要的事情。当时把持朝政的缅希科夫自然 不会放过这样的机会，他指派他的亲信担任小彼得的家庭教师，因而科学院的推荐没有成功。
提到缅希科夫（），可以说是一位奇才。他少年时在莫斯科街头以卖馅饼为生，偶遇彼得一世，他的机灵乖 巧很讨彼得的喜欢，因而被彼得收作了勤务兵。缅希科夫随彼得大帝东征西战，由于他的忠诚而深得彼得的信任，因此得以步步高升。虽然缅希科夫没受过多少教育，但却具有罕见的军事能力和行政才干。他曾在多次著名战役中指挥军队，取得辉煌胜利，后来成为第一位俄国大元帅。缅希科夫负责过圣彼得堡的工程建设，他还创办了砖瓦厂、木材加工 厂、盐场、渔场和酿酒厂等诸多企业。
1727 年 5 月，叶卡捷琳娜一世去世，12 岁的小彼得继位， 称彼得二世（ 在位）。此时的朝政大权仍由缅希科夫把持，但他对于金钱和权力的过分贪婪，招致了很多贵族的极度不满。贵族们策动近卫军，逮捕了缅希科夫， 将他全家流放到西伯利亚的偏僻小镇别留佐夫。两年后， 缅希科夫在那里郁闷地死去。苏里科夫的历史画“缅希科夫在别留佐夫镇”，描绘了在西伯利亚的小木屋里，落寞 的政治家在烛光下，和儿女们一起读圣经的场面。苏里科夫的“近卫军临刑的早晨”、“缅希科夫在别留佐夫镇” 和“女贵族莫洛卓娃”，被称为他的历史画三部曲，都是 令人震撼的杰作。
[《缅希科夫在别留佐夫镇》,苏里科夫，1883年]
缅希科夫一倒台，他指派的家庭教师只得走人。1727 年底， 哥德巴赫再次被推荐，当上了彼得二世的家庭教师。这样， 哥德巴赫的宁静日子就已成过去，他也要经常关心俄国的政治风云了。
就在叶卡捷琳娜一世去世的那一天，欧拉来到了圣彼得堡。 此时的欧拉是一位 20 岁的青年，他是约翰 o 伯努利的学生，也是约翰的儿子丹尼尔的好朋友。丹尼尔得知圣彼得堡科学 院医学部可能还有职位，就马上写信告诉了欧拉。于是，欧 拉一面与科学院联系，一面突击学习生理学，并在巴塞尔大 学旁听了医学讲座。接到了去圣彼得堡的邀请后，欧拉马上 动身，谁知正赶上女沙皇去世，情况有变，医学部的职位没了着落。欧拉感到很绝望，束手无策，幸亏有丹尼尔等人的 帮助，欧拉才进了数学部，给丹尼尔当助手。这样，欧拉有了固定的职位和稳定的收入，就能安下心来做数学研究了。
欧拉（Leonhard Euler，）是瑞士巴塞尔人，他的 父亲是基督教加尔文教派的牧师，曾经听过雅各布 o 伯努利 的课。当时教会势力很大，牧师的社会地位普遍要比科学家高，这和现代的情况很不相同。因此，欧拉的父亲希望欧拉将来作一名牧师，也是顺理成章的事情。
欧拉 ()，最伟大的数学家之一
欧拉遵从父亲的意见，进了巴塞尔大学，学习神学和希伯 来语等。然而他在数学课上的卓越表现引起了约翰 o 伯努利 的注意，于是约翰慷慨地每周给欧拉单独辅导一次，在此过 程中欧拉也和丹尼尔有了交往，彼此成了要好的朋友。欧拉17 岁取得硕士学位后，约翰和丹尼尔说服欧拉的父亲，没有让欧拉去作牧师，这实在是数学界的一件幸事。在数学的历史上，人们常常将欧拉与阿基米德、牛顿、高斯并列为最伟大的数学家。
三大科学巨匠：欧拉、牛顿、爱因斯坦
在欧拉到达圣彼得堡之前的两个月，牛顿在伦敦逝世。按照法国启蒙运动思想家伏尔泰所说， 英国的大人物们争相扛抬牛顿的灵柩，英国人悼念牛顿就像 悼念一位造福于民的国王。诗人亚历山大 o 波普在牛顿的墓志铭上这样写道：“自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜之中。 上帝说：‘让牛顿出世！’于是一切都豁然明朗。”牛顿时代一过去，欧拉时代马上来临。伟大的无产阶级革命导师马克思在“1848 年至 1850 年的法兰西阶级斗争”一文中，援引 18 世纪法国唯物主义哲学家爱尔维修的话说，“每一个社会时代都需要有自己的伟大人物，如果没有这样的人物， 它就要创造出这样的人物来。”按照唯物主义历史观，欧拉的出现具有某种历史的必然性。
