费马（也译为“费尔玛”）1601年8月17ㄖ出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店拥有相当丰厚的产业，使得费马從小生活在富裕舒适的环境中

费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费马小的时候并沒有因为家境的富裕而产生多少优越感费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格，出身穿袍贵族。多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。

费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影響直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。

17世纪的法国男子最讲究的职业是當律师，因此男子学习法律成为时髦，也使人敬羡有趣的是，法国为那些有产的而缺少资历的“准律师”尽快成为律师创造了很好的條件1523年，佛朗期瓦一世组织成立了一个专门鬻卖官爵的机关公开出售官职。这种官职鬻卖的社会现象一经产生便应时代的需要而一發不可收拾 。

鬻卖官职一方面迎合了那些富有者，使其获得官位从而提高社会地位另一方面也使政府的财政状况得以好转。因此到了17卋纪除宫廷官员和军官以外的任何官职都可以买卖了。直到今日法院的书记官、公证人、传达人等职务，仍没有完全摆脱买卖性质法国的买官特产，使许多中产阶级从中受惠费马也不例外。费马尚没有大学毕业便在博蒙·德·洛马涅买好了“律师”和“参议员”的职位。等到费马毕业返回家乡以后，他便很容易地当上了图卢兹议会的议员，时值1631年。

尽管费马从步入社会直到去世都没有失去官职洏且逐年得到提升，但是据记载费马并没有什么政绩，应付官场的能力也极普通更谈不上什么领导才能。不过费马并未因此而中断升迁。在费马任了七年地方议会议员之后升任了调查参议员，这个官职有权对行政当局进行调查和提出质疑

1642年，有一位权威人士叫勃裏斯亚斯他是最高法院顾问。勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法国大理院主要法庭这使得费马以后得到了更好的升迁机会。1646年费马升任议会首席发言人，以后还当过天主教联盟的主席等职费马的官场生涯没有什么突出政绩值得称道，不过费马从不利用职權向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开廉明赢得了人们的信任和称赞。

费马的婚姻使费马跻身于穿袍贵族的行列费马娶了他的舅表妹露伊丝·德·罗格。原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马，如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”

费马生有三女二侽，除了大女儿克拉莱出嫁之外四个子女都使费马感到体面。两个女儿当上了牧师次子当上了菲玛雷斯的副主教。尤其是长子克莱曼特·萨摩尔，他不仅继承了费马的公职，在1665年当上了律师而且还整理了费马的数学论著。如果不是费马长子积极出版费马的数学论著佷难说费马能对数学产生如此重大的影响，因为大部分论文都是在费马死后由其长子负责发表的。从这个意义上说萨摩尔也称得上是費马事业上的继承人。

费马的父亲多米尼克·费马（Dominique Fermat）是一位皮货商同时也是波蒙特－洛门地区的第二执政官。皮埃尔·德·费马的母亲克莱儿·德·隆格（Claire de Long）则出身于法官世家费玛于1601年8月出生（于8月20日在波蒙特－洛门受洗），而父母一心要栽培皮埃尔·德·费马成为地方首长。

皮埃尔·德·费马幼年在杜鲁斯求学，30岁时就任同一地的请愿委员同年与露薏丝·隆格（Louise Long）结婚，育有三子二女其中一个儿孓克雷门·山缪·费马（Clement Samuel Fermat）成了皮埃尔·德·费马科研上的主要助手，并在费马逝世后，整理出版了皮埃尔·德·费马的工作成果。事实上，这份出版品也就是今日闻名已久的费马最后定理（Fermat's.Last.Theorem）之出处。 由于家境富裕父亲特意给皮埃尔·德·费马请了两个家庭教师，不入学校而在家里接受系统教育。小时候的费马虽称不上是神童，却也相当聪明。费马父亲比较开通，并不宠爱孩子因此费尔玛学习十分努力，文科、理科都学得不差不过，皮耶·德·费马最喜欢的功课还是数学。[1]

1617年费马准备考大学，父亲希望他读法律费马也很喜欢这门学科，所以没有多大的争议就接受了父亲的安排。

费马一生身体健康只是在1652年的瘟疫中险些丧命。1665年元旦一过费马开始感到身体有变，洇此于1月10日停职第三天，费马去世费马被安葬在卡斯特雷斯公墓，后来改葬在图卢兹的家族墓地中

费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家费马可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积汾诞生的贡献仅次于艾萨克·牛顿、戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨，他还是概率论的主要创始人，以及独撑17世纪数论天地的人此外，費马对物理学也有重要贡献一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家费马。

1 史上最牛的博士论文

2 数学和数学镓费马的故事

史上最牛的博士论文--德布罗意（De Broglie）
故事发生在二十世纪初的法国 巴黎。一样的延续着千百年的灯红酒绿香榭丽舍大道上散发着繁华和暧昧，红磨坊里弥漫着 躁动与彷徨而在此时的巴黎，有一个年轻人名字叫做德布罗意（De Broglie），从他的名字当 中可以看出这昰一个贵族事实上德布罗意的父亲正是法国的一个伯爵，并且是正是一位当 权的内阁部长这样一个不愁吃不愁穿只是成天愁着如何打發时光的花花公子自然要找一 个能消耗精力的东西来磨蹭掉那些无聊的日子（其实象他这样的花花公子大约都会面临这样的问题）德布罗意则找到了一个很酷的“事业”——研究中世纪史。据说是因为中世纪史中有着很多神秘的东西吸引着这位年轻人

时间一转就到了1919，这昰一个科学界急剧动荡动着的年代就在这一年，德布罗意突 然移情别恋对物理产生了兴趣尤其是感兴趣于当时正流行的量子论。具体來说就是感兴趣于一个在当时很酷的观点：光具有粒子性这一观点早在十几年前由普朗 克提出，而后被爱因斯坦用来解释了光电效应泹即便如此，也非常不见容于物理学界各大门派德布罗意倒并不见得对这一观点的物理思 想有多了解，也许他的理解也仅仅就是理解到這个观点是在说“波就是粒子”或许是一时冲动，或许是因为年轻而摆酷德布罗意来到了一派宗师朗之万门下读研 究生。从此德布羅意走出了一道足以让让任何传奇都黯然失色的人生轨迹。

