小学数学解题常见错误分析
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/ 小学数学解题常见错误分析　
[常见错误]（12+6）×2×2=18×2×2=36×2=72（厘米）。[分析]　　两个相同的长方形拼成正方形后，求正方形的周长，而不是求两个长方 形周长的和，解题时由于对这一点没有正确理解，因此出错。　　例 2 有一个周长是 32 厘米的长方形，它是由 3 个大小完全相等的正方 形拼成的，其中一个小正方形的面积是（ ）。　　[解]由 3 个大小完全相等的正方形拼成一个长方形，这个长方形的长与 宽的比应是 3∶1。这样，已知长方形的周长及长与宽的比，可以求出长与宽； 进而求出长方形的面积及正方形的面积。32÷2× 3 = 12（厘米）??长方形的长432÷2× 1
= 4（厘米）??长方形的宽412×4÷3=16（平方厘米）??小正方形的面积 答：其中一个小正方形的面积是 16 平方厘米。[常见错误]32× 3 = 24（厘米）??长方形的长432× 1 = 8（厘米）??长方形的宽424×8÷3=64（平方厘米）??小正方形的面积[分析]　　错解中虽说解题思路是对的，先求出长方形的长与宽，再求出长方形的 面积，最后求出正方形的面积，但在求长方形的长与宽时，忽视了长方形的 周长含有两个长与两个宽，因而产生了错误。如下图：AB 的长是 BC 长的 3 倍，而 AB 加 BC 的长只有 32 厘米的一半，所以，AB 是 12 厘米，BC 是 4 厘米。例 3 小明把 2.8 米的铁丝，围成一个长方形，长方形长和宽的比是 4∶3，这个长方形围成的面积是多少平方米？[解] 此题与例 2 一样，先求出长方形的长与宽，再求出长方形的面积。2.8÷2× 4 = 0.8（米）??长方形的长72.8÷2× 3 = 0.6（米）??长方形的宽70.8×0.6=0.48（平方米）??长方形的面积 答：长方形的面积是 0.48 平方米。[常见错误]2.8× 4
= 1.6（米）??长方形的长72.8× 3 = 1.2（米）??长方形的宽71.6×1.2=1.92（平方米）??长方形的面积[分析]假设所围成的长方形如下图：
从图中可以看出，AB∶BC=4∶3，AB 加 BC 的长度只有这个长方形周长的 一半，也就是 2.8 米的一半，即 1.4 米。而错解中犯了与例 2 同样的错误， 导致答案错误。例 4 判断：边长为 4 厘米的正方形，它的周长与面积相等。（ ）[解]×[常见错误]√[分析]　　边长是 4 厘米的正方形，它的周长与面积计算的结果，数值虽说都是 16， 但不能说它们是相等的，因为周长是用长度单位，结果是 16 厘米，面积是用 面积单位，结果是 16 平方厘米。两者是无法比较的，正如 5 只猫与 5 公顷土 地无法比较一样。　　5．三角形、平行四边形和梯形　　对于三角形、平行四边形和梯形的学习是非常重要的，下面列举的许多 解题错误都是由于概念不清的缘故。这些图形之间既有联系又有区别，因此， 对于它们的面积计算公式很容易混淆，常常出现错用公式的现象。另外，对 于面积单位的进率和面积单位与地积单位的换算也是容易弄错的。　　例 1 一个三角形三个内角的比是 1∶5∶4，最小的内角是（ ）度。这 个三角形是（ ）三角形。[解]三角形的三个内角和是180 °，其中最小的一个角是180 °的最小的一个角的度数是：1
，所以，10180×11 ? 5 ? 4? 180× 110? 18（度）因为三个角的度数的比是 1∶5∶4，可知其中最大一个角的度数是：180×51 ? 5 ? 4? 180× 1
? 90（度）2由此可知这个三角形是一个直角三角形。[常见错误]100×11 ? 5 ? 4? 100× 110? （度）．最小的一个角是 10°。100×51 ? 5 ? 4? 100× 510? 50（度）．这个三角形是一个锐角三角形。[分析]　　这个题的错误是把三角形三个内角和看成 100°，按 1：5：4 分成三份， 所以得到最小的内角为 10°，最大的角是 50°，所以，把三角形错误地判断 为锐角三角形。例 2（1）等腰三角形的顶角与一个底角度数的比是 1∶4，顶角是（ ）度。（2）判断：所有的平行四边形都不是轴对称图形。（ ）（3）判断：有一组对边平行的四边形叫做梯形。（ ）（4）判断：两个三角形可以拼成一个平行四边形。（ ）（5）判断：长方形和正方形都是平行四边形。（ ）[解]（1）20。（2）×（3）×（4）×（5）√[常见错误]（1）36。（2）√（3）√（4）√（5）×[分析]　　这些题都是有关三角形、平行四边形和梯形的基本概念题，出现这些错 误，说明了概念不清。（1）题的错误是忽略了一个等腰三角形包含两个相等 的底角，求顶角的度数应该是：180÷（1+4+4）=20°。　　（2）、（3）、（4）、（5）几题之所以判断错，是因为对几种特殊的 四边形的定义及相互关系不清楚。平行四边形、长方形和正方形的关系是：
就是说长方形和正方形都是平行四边形的特例，而长方形和正方形都是 轴对称图形，所以（2）题“所有的平行四边形都不是轴对称图形”的说法是 错误的，因为其中有些特殊的平行四边形（如正方形、长方形）是轴对称图 形。梯形是“只有一组对边平行的四边形”，这个“只”字不能掉，因为长 方形、正方形和平行四边形也有一组对边平行，所以（3）题的说法也是错误 的。两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形，所以（4）题的说法也 是错误的，根据前面讲述的长方形、正方形和平行四边形的关系，那么（5） 题的说法是正确的。例 3（1）一个三角形和一个平行四边形的底和高相等，已知三角形的面 积是 8 平方米，平行四边形的面积是（ ）。（2）选择题：用手捏住四根木条钉成的一个长方形的两个对角，向 相反方向拉成一个平行四边形，它的面积（ ）原来长方 形的面积。①大于；②小于；③等于。[解]（1）16 平方米。（2）小于。[常见错误]（1）8 平方米。（2）等于。[分析]　　三角形、平行四边形和梯形面积的计算都与它们的底与高有关，这些图 形之间有联系又有区别，产生上述错误的主要原因是对于它们的面积计算公 式有些模糊。（1）题的一个三角形和一个平行四边形底和高都相等，假设底为a，高为h，那么平行四边形面积为ah，三角形面积为 1 ah。所以，这2个平行四边形面积为这个三角形面积的 2 倍，即为 16 平方米。不要以为底和 高都相等，面积也就相等。
（2）题的错误是把周长和面积混淆，按题目要求一“拉”，周长没有变 而面积变小了，因为长方形的长作为平行四边形的底没变，而“高”比原来 的“宽”小了，这只要看下面的图就清楚了。　　要使计算熟练必须记住常用的公式，而记住公式的关键又是要掌握这些 公式的推导过程，懂得了其中的道理，记忆就会更深刻。　　例 4 一块三角形的地，量得它的底长是 36.5 米，高是 15.2 米。这块地 的面积是多少？[解]36.5×15.2÷2=554.8÷2=277.4（平方米）。 答：这块地的面积是 277.4 平方米。[常见错误]36.5×15.2=554.8（平方米）。 答：（略）[分析]　　解题出现错误的主要原因是对三角形面积计算公式的由来没有理解，它 与平行四边形的关系没有掌握，因此，对求三角形的面积用底乘以高后再除以 2 中的“除以 2”理解不深，造成记忆模糊，与求平行四边形面积相混淆。 防止出错的办法是自己动手剪两个完全一样的三角形，拼成一个平行四边 形，通过剪拼来加深理解“除以 2”的意义，再通过适当的练习进行巩固。例 5 红林村新修了一条水渠，水渠的横截面是梯形，上底 1.8 米，下底0.8 米，深 0.5 米。这条水渠横截面的面积是多少？[解]（1.8+0.8）×0.5÷2=2.6×0.5÷2=1.3÷2=0.65（平方米）。答：水渠的横截面积是 0.65 平方米。[常见错误]（1.8+0.8）×0.5=2.6×0.5=1.3（平方米）。 答：（略）[分析]　　例 5 的解题错误与例 4 相似，主要是对梯形面积的计算公式的推导过程 没有搞清楚，它与平行四边形面积计算的关系没有掌握，因此，对“除以 2” 理解不深，常常遗漏，有时列式中有，但实际计算时又忘了“除以 2”。防 止出错的办法是自己剪两个完全一样的梯形，再拼成一个平行四边形。通过 剪拼，来理解“除以 2”的意义，再通过适当的练习加以巩固。　　例 6 一块平行四边形麦地，底长 49 米，高 40 米，这块地合多少公顷？ 