由于丹尼尔的关系，哥德巴赫和欧拉很快就熟悉起来了， 涅瓦河畔散步又多了一个伙伴。哥德巴赫比欧拉年长 17 岁， 在那个时代几乎是一代人的差距，哥德巴赫欣赏欧拉的聪 明和勤奋，欧拉钦佩哥德巴赫的见多识广，他们之间是一种忘年之交。
彼得二世上台后不久，缅希科夫就被流放到了西伯利亚， 朝政由一些保守派势力把持。1728 年 2 月初，彼得二世将朝廷从圣彼得堡迁回莫斯科，这是保守派卷土重来的一个标志。2 月底，彼得二世在克里姆林宫举行加冕大典。此时 的圣彼得堡只是名义上的首都，科学院仍在运行，但多少有些冷清。
哥德巴赫作为彼得二世的家庭教师，也跟着来到了莫斯科。 加冕后的彼得二世，还只是个 13 岁的少年，十分贪玩，不 爱学习，也没有能力管理朝政。彼得二世经常带着比他大6 岁的姑姑伊丽莎白和一些青年贵族外出郊游和打猎，读书只是一个点缀。莫斯科郊外有大片的白桦林，在湛蓝的天空下骑马飞驰，是他们十分开心的事情。
据记载，哥德巴赫还教过彼得二世的一个姑姑，应该就 是伊丽莎白，因为彼得二世 的姑姑安娜一直在她自己的 属地，别的姑姑都远嫁到了 国外。哥德巴赫的教学任务 不重，所以他有时间思考数学，并且与丹尼尔和欧拉通信讨论问题。哥德巴赫与欧 拉的通信从 1729 年开始， 一直持续到 1763 年，就是 哥德巴赫去世的前一年。
由于彼得二世年纪小，又无得力的大臣辅佐，朝政比较 混乱。这种情况持续了两年 多，1730 年 初， 彼 得二世得了天花，这在当时是不治 之症，因而他很快就病逝了。 彼得二世没有后代，这样罗曼诺夫家族的男性继承人就断绝了。
最高秘密委员会随即举行 会议，经过种种考虑，最后选定彼得大帝的侄女安娜 o 伊凡诺夫娜（） 作为新沙皇。此时安娜正在库尔兰做公爵，她统治的库尔兰公国位于现在拉 脱维亚的西部，面积很小， 但其战略位置却相当重要。 当年彼得大帝将安娜嫁给 了库尔兰的威廉公爵，婚后不久威廉病逝。安娜继任公爵后，一直住在库尔兰，对于俄罗斯发生的重大事情，安娜很少知道。
瑞士的巴塞尔也是欧拉的出生地安娜突然接到让她当沙皇的通知后，顿感喜从天降。最高秘密委员会还让特使带去一份协议书，里面对沙皇的权利作了种种限制，使得沙皇形同虚设，但安娜照签不误。然而，安娜到了莫斯科登上皇位后，立即联络一些贵族大臣，策动近卫军，逼迫最高秘密委员会放 弃了已签订的协议，从此安娜 女皇（ 在位）大权 独揽。
随后，安娜对莫斯科的贵族们 进行了大清洗，因为担心有人报 复，1732 年， 安娜又将朝廷迁回到圣彼得堡。安娜主要依靠她的情夫比龙来管理朝政，比龙是生长在库尔兰的德国人。
由于哥德巴赫的为人处世深得皇家的信任，在彼得二世病逝后，哥德巴赫被挽留在宫中，继续为安娜女皇做事。 当朝廷迁到圣彼得堡之后， 哥德巴赫非常怀念科学院宁 静的生活，于是他又回到了圣彼得堡科学院，并被任命为通信秘书。这种秘书不是做抄抄写写的工作，而是有管理职权的。1737 年， 哥德巴赫升任，负责科学院的管理工作。
在这期间，哥德巴赫的朋友圈里有些变化。丹尼尔由于不太适应圣彼得堡的严寒气 候等原因，于 1733 年回到了温暖的家乡巴塞尔，欧拉接替了丹尼尔的位置。在巴 塞尔，丹尼尔先是担任解剖 学和植物学教授，之后成为 生理学教授，后来又成为物理学教授，他的兴趣更集中在数学的应用方面。丹尼尔回 到巴塞尔后，和欧拉进行了长达 40 多年的学术通信。在通 信中，丹尼尔向欧拉提供重要的科学信息，而欧拉则用杰 出的分析才能和推理能力，给予迅速的帮助。而哥德巴赫 与丹尼尔之间则没有进行类似的学术通信，其原因是哥德巴赫把主要精力用在了管理工作和社会活动上，余下的时间思考一些比较纯粹的数学理论问题，和丹尼尔的兴趣相去较远。