历史上德布罗意到底花了多少精力去读他的研究生也许已经很难说清事实上德布罗意 在他的5年研究生生涯中几乎是一事无成。事实上也可以想象一个此前对物理一 窍不通 的中世纪史爱好者很难真正的在物理上去莋些什么。白驹过隙般的五年转眼就过去了德布罗意开始要为他的博士论文发愁了。其实德布罗意大约只是明白普朗克爱 因斯坦那帮家夥一直在说什么波就是粒子（事实上对于普朗克大约不能用“一直”二字，此时的普朗克已经完全抛弃自己当初的量子假 设又回到了經典的就框架。）而真正其中包含的物理他能理解多少大约只有上帝清楚。

五年的尽头也就是在1924，德布罗意终于提交了自己的博士论攵他的博士论文只有一页纸多一点，不过可以猜想这一页多一点的一份论文大约已经让德布罗 意很头疼了只 可惜当时没有枪手可以雇來帮忙写博士论文。他的博士论文只是说了一个猜想既然波可以是粒子，那么反过来粒子也可以是波而进一步德布罗意提出波的波矢囷 角频率与粒子动量和能量的关系是：

动量＝普朗克常数／波矢
能量＝普朗克常数＊角频率
这就是他的论文里提出的两个公式，而这两个公式的提出也完全是因为在爱因斯坦解释光电效应的时候提出光子的动量和能量与光的参数满足这一关系可以想象这 样一个博士论文会嘚到怎样的回应。
在对论文是否通过的投票之前德布罗意的老板朗之万就事先得知论文评审委员会的六位教授中有三位已明确表态会投反对票。

本来在欧洲一个学生苦读数年都拿不到学位是件很正常的事情，时至今日的欧洲也依然如此何况德布罗意本来就是这么一个來混日子的的花花公子。然而这次偏 偏又有些不一样——德布罗意的父亲又是一位权高望众的内阁部长而德布罗意在此厮混五年最后连┅个Ph.D都没拿到，双方面子上自然也有些挂不住情急之 中，朗之万往他的一个好朋友那里寄了一封信当初的朗之万是不是碍于情面想帮德布罗意混得一个PhD已不得而知，然而事实上这 一封信却改变了科学发展的轨迹。 　

这封信的收信人是爱因斯坦信的内容大致如下：尊敬的爱因斯坦阁下： 在我这里有一位研究生，已经攻读了五年的博士学位如今即将毕业，在他提交的毕业论文中有一些新的想法……请對他的论文作出您的评价另外顺便向您提及， 该研究生的父亲是弊国的一位伯爵内阁的＊＊部长，若您……将来您来法国定会受到隆重的接待。 朗之万

在信中大约朗之万的潜台词似乎就是如果您不肯给个面子，呵呵以后就甭来法国了。不知是出于知趣呢还是出於当年自己的离经叛道而产生的惺惺相惜，爱因 斯坦很客气 回了一封信大意是该论文里有一些很新很有趣的思想云云。 此时的爱因斯坦雖不属于任何名门望派却已独步于江湖，颇有威望有了爱因斯坦的这一封信，评审委员会的几位教授也不好再多说些什么了于是，皆大欢喜

浪荡子弟德布罗意就这样“攻读”下了他的PhD。而按照当时欧洲的学术传统朗之万则将德布罗意的博士论文印成若干份分寄到叻欧洲各大学的物理 系。大约所有人都以为事情会就此了结多少年以后德布罗意那篇“很新很有趣” 博士论文也就被埋藏到了档案堆里叻。德布罗意大约也就从此以一个PhD的身份继续自己的浪荡生活但历史总是喜欢用偶然来开一些玩笑，而这种玩笑中往往也 就顺带着改变叻许多人的命运在朗之万寄出的博士论文中，有一份来到了维也纳大学

1926年初。维也纳当时在维也纳大学主持物理学术活动的教授是德拜，他收到这份博士论文后将它交给了他的组里面一位已经年届中年的讲师。这位讲师接 到的任务是在两周后seminar（学术例会）上将该博壵论讲一下这位“老”讲师大约早已适应了他现在这种不知算是平庸还是算是平静的生活，可以想象 一个已到不惑之年而仍然只在讲師的位置上晃荡的人，其学术前途自然是朦胧而晦暗 而大约也正因为这位讲师的这种地位才使得它可以获得这个任务，因为德拜将任务茭给这位讲师时的理由正是“你现在研究的问题不很重要不如给我们讲讲德布罗意的论文吧”。 这位讲师的名字叫做——薛定谔（Schrodinger）

茬接下来的两周里，薛定谔仔细的读了一下德布罗意的“博士论文”其实从内容上来讲也许根本就用不上“仔细”二字，德布罗意的这篇论文只不过一页纸多一 点通篇提出的式子也不过就两个而已，并且其原型是已经在爱因斯坦发表的论文中出现过的 然而论文里说的話却让薛定谔一头雾水，薛定谔只知道德布罗意大讲了一通“波即粒子粒子即波”，除此之外则是“两个黄鹂鸣翠柳”——不知所云 　　

两周之后，薛定谔硬着头皮把这篇论文的内容在seminar上讲了一下讲者不懂，听者自然也是云里雾里而老板德拜则做了一个客气的评价：“这个年轻人 的观点还是有些新颖的东西的，虽然显得很孩子气当然也许他需要更深入一步，比如既然提到波的概念那么总该有一個波动方程吧。” 多年以后有人问德拜是否后悔自己当初作出的这一个评论德拜自我解嘲的说“你不觉得这是一个很好的评论吗？” 并苴德拜建议薛定谔做一做这个工作，在两周以后的seminar上再讲一下

两周以后。薛定谔再次在seminar上讲解德布罗意的论文并且为德布罗意的“波”找了一个波动方程。 这个方程就是“薛定谔方程”！当然一开始德布罗意的那篇论文就已经认为是垃圾，而从垃圾产生出来的自然吔不会离垃圾太远于是没人真正把这个硬生生给德 布罗意的“波”套上的方程当一

回事，甚至还有人顺口编了一首打油诗讽刺薛定谔的方程：欧文用他的psi计算起来真灵通：但psi真正代表什么，没人能够说得清（欧文就是薛定 谔，psi是薛定谔波动方程中的一个变量） 故事的凊节好像又一次的要归于平庸了然而平庸偏偏有时候就成了奇迹的理由。大约正是薛定谔的“平庸”使得它对自己的这个波动方程的平庸有些心有不甘他 决定 再在这个方程中撞一撞运气。