这块地共收小麦 1254.4 千克，平均每公顷收小麦多少千克？[解]49×40÷10000==0.196（公顷）。.196=6400（千克）。答：这块地有 0.196 公顷，平均每公顷收小麦 6400 千克。[常见错误]49×40÷100==19.6（公顷）。.6=64（千克）。 答：（略）[分析]在计算土地面积时，单位间的进率常常出现错误，此题出错就是把 1 公顷等于 10000 平方米，错误地记成了 1 公顷等于 100 平方米。出现这样的错 误，小学生由于生活经验不足，特别是城市小学生，它们对 1 公顷土地的实 际大小弄不清楚，所以出错了也发现不了。因此，关于土地面积单位，最好 让小学生“身临其境”，量一量一公顷土地的大小，从而估计学校占地面积 大约有多少公顷等等。做到了这一点，即使在解题时出现了错误，他们也可 以及时发现。如上例，平均每公顷土地只收小麦 64 千克，肯定错了。6．圆和扇形*在平面图形里，圆和扇形较前几种图形更为复杂。涉及这　　*扇形为选学内容两类图形的试题解答常见的错误，除了有上面所说的概 念不清所造成的外，还有公式混淆所造成的，单位进率不清楚造成的。由于 “π”和数的“平方”的出现，给计算带来一定的困难，“π”一般是取 3.14， 有两位小数，计算带来麻烦。12 困难，“π”一般是取 3.14，有两位小数， 计算带来麻烦。12=1，32=9，而往往容易错成 12=2，32=6，这些都必须引起 足够的重视。例 1（1）判断：圆的对称轴只有一条（ ）。（2）判断：一个圆的半径扩大 2 倍，这个圆的面积就扩大 2 倍（ ）。（3）一个扇形的面积，是它所在圆面积的 1 ，这个扇形的圆心5[解]角是（ ）度。（1）×（2）×（3）72。[常见错误]（1）√（2）√（3）36。[分析]　　出现（1）题的判断错误，是解答者认为圆的对称轴只有一条，就是那条 把圆分成相等的两个半圆的直径，实际上任何一条直径都是圆的对称轴， 而圆有无数条直径，所以有无数条对称轴；因为圆的面积 = πr2 ，那么圆的半径与圆的面积不是成正比例关系，所以（2）题判断为对也是错误的；（3）题是误把整个圆周看成180°，180°× 1 = 36°，显然结论是错的。5例 2 （1）用一根长 3.14 米的绳子围成一个正方形、长方形、圆形，它 们中的面积最大的是（ ）。（2）在一个直径为 6 分米的圆上剪下一个圆心角是 60 度的扇形， 这个扇形的面积是（ ）。（3）选择题：设 R 是大圆 O 的直径，如果小圆 O1、O2、O3、O4 的直径之和等于 R（如图）。小圆 O1、O2、O3、O4 的周长之和（ ）大圆周长。①大于；②等于；③小于。（4）右下图中圆的周长是 18.84 厘米，求阴影部分的面积。
（5）学校建一圆形花坛，内圆周长 12.56 米，外圆周长 18.84 米，在内 圆里种菊花，在环形内种月季花，种月季花的面积是多少？[解]（1）圆。（2）4.71 平方分米。（3）等于。（4）（18.84÷3.14÷2）2×3.14×1/4=32×3.14×1/4=7.065（平方厘米）。（5）（18.84÷3.14÷2）2×3.14-（12.56÷3.14÷2）2×3.14=32×3.14-22×3.14=28.26-12.56=15.7（平方米）[常见错误]（1）正方形。（2）18.84 平方分米。（3）大于（或小于）。（4）①（18.84÷3.14）2 ×3.14× 1 。4②（18.84÷3.14÷2）2 ×3.14× 1432 ×3.14× 146×3.14× 1 。4（5）[（18.84-12.56）÷3.14÷2]2×3.14[分析]　　（1）题通过计算我们会发现圆的面积最大，之所以误认为正方形面积最 大，可能是受右图的影响，而实际上图中正方形的周长大于圆的周长。（2 ）题的错误出在圆面积的计算公式上，18.84是由6 2 ×3.14 × 1 得到6的，6 是直径，应该是（6 ÷2 ） 2 ×3.14 × 1 = 4.71（平方米）。6　　（3）题凭观察难以比较，得出“大于（或小于）”的错误结论。如果我 们举出具体数算就会发现小圆周长之和与大圆的周长是相等的，并且无论这 样画出多少个小圆，得出的结论都是周长相等。这可以通过以下的推导得出两者周长相等的结论。 设小圆的直径分别为 r1、r2、r3、r4，则四个小圆的周长之和是： r1π+r2π+r3π+r4π=（r1+r2+r3+r4）π=Rπ。 即小圆周长之和等于大圆的周长。　　（4）题的第①种错误原因与上面（2）题相同，列式中忘记了“÷2”， 成了直径的平方；第②种错误原因虽说很简单，但 32=6 是常发生的错误。　　（5）题是为了寻求简便方法而出现的错误，我们通过下面各组算式的对 比，就会发现错误的原因所在：①52-32=16，（5-3）2=4。②92-62=45，（9-6）2=9。③72-22=45，（7-2）2=25。 综上所述，在计算圆和扇形的面积时，一是要防止公式运用错误；二是要防止计算错误。7．平面组合图形　　平面组合图形要综合运用各种基本图形的有关知识，解答有关平面组合 图形的题学生较易出错，产生错误的主要原因有三点：一是看不出组合图形 是由哪几种图形组合而成；二是计算公式混淆造成列式错误；三是计算步骤 较多、数字复杂所造成计算错误。例 1 （1）求下面左图组合图形面积。（单位：厘米）（2）计算上面右图阴影部分的面积。（单位：厘米）（3）求下面左图长方形中阴影部分的面积。（单位：厘米）（4）求上面右图阴影部分的面积。（单位：厘米）　　（5）有两个等腰直角三角形，直角边分别为 5 厘米、7 厘米，像下面左 图那样重叠着，试求重叠部分的面积。
（6）上面右图，圆的半径是 3 厘米，圆的面积等于长方形面积的一半。 求阴影部分的面积。[解]（1）（8 + 8 ）×8× 1 + （8 + 12）×8× 1 + 82 ×3.14× 12 2 4=64+80+50.24=194.24。（2）8×4× 1 - 4×2 × 1 - 22 ×3.14× 12 2 2=16-4-6.28=5.72（平方厘米）。或（4 + 8）×2× 1 - 22×3.14 × 12 2=5.72（平方厘米）。（3）7 ×4 - 42 ×3.14× 18=28-6.28=21.72（平方厘米）。（4 ）（52 ×3.14 × 1 - 5×5× 1 ）×24 2=7.125×2=14.25（平方厘米）。（5）（3 + 5）×2× 1 = 8（平方厘米）。2或5×5× 1 - 3×3× 1 = 8（平方厘米）。2 2或（5 + 7）×2× 1 - 4×2× 1 = 8（平方厘米）。2 2（6）32×3.14=28.26（平方厘米）。[常见错误]（1）（8 + 8 ）×8 + （8 + 12）×8× 1 + （8÷2 ）2×3.14 × 1 。2 4（2 ）8 ×4 × 1 －22×3.14 。2（3）找不出扇形的圆心角的度数。（4 ）52 ×3.14 × 1 - 5×5× 1 ·4 2（5）找不出有关的线段的长度。（6）32×3.14×2。[分析]　　本例题的图形都是些平面组合图形，解题时要综合用到平面基本图形的 计算公式。所用到的计算公式往往既有联系又有区别，有时为求得一个答案 要用到几个公式，因此公式很容易混淆，尤其是有关圆面积或扇形面积的计 算，一般都有几位小数，更容易发生计算错误。（1）题列式时忘记了求三角形和梯形面积时需“× 1 ”，求扇形面积2时又误把“8”作为直径而出现“（8÷2）2”的错误。（2）题阴影部分的面 积，不是从三角形中减去的一个整圆的面积，而是减去一个半圆和一个三角 形的面积；或是从梯形面积里减去一个半圆的面积。（3）题可从长方形的已 知数据的比较中得出，含扇形的一个直角三角形的两直角边都是 4，即为一 等腰直角三角形，则底角为 45°，所以，扇形的圆心角也为45°。（4）题要作一条辅助线（如下面左图）AC，那么52 ×3.14× 1 - 54×5× 1 ，即扇形面积减去三角形面积，得到的为下面中图的阴影部分面4积。所以，要求左图的阴影部分面积必须再“×2”。　　（5）、（6）题则需要先仔细观察图形再思考。（5）题怎样先找出有关 线段的长呢？从下面右图可知，因为都是等腰直角三角形，那么 AB=BC、 DE=EF。并且三角形 FEC，三角形 DBG 都是等腰直角三角形。因此可求得有关 线段的长：BE=BC-EC=7-5=2（厘米）。 BG=DB=DE-BE=5-2=3（厘米）。 AG=AB-BG=7-3=4（厘米）。　　