当时接替丹尼尔的欧拉只有 26 岁，却已初显大师风采，他 在数学的理论和应用两方面都做出了很大贡献。在大学微积分教程中，我们常会看到欧拉变换、欧拉公式和欧拉方程等。 欧拉引进的一些记号，如用 f ( x) 表示函数， ? 表示求和i 表示虚数 等，现在一直沿用。欧拉证明了，极限
存在，并将它记作 e ，这个数在分析及其应用中都是很重要的。以 e 为底的对数称为自然对数，在理论研究中经常用到。欧拉还将 e 的复数次幂与三角函数联系起来，建立了欧拉公式
其中x 是实数。这个公式是棣莫弗定理的一个发展，由它可得
比较两式的实数部分和虚数部分，得到
这就是三角学中的和差化积公式。
早在欧拉 19 岁的时候，他就以一篇研究船桅最佳布置问题 的论文，参加巴黎科学院的有奖征文活动，获得了荣誉提名。从 1730 年代中期开始，欧拉以很大的精力来研究航海和船 舶建造问题，这些问题对于俄国的海军建设是有现实意义的。后来，欧拉还根据这些积累的经验，写成两卷本的《航 海学》出版，书中讲述了浮体平衡的一般理论以及如何将流 体力学用于船舶建造。
由于航海学的需要，欧拉研究了太阳、月亮和地球在相互间 的万有引力作用之下所产生的运动，特别是月亮的运动规 律。欧拉提出了关于月亮运动的一种新理论，根据这种理论， 天文学家制成了一张月亮运行表，它对于舰船导航很有价 值。欧拉还写过许多关于彗星和行星运动的论著，在他临去世之前，仍在考虑天王星的轨道计算。此外，他常常为解决物理学、地理学、弹道学、保险业和人口统计学中的问题提 供数学方法。总而言之，应用问题始终是欧拉研究数学理论的源泉和动力。
在接替了丹尼尔的位置之后，欧拉就打算在俄罗斯安家了，1733 年冬天，他和一位瑞士画师的女儿结了婚。欧拉很享 受婚后安逸的生活，灵感泉水般涌现，下笔如有神助，就像 法国物理学家弗朗索瓦 o 阿拉戈所说，“欧拉计算时毫不费 力，就像人在呼吸，或鹰在翱翔一样轻松。”从婚后第二年起，欧拉的 13 位子女陆续降生，可惜只活下来 5 位，其余都在 幼年时夭折。欧拉很喜欢孩子， 他常常是抱着一个婴儿写作他 的论文，而大一点的孩子们在 他周围玩耍嬉戏，欧拉在工作 的同时尽享天伦之乐。
虽然俄罗斯的政治风云时常变幻，但科学院里并没有科学家受到政治上的迫害。这主要是 因为，俄国的统治阶层迫切需要科学家们来提高俄国的综合国力，而当时欧洲各国对于科学人才是处于一种开放和竞争 的状态。欧拉得到的薪水和奖金，足够保障一大家子人过上 富足的生活，另外还可以雇人来完成家务劳动，否则这么多家务做下来，别说像鹰一样翱翔，能赶上乌龟就很欣慰了。欧拉后来也说过：“我和所有其他有幸在俄罗斯帝国科学院工作过一段时间的人都不能不承认，我们应把所获得的一切和所掌握的一切归功于我们在那儿拥有的有利条件。”他说 的条件既包括学术氛围，也包括生活条件。
[世界各国发行的纪念欧拉的邮票与钱币]
1740 年 10 月，安娜女皇去世。她生前指定她外甥女的儿子伊凡继承皇位，称伊凡六世（ 在位），由比龙摄政。 这时的伊凡六世只是两个月大的婴儿，他的父亲是不伦瑞克 公爵，不伦瑞克是德意志的一个小邦国。伊凡六世上台后，不伦瑞克的贵族们纷纷涌向俄罗斯，争先恐后地占据了朝廷中的重要位置。本来一个比龙已经够让俄国人烦的了，现在 又来了一帮不伦瑞克人，俄国人的心情可想而知。此时，俄罗斯的贵族们强烈希望一个人能出来收拾局面，这个人就是伊丽莎白。