上面讲到的情节放到当时的大环境中来看就好像是湖水下的一场大地震——从湖面仩看来却是风平浪静下面请允许我暂时停止对“老”讲师薛定谔的追踪，而回过 头来看一看这两年发生物理学界这个大湖表面的风浪

此前，玻尔由普朗克和爱因斯坦的理论的启发提出了著名的“三部曲”解释了氢光谱，在这十几年的发展当中由玻尔掌门的哥本哈根學派已然是量子理论界的 “少林武当”。1925玻尔的得意弟子海森堡提出了著名的矩阵力学，进一步抛弃经典概念揭示量子图像，精确地解释了许多现象已经成为哥本哈根学派的 镇门之宝——量子届的“屠龙宝刀”。不过在当时懂矩阵的物理学家没有几个所以矩阵力学嘚影响力仍然有限。事实上就是海森堡本人也并不懂“矩阵”而只是 在他的理论出炉之后哥本哈根学派的另一位弟子玻恩告诉海森堡他鼡的东西在数学中就是矩阵。

再回过头来再关注一下我们那个生活风平浪静的老讲师薛定谔在干些什么—— 我指的是在薛定谔讲解他的波動方程之后的两个星期里事实上此时的他正浸在温柔乡中——带着他的情妇在维也纳的某个滑雪场滑雪。不知道是宜人的风景还是身 边嘚温香软玉总之是冥冥之中有某种东西，给了薛定谔一个 灵感而就是这一个灵感，改变了物理学发展的轨迹 薛定谔从他的方程中得絀了玻尔的氢原子理论！

倚天一出，天下大惊从此谁也不敢再把薛定谔的波动方程当成nonsense（扯淡）了。哥本哈根学派的掌门人玻尔更是大為惊诧于是将薛定谔请到哥本哈 根，详细切磋量子之精妙然而让玻尔遗憾的是，在十天的漫长“切磋”中两个人根本都不懂对方在說些什么。在一场让两个人都疲惫不堪却又毫无结果的“哥本 哈根论剑”之后薛定谔回到了维也纳，薛定谔回到了维也纳之后仍然继续莋了一工作他证明了海森堡的矩阵力学和他的波动方程表述的量子论其实只是不同的描 述方式。从此“倚天”“屠龙”合而为一 　　

此后，薛定谔虽也试图从更基本的假设出发导出更基本的方程但终究没有成功，而不 久他也对这个失去了兴趣，转而去研究“生命是什么” 历史则继续着演义他的历史喜剧。德布罗意薛定谔都在这场喜剧中成为诺奖得主而名垂青史。

其实在这一段让人啼笑皆非的历史当中上帝还是保留了某种公正的。薛定谔得出它的 波动方程仅在海森堡的矩阵力学的的诞生一年之后倘若上帝把这个玩笑开得更大┅点， 让薛定谔在1925年之前就导出薛定谔方程那恐怕矩阵力学就根本不可能诞生了（波动方 程也就是偏微分方程的理论是为大多数物理学镓所熟悉的，而矩阵在当时则没有多少人懂）如此则此前在量子领域已辛苦奋斗了十几年的哥本哈根学派就真要吐血了！

薛定谔方程虽嘫搞出了这么一个波动方程，却并不能真正理解这个方程精髓之处而对它的方程给出了一个错误的解释——也许命中注定不该属于他的東西终究就不 会让他得到。 对薛定谔方程的正确解释是有哥本哈根学派的玻恩作出的（当然玻恩的解释也让物理界另一位大师——爱因斯坦极为震怒，至死也念念不忘“上帝不会用掷色子来 决定这个世 界的”此为后话）。更基本的量子力学方程也就是薛定谔试图获得泹终究无力企及的的基本理论，则是由 根本哈根学派的另一位少壮派弟子——狄拉克导出的而狄拉克则最终领袖群伦，建起了了量子力學的神殿

最近读到一篇网络长文，介绍了历史上一些著名数学家费马的奇闻轶事虽然这些故事对于我来说都是熟悉的，但是有人能够紦这些集中起来就显得有分量了这篇文 章在专业数学网站广为流传。不过原来的文章里面充满了英文人名和数学名词术语和历史掌故，还有一些于主题无关的段落不但使其它专业的人读起来费劲，就 连一般院校的数学系学生读起来也会感到吃力 鉴于此，本人决定尝試一下写一篇通俗易懂的文章向广大网友介绍数学历史上的牛人牛事，希望借此让大家了解数学家费马和数学的丰富多彩的内涵不过，本人知 道有些人一提到数学就头痛，所以也没有对人气抱着多大希望 本文算是东拉西扯信天游的性质，可能介绍一段有趣的故事吔许是一个大家都了解的数学问题，也不知道何时能够写完自己也没有信心能坚持到底。

一 数学的发源地：古希腊

华人中最杰出的数学镓费马陈省身最近去世了在弥留之际，他一直在说：“送我去希腊”就像麦加是伊斯兰的圣地，恒河是佛教徒心中的圣地一样数学镓费马和哲学 家心中的圣地就是希腊。古希腊群星璀璨亚里士多德，苏格拉底阿基米德这样的博学而又智慧的大家让其它民族望尘莫忣。有记载第一位哲学家和数学家费马是泰勒斯哲学是从泰勒斯开始的，他预言过一次日蚀所以我们就很幸运地能够根据这件事实来斷定他的年代；据天文学家说，这次日蚀出现于公元前585年他第一次证明了在圆上，直径所对应的圆周角是90度这也标志这几何学的诞生囷证明的开始。希腊人中能产生那么多哲学家和数学家费马几乎可以肯定的是那里的公民有辩论的自由，他们崇尚逻辑思维而不是崇尚武力

毕达哥拉斯算是希腊数学家费马中的一个杰出的人物，他创立的有理数的概念至今对于一些受过高等教育的中国人还是一个难的东覀说它难，其实不难关键是学习知识太功利，彻底搞清这个概念远远比背诵一段政治容易我上【高等数学】课时，几乎年年有人问峩：“老师学习这个有什么用？”希腊的欧几里德碰到谁问他这个问题从兜里拿出一个硬币，告诉仆人：“把这个硬币给他他问学幾何有什么用，学几何不能赚钱让他拿这个硬币走吧！”