从而可得出解法①，直接求梯形 GBEF 的面积；解法②是三角形 DEF 的面 积减去三角形 DBG 的面积；解法③是梯形 ABEF 的面积减去三角形 AGF 的面 积。（6）题根据题意观察图形就不难发现，阴影部分的面积和圆的面积相等， 所以求出了圆的面积就求出了阴影部分的面积，若再乘以 2，求得的只是长 方形的面积。　　例 2 选择题：下图中 AB 和 CD 是两条平行线，三角形 ACE 的面积（ ） 三角形 BDE 的面积。①大于；②等于；③小于。[解]等于。[常见错误]大于或小于。[分析]　　题中的两个三角形形状不完全一样，但三角形 ACE 的面积=三角形 ACD 的面积-三角形 ECD 的面积，三角形 BDE 的面积=三角形 BDC 的面积-三角形 ECD 的面积，而三角形 ACD 与三角形 BDC 是同底等高，面积相等，同样都减 去三角形 ECD 的面积，所以三角形 ACE 和三角形 BDE 的面积相等。错解的学生会因为形状不一样而误认为面积也不一样。 从以上两例可以看出，这些题都有一定难度，解答时为了防止发生错误，先要认真观察图形，适当地进行一些推理计算，切不可想当然地得出一些结 论。8．长方体和正方体　　长方体和正方体是一类最简单的立体图形，小学阶段有关长方体和正方 体的题多数是体、面积的计算题，表面积和体积不仅含义不同，计量的单位 也不同。学生如对表面积和体积的含义理解不深，计算起来很容易相互混淆。 另外堤坝和水渠土石方的计算看来很容易，由于学生生活经验较缺乏，也给 理解题意带来一定的困难。例 1（1）一个正方体的棱长总和是 24 厘米，它的表面积是（ ）平方厘 米；体积是（ ）立方厘米。（2）一个正方体的金鱼缸，棱长 4 分米，如果把满缸水倒入另一个长8 分米，宽 2.5 分米的长方体的鱼缸，问水面可升到多少米的高 度？（3）正方体的棱长扩大 2 倍，它的体积扩大（ ）倍。（4）一辆卡车车厢的底面积为 4.8 平方米。运送一种长方体形的包装 箱，包装箱的棱长分别为 0.6 米，0.4 米，0.5 米，如果码放 2 层，这辆卡车最多能装（ ）个包装箱。（5）东风乡挖一条长 3 千米 24 米的引水渠，水渠的横截面是梯形（如图），上底3.8米，下底1.2米，下底长是高的 3 ，现有168人参4加挖土，如果每人每天挖 1.8 方，需要几天挖完？[解]（1）24，8。（2）（4×4×4）÷（8×2.5）=3.2（分米）=0.32（米）。（3）8。（4）48。? ? ? ?3 1（5）?（3.8 ? 1.2）×?1.2÷
? × ×3024?÷（1.8×168）? ? 4 ? 2 ???
5×1.6× ×3024? 2?÷302.4??=1=40（天）。[常见错误]（1）54，27 或 24，24。（2）（4×4×4）÷（8×2.5）=12÷20=0.6（米）。（3）6。（4）40 或 32。（5）长 3 千米 24 米化成 324 米，梯形高为1.2 × 3 = 0.9 （米）。4[分析]　　（1）题的第一种错误是把正方体的 12 条棱记成 8 条，所以得棱长 3 厘 米，出现表面积是 54 平方厘米，体积是 27 立方米的错误；第二种错误是把 表面积和体积混淆了。（2）题的错误是计算时误把 4×4×4 看成 3 个 4 得12。（3）题因为正方体体积是三个棱长相乘，所以误认为一个棱长扩大 2 倍，那么三个棱长就扩大 6 倍。（4）题的解答需要有一定的思考能力，因为 层数已定而高度没有限制，那么每个包装箱底面最小装的就最多。包装箱可 能有三种放法，一是底面为 0.6×0.4；二是底面为 0.6×0.5；三是底面为0.4×0.5。显然第三种放法每个包装箱所占的底面积最小，也就是说按第三 种放法装得最多，这时能装 48 个。　　（5）题是一道计算水渠土石方的试题，它的计算公式是用横截面积乘以 长，横截面是一个梯形。在一般情况下，横截面的有关数量的单位与长的单 位是不统一的，要注意化成相同的单位，此题的 3 千米 24 米应化成 3024 米； 此题数字多而大且运算步骤多，容易发生计算错误；算式中中括号算出的即 为水渠挖出的土方 12096 立方米，即 12096 方，所以最后的单位应为天。在 体积计算中，单位也是最容易搞错的，不容忽视。例 2（1）用三个长 3 厘米、宽 2 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个表面积最 小的大长方体。这个长方体的表面积是（（2）把两个校长都是 1 厘米的正方体，合拼成一个长方体，这个长方体 的表面积是（ ）平方厘米。（3）下图中 1 个小正方体木块表示 1 立方厘米，再添上（ ）个这样 的小木块，就能垒成一个棱长是 3 厘米的正方体。[解]（1）42 平方厘米。（2） 10。（3）13。[常见错误]（1）66 或 58 或 54 平方厘米。（2）12。（3）18。[分析]　　这几道试题主要考查学生的空间想象能力，解答起来有一定的难度。（1） 题的一个长方体（如下左图）的表面积为（6+3+2）×2=22（平方厘米），三 个长方体的总表面积是 22×3=66（平方厘米）；如果把三个长方体的③面相 接拼成的长方体表面积为（6+3）×2×3+2×2=58（平方厘米）；如果把三个 长方体的②面相接拼成的长方体表面积为（6+2）×2×3+3×2=54（平方厘 米）；如果把三个长方体的①面相接拼成的长方体表面积为（3+2）×2×3+6×2=42（平方厘米），所以，最后一种拼法表面积最小，其他几种拼法均不 是最小的。
（2）题忘记了中间相接的地方（如上右图）要去掉 2 个 1 平方厘米，所 以误认为是 12 平方厘米。（3）题的正确解答应是用棱长 3 厘米的大正方体所含小正方体的个数（27）减去原有的小正方体的个数，而原有的小正方体是 14 个，而图中画出 来的只有 9 个，其余 5 个被遮住了，如果想不到这 5 个就会出现 27-9=18（个） 的错误。　　空间想象力的形成需要逐步培养，一般先通过直观训练，再过渡到抽象 的想象。9．圆柱和圆锥　　圆柱和圆锥是两种最简单的特殊几何形体，小学数学只学习圆柱的表面 积、体积和圆锥的体积的计算，我们知道圆锥体积是同底等高圆柱体体积的　　1 ，由于不少学生对这点缺乏充分认识，计算圆锥体积时经常忘记乘以 1 ；有3 3的学生分不清表面积、体积各指的是什么；有的学生对一些计算公式缺乏变 换的能力。例 1（1）一根圆柱形钢材，它的底面直径是 1 分米，体积是 15.7 立方分米， 它的高是多少米？（2）下图是一个横截面为扇形的机器零件（单位：厘米），求它的体积。[解]（1）15.7÷[（1÷2）2×3.14]=15.7÷0.785=20（分米）=2（米）。（2 ）12 2 ×3.14 ×60360×25 = 1884 （立方厘米）[常见错误]（1）推不出圆柱长=体积÷底面积的计算公式。（2）列式为（12÷2）2 ×3.14×60360×25；或为122 ×3.14×60
·360[分析]　　这两道题是不能直接运用教材中圆柱和圆锥的公式计算的，而是先要根 据已学的公式推导出新的公式，再根据新公式进行计算。　　如（1）题要求圆柱的高，因为，圆柱体积=底面积×高，推得高=圆柱体 积÷底面积。　　（2）题第一种错误是把半径 12 看成直径，因此将 122 写成（12÷2）2； 第二种错误忘记“×25”。　　例 2（1）一根钢管长 1 米，外直径 10 厘米，内直径是 8 厘米。如果 1 立方厘米的钢重 7.8 克，这根钢管重多少千克？（得数保留整千克）　　（2）一个圆锥形小麦堆，底面周长是 9.42 米，高 0.8 米，每立方米小 麦重 750 千克，这堆小麦约重多少千克？　　　　（3）一个圆柱体底面半径是 3 厘米，表面积是 150.72 平方厘米。求圆 柱体体积。[解]（1）〔（10÷2）2×3.14-（8÷2）2×3.14]×100=2826（立方厘 米）。7.8×=22.0428≈22（千克）。（2 ）750×[（9.42 ÷3.14 ÷2） 2 ×3.14 ×0.8× 1]3=750×1.884=1413（千克）。（3）圆柱体高 =
表面积 - 底面积×2
? 5（厘米）3 ×2 ×3.142= 150.72 - 3×3.14 ×2 = 5（厘米）。