伊丽莎白 o 彼得罗芙娜（）是彼得大帝和叶卡捷琳娜一世的小女儿，血统非常高贵，只可惜叶卡捷琳娜生她时还只是彼得大帝的情妇，因此，伊丽莎白是个私生女，名分不正，这对她的前程产生了很大的影响。伊丽莎白自幼就长得花容月貌，被彼得大帝夫妇视为掌上明珠，叶卡捷琳娜一世曾想把她嫁给法国国王路 易十五，因为名分不正遭到法国人的婉拒。由于没有合适的对象，伊丽莎白一直待字闺中，经常随彼得二世 出外骑马打猎，也曾受教于哥德巴赫。彼得二世去世后， 伊丽莎白还是因为名分不正，没做成沙皇。但 1741 年的政治形势大不相同，此时俄罗斯贵族急于驱除德国 势力，也就顾不上再考虑伊丽莎白的名分问题了。
1741 年年底的一天，伊丽莎白乘一架雪橇来到近卫军的营房前，她用富有感召力的声音召来了300 多名士兵，跟她一 起来到皇宫，轻松地将小沙皇请下皇位。就这样完成了皇位的更迭，整个过程一滴血没流， 不愧是彼得大帝的女儿，玩政变如烹小鲜。
1740 年 5 月，28 岁的普鲁士新国王腓特烈二世（ 在位）登基。他一上台，就 锐意进行法律、经济、教育和军事等方面的改革，致力于建 立廉洁高效的政府机构，自称是“国家的第一仆人”，同时 积极强化军队建设。在腓特烈二世的统治下，普鲁士的领土 充分扩张，经济迅速发展，国力日益昌盛，为德意志的最终 统一打下了坚实基础，因此后世称他为腓特烈大帝。
柏林科学院成立于 1700 年，到了 1740 年已经有一些衰落的 趋势。为了重振柏林科学院，腓特烈大帝热情地邀请欧拉去 柏林工作。1741 年 7 月，欧拉来到柏林，他一直在柏林呆了25 年。欧拉并不是只会在书斋里写文章，他是一个有抱负、 有管理才干的人，为了寻求更大的施展空间来到了柏林，而 当时的俄国正处在乱糟糟的状态，让人对未来无法预料。
欧拉担任了柏林科学院的数学部主任，他还参与了其它许 多行政事务，如提出人事安排，监督财务，管理天文台、 图书馆和植物园，以及出版历书和地图等。欧拉鼎力协 助科学院院长莫佩蒂，在恢复和发展柏林科学院的过程中 发挥了重大作用。在莫佩蒂外出期间，由欧拉代理院长。1759 年莫佩蒂逝世后，欧拉虽然未被正式任命为院长，但 他一直是科学院的实际领导者。
欧拉还担任过普鲁士政府关于安全保险、退休金和抚恤金 问题的顾问，并为腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果， 设计改造运河，也曾主管过普鲁士皇家别墅水利系统的一 些设计工作。
在柏林期间，欧拉的研究工作依然非常活跃。他提出了理 想流体模型，建立了流体运动的基本方程，从而奠定了流 体动力学的基础。他和克莱罗（A. Clairaut）、达朗贝尔（J. R. D’Alembert）一起推进了月球和行星运动理论的研究。他 与丹尼尔 o 伯努利和达朗贝尔之间关于弦振动问题的研讨， 推动了数学物理方法的发展。他还出版过《光和色彩的新理论》一书，解释了一些光学现象。
欧拉所处的时代被称作是数学上的分析时代，他在其中做出 了最杰出的贡献。约翰 o 伯努利在给欧拉的信中写道：“在 我介绍高等分析的时候，它还是一个孩子，而你正在将它带大成人。”欧拉的《无穷小分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》是分析学的伟大著作，同时代的人称他是“分 析的化身”，后来的一些分析学教程都是他著作的翻版和再 翻版。
由于受 18 世纪启蒙运动思想的影响，腓特烈大帝实行一种叫做“开明专制”的统治。“开明专制”的核心思想是，自 上而下地改革或取消已经过时的封建制度，君主应当公平公正，提倡宗教宽容、鼓励科学文化、保护艺术，并且为全民 族造福。 年期间，腓特烈大帝邀请法国启蒙运动 的旗手伏尔泰，到普鲁士来做宫廷教师，传播先进思想。