毕达哥拉斯是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。不仅关于他的传说几乎是一堆难分难解的真理与荒诞的混合而且即使是在这些传说的最单纯最少争论的形式里，它们也向我们提供了一种最奇特的心理学怹建立了一种宗教，主要的教义是灵魂的轮回和吃豆子的罪恶性他的宗教体现为一种宗教团体，这一教团到处取得了对于国家的控制权並建立起一套圣人的统治但是未经改过自新的人渴望着吃豆子，于是就迟早都反叛起来了

毕达哥拉斯教派有一些规矩是：
2．东西落下叻，不要拣起来
7．不要吃整个的面包。
11 不要在大路上行走
12．房里不许有燕子。
13．锅从火上拿下来的时候不要把锅的印迹留在灰上，洏要把它抹掉
14．不要在光亮的旁边照镜子。
15．当你脱下睡衣的时候要把它卷起，把身上的印迹摩平

毕达哥拉斯在代数上的主张是认為数是万物之源，并且认为一切数都能写成两个自然数相除的形式毕达哥拉斯的在几何上最伟大的发现，或者是他的及门弟子的最伟大嘚发现就是关于直角三角形的命题；即直角两夹边的平方的和等于另一边的平方，即弦的平方埃及人已经知道三角形的边长若为3，45嘚话，则必有 一个直角但是第一个给出严格证明的却是毕达哥拉斯，因此这个定理也被冠以他的名字这个定理在中国被称作勾股定理，不过至今没有得到广泛的承认

然而不幸，毕达哥拉斯的定理立刻引到了不可公约数(无理数)的发现这似乎否定了他的全部哲学。他的┅个学生用毕达哥拉斯定理证明了：当正方形的边长是 1时对角线长度不能用任何两个整数相除来表示，也就是说不是有理数这刚好否萣了毕达哥拉斯关于数的存在都是有理的（rational）的想法，这个学生的发现导致了他的丧命：被教众抛进了大海这次事件被称作数学历史上嘚第一次危机，它否定了一切数都是有理数的结论直到18－19世纪，关于微积分严 格性的讨论才对第一次数学危机给出了解答

二 不懂几何鍺不许入内和阿基米德的裸奔

现在中学生学习的平面几何，都是来源于两千多年前的一本奇书：《几何原本》它是古希腊数学家费马欧幾里得的一部不朽杰作，是当时整个希腊数学方法和数学思想的结晶其内容和形式对几何学本身和数学的发展有着不可估量的影响。自咜问世之日起在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经翻译和修订的次 数更是不胜枚举自1482年第一个印刷本出版以来，至今已有┅千多种不同的版本除了《圣经》之外，没有任何著作其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比但《几何原本》却有著超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，是《圣经》所无法比拟的《几何原本》的希腊原始抄本现在已经流失了，它的所囿现代版本都是以希腊评注家泰奥恩编写的修订本为依据的《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题其内容是阐述平面几何、 立体几何及算术理论的系统化知识。

《几何原本》对于数学的影响是不可估量的它是人类历史上第一次采用公理化的体系来讨论数学。就是先假定一些命题是不加证明而认可的所有的定理 和结论都是建立在这些公理的逻辑演绎之上。至今中学生所学的平面几何和立体幾何都没有超出《几何原本》的范围因此可以说这是对人类思想影响最远的数学书。现代数学的公理化方法都是来源于欧几里德的这本書《几何原本》

古人学习几何更是困难，据说当学到‘一个等腰三角形的两个底角相等’这个定理时好多人就无论怎样都学不会了，洇此这个定理又叫‘驴子的梯子’ 指它难住了一大批人。直到现在平面几何的一些知识或者立体几何的一些定理仍然难住了一大批人，大概学习数学需要一些天赋吧因此当国王多禄米向欧几里德 讨教学习几何的捷径时，欧几里德告诉他：“在几何里面没有为国王提供的捷径。”

在数学上古希腊人提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形使其面积等于 一已知圆。这些问题的难处是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。这类问题直到近代群论的出现才嘚以得到解决，这三个问题都是不可解的

阿基米德就是学习《几何原本》的学生中最杰出的一位。他11岁便离开家乡到当时希腊文化中心嘚亚历山大城去学习《几何原本》按辈份他应该是欧几 里德的徒孙。他在数学和物理上所创造的奇迹使他成为人类历史上最杰出的科学镓一个著名的故事是：叙拉古的亥厄洛国王委托金匠造一顶纯金的皇冠，但是怀疑 里面被掺了银子当然不可能通过把皇冠割开来检验這个王冠，于是便请阿基米德鉴定一下一次当他洗澡时正在冥思苦想，这时水漫溢到盆外于是悟得不同质料 的物体，虽然重量相同泹因体积不同，排去的水也必不相等根据这一道理，就可以判断皇冠是否掺假阿基米德高兴得跳起来，赤身奔回家中口中大呼：“尤 里卡！尤里卡！”（我发现了），于是便开始在大街上裸奔起来了一直跑到家里。

他在数学上的发现创造更是数不胜数阿基米德螺線，抛物线上的弓形求面积方法含有现代积分思想求圆的面积，球的表面积和体积的公式圆周率的求 法和误差估计，等等直到现在，全世界活着的人中至少还有百分之六十的人数学知识比不上两千年前的阿基米德。

阿基米德的死也具有传奇色彩甚至可以编成一部精彩的电影。公元前212年罗马军队攻入叙拉古，并闯入阿基米德的住宅他们看见一位老人在地上埋头作几何图形，士兵们将沙盘踩坏阿基米德怒斥士兵：“不要弄坏我的图！”士兵拔出短剑，刺死了这位旷世绝伦的大科学家阿基米德竟死在愚蠢无知的罗马士兵手里。還有一个版本是他死前说的话是：“让我做完最后一道题”

关于阿基米德在数学史上的地位，美国的数学史学家E.T.贝尔在《数学人物》上昰这样评价阿基米德的：“任何一张开列有史以来三位最伟大的数学家费马的名单之中必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较 还应首推阿基米德。”

从古希腊数學到近代微积分的产生中间经历了漫长的停滞不前的年代。期间各国都产生了一些杰出数学家费马和一些成果，但是这些成果都是零煋的非本质的期间中国最引以自豪的数学家费马是祖冲之，他计算出圆周率到小数点后7位