3×2 ×3.14圆柱体积=底面积×高=32×3.14×5=141.3（立方厘米）。[常见错误]（1）列式为（102×3.14-82×3.14）×100； 或为[（10÷2）2×3.14-（8÷2）2×3.14]×1。（2 ）列式为750×（9.42×0.8× 1 ）；3或为 750×[（9.42÷3.14÷2）2×3.14×0.8]。表面积（3）由公式圆柱体高 =[分析]计算圆柱体的高，误把表面积作为侧面积周长（1）题第一种错误忘记应先求出半径；第二种错误则是未统一单位而列式。（2）题第一种错误是把圆的周长代替圆面积去计算圆锥体积，因为题中的 9.42 米是圆周长，而不是圆面积；第二种错误是在圆锥体积的计算中忘记“× 1 ”。3（3）题要求圆柱的体积必须先求出圆柱的高，而题目已知圆柱的底面半 径和圆柱的表面积，可分步这样来想：根据圆柱侧面积=底面周 长×高，推得：高=圆柱侧面积÷底面周长↓ ↓表面积-底面积×2 3×2×3.14↓ ↓150.72
32×3.14×22所以 圆柱的高 = 150.72 - 3×3.14×23×2×3.14从以上分析可以看出，必须对这些公式运用自如，才能保证列式正确。五、应用题　　解答应用题，要根据数量间的相依关系，进行严密的思考，合情合理的 推理，然后作出判断，寻找解题的途径与方法。但是，由于小学生年龄小， 生活经验少，思维能力还不强，这样，对应用题的学习带来了一定的困难， 不少学生在解答应用题时经常出现这样或那样的错误。本章着重研究学生在 解答应用题时所出现的错误及防止与纠正错误的办法，以便提高学生解答应 用题的能力。　　小学数学中的应用题涉及的知识很广泛，难易程度也不尽相同。但是在 解答这些应用题时，一般包括了三个过程，即思考过程、运算过程及验算过 程。　　思考过程主要是理解题意与分析题中的数量关系。理解题意要通过读题 来完成，读题时要边读边想，这道题中有哪些已知条件，所求的问题是什么？ 对题中的关键性词语的意思彻底弄明白。在理解题意时，还可以采用摘录已 知条件和要求的问题的办法，或者边读边画出示意图，来帮助理解。分析题 中的数量关系是在理解题意的基础上进行的，要全面分析直接已知条件与间 接已知条件之间的相互关系，分析间接已知条件和应用题的问题之间的相互 关系。很多情况下学生应用题解错，错就错在数量关系的分析上。只有数量 关系分析清楚了才能确定先算什么，再算什么，最后算什么。　　运算过程就是求应用题解答结果的过程，这一步是很重要的。有的学生 在解答应用题时，列式是正确的，但是由于计算粗心或者别的什么原因，在 计算中发生了错误。　　应用题解答以后必须验算，验算时一般采用三种方法。一种是复查，从 理解题意、分析数量关系、列式、计算过程再查一遍，看其中每个环节是否 出了错误。另一种是改变应用题的条件和问题，把求出的得数作已知条件， 把原来的一个已知数作要求的问题，进行计算，所得的结果和原题已知数相 同，就说明这种解法和计算是正确的。第三种验算方法是用另一种解答方法 解题，如果两种方法（这两种方法都是正确的）解题的得数相同，说明原来 的解法与计算是正确的。1．简单应用题　　简单应用题在小学数学中占有重要的地位。通过简单应用题的学习，可 以加深理解四则运算的意义，培养初步解答实际问题的能力，获取有关解答 应用题的知识，发展思维能力。　　学习简单应用题是学习应用题的开始。虽然这些应用题只用一步运算就 能解答，但是，由于反映四则运算的实际应用情况是多种多样的，因此，在　　解题时常常出现一些错误。例 1（1）王师傅要做 14 个零件，已经做好了 5 个，还要做几个零件？（2）校园里有 9 棵松树，又栽了 6 棵，现在有多少棵松树？[解]（1）14-5=9（个） 答：还要做 9 个。（2）9+6=15（棵）。答：现在有 15 棵松树。[常见错误]（1）14-5=9（零件）。 答：（略）（2）9-6=3（棵）或者 9+6=15（树） 答：（略）[分析]　　初学解答应用题时，往往认为应用题中的最后一个“字”或两个“字” 是单位名称，要防止上述错误的发生，主要是加强有关单位名称的训练。例 如一头牛、一辆车、一棵树、一条鱼、一个人、一件事、一台机器等等。例 2 青山小学有老师 3 人，学生 68 人，学生比老师多多少人？[解]68-3=65（人）。 答：学生比老师多 65 人。[常见错误]3+68=71（人）。或者 3-68=65（人）。 答：（略）[分析]　　初学应用题时，往往见到“多”字就用加法计算，这是造成错解一的主 要原因；再就是认为应用题总是“前面的数量加上后面的数量”，或者是“前 面的数量减去后面的数量”，这是造成错解二的主要原因。要防止这种错误 的产生，从一开始学习应用题，就要注意培养分析题中已知条件和要求问题 的习惯，确定解法后要进行检验，想一想这样计算对不对。例 3 学校里的足　　球，借走 8 个后还剩下 5 个。学校里有足球多少个？[解]8+5=13（个）。 答：学校里有足球 13 个。[常见错误]8-5=3（个）。 答：学校里有足球 3 个。例 4 山上有 56 只羊，比山下的羊多 7 只，山下有羊多少只？[解]56-7=49（只）。 答：山下有羊 49 只。[常见错误]56+7=63（只）。 答：山下有羊 63 只。例 5 同学们分 8 组做游戏，平均每组 4 人，做游戏的同学有多少人？[解]4×8=32（人）。 答：做游戏的同学有 32 人。[常见错误]8÷4=2（人）。 答：做游戏的同学有 2 人。例 6 同学们在校园里栽树，2 人合栽 1 棵，8 人一共栽了多少棵？[解]8÷2=4（棵）。答：8 人一共栽了 4 棵。[常见错误]2×8=16（棵）。答：8 人一共栽了 16 棵。　　例 7 商店里柜台上摆了热水瓶和杯子，杯子的只数是热水瓶只数的 3 倍。热水瓶有 15 只，杯子有多少只？[解] 15×3=45（只）。 答：杯子有 45 只。[常见错误]15÷3=5（只）。答：杯子有 5 只。[分析]　　以上五例学生为什么会出现错误呢？主要原因是他们过去在解简单应用 题时，把某些词与解题方法建立了错误的联系，如例 3 看到“剩下”就联系 到减法，例 4 看到“比??多??”立即联系到加法，例 5 看到“平均”二 字必用除法，例 6 看到“一共”就想到加法与乘法，例 7 看到“倍”就用除 法。学生由于受到这种固定的模式支配，因此，解答此类应用题时非常容易 出错。　　简单应用题由于数字简单、结构明显、解答方便，因此，学生解题时很 容易忽视对题中数量关系的分析。如果能按步骤进行解题，则可避免上述错 误的发生，简单应用题解题一般分为五步。第一步：理解题意； 第二步：弄清已知条件及要求的问题； 第三步：确定解答方法及列式计算； 第四步：检验；第五步：答题。如上面例 4，当弄清题意后，可画出下图帮助分析题中的数量关系：
通过对文字叙述的理解及对示意图的分析，很容易知道如果把山上的羊 减少 7 只，就与山下的羊同样多。　　解应用题若严格按步骤进行，通过检验也能发现解题错误，如例 4 若山 下的羊比山上的羊还多些，显然不合题意，可以确定用加法计算是错误的。 学生解答应用题时，一般都习惯题目采用“顺叙”的结构出现，当题中 叙述的方式发生变化时，学生也容易发生错误。因此为了防止上述错误的发生，可适当让学生练习一些对比题。如：? ①山上有羊56只，山下有羊49只，山上的羊比山下的羊多几只？? ②山上有羊56只，比山下的羊多7只，山下有羊多少只？? 通过? ①山上有羊56只，山下有羊49只，山下的羊比山上的羊少几只？? ②山下有羊49只，比山上的羊少7只，山上有羊多少只？这样的练习，目的使学生在解题时注重分析题中的数量关系，克服那种靠个别词语来确定解法的错误作法。2．复合应用题　　复合应用题就是要用两步或两步以上的运算才能解答的应用题。因此， 每个复合应用题一般都由两个或两个以上有联系的简单应用题复合而成。复 合应用题中需要用特殊的思路与方法进行解答的，这类题称为典型应用题。 复合应用题由于数量关系复杂，解题时应特别注意遵循以下步骤：第一步：审题。了解题中的内容，理解题意，找出题中的已知条件和要 求的问题。第二步：分析。重点分析题中的数量关系，即已知数与已知数的关系， 已知数和未知数的关系，从而找出解题的途径与方法。 第三步：列式。确定解题步骤与方法，先算什么，再算什么，??最后 算什么，并列出分步式或者综合式，进行计算得出答案。第四步：验算。通过验算最后确定答案正确与否。 第五步：答题。写出题目中所要求的答案。 在以上的步骤中，审题是基础，分析是关键。只有认真审题，正确分析，才能找到正确的解题思路，列出正确的算式进行解答。验算往往在解题时容 易忽略，其实这一步是非常重要的，有的学生解答完一道题后，自己不知道 是否正确，没有把握，这就是没有进行“验算”训练的表现。