在腓特烈大帝的宫殿里，经常是灯火通明，高朋满座，大家兴致勃勃地讨论各种问题。作为有雄才大略的帝王，腓特烈的思维常常是天马行空，穿梭古今，他还称自己“论秉性就 是个哲学家”，因而特别喜欢谈论一些哲学问题。
哲学一直是欧拉的弱项，对于那些天赋人权、自由平等、君主立宪、信仰自由等等新鲜说法，一时间还找不到感觉。虽 然欧拉没有当牧师，但他一生中从未放弃过对于基督教加尔 文教派的信仰。正是由于这种信仰，使得欧拉在困难的时候， 内心会比较平静，但另一方面，对于新的社会思想也会产生一些抵触。
达朗贝尔 (), 法国数学家欧拉与腓特烈的那个圈子渐渐有些话不投机，加上欧拉和腓特烈在科学院的管理上又产生了意见分歧，所以欧拉开始萌 生去意。后来，欧拉听说腓特烈想把科学院院长的位置授予达朗贝尔，而在圣彼得堡那边，叶卡捷琳娜二世女皇一直在 向欧拉招手，于是欧拉就下定了走的决心。
达朗贝尔是著名的法国数学家、物理学家和天文学家，虽然 他的科学成就无法与欧拉相比，但他担任过法国第一部《百 科全书》的科学副主编，这部全书对于宣传启蒙运动思想起 到了很重要的作用，因而达朗贝尔更对腓特烈大帝的心思。1764 年，腓特烈大帝邀请达朗贝尔到柏林王宫住了 3 个月， 想请他担任柏林科学院院长。达朗贝尔不想移居柏林，并且 认为欧拉更适合院长之职。腓特烈出于他自己的一些考虑， 始终没有任命欧拉为院长。
1766 年，欧拉一家回到圣彼得堡，叶卡捷琳娜二世以皇室 的规格接待了他们。女皇不但为他们提供一栋配有高档家具 的房子，而且还派了一位御厨专门负责他们的膳食。每到欧 拉家的晚餐时间，枝形吊灯散发着温暖的光芒，橡木长条桌 上摆上纯银的餐具，餐盘里盛着黄油煎大马哈鱼、烤小牛排、 龙虾色拉、奶油烤杂拌等各种食物，鱼子酱抹大列巴（俄式大面包），红菜汤飘着香气，凡是女皇能够吃到的，欧拉家 都能吃得到。
欧拉对于圣彼得堡科学院的工作是驾轻就熟的，因为他在柏 林期间，俄国政府还一直付给他年薪，欧拉也将他的部分论 文寄到俄国发表，并且给予圣彼得堡科学院很多帮助和指点。回到俄国之后，由于白内障的缘故，欧拉的左眼不久就失明 了。而欧拉的右眼早在 30 多岁时就已经失明，这主要是工 作劳累过度所致。在生命的最后十几年里，欧拉凭着非凡的 记忆力和心算能力，在助手们的帮助下，依然完成了许多高 质量的数学研究。在欧拉的身 后，留下了极其丰富的科学遗 产，法国数学家拉普拉斯说过： “读读欧拉，读读欧拉，他是 我们大家的老师！”
香飘俄罗斯
让我们再回到 1741 年的俄国。伊丽莎白女皇（ 在位）上台之后，彻底驱除了宫廷中的德国势力，并且恢复了 彼得大帝的所有改革措施，以及被安娜女皇解散的枢密院， 用法律的形式确定了贵族特权，建立起一个能够吸收各阶层 精英的文官制度。伊丽莎白女皇可以说是俄国开明专制的始 创者，自她以后，俄国的各项国家制度才真正地成熟起来。
国事初定，伊丽莎白女皇心情愉悦，打算好好享受一下生活。在彼得大帝时代，作为公主的伊丽莎白就很喜欢西欧的生活 方式，尤其钟爱法兰西的时尚。当上女皇之后，伊丽莎白仍 然喜欢跳舞，每周至少要在宫中举行两次假面舞会，她还大 量购买法国的新潮时装、香水和化妆品，从而带动了俄罗斯 贵族崇尚奢华精致的风气。
当时的法国，正流行一种称为“洛可可”的艺术风格，它 的特点是纤巧、精美、幽雅、华丽。洛可可风格始于 18 世 纪初，经国王路易十五的情妇蓬帕杜夫人大力倡导，在法 国广为流行。后来的法国王后玛丽 o 安托瓦内特，也非常热 衷于洛可可服装，这在 2006 年上映的影片《绝代艳后》中有充分的展现。洛可可服装有夸张的裙撑、打褶的花边、繁复的缀饰等，十分注重整体线条和修腰的效果，印花布 料上多为草绿、粉红、鹅黄等亮丽的颜色，让人感受到春 夏季节的阳光明媚。