在十七世纪中叶以后，数学知识的火山似乎茬一夜之间爆发了其中以微积分为代表的变量数学彻底改变了人们的数学思想和方法，解决了物理上提出的大 量问题并且给出了用传統方法想都不敢想的问题的解法。在微积分发现的优先权的争执上英国数学家费马和大陆数学家费马产生了严重纠纷。牛顿于是用了好哆编造的名字来‘证明’莱布尼茨的知识不是原创而是抄袭牛顿的其言辞之尖刻、辱骂之恶毒令人难以想像。莱布尼茨死后牛顿还津津乐道的向别人讲述怎样用马甲使莱布尼茨伤透了心，并沾沾自喜

这个时代，法国的贝努力（Bernoulli）家族是一个数学家费马族三代出现了┿多位杰出的数学家费马。这个家族人的脾气都不太好最奇怪的他们是开 始都不是从事数学，可是到后来全部迷上了数学父亲因为儿孓得了数学大奖，嫉妒之下竟然一脚从窗户把儿子踹到了室外

1696年，约翰.贝努力（ John Bernoulli）在《教师学报》的杂志上面提出最速降线问题公开針对他的哥哥雅克比.贝努力（Jacobi.Bernoulli）,这两个人在学术 让一直相互不忿，据说当年约翰求悬链线的方程熬了一夜就搞定了，雅克比做了一年还認为悬链线应该是抛物线实在是很没面子。那个杂志是莱布尼茨主办的 影响很大，欧洲的所有杰出数学家费马都尝试这来做这个问题到最后，Jhon收的了5份答案有他自己的，莱布尼茨的,还有一个罗必达侯爵的然后是他哥哥 Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳匿名的

这个问題陈述起来很简单，就是平面上有两个点AB，这两个点连线既不是水平也不是垂直试寻找连接这两个点的曲线，使得靠自身重力的一个尛球能 用最快时间从这点滑到那点（摩擦阻力不计）

据说当年牛顿已经从科学第一线退了下来，揽到了皇家造币厂厂长的肥缺劳累了┅天以后，回家在壁炉前看到了贝努力的题，熬夜到凌晨4点就搞定 了。贝努力看到这个匿名送来的答案说道：“我看到了狮子露出來了利爪。”在这么多解答当中约翰的应该是最漂亮的，类比了费马光学原理作了出来用光学 一下做了出来。但是从影响来说弟弟嘚做法真正体现了变分思想。这个思想是把每条曲线看作一个变量进而在每条曲线上所用时间便是曲线的函数，这就是泛 函类似于微積分求最大最小值的办法，把微积分推广到一般函数空间去这就是【变分法】。不过变分法真正成为一门理论还要属于约翰的弟子欧拉囷法国的拉格 朗日

贝努力一家在欧洲享有盛誉，有一个传说讲的是丹尼尔.贝努力（Daniel Bernoulli，他是约翰.贝努力的儿子）有一次正在做穿越全欧洲的旅行他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是丹尼尔 .贝努力”那个人当时就怒了，说：“我是还是伊萨克.牛顿呢”從此之后在很多的场合丹尼尔都深情的回忆起这一次经历，把他当作他曾经听过的最衷心的赞 扬

牛顿去世后，有人写诗赞美他：

宇宙和洎然的规律隐藏在黑夜里

贝努力家族对数学最大的贡献还不是在数学本身而是发现了欧拉。
四 数学英雄欧拉（Euler）

要问在历史上这些数学镓费马中我最佩服谁那肯定是欧拉。

欧拉小学就被开除了因为他问的问题太多，给老师太多的难堪有人说欧拉是先会算术后会说话嘚，高斯也是这样高斯一岁时就能发现父亲账本上计算的错误，不过这肯定是传说但是欧拉很小就知道等周原理：在周长固定的所有圖形，面积最大的一定是圆

大名鼎鼎的约翰.贝努力是欧拉父亲的朋友，第一次见到六岁的欧拉就被欧拉问住了：“我知道一个数6它有洇数1，23，6加起来是6的2倍； 还有一个数28，有因数12，47，1428，加起来也是28的2倍还有多少这样的数？”这类数叫做完全数还是欧拉，朂终给出了偶数完全数的表 达式那是后来的事情了。对于奇数的情形谁要是能正确证明有或者没有，现在肯定能拿到数学最高奖欧拉17岁获得了瑞士巴赛尔大学的硕士学位，欧拉太专 注数学以至于贝努力不得不规定，吃饭时间不许看书他19岁时被俄罗斯卡德琳娜女王邀请到彼得堡科学院从事研究。

欧拉解决的问题实在太多了解决问题过程中创造出的方法不知开创了多少个数学分支。欧拉因为解决著洺的七桥问题开创了拓扑学歌德巴赫猜想是因为 歌德巴赫和欧拉的通信而出名的。任何一个正整数都一定能写成不超过四个平方数之和昰欧拉最早证明的这可是将近两千年无人解决的问题。数论几何，力学 天体力学，到处留下欧拉的足迹现代数学的符号和表达式，如三角指数，eI，π等等，都是欧拉创立的。历史上第一本流行的微积分教科书也是欧拉写的 后来所有的微积分教科书，或者是抄袭歐拉的或者是抄袭抄袭欧拉的。

欧拉研究数学就像人在呼吸，鸟在飞翔一样自由和自在 欧拉早就发现了‘变分发‘，可是当他发现法国人拉格朗日也有这类思想时就把自己的藏起来不发表，把出名的机会留给年轻人

欧拉由于看书过多，年轻时就瞎了一只眼睛到59歲时，他的左眼也逐渐失明了正当他抢在完全失明前抢救资料时，一场大火烧毁了他的一切资料

欧拉大部分工作是在失明以后完成的，包括四平方定理欧拉的两个学生因为计算一个无穷级数答案不一样发生争执，失明的欧拉用心算找出了小数点后第50位的错误结果证奣这两个学生都算错了。这就是欧拉 五 业余高手（a）

在当今日益专业话的分工下，无论是竞技项目还是专业领域业余爱好者也许永远達不到专业人员的水平。就拿围棋为例每年中国的专业vs业余最高对 抗赛，尽管专业棋手让两个子可是业余棋手还是几乎全军覆没,象棋領域也大概如此。不过韩国围棋高手刘昌赫曾经是业余棋手但最后达到了专业超一流棋手的 水平。象棋全国冠军陶汉明曾经是业余棋手起家曾经取得过全国亚军的金波也是业余棋手。不过这些只是极端个别的例子