作答一般来讲 是容易的事，正因为如此，在作答时往往出现张冠李戴的错误。　　例 1 胜利机械厂 1995 年的产值是 65 万元，1997 年的产值比 1995 年增 长了 3 倍。1997 年的产值是多少万元？[解]65+65×3=65+195=260（万元）。 或者 65×（3+1）=65×4=260（万元）。答：1997 年的产值是 260 万元。[常见错误]65×3=195（万元）。答：1997 年的产值是 195 万元。　　例 2 果园乡去年收桔子 40 万箱，今年收桔子 120 万箱。今年的桔子产 量比去年增加了几倍？[解]（120-40）÷40=80÷40=2。答：今年的桔子产量比去年增加 2 倍。[常见错误]120÷40=3（倍）。 答：今年桔子产量比去年增加了 3 倍。[分析]以上两例的错误，主要是由于学生对“倍数”关系理解不清而造成的。例 1 误把“增长了 3 倍”与“求一个数的 3 倍是多少”等同起来，不知道 1997 年的产值比 1995 年增长 3 倍以后，是 1995 年产值的 4 倍，因此产生了错误；例 2 对“今年的桔子产量比去年增加了几倍”理解不清，把它与“今年的产 量是去年的几倍”等同起来，所以产生了错误，列式中由于“倍”不是计量 单位，因此最后在“倍”字上加括号作为计量单位，也是错误的。　　应用题中所讲的“倍数”一般是由两个数量相比较而得出来的。例如“桃 树的棵数是梨树的 3 倍”，是桃树棵数与梨树棵数相比较而得来的；“1997 年的产值比 1995 年增长了 3 倍”，即 1997 年的产值比 1995 年产值增长的数与 1995 年产值相比得出的 3 倍，因此，在解题时，若遇到“倍数”问题，一 定要弄清它是由哪两个数量比较而得来的。　　解倍数应用题，准确地找到“1 倍数”，这是解题的关键。倍数应用题 中有个谁与谁比的问题，那个被比的数就是“1 倍数”，如例 1 中 1995 年的 产值是“1 倍数”。　　为了使学生正确地解答这类问题，培养学生用图示法解题是很重要的。 例如桃树有 150 棵，是梨树棵数的 3 倍，梨树有多少棵？学生如能画出下面 的图，则解题就容易得多了。
从图中很清楚地可以看出，桃树的棵数是梨树棵数的 3 倍，求梨树的棵 数，就是把桃树的棵数平均分成 3 份，取其中的 1 份，如例 1，学生能画出 下面的图，解答也就不困难了。　　从图中可以看出，1997 年的产值相当于 1995 年产值的 4 倍。例 2 结合 题目的分析可绘出如下的示意图。　　
从图中可以看出，要求今年桔子产量比去年增长几倍，必须先求出今年 的桔子比去年增长了多少万箱，再看增长的箱数是去年产量的几倍，就是增 长几倍。　　例 3 狐狸在奔跑时最高速度可达每分钟 750 米。照这样计算，1 小时可 跑多少千米？[解]750×60÷1000=4=45（千米）。 或者：750÷1000×60=0.75×60=45（千米）。答：狐狸最高速度 1 小时可跑 45 千米。[常见错误]750÷（千米）。答：狐狸最高速度 1 小时可跑 0.75 千米。　　例 4 一个餐厅长 12 米，宽 10 米，用边长为 2 分米的正方形瓷砖铺地， 需要这种瓷砖多少块？[解]12×10÷（0.2×0.2）=120÷0.04=3000（块）。或者 120×100÷（2×2）=12000÷4=3000（块）。答：需要瓷砖 3000 块。[常见错误]12×10÷（2×2）=120÷4=30（块）。答：需要瓷砖 30 块。[分析]　　以上两例的错误，一方面是学生对题意不理解，另一方面就是计量单位 的选用对解题产生了较大的干扰，而导致了错误，如例 3 中只有一个数量 750 米供学生解题时思考，他们在思考时各种计量单位的化聚同时出现在脑海 里，无所适从，因此，就选择了 750÷1000 的错误方法。　　要防止出现类似错误，必须透彻地理解每一步解题的算理。如例 3 分析 时可画出下面的方框图。　　从图中可以看出，1 分钟跑 750 米，1 小时跑多少千米？跑的时间由 1 分钟变成了 1 小时（60 分钟），即扩大了 60 倍，那么，跑的距离也应该扩大 60 倍，即 750×60。而题中要求的是多少千米，因此再算一步得 750×60÷1000。　　例 4 有两种解答方法，第一种是先统一用“米”作长度单位，这样，面 积就都以“平方米”作单位。第二种是先统一用“分米”作长度单位，这样， 面积就以“平方分米”作单位。只有单位统一后，才能求出正确的答案。　　例 5100 千克蓖麻籽可以榨油 45 千克，1 千克蓖麻籽可以榨多少千克蓖 麻油？[解]45÷100=0.45（千克）。答：1 千克蓖麻籽可以榨 0.45 千克油。[常见错误]100÷0.45≈2.22（千克）。答：1 千克蓖麻籽可以榨 2.22 千克油。　　例 6 用 0.5 度电可以生产化肥 0.4 千克。照这样计算，生产 1 千克化肥 需要多少度电？[解]0.5÷0.4=1.25（度）。答：生产 1 千克化肥要 1.25 度电。[常见错误]0.4÷0.5=0.8（度）。答：生产 1 千克化肥要 0.8 度电。[分析]学生解以上两题出现错误的原因有两个方面。第一是他们不熟悉题中的事情，没有这方面的感性知识；第二是在学习整数时，除法运算都是较大数 除以较小数，而到了学习小数时，较小的数也可以作为被除数，因此，他们 对确定被除数与除数，还不能从算理上进行分析，要么凭经验用较大数作被 除数（例 5），要么瞎猜乱碰（例 6）。为了防止上述错误的发生，首先要分 析算理，如例 5，45 千克蓖麻油是从 100 千克蓖麻籽中榨出来的，要求每千 克蓖麻籽能榨油多少千克，应该把 45 千克油平均分成 100 份，每份就是 1 千克蓖麻籽榨出的油的千克数，所以用 45÷100 而不是 100÷45。其次，要 让学生弄明白蓖麻籽榨成油后，分成了两部分，一部分是蓖麻油，另一部分 是蓖麻饼。题中要求 1 千克蓖麻籽榨多少千克蓖麻油，这个结果一定是小于1 千克。学生若明白了这个事理，就不会错成 1 千克蓖麻籽榨出 2.22 千克油 来。为了防止出现这类问题的错误，可有针对性地解答以下问题：①小明跑 100 米用了 20 秒钟。 a．平均每跑 1 米用了多少时间？ b．平均每秒跑了多少米？②某煤矿每采 420 千克煤需用电 4 度。 a．平均每度电可采煤多少千克？ b．平均每采 1 千克煤需用电多少度？　　例 7 张村今年植树 1480 棵，比李村植树的棵数少 245 棵。今年两村共 植树多少棵？[解]1480+（）==3205（棵）。答：今年两村共植树 3205 棵。[常见错误]5（棵）。 答：今年两村共植树 1725 棵。例 8 洪江路小学参加科技小组的同学有 120 人，比参加数学小组人数的2 倍多 20 人。参加两个小组的同学共有多少人？[解]120+（120-20）÷2=120+100÷2=120+50=170（人）。答：参加两个小组的同学共有 170 人。[常见错误]（1）120×2-20=240-20=220（人）。答：参加两个小组的同学共有 220 人。（2）120×2+20=240+20=260（人）。答：参加两个小组的同学共有 260 人。[分析]　　以上两例有一个共同的特点，就是题中的一个已知条件在解题时要重复 运用一次。因此，学生解这类问题时极易发生错误。如例 7“今年植树 1480 棵”这一已知条件要运用两次才能解答此题，而学生往往错误地认为将 1480 加上 245 就是两年植树的棵数，从而发生了错误。例 8 中“参加科技小组的 同学有 120 人”这个已知条件解题时也要重复用两次，而学生解题时容易理 解成“参加科技小组人数的 2 倍多 20 人”就是两个小组的人数，因而发生了 解题错误。　　为了防止发生上述错误，可用填图的方法进行思考，如例 7 填图法的解 题思路是这样的：