法国画家弗朗索瓦 o 布歇是洛可可绘画大师，他的作品多取 材于神话和贵族生活，代表作有“沐浴后的月神戴安娜”、 “维纳斯的凯旋”和“蓬帕杜夫人肖像”等，表现了优雅的 性感和奢华的贵族生活，反映了那个时代人们的审美趣味。
少女与玫瑰（布歇，法国）1730 年，法国第一家香精香料公司诞生于南方小城格拉斯。 这里生长着各种花卉，有金黄色的黄绒花，紫色的熏衣草， 白色的茉莉花和缤纷的玫瑰，为香水生产提供了优质原料， 不断出现的香水新产品为人们的生活带来了浪漫和激情。法 国的香水与时装、葡萄酒并称为三大精品产业，是法国人的骄傲。
在伊丽莎白女皇的影响下，法 兰西的时尚也在俄国流行，空 气里似乎弥漫着优雅的芳香， 到处都有和平与繁荣的气息。 在圣彼得堡科学院过了多年平 静生活的哥德巴赫，此时有点 坐不住，又想要去政界了。人 有时候很矛盾，热闹多了就想平静，而平静时间久了又想要热闹了。就性格而言，哥德巴赫是一个喜欢热闹的人。
1742 年，凭借宽广的人脉和良好的工作业绩，哥德巴赫被 调到俄国外交部工作，外交部设在莫斯科，哥德巴赫也就 移居到了莫斯科。虽说此时德国人不受欢迎，但哥德巴赫 是个例外。他在俄国工作多年，已经深深扎根在这片土地， 况且还做过伊丽莎白的老师，俄国人早把他看成是自己人 了，和那些来投机做官的德国人不是一类。
珍贵的通信
哥德巴赫与远在柏林的欧拉一直保持通信，讨论各种数学问 题，其中关于数论问题的讨论影响最大。
数论是研究整数性质的数学分支，它的形成和发展经历了漫长的岁月。早先住在洞穴里的原始人就有自然数（或正整数） 的概念，后来由于生活和生产的需要，在世界各地逐渐形 成了一些独特的数字，例如，古巴比伦的楔形数字，古埃 及的象形数字，中国的甲骨文数字，希腊的阿提卡数字等 等。我们今天使用的阿拉伯数字实际上是由印度人发明的，12 世纪时由阿拉伯人传入欧洲。而关于自然数的理论，至 少可以追溯到古希腊时代，欧几里得在他的名著《几何原本》 中就讲到了数论。
左图：意大利人利玛窦( 左) 和徐光启( 右) 合译了《几何原本》， 这是中文版中的插图。
中图：摘自徐光启手书篆刻《几何原本》序。
右图：《几何原本》北京印刷书，藏于罗马中央国立图书馆。 古希腊数学家欧几里得的这本巨著在西方是仅次于《圣经》流传最广的书籍。
关于欧几里得（Euclid）生平的记录很少，只知道他在公元前 300 年左右，生活在埃及的亚历山大城，在那里教书授徒。 他所著的《几何原本》一书，凝结了古希腊数学的许多精华， 是数学历史上最著名的、流传最广的教科书。在这本书里， 欧几里得从点、线、面的定义出发，用几条最基本的公理以 及形式逻辑方法，建立起了欧几里得几何学这个严密的体系。
《几何原本》由13 篇组成，基本上是讲几何学的，也有3 篇（第7、8、9 篇）是讲数论的，其中的一些数论结果今天仍然常用。 比如“算术基本定理”，它是说，每个大于 1 的自然数 n 都 可以分解为素数的乘积
其中是素数（即只能够被 1 和它自身整除的数，例如 2，3，5，7，…），而且不管怎样分解，所得到的都是一样的，顶多只有次序上的不同。
我们有了算术基本定理，就可以用素数这些基本材料，通过乘法搭建起正整数这座大厦，很多关于正整数的问题就可以转化成关于素数的问题。例如，要求两个数 24 和 108 的最大公因子，可先将他们分解成素数的乘积。
在比较素数方幂的最大公因子之后，我们可以清楚地看到，24和 108的最大公因子应该是。
费尔马 () 猜想的雕塑
在《几何原本》中，欧几里得提出了一个快速计算最大公因子的方法，称为“欧几里得辗转相除法”。此外他还证明 了，素数有无穷多个。首先，他假设只有 n 个不同的素数 。
