如果f(x)在(a,b)内没有零点则结论显然成竝假设f(x)在(a,b)内有零点，任取零点x‘由于x'∈(a,b)，所以在x'点f(x)在x'点开展开为泰勒级数Σ(an)[(x-x‘)^n]（求和从0到∞）且收敛半径不为零且存在一个k，使泰勒系数ak≠0而当n＜k时的泰勒系数均为0，否则泰勒系数全为0说明f(x)在收敛域U上恒为0，选取U边界上的点x’‘若x''落在(a,b)内，由f(x)在(a,b)内每一点可展开荿泰勒级数说明在(a,b)上f(x)各阶导数存在且连续，由连续性可知在x''f（x）极其各阶导数均为0，且在x''f(x)又能展开为泰勒级数,且收敛半径大于0，在x‘’的展开级数的收敛域内同理可知f(x)≡0，重复上述过程直至收敛域边界点落在点a、b上可得f（x）在(a,b)上恒为0与题设矛盾。因此存在一个k，使泰勒系数ak≠0这说明f(x)在x’点的k阶导数不为0，f（x）可以被表为：f(x)=g(x)(x-x')^k其中

g(x)=Σ[a(n+k)][(x-x‘)^n]（求和从0到∞），易知g(x')≠0且g（x）在x’的收敛域内连续（幂級数怎么展开性质），从而在x‘的某个领域O?U内g（x’）≠0（见补充1），又当x≠x'时(x-x')^k≠0，因此在O内除x’外无f（x）的其他零点因此x‘不是f(x)零点的聚点，（根据聚点定义若x是某点集E的聚点，他的任意邻域内都应有异于它本身且属于E的点现在已证除了x’外，邻域O内无f(x)其他零點）有根据所取x‘的任意性可知f(x)的任意零点都不是f(x)零点集的聚点，再由f（x）在（ab）上连续性易知，若x‘是零点的聚点那必然f（x’）=limf（xn）=0（lim下n→∞，xn是一列趋向x‘的零点）因此，(a,b)中的任意点均非f（x）零点的聚点补充1，g（x’）≠0|g（x’）|>0,由g（x）连续性，对于?ε>0?δ，当|x-x'|<δ时，|g（x）-g（x‘）|<ε，由ε的任意性，取ε=|g(x')|/2,就有，当|x-x’|<δ时，

实际上满足这样性质的函数和复变函数论中的解析函数有类似的性质解析函数是区域内任意阶可微函数，上题反映的性质类似与解析函数的零点孤立性定理和惟一性定理