通过以上的步骤进行填图，就明白了要求两村一共植树多少棵，一定要 知道张村与李村各植树多少棵。这样，就不会发生遗漏已知条件的解题错误。 其次是通过画图来理解数量关系。如例 8 可画出下图：　　从图中形象地看出，其中数学组的人数不知道，如果从科技组的人数中去掉 20 名，则正好是数学组人数的 2 倍，从而求出数学组的人数，进一步求 出两组共有的人数。　　以上两例中的一个已知条件解题时只重复使用两次，有的题已知条件要 重复使用多次。例如：　　某运输队第一天运了 64.5 吨煤，第二天比第一天少运了 18 吨，第三天 运的吨数是第一天的 3 倍。三天一共运多少吨？这道题的解法是：64.5+（64.5-18）+64.5×3=64.5+46.5+193.5=111+193.5=304.5（吨）。答：三天共运煤 304.5 吨。　　例 9 蔬菜公司运进一批南瓜和辣椒，南瓜比辣椒多 560 千克，南瓜 50 筐，每筐 40 千克，辣椒 40 筐，每筐多少千克？[解]（40×50-560）÷40=（）÷40=1440÷40=36（千克）。答：辣椒每筐 36 千克。[常见错误]40×50-560÷40==1440÷40=36（千克）。答：辣椒每筐 36 千克。[分析]例 9 的错误是没有使用括号，此题尽管解题的思路是正确的，但由于没有使用括号而导致综合算式的错误。另外，在应用题解答中添加多余的括号 的现象也很普遍。产生上述错误的原因是没有理解使用括号的作用，以及不 知道如何使用括号。纠正的办法也应该从这两方面着手。第一通过实际例子 认识到括号的作用是改变运算顺序。例如计算并说明下面每组算式的结果为 什么不同。?8 + 3×4，? （8 + 3）×4．?28 - 14÷7，?（28 - 14）÷7．?5.2×（2 + 8），?4.8÷（2.4 + 2.6），???5.2×2 + 8．?4.8÷2.4 + 2.6．　　通过以上的练习，学生认识到，在一个算式中，由于使用了括号，就改 变了原来的运算顺序，计算出的结果就不同。其次是弄清怎样正确使用括号。 列综合算式解应用题是学生学习的难点，而正确地使用括号又是小学生列综 合算式的难点。为了突破这个难点，一般可分下面两个阶段进行训练。第一阶段：分步列式解答应用题。 第二阶段：将分步式改写成综合算式。 如例 9，分步列式应该为：40×50=2000（千克）???南瓜的总重量0（千克）??辣椒的总重量　　（千克）???辣椒每筐的重量 我们知道，混合运算的顺序是先算括号里面的再算括号外面的。有括号是先算小括号，再算中括号，最后算大括号里面的。先把第一步算式用小括 号括起来（不算出结果），即（40×50），再把第二步算式用中括号括起来， 即[（40×50）-560]，最后除以 40 的运算显然可以放在中括号之外了，这样 得到综合算式如下：　　　　　　　　　[（40×50）-560）÷40。 由于中括号里面的运算应该是先乘除后加减，因此小括号是多余的，去掉里面小括号，将外面中括号改为小括号，即得例 9 的综合算式为：（40×50-560）÷40。　　例 10 一个工厂 3 小时加工零件 96 个。照这样计算，再工作 5 小时，一 共加工零件多少个？（用两种方法解答）解法 1：96+96÷3×5=96+32×5=96+160=256（个）。解法 2：设再工作 5 小时，一共加工零件 x 个。x÷（5+3）=96÷3，x÷8=32，x=256。答：再工作 5 小时，一共加工零件 256 个。[常见错误]解法 1：（1）平均每小时加工多少个：96÷3=32（个）。（2）这个工人还要工作 5 小时，加工零件多少个？32×5=160（个）。（3）他一共加工零件多少个？　　　　96+160=256（个）。 解法 2：96+96÷3×5=96+32×5=96+160=256（个）。答：再工作 5 小时，一共加工零件 256 个。　　例 11 食堂有煤 12 吨，前 5 天烧了 3 吨，照这样计算，剩下的煤可以烧 多少天？（用两种方法解答）解法 1：（12-3）÷（3÷5）=9÷0.6=15（天）。解法 2：设剩下的煤可以烧 x 天3 = 12 - 3 ，5 x3x=60-15， x=45÷3， x=15。答：剩下的煤可以烧 15 天。[常见错误]解法 1：设剩下的煤可以烧 x 天。（12-3）÷x=3÷5，9÷x=0.6， x=9÷0.6， x=15。解法 2：设剩下的煤可以烧 x 天。3÷5=（12-3）÷x，0.6=9÷x， x=9÷0.6， x=15。答：剩下的煤可以烧 15 天。[分析]　　例 10 解答都没有错，只是把解题思路相同的分步列式解答与综合列式 解答作为两种解法，例 11 的两种解法都是用同一方程解应用题，不同的只是 等式两边互换了一下位置，这实际上也是一种解法。出现这种情况的原因是 不理解“两种解法”的含义，不知道所谓“两种解法”就是用两种不同的思 路去解题，而不是形式上的不同，不同的思路去解题，必然列出的算式的算 理不同，当然一般而言算术解法与代数解法（即列方程）属于不同解法。要 真正理解不同解法的实质，应分析比较不同的算术解法的算理。　　例如：王师傅装配一台机器，原来要用 2.2 小时，革新技术后，现在装 配一台机器比原来缩短 0.2 小时，问原来装配 60 台机器所需的时间，现在可 以装配多少台？解法 1：2.2×60÷（2.2-0.2）=132÷2=66（台）。解法 2：60+0.2×60÷（2.2-0.2）=60+12÷2=60+6=66（台）。解法 1 与解法 2 的列式不同，显然算理也不同。　　解法 1：原来装 60 台所需的时间÷现在装配一台用的时间=现在可以装 配多少台。解法 2：原来装的 60 台+节省时间后可以多装的台数　　　　=现在可以装配多少台。 当然本题还可以用列方程的方法求解，应用题多种解法的目的在于开拓解题思路，如果能够用不同的方法题解，就应该选择一种最简便的方法。　　例 12 良丰农场收割小麦，计划每天收割 86 公顷，需 18 天完成任务， 根据小麦成熟情况，必须提前 6 天完成收割任务，这样每天应收小麦多少公 顷？[解] 86×18÷（18-6）=1548÷12=129（公顷）。答：提前 6 天完成任务，每天应收割 129 公顷。[常见错误]86×18÷6=1548÷6=258（公顷）。答：提前 6 天完成任务，每天应收割 258 公顷。　　例 13 云丽小学要做 400 套校服，原来按每套 2.4 米买回一批布料，实 际采用新裁剪方法做，平均每套节约 0.4 米布，这批布料实际可做多少套校 服？[解]2.4×400÷（2.4-0.4）=960÷2=480（套）。或 400+0.4×400÷（2.4-0.4）=400+160÷2=400+80=480（套）。 答：这批布料可以做校服 480 套。[常见错误]（1）（2.4-0.4）×400÷2.4=2×400÷2.4=800÷2.4≈333（套）。 答：这批布料可以做校服 333 套。（2）400+0.4×400÷2.4=400+160÷2.4≈400+67=467（套）。答：这批布料可以做校服 467 套。[分析]　　例 12 的错误是将“提前 6 天完成收割任务”当成了“6 天完成收割任务”， 因此列式错误。下面重点分析例 13 的两种解法的错误。错解（1）中的2.4-0.4，即每套校服节约用布后需用布多少米，（2.4-0.5）×400 即节约用布后，做 400 套校服总共用布多少米。那么算式（2.4-0.4）×400÷2.4 表示的是什么呢？它表示的是节约用布后做 400 套校服的用布，按原来的方 法裁剪可做多少套校服，这显然不是题目所问的；错解（2）中的 0.4×400，即 400 套总共可以节约的用布，0.4×400÷2.4 即 400 套总共节约的用布， 按原来的方法裁剪可以做多少套校服，再加上 400 套，显然不是题目所问的 了。如果把 400 套总共节约的用布，按现在的方法裁剪可以做多少套计算出 来后，再加上 400 套，这又是题目所问的了，这也就是上面正确解答中的解 法二。　　防止因数量关系分析不清而产生解题错误的主要办法是对每一步算式弄 清算理，错误的算式只有在分析算理后才能知道错在什么地方，分析了算式 的错误后正确的列式也就产生了。　　例 14 少先队开展植树活动。第一中队植树 40 棵，第二中队比第一中队 少植树 5 棵，第三中队植的是第一中队的 2 倍。三个中队一共植树多少棵？[解]40+（40-5）+40×2=40+35+80=155（棵）。 答：三个中队一共植树 155 棵。[常见错误]（1）40-5+40×2=35+80=115（棵）。 答：三个中队一共植树 115 棵。（2）（40-5）×2=35×2=70（棵）。 答：三个中队一共植树 70 棵。　　例 15 甲乙两城相距 128.1 千米，一辆汽车从甲城开往乙城，行驶 3 小 时后离乙城还有 20.1 千米。这辆汽车平均每小时行多少千米？[解]（128.1-20.1）÷3=108÷3=36（千米）。答：这辆汽车平均每小时行 36 千米。[常见错误]128.1÷3-20.1=42.7-20.1=22.6（千米）。 答：这辆汽车平均每小时行 22.6 千米。[分析]　　例 14 的错解（1）是对题中的“第二中队比第一中队少植树 5 棵”理解 错误，以为 40-5 的结果是两个中队植的。错解（2）则是对题中的已知条件 及所求的问题都是不清楚的。例 4 的错误是将“行驶 3 小时后离乙城还有 20.1 千米”理解为汽车的平均速度，比 3 小时行完甲、乙城的距离还少 20.1 千米。 为了防止以上错误的发生，且对这类问题的数量关系有较深刻地理解， 用图示帮助分析是很必要的，如例 14 在分析数量关系时可画出如下面的图。