在数学发展起步时期，业余数学家费马取得了骄人的成績依我看，费尔马（Femart）应该是自古以来没有与之相比的估计今后也不会有超越他的业余 数学家费马了。费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的业余数学家费马他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员数学只不过是他的业余爱 好，只能利用闲暇来研究虽然年菦30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献费马提出了光线沿最快的路径行进的原理，进而揭示了隐藏 在光的折射萣律后面的自然界的秘密原来只有服从折射定律，才能保证光线从一点到达另一点用的时间最短费马在数论上为我们留下了大量的定悝和猜想，其中 相当一部分未给出证明挑选这些‘定理’中最有趣的两个给大家介绍一下。

费尔马猜测形如 2^(2^n)+1（这里符号‘^’表示幂，洳4^2=16）的数都是素数这类数成为费尔马数。对于n＝01，23，4经过验证果然如此。不过对 于n＝5欧拉用心算得出：2^(2^5)+1=2^32+1=641×6700417，不是素数有趣的對于其它的n，至今没发现一个费尔马数是素数

下面说说著名的‘费马大定理’：那是费马去世后，人们整理他留下的笔记发现的费马熱衷于不定方程的研究。我想能够坚持读本文的读者应该都知道勾 股定理并知道3^2+4^2=5^2，5^2＋12^2＝13^2等等，这类数叫做勾股数（国际上叫毕达哥拉斯数）这类数究竟是怎样构造出来的，古 希腊时期已经给出了完整的答案：如果x是偶数且x和y没有公因数，那么必然有有一奇一偶两个囸整数ab，使得：x＝2aby＝a^2- b^2，z=a^2+b^2其中a和b没有公因数。费尔马在阅读一本书叫做【丢番图方城】里面关于勾股数这部分时在旁边写到：把一個整数的立方写成两 个整数的立方之和，把一个整数的四次方写成两个整数的四次方之和等等，都是不可能的我已经找到了绝妙的证奣，可惜这本数旁边的空白处太少了我写不下 来。

费尔马这个没有写下来的证明不知道存在不存在可是他的这段话是坑了不少人。欧拉和高斯试图证明这个定理最后都失败了。一战之前曾经有个德国 人悬赏十万马克给第一个证明费尔马大定理的人，一时许多业余高掱都投入到这场奖金的争夺中但是没有一个证明是正确的。一战以后德国马克贬值，这笔奖金 化作一堆废纸有人问大数学家费马希爾伯特（Hilbert）为什么不试试证明这个定理，他说：“这是只下金蛋的鹅我为什么要杀掉它呢？”（意思是说这个定 理能引诱好多人从事数學研究不证明它更好。）

这个定理折磨了数学家费马整整三百年直到1993年，一个叫怀尔斯的数学家费马用难以置信的方法给出了证明1980姩怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授从1986年开始，这家伙七年时间没有发表任何论文偠是在中国他什么经费和津贴都别指望了。1993年 6月23日牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家费马聆听了这一演讲泹他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式 所表达的意思。演讲者就是是安德鲁·怀尔斯怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声，很幸运他们没有来听演讲但是听众中 有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯萣事先就准备了一瓶香槟酒当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静当我写完费马大定理的证明时，我说： ‘我想我就在这里結束’会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。”因为他证明了这个大定理不过说点题外的话，后来又发现他的证明有漏洞又折磨了他一段时间， 到1994年9月他把所有的漏洞都堵上了。这个证明后来经过精练已经缩短到130多页，最初的证明有400多页怀尔斯一下子成了传媒的宠兒和明星， 这是数学家费马少有的抛头露脸的机会大概是费尔马大定理的内容通俗易懂而证明却持续了300多年吧。

怀尔斯的故事告诉我们：中国目前高校搞急功近利的唯文章数量评价水平的作法肯定不会出现重大的研究成果。

提起业余数学家费马或者数学研究者每次都使我肃然起敬。在中国出于对数学中歌德巴赫猜想的兴趣而爱好数学的有一大批人，笔者有幸在互联网和生活中 遇见到其中的几个记嘚以前看到电视节目【东方时空】百姓故事栏目例介绍了一个业余研究歌德巴赫猜想的一位老先生，自己靠蒸馒头卖钱度日却把大部分收入 用在了歌德巴赫猜想上。虽然研究数学不用什么花销可是购买资料请教问题要外出吧，要有路费和旅途上的费用吧这些研究歌德巴赫猜想的人有共同的特点，几 乎都宣称自己证明出来了可是却无法发表在公开出版的学术刊物上，或者被别人挑出错误可是自己还不能理解在一些论坛上，经常看到有关歌德巴赫猜想的证 明有的看起来还很巧妙。比如我看到一个证明就用到了集合论中很深奥的‘良序公理’这个公理和‘选择公理’等价。他巧妙的构造一系列集合可惜他错误的理解了良序公理中‘任何集合都能被良序’，而一厢凊愿的认为良序就是一类集合的包含这些人抱着‘一夜成名’的心态的毕竟是少数，多数是出于对数学的热 爱却由于各种原因，没有機会走上专职研究数学的道路

德国数学家费马外尔斯特拉斯（Weierstrass）也算业余高手，后来走上了职业数学家费马的道路他开始是学习法律囷财经，后来在中学任教这大概 是中学数学教师中最杰出的一位了。德国是一个多出哲学家的国度德国人又以严格认真见长，外尔斯特拉斯也是一样他的品性最能体现德国人对待真理的态度 了。他最大的贡献是在微积分严格化上作出了杰出的贡献

微积分在创立初期，理论上还不够严密性无穷小变成了神秘和随心所欲被理解的量。因此
1734年英国哲学家、大主教贝克莱发表《向一个不信神的数学家费馬的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题提出了所谓贝克莱悖论。他指 出："牛顿在求x^n的导数时采取了先给x以增量０，应用二項式（x+0）^n从中减去x^n以求得增量，并除以０以求出x^n的增量与x的增量之 比然后又让０消逝，这样得出增量的最终比这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等 于零又不等于零召之即来，挥之即去这是荒谬，）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”无穷小量 究竟是不是零无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论导致了数学史上的第二次数学危机。

外耳斯特拉斯告诉我们矗观有时是靠不住甚至是完全错误的。从前人们直观上一直认为连续曲线肯定是光滑的或者大多数点都是光滑的。用在函数上 就是一矗认为连续函数是可导的，或者在多数点是可导的可是外尔斯特拉斯却举出一个反例，在每一个点都连续却有在任何点都不可导。他舉出这个函数是画不出图像的当时作为一个中学教师，的确令数学家费马们大跌了眼镜

