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线性代数中有关线性方程组的一个小问题A是m*n矩阵,线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩,为什么说“亦等同于A的列向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b是等价向量组”?
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列向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b等价,则b一定可由向量组a1,a2,...an线性表出,于是r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)
但是等秩的向量组不一定等价，由r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)推不出这两个向量组等价吧?那“A的列向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b是等价向量组”只能是“A是m*n矩阵，线性方程组Ax=b有解”的充分条件吧？
而题目说“亦等同于”就表示该命题应是充分必要条件。请问必要条件怎么证明呢？
列向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b等价, 则
r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b).
反之，若 r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)，则
b一定可由a1,a2,...an线性表示
（因为b若不能被a1,a2,...an线性表示，
则b和向量组a1,a2,...an的极大无关组线性无关，
r(a1,a2,...an,b)＝r(a1,a2,...an)+1, 矛盾）。
从而向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b可互相表示，
即为等价。
你说的（因为b若不能被a1,a2,...an线性表示......线性无关"
是指m个向量无关，m+1个相关，多出来的那个能被m个表示。（定理）
现在b不能由向量组a1,...an线性表示，即不能由它的极大无关组线性表示（因为向量组和它的极大无关组等价），这一步没错吧？
而设线性无关组为c1,c2,..cs，它是线性无关的，所以向量组c1,c2,...cs，b线性无关。
您的意思是这个吧？我的理解没错吧？
用你的记号重新顺一下吧。
若r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)，则b一定可由a1,a2,...an线性表示。
证明：记c1,c2,..cs是a1,a2,...an极大无关组，
显然，若c1,c2,..cs，b线性无关，则与已知矛盾。
于是，c1,c2,..cs，b线性相关。
根据定理：s个向量无关，s+1个相关，多出来的那个能被s个无关的向量表示，
结论成立。
根据引理1，若r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)，则
向量组a1,a2,...an和向量组a1,a2,...an,b等价。
明白了，谢谢您。不过麻烦您再看一下两点吧。（因为数学是一门严谨的科学，所以我想每一环都弄懂，呵呵）由于字数限制，请看图。原谅我的啰嗦。。。万分感谢！
&-0.5&x&0, &0&y&1, & =& 0&|xy|&0.5现在，0&|xy|&0.5, & &且0&y&1， 一定有：-0.5&x&0？？？2. &。。。&
不是，你理解错了。按照我说的，
你给的例子应该是：
|xy|大于等于0.5或者|xy|小于等于0，且0小于y小于1时；是否一定有x大于等于0或者x小于等于负0.5？
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扫描下载二维码AX=B无解的等价条件是B不能由a1,a2,...an线性表示，为什么_百度知道
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AX=B无解的等价条件是B不能由a1,a2,...an线性表示，为什么
an线性表示，为什么为什么阿····在课本中的证明是令第i行的元素都换成k行的元素..,两行相等了才为零.但在我们平时做的题目中,又没说两行相等,为什么乘积之和等于零啊 ····奇怪AX=B无解的等价条件是B不能由a1,a2,
我有更好的答案
1..an),x写成一个列向量(x1 x2..xn)T
T表示转置AX=a1x1+a2x2+..，把a矩阵分解为n个列向量，(a1 a2 a3.,2,n是下角标AX=B=a1x1+a2x2+.............从定义本身理解他
是不能线性表示
我问的是非齐次线性方程AX=B的等价条件是B中的向量不能由A中向量线性表示
AX=B=a1x1+a2x2+......+anxn 的意思就是B可以由A线性表示(把x当成系数k)那B≠AX=a1x1+a2x2+......+anxn 的意思就是B不可以由A线性表示(把x当成系数k)。
逆否命题啊。因为还是充分必要的，所以不用逆，否命题也成立。
采纳率：71%
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线性方程组AX=b等价问题若线性方程组 A1X=b1 A2X=b2都有解 且1里的解全是2里的解则(A2 b2)可由(A1 b1)的行向量线性表示出 想问是不是证明出A1X=0 A2X=0就可以证明出上题 为什么麻烦解答一下
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