从上图可以清楚地看出，要求三个中队共植树多少棵，必须求出第二中 队、第三中队各植树多少棵，再求出三个中队共植树多少棵。例 15 解答时可画出下图。从图中清晰地看出，汽车行 3 小时还距乙城 20.1 千米，也就是说，汽车3 小时只行了 128.1-20.1=108（千米），而不是行了 128.1 千米。理解了这 点后，再根据距离、速度、时间三者的关系，就能较容易求出汽车的平均速 度。3．典型应用题　　前面所述，复合应用题中，有些题需要用特殊的思路与方法进行解答， 这类题称为典型应用题。现行小学数学课本中编排的典型应用题主要有求平 均数问题、归一问题、行程问题等三种。每种典型应用题都具有特殊的结构与特定的数量关系，通过具体的例题，在分析、比较、归纳的基础上，都可以找出特定的解答规律，这些解答 规律，还可以用某种形式固定下来。因此，解答典型应用题要注意分析，理 解某种题特定解法的含义，防止死记解题规律，乱用解题公式．（1）求平均数问题　　已知几个不同的数，在总和不变的情况下，经过移多补少，使它们成为 相等的数，这个相等的数就称为它们的平均数。在日常生活和生产中，经常 会遇到求平均数的问题。　　解答求平均数问题，一般要先求出总和与总份数，然后用总和除以总份 数，得出每一份是多少。即平均数是多少。　　总和÷总份数=平均数。 由于题中的总和与总份数是随着不同的具体问题而变化的，解题时要通过分析数量关系，正确地找出它们，这是解题的关键，也是容易发生错误的 地方。　　例 1 一个小组 8 位同学的体重分别是 38 千克、39 千克、38.5 千克、36.5 千克、36 千克、37 千克、35.5 千克、39.5 千克。这个小组同学的平均体重 是多少千克？[解]（38+39+38.5+36.5+36+37+35.5+39.5）÷8=300÷8=37.5（千克）。 答：这个小组同学的平均体重是 37.5 千克。[常见错误]（1）（38+39+38.5+36.5+36+37+35.5）÷8=260.5÷8≈32.6（千克）。答：这个小组同学的平均体重是 32.6 千克。（2）（38+39+38.5+35.6+36+37+35.5+39.5）÷8=299.1÷8≈37.51（千克）。 答：这个小组同学的平均体重是 37.51 千克。（3）（38+39+38.5+36.5+36+37+35.5+39.5）÷8=400÷8=50（千克）。 答：这个小组同学的平均体重是 50 千克。[分析]　　解答求平均数问题，求总份数容易发生错误。错解（1）是漏掉了最后一 个同学的体重；错解（2）是将第四个同学的体重 36.5 千克错写成 35.6 千克； 错解（3）是求和时将总重量 300 千克错成了 400 千克。防止发生类似错误， 一是求总和时要与题中的数据校对，确定没有错误后再开始计算；二是算完 后要进行验算。做到以上两点，就可以减少错误。　　例 2 亮利公司九、十月份共生产洗衣粉 800 吨，十一月份生产 420 吨， 十二月份生产 440 吨。求四个月的月平均产量。[解]（800+420+440）÷4=1660÷4=415（吨）。 答：四个月的月平均产量是 415 吨。[常见错误]（800×2+420+440）÷4=（）÷4=2460÷4=615（吨）。 答：四个月的月平均产量是 615 吨。[分析]　　这道题的解题思路是正确的，即先求出总和，再求出月平均产量，但是， 求总和时产生了错误，把“九、十月份共生产洗衣粉 800 吨”，理解成“九、 十月份平均每月生产洗衣粉 800 吨”，由于审题不严密而产生了错误。例 3 一个农场种两块玉米试验田。第一块 2.5 公顷，平均每公顷产玉米6750 千克；第二块 1.5 公顷，共产玉米 11250 千克，这两块地平均每公顷产 玉米多少千克？（得数保留整千克）[解]（+11250）÷（2.5+1.5）=（）÷4=28125÷4≈7031（千克）。答：平均每公顷产玉米 7031 千克。[常见错误]（1）（）÷（2.5+1.5）=18000÷4=4500（千克）。答：平均每公顷产玉米 4500 千克。（2）（）÷2=18000÷2=9000（千克）。 答：平均每公顷产玉米 9000 千克。（3）（+11250）÷2=（）÷2=28125÷2≈14063（千克）。 答：平均每公顷产玉米 14063 千克。（4）（÷1.5）÷2=（）÷2=14250÷2=7125（千克）。 答：平均每公顷产玉米 7125 千克。[分析]　　这是一道求平均数的应用题，解答这类问题的关键是先求出总和与总份 数，再求出平均数。然而，学生经常把总和与总份数弄错而产生错误的解法， 如第一种错误是把第一块试验田平均每公顷产 6750 千克错看成了第一块田 的收获量；第二种错误解法是把总和及总份数都理解错了，第三种错误解法 虽然求总和是正确的，但对总份数的理解是错误的，总份数应该是总公顷数， 而这里求出的实际上是“平均每块地产玉米多少千克”；第四种错误解法求 出的实际是“两块地平均每公顷产量的平均值”。　　要防止产生上述错误，要注意透彻地理解求平均数的意义及它的求法。 为了建立总和与总份数的概念，初学求平均数时，可分三步解题，即先求出 总和，再求出总份数，最后求出平均数。当解题熟练以后，可以取消分步解答而用综合算式解答。　　例 4 山上某镇离山下县城有 60 千米路程，一人骑车从某镇出发去县城， 每小时行 20 千米；从县城返回某镇时，由于是上山路，每小时行 15 千米。 问他往返平均每小时约行多少千米？[解]60×2÷（60÷20+60÷15）=120÷（3+4）=120÷7≈17.14（千米）。答：他往返平均每小时约行 17.14 千米。[常见错误]（20+15）÷2=35÷2=17.5（千米）。 答：他往返平均每小时约行 17.5 千米。　　例 5 一辆汽车从甲地开往乙地，在平地上行驶 2.5 小时，每小时行驶 42 千米；在上坡路上行驶 1.5 小时，每小时行驶 30 千米；在下坡路上行驶 2 小时，每小时行驶 45 千米，正好到达乙地。求这辆汽车从甲地到乙地的平均 速度。[解]（42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+1.5+2）=（105+45+90）÷6=240÷6=40（千米）。 答：这辆汽车的平均速度是每小时 40 千米。[常见错误]（42+30+45）÷3=117÷3=39（千米）。 答：这辆汽车的平均速度是每小时 39 千米。[分析]　　上面例 4 与例 5 的错解具有一定的代表性。例 4 的错解中求出的是骑车 人往、返速度的平均值；例 5 的错解中求出的是汽车在平地、上坡、下坡三 种速度的平均值。产生这类错误的原因是对“平均速度”与“速度的平均值” 这两个概念混淆，错误地认为速度的平均值就是平均速度。要防止出错，首 先要弄清求一段路程的平均速度先要知道这段路程的总距离及行完这段路程 所用的总时间，然后根据“距离÷时间=速度”的关系求出平均速度。　　例 6 一艘轮船往返于甲乙两个码头，顺水每小时航行 25 千米，逆水每 小时航行 20 千米。这艘轮船往、返的平均速度是每小时多少千米？[解]（1+1）÷（1÷25+1÷20）=2÷（0.04+0.05）=2÷0.09≈22.22（千米）。答：这艘轮船往、返的平均速度是每小时 22.22 千米。[常见错误]（25+20）÷2=45÷2=22.5（千米）。答：这艘轮船往、返的平均速度是每小时 22.5 千米。[分析]　　例 6 由于已知条件中只含有顺水、逆水航行速度（即往、返速度）两个 数据，求平均速度而又未给出航行的路程，这就使得没有弄清平均速度的学 生和不会分析题目数量关系的学生都把“速度的平均值”当作“平均速度” 来求。　　我们已经知道，要求平均速度只有先求出航行的总路程与总时间。从表 面上看，题目似乎缺少甲、乙码头距离的已知条件，因为若知道这个距离， 则往、返需要的时间可求，航行的总路程也可求。实际上甲、乙码头的距离 不知道完全可以求出平均速度。我们可以假设甲、乙码头的距离为 10 千米， 往、返的路程显然为（10+10）千米，总时间为 10÷20+10÷25，所以平均速 度为：（10 + 10 ）÷（10÷20 + 10÷25） = （10 + 10）÷（ 10 + 10 ）= 20÷10÷（ 12020 25+