1851年，大数学家费马高斯最得意的弟子黎曼在博士论文中提出了一个原理：狄利赫来（Dirichlet）原理，利用这个‘原理’可以美妙的解 决变分中提出的一系列问题，并且在数学物理上有着廣泛的应用按照微积分理论，狄利赫来原理应该算是理所当然成立的可是外尔斯特拉斯却说：“不加证明的 使用狄利赫来原理，是不嚴格的”黎曼也是很谦虚的，便回应到：“您说的对不过这个原理肯定是正确的，很快我就会证明出来”但是黎曼直到去世也没有證 明出来，又是这个中学教师举出了一个反例，彻底推翻了狄利赫来原理于是黎曼博士论文中的一切结果都是值得怀疑的了。

因此数學家费马卡尔.诺依曼叹息道：“如此美妙而又有广泛应用前景的原理已经永远从我们视野中消失了。”

1899年旷世奇才希尔伯特（Hilbert）用了鈈到6页纸，通过附加一个条件就消除了黎曼理论的缺陷，从而挽救了这个原理更神奇的是， 还挽救了黎曼的名声因为用这个改造的原理发现黎曼所得的其它结果又都是正确的了。

对于业余高手其实还想写好多，不过暂时停一下最后补充一点，这个中学数学教师维爾斯特拉斯还有一段传奇的故事，那就是他打破禁忌招收了女弟子，而且这个女弟子也成了著名的数学家费马要知道当时，大学数學系是禁止招收女生的因为人们认为女子先天没有数学头脑。

这真是群星闪耀的年代是数学家费马自由飞翔的年代。可惜一去不复返叻 七 天妒英才

下面要说到两个英年早逝的数学家费马，伽罗瓦和阿贝尔不过要先从一个故事说起。

凡是受过初中教育的人都知道任哬一个一元二次方程都可以用求根公式求出它的解，这大概是很久就有的公式了其中根和系数的关系被称作韦达定理， 有着广泛的应用然而三次方程和四次方程甚至更高阶方程的求解公式一直不被人们所知。在文艺复兴时期有个叫塔塔利亚的业余数学家费马首先得到叻这个公式，不过他秘而不宣这是当时搞研究的人的一个传统。可是这个消息还是在寻求公式的一些业余数学家费马之间流传着。

有┅个叫卡当的业余研究者找到了塔塔利亚恳求得到塔塔利亚的真传。这个卡当在赌博上也不是一般的赌徒是他在赌博中提出了概率的思想，他还热衷于炼金术星象学。塔塔利亚肯定被卡当打动了也许卡当常跪不起，也许甜言蜜语总之塔塔利亚告诉了他自己知道的┅些公式。卡当学到手求解公式后就离开了塔塔利亚甚至把对塔塔利亚许下的诺言抛到了九霄云外，写出了一本术名字叫做‘大术’，介绍了三次方程四次方程的求解方法于是卡当声名雀起，因为他在书中宣称这些公式是他自己发现的

两个人的争执开始了，解决争端的方法很简单来一场决斗：两人各自给对方出20道题，看谁先解出来塔塔利亚大获全胜，卡当一道题都没有解出来 因为塔塔利亚教怹时留了一招，没有把公式的一般情况告诉卡当这大概是人类历史上的第一场数学竞赛，参赛这只有两个人这个故事发生在四百多年湔。不过至今这些公式还被称作卡当公式而塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号意大利语意思是‘结结巴巴的人’嘚意思。

历史就像一条河流沉到河里的往往是金子，浮在河面上的往往是水草和马粪 三次四次方程求根公式得到了以后，人们寻求五佽和五次以上方程的求解公式可是欧拉高斯等杰出数学家费马都没有找到求解公式，成了当时数学的难题有 两个青年匆匆的来到了这個世界，又匆匆的离开了也许他们来到人世的目的就是为了给我们一些惊讶和慨叹。 尼尔斯·亨利克·阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬德的小村庄阿贝尔幸运的碰到了一个有数学头脑却无多大数学成果的老师，老师很快发现他的数学才能使得他很早就接触到了微積分。在中学的最后一年阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题。在19岁那年他证明了一般五次方程求解公式不存在，就是说不能用方程系数和开根号的有限多次运算来表示方程的根。阿贝尔认为这结果很重要便自掏腰包在当地的印刷馆印 刷他的论攵。因为贫穷为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给国内外的一些数学家费马，包括數学王子的高斯希望 能得到一些反应。可惜他的文章太简洁了没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不可能用这么短的篇幅证明这個世界著名的问题―――连他还没法子解决的问 题他看都没看一眼，就把它扔在书堆里了阿贝尔的另一篇论文是他在欧洲旅行时通过別人转交给大数学家费马柯西（Cauchy）手里，柯西连看都没看就扔到纸篓里

阿贝尔饥寒交迫的回到了挪威，还欠了一身债最后在绝望中死詓，年仅27岁他活着最大的理想是在大学里当一个讲师，可是到死都没有实现看看现在大学里教授成堆，博士成群可是这个群体再也沒有疯疯癫癫的学者，没有目光深邃的思想者没有疯狂的怪癖人物了。

伽罗瓦(Evariste Galois)1811年10月25日生于巴黎附近的一个小城1829年他两次投考巴黎综合笁科学校，却因思想激进两次被拒绝录取，最后只好进入高等师范学校学习1829年5月，17岁的他写出了关于五次方程的代数解法的论文论攵中首次引入“群”的概念。他把论文寄给经由柯西请他交给法兰西科学 院审查。柯西对此根本不屑一顾把这个中学生的文章给弄丢叻。1830年2月伽罗瓦再次将他的研究成果写成一篇详细的论文寄给科学院秘书傅立叶，不料当年5月傅立叶病死伽罗瓦的文稿再次被丢失。1831姩伽罗瓦第三次将论文送交法国科学院泊松院士看了4个月，最后在论文上批道：“完全无法理解”可惜这些大数学家费马的傲慢和自夶，使得伽罗瓦的理论被埋没了将近50年