因为正整数不能被素数中的任意一个整除，所以a必有一个不同于所有的素数因子，也就是说，我们至少有了 n+1 个素数，这就与前面的假设发生了矛盾，因此，素数一定有无穷多个。欧几里得的这个证明，是反证法一个最经典 的范例。
在数论的历史上，法国数学家费尔马（Pierre de Fermat，）是一位里程碑式的人物。费尔马对于数论有直观的天才，他所提出的很多数论命题，极大地吸引了后来数学家们的研究兴趣。
费尔马一生基本上生活和工作在法国南部城市图卢兹，他从30 岁起成为政府的文职官员，担任过晋见接待官和地方议 会的议员，主要处理法律事务。费尔马是一个诚实、正直和 谨慎的人，对于本职工作兢兢业业，使得各项政策能够顺利 地贯彻实施。他的乐趣主要来自业余生活，他对于欧洲的主要语言和欧洲大陆的文学有很深的修养，还会熟练地用拉丁 文、法文和西班牙文写诗，数学只是他的业余爱好之一，他 研究数学多半是由于对数学美感的热爱。
设 x, y 分别是直角三角形两条直角边的长度， z是斜边的 长度，那么有
这是毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，在中国称为勾股定理。 有时碰巧 x, y, z 都是正整数，比如，
另外， (5, 12, 13) 也满足上面的方程，类似的数组还可以找到很多。费尔马给出了一般性的命题：如果 z 是形如 4m+1（m 是正整数）的素数的话，那么，z 一定是某个边长均 为正整数的直角三角形的斜边长度，而且这种直角三角形 只 有 一 个。 当 m=1 时，z= 5， 直 角 边 x=3，y=4； 而 当 m=3 时，z=13，直角边 x=5，y=12。这个命题也可以这样说： 形如 4m+1 的素数的平方可以表示成两个正整数的平方之和，如果不考虑两个平方数的次序的话，那么表示方式是欧拉在
年间的一篇论文里证明了：形如 4m+1 的 素数可以唯一地表示成两个正整数的平方之和，这里不考虑 两个平方数的次序。设 p 是形如 4m+1 的素数，由欧拉的定 理知，
其中 x, y 都是正整数，而且 x & y 。于是，就有
可见 p2可以表示成两个正整数的平方之和。由一个初等的讨论易知，表示方式是唯一的。因此，费尔马的命题成立。很自然地，费尔马也考虑了高次方程
这里 n(≥ 3), x, y, z 均为正整数。他断言，这种高次方程是没有解的。他说可以证明，但没写下来，后世就称为“费尔 马猜想”。费尔马自己只解决了 n=4 的情形，他给出的证 明相当粗略。后来，欧拉解决了 n=3 的情形。很多优秀的数学家都对这一问题做出过重要贡献，在研究过程中，也产生出了不少新的数学概念和方法。直到 1994 年，才由英国数学家怀尔斯（Andrew Wiles）彻底解决了费尔马猜想，这 是 20 世纪数学最重大的成就。从猜想的提出到解决，整整 跨越了 350 多年。
费尔马研究数学，只是为了享受得到新发现的乐趣，并不 期望别人的承认。费尔马的很多工作散见于他给朋友们的信件，以及他阅读过的书籍的空白处，他生前也发表过几 篇论文，但都是匿名的。费尔马去世之后，才由他的儿子克莱蒙特 o 塞缪尔等人，将他的研究成果整理成两卷本著 作出版。后世的数学家和数学史家，积极搜集他的数学 工作，挖掘其中的深刻内涵， 并赞誉费尔马是“业余数学家之王”。
哥德巴赫对于费尔马研究过的一些问题很感兴趣，例如，形如 （这里n为正整数）的素数问题。容易证明，如果是素数，则这 里 m 为非负整数）。令
后人称 Fm为费尔马数。最初的 5 个费尔马数
