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1.对任意非零整数m，me≠0若S={ne/me|m，n为整数m≠0}，则S是F的子域且同构于有理数域此时称F的特征(数)为零；

：如果域F是域E的一个子域则称域E为子域F的一个扩域(或扩张)，并用符号

表示E是F的扩域(或扩張)。

的扩域而复数域和实数域又都是有理数域的扩域。

显然Z’是域E的子环，作映射

是整数环Z到Z’的一个同态满射

泹同构的环的商域也同构，即Z的商域

Z’的商域又Z的商域是有理数域Q，E包含Z'因而E包含Z'的商域，再由有理数域Q是素域故Z’的商域也是素域，即域E包含素域

是素域，故Z’是素域从而域E包含素域。

这个定理告诉我们一个域E，当特征是

时包含一个与有理数域同构的素域，当特征是素数p时E包含一个与

同构的素域，即有下列推论：

设E是一个域則当char E=∞时．E包含一个与Q

的素域；当char E=p时，E包含一个与

这个定理同时也说明任意域都是一个素域的扩张，因此可以从素域出发来研究扩域，而且如果这样的扩域研究清楚了也就是弄清楚了所有的域。但实践证明从素域出发来研究扩域并没有什么特别的优越性，因此我們不是由素域出发而得到扩域，而是对任意域F出发通过添加来研究其扩域

例如：有理数域Q和以p(素数)为模的剩余类域

，则△与有理数域同构；若△的特征是素数p则△与以p为模的剩余类域

2. 设F是特征为素数p的一个域，证明：

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