）25= 2÷（1
）20 25　　我们把上面除式改写成分数的形式，显然分子、分母有公约数 10 可以约 去；如果我们假设甲、乙码头距离为 15 千米、20 千米、100 千米，按上面分 析的理由，由除式改写的分数，分子、分母将约去 15、20、100 的公约数。 由此可知往、返的平均速度的大小与甲、乙码头的距离无关，也就是说不必 知道甲、乙码头的距离的具体数值同样可以求出平均速度。因此我们一般设 甲、乙码头的距离为 1，这个 1 并不一定是表示 1 千米，而是表示甲、乙码 头距离的总量，正像我们在工程问题中设工程总量为 1 一样，这样就得到了 前面正确解答中的算式。　　（2）归一问题　　复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量 的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时 间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用 题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取 同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。　　由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照 这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系， 列出算式，求得问题的解决。　　例 1 小红骑车 3 分钟行 600 米，照这样的速度她从家到学校行了 10 分 钟，小红家到学校有多少米？[解]600÷3×10=200×10=2000（米）。 答：小红家到学校有 2000 米。[常见错误]600÷10×3=60×3=180（米）。 答：小红家到学校有 180 米。[分析]解答上题先要求出 1 分钟行的路程，再求出 10 分钟行的路程。错解中把3 分钟行 600 米，看成了 10 分钟行 600 米，因此，第一步求单位量的数值就 错了，后面再去乘以 3 是毫无道理的。防止出错的根本办法是解题时要找准 对应的数量。如上例，3 分钟行的路程对应的是 600 米，10 分钟行的路程对 应的小红家到学校的路程。　　例 2 某运输公司用 6 辆汽车运水泥，每天可运 96 吨。根据运输情况， 现在增加 4 辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？[解]96÷6×（6+4）=16×10=160（吨）。 答：每天可运水泥 160 吨。[常见错误]96÷6×4=16×4=64（吨）。 答：每天可运水泥 64 吨。[分析]　　解答归一问题先求出单位量的数值，但对题中要求的问题应加以分析。 上题中“增加 4 辆同样的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车 运输量与增加前的运输量的和，即 10 辆汽车的运输量。归一问题常常发生例2 的错解，主要原因是没有认真分析与理解题意，把要求的问题所对应的数 量搞错，从而出现错误。　　例 3 某县化肥厂计划春节前 40 天生产化肥 3400 吨，实际头 8 天生产化 肥 720 吨。照这样计算，春节前可超产多少吨？[解]720÷8×40-3400=90×40-3400==200（吨）。 答：春节前可超产 200 吨。[常见错误]（1）3400÷40×（40-8）+720=85×32+720==3440（吨）。答：春节前可超产 3440 吨。（2）720÷8×40=90×40=3600（吨）。 答：春节前可超产 3600 吨。（3）720÷8-3400÷40=90-85=5（吨）。 答：春节前可超产 5 吨。[分析]　　学生对归一问题的基本应用题一般都能解答出来，但是，对归一问题的 扩展题解答时却常常出错。例 3 就是这种扩展题，出现的第一个错解是对题 意不理解，仅根据题中已知条件的表面联系，胡乱凑在一起，进行解答。错 解（2）与错解（3）都是答非所问，没有按照题目的要求，进行解答。错解（2）求出的是春节前实际生产的吨数，错解（3）求出的是实际每天比原计 划每天多生产的吨数。　　为了防止归一问题的扩展题解答出错，关键还是要掌握归一问题的基本 解法。如例 3 先求出每天实际生产的吨数，再求出春节前 40 天实际生产的总 吨数，最后求出超产的吨数。按照这个思路，解题就不会出现错误。　　归一问题的扩展题往往有多种解法，如例 3 可用倍比法先求出实际产 量，再减去原计划产量就得超产量。列式为：720×（40÷8）-3400。　　也可以先求出每天的超产量，然后再求出 40 天的超产量。解答的算式 为：（720÷8-3400÷40）×40。　　例 4 洗衣机厂计划 25 天生产洗衣机 4000 台，实际每天比计划多制造 40 台。照这样计算，完成原定生产任务要少用多少天？[解]25-4000÷（）=25-4000÷（160+40）=25-=25-20=5（天）。 答：完成原定生产任务要少用 5 天。[常见错误]4000÷（）=4000÷（160+40）==20（天）。答：完成原定任务要少用 20 天。[分析]　　例 4 是一道较复杂的归一问题的应用题，错解算出的是完成原定生产任 务所需的时间，而忽略了题中要求的是少用多少天。　　　　解复杂的归一问题的应用题，也和解其他类型的应用题一样，可从题目 本身的问题出发，逆推分析，从而求得问题解答的算式。像这道题要求少用 多少天，必须知道计划天数（已知为 25 天）与实际生产天数；要求实际生产 天数必须知道实际生产量（已知为 4000 台）与每天实际生产台数；要求每天 实际生产台数必须知道原计划每天生产台数（算式为 4000÷25）与实际比计 划多生产的台数（已知为 40 台）；这样逐步导出的解答算式为：25-4000÷（）。（3）行程问题　　反映时间、速度、距离三者之间关系的应用题一般称为行程问题。行程 问题的内容相当广泛，目前小学数学教材中行程问题仅涉及相向运动中的相 遇问题。　　相遇问题是研究两个运动的物体，从两个不同的地方，沿同一条路线同 时（或者不同时）出发，作相向运动。因此，它有三种基本形式：第一是已知甲、乙的速度和相遇的时间，求距离； 第二是已知甲、乙的速度和距离，求相遇的时间； 第三是已知距离，相遇时间和甲（或者乙）速度，求乙（或者甲）速度。例 1 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行 46 千米，货车每小时行 48 千米。3.5 小时两车相遇。甲、乙两个城市的 路程是多少千米？[解]46×3.5+48×3.5=161+168=329（千米）。 或（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）。 答：甲、乙两个城市的路程有 329 千米。[常见错误]46×3.5+48=161+48=209（千米）。答：甲、乙两个城市的路程有 209 千米。[分析]　　这是一道相遇问题的基本题，错解中由于审题不严密，误认为只有客车 行了 3.5 小时，货车行了 48 千米，两车就相遇了，因而产生了错误。如果首 先理解甲、乙两城的路程就是客车与货车所行路程的和，然后分别求各自的 速度与行驶的时间，就不会出现错误了。　　例 2 两地间的路程有 255 千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每 小时行 45 千米，乙车每小时行 40 千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千 米？[解]255÷（45+40）=255÷85=3（小时）。45×3=135（千米）。40×3=120（千米）。答：相遇时甲车行了 135 千米，乙车行了 120 千米。
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