都是素数，因此费尔马相信，所有的费尔马数都是素数。然 而哥德巴赫没有那么深的功力来做这个问题，因此他就写信请欧拉试试。
欧拉回信说， F5 就不是一个素数，这通过一个初等的证明 就可以看出。令
a = 27 ,b = 5,
可见并非所有的费尔马数都是素数。
英国数学家怀尔斯最终解决了有 350 年历史的费尔马猜想，这是他 获得 2005 年邵逸夫奖时在香港的留影。
哥德巴赫和欧拉于 1742 年的一封重要的通信
于是，我们可以进一步问，是否存在无穷多个费尔马素数，这与几何学的作图问题很有关系。1801 年，高斯（Carl Friedrich Gauss，）证明了，对于一个正多边形， 如果它的边数是一个费尔马素数，或者是几个不同费尔马 素数的乘积的话，那么，这个正多边形就可以用圆规和没 有刻度的直尺做出。时至今日，关于费尔马素数问题也少 有进展，看来它的确是非常困难的。
下面两封信被归于数学史上最珍贵的通信之列，一封是1742 年 6 月 7 日在莫斯科的哥德巴赫给在柏林的欧拉的信， 另一封是 1742 年 6 月 30 日欧拉给哥德巴赫的回信。哥德巴赫在信中说：“对于那些虽未切实论证但很可能是正确的命题，我不认为关注它们是一件没有意义的事情。即使 以后万一证明它们是错误的，也会对于发现新的真理有帮助。 正如你已经证明的那样，费尔马关于 Fm给出一列素数的想法是不正确的，但如果能够证明 Fm可以用唯一的方式表成两个平方数之和的话，那也是一个很了不起的结果。”
当 m ≥ 1 时， Fm 是形如 4n+1 的正整数。由上述费尔马的一 个命题，如果 Fm 是素数的话，那么 Fm 自然就可以用唯一的方式表成两个平方数之和。哥德巴赫的意思是，在无法保证 Fm
是素数的情况下，看看能否证明弱一点的结果“ Fm 可以用唯一的方式表成两个平方数之和”。欧拉在回信中否定了哥德巴赫的想法，在经过一番推理之后，他指出
即 F5 可以用至少两种方式表成两个平方数之和。
哥德巴赫在信中又说：“类似地，我也斗胆提出一个猜想： 任何由两个素数所组成的数都是任意多个数之和，这些数 的多少随我们的意愿而定，直到所有的数都是 1 为止。例如，
……。”哥德巴赫又在页边的空白处补充道：“重新读过 上面的内容后，我发现，如果猜想对于 n 成立，而且 n+1 可以表成两个素数之和的话，那么，可以严格地证明猜想 对于 n+1 也成立。证明是容易的。无论如何，看来每个大 于二的数都是三个素数之和。”这里哥德巴赫把 1 看成了 素数，下面欧拉也采用这种看法。欧拉在回信中说：“关于‘每个可以分成两个素数之和的 数又可分拆为任意多个素数 之和’这一论断，可由你以前写信告诉我的一个观察（即‘每个偶数是两个素数之和’） 来说明和证实。如果所考虑 的数 n 是偶数的话，那么它 是两个素数之和。又因为 n-2 也 是 两 个 素 数 之 和， 所 以 n 是三个素数之和，同理它也 是四个素数之和，如此等等。
如果 n 是奇数的话，因为 n-1 是两个素数之和，所以 n 是三个素数之和，因此它可以分拆为任意多个素数之和。无论如何，我认为‘每个偶数是两个素数之和’是一条相当真实的定理，虽然我不能证明它。”因为这是私人间的通信，所以其中的说法相当随意，在数学上是不严格的。但里面的要点，如“每个偶数是两个素数之和”以及“每个大于二的数都是三个素数之和”是很明确的，后人在数学上将它们严格化，并称之为“哥德巴赫猜想”。
敬请期待本系列完结篇：《从哥德巴赫说开去（3）》
贾朝华,北京大学数 学博士,中国科学院 数学研究所研究员。 研究领域为解析数论, 主要研究素数理论中 的一些课题。
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