伽罗瓦因为政治激进，被阴谋的政客们用一件小事怂恿和一个军官决斗在决斗前一个晚上，他ゑ切地写着他的遗言想在死亡来临之前尽快把他的思想中那些有意义的东西写出来。他不时中断在纸边空白处写上“我没有时间，我沒有时间”接着伽罗瓦又写下一个潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西一劳永逸地给一个折磨了数学家费马几个世紀的难题题找到了真正的答案，开创了数学上的一个重要的分支―――群论

伽罗瓦在决斗中被打成重伤，死在家里年仅21岁。

尽管阿贝爾和伽罗瓦创造的群论是纯粹的抽象代数可是却在后来量子力学中得到了很好的运用。利用对称群理论人们能够事先预测晶体的种类，群论还会出现在意想不到的地方比如玩魔方，就可以利用群论的知识

有“世界最聪明男人”之称的俄罗斯数学家费马格里戈里.佩雷爾曼说，他不接受美国克莱数学研究所提供的百万美元奖金这笔奖金本用来奖励他解出数学界7大难题之一。

佩雷尔曼年过不惑住在圣彼得堡一套公寓内。英国《每日邮报》3月23日报道佩雷尔曼紧闭家门，在屋里对门外采访的记者说：“我应有尽有”

100万美元奖金由克莱數学研究所提供，奖励佩雷尔曼证明数学界7大难题之一的“庞加莱猜想”

克莱数学研究所所长詹姆斯卡尔森在一份官方声明中说:“格里戈里.佩雷尔曼解出了‘庞加莱猜想’，从而为长达一个世纪的求解之路画上句号这是 数学史上一个重要进展，将在长时间内为人所铭记”

“庞加莱猜想”堪称百年难题，由法国科学家亨利 庞加莱于1904年提出主题是多维宇宙本质。一个世纪以来它一直困惑着数学家费马。

克莱数学研究所2000年将长期困扰数学界的7大难题定为“千禧年大奖问题”为每个难题设立100万美元奖金，“庞加莱猜想”是其中之一 2002年囷2003年，当时在圣彼得堡斯捷克洛夫数学学院任职的佩雷尔曼在互联网上发表3篇论文证明“庞加莱猜想”，因此在数学界声名鹊起

专家認为，佩雷尔曼的研究成果是拓扑学的重大突破可能在物理和其他领域上得到“激动人心”的应用，有助科学家弄清楚宇宙的形状

这巳经不是佩雷尔曼首次拒绝领奖。2006年8月他拒绝领取数学界最高荣誉 “菲尔茨奖”。四年一次的“菲尔茨奖”被誉为国际数学界的诺贝尔獎 他当时声明说：“对于金钱和名誉，我毫无兴趣我不愿意像动物园内的动物一样被展览。我不是数学领域的一个英雄我没那么成功，因此我不想让每个人盯着我 看”

此外，佩雷尔曼多次拒绝一些世界知名院校的“诱人条件”并且多年来一直躲避媒体。佩雷尔曼嘚朋友形容这名数学天才性格“内向”、“古怪”行事略显疯 癫，近年来几乎与世隔绝

邻居薇拉.彼得罗芙娜则向世人揭示了佩雷尔曼叧一古怪面。“我曾经进过他的公寓颇感震惊。屋内只有一张桌子、一个凳子和一张床床上堆着脏兮兮的被褥， 这些都是房主留下的”彼得罗芙娜说，“我们努力消灭街区的蟑螂结果那些蟑螂都躲进了他的公寓。”

1966年6月13日格里高利·佩雷尔曼出生于一个犹太家庭。因为天资聪颖，他被圣彼得堡的天才学生数学中心录取，专攻先进的数学和物理理论。 他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。
16歲时，他以优异的成绩在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌此外，他还是一名天才的小提琴家桌球打得也不错。 佩雷尔曼在著名的圣彼得堡学院就学他的专业深造是高等数学和物理程序。
1982年他参加国际数学奥林匹克竞赛并获金牌他在圣彼得堡国家大学数学囷机械系获博士学位，此後他在圣彼得堡俄罗斯科学院的 Steklov数学研究所工作
1980年代末和1990年代初佩雷尔曼到美国多所大学工作，他于1995年或1996年回箌俄罗斯并重新在Steklov研究所工作
到2002年秋为止他最多以他在比较几何方面的工作而知名。在这个方面他获得了一些可观的结果
2002年11月他在预茚本文献库（arXiv）发表了一篇文章，这是一系列文章的第一篇这些文章似乎说明佩雷尔曼证明了几何化猜想，这个 猜想的一个特殊情况就昰庞加莱猜想许多人认为，法国数学家费马亨利·庞加莱于1904年提出的庞加莱猜想是拓扑学最著名的未解决的问题许多数学家费马徒劳哋试 图证明这个问题，而在世纪之交的2000年克雷数学所斥资700万美元，悬赏解开最难的七大千禧年数学问题其中之一便是庞加莱猜想。佩雷尔曼的解题方 案在于使用Ricci流来改变理乍得·汉密尔顿的几何化方法。与直接的拓扑学方案相比这个方案似乎更可行。
2002年~2003年,他在互联网上張贴的几页简短的论文引起了数学界的震动接下来的几年里，全球许多著名数学家费马都在努力解读、验证或填 补佩雷尔曼的证明50年湔曾研究庞加莱猜想的数学家费马斯蒂芬·斯梅尔说，佩雷尔曼对这个猜想的最终证明，是数学史上的一件大事。
到2004年9月为止，数学界仍茬检查佩雷尔曼的证明他本人在一些知名的大学里讲课来解释他在预印本文献库发表的文章中的证明。至今为止这 些证明看上去是有理嘚但还未在所有的细节上被验证。
1990年代初格里高利·佩雷尔曼拒绝接受欧洲数学协会的一个奖金。
2006年8月22日，西班牙马德里当西班牙國王卡洛斯一世在3000名世界一流的数学家费马面前颁发菲尔茨奖(Fields)时，获奖者格里 戈里佩雷尔曼在巨大的荣誉面前缺席了。
2010年美国克雷数學研究所又将奖金高达100万美元的“千禧年数学大奖”授予了佩雷尔曼，在千禧年数学大奖此次揭晓之前外界一度猜测，佩雷尔曼不会得箌克雷数学所的奖赏因为该论文除了在网上张贴，佩雷尔曼一直没有将其“正式”发表在学术 期刊上而证明公布之后，他曾应邀短期赴美国麻省理工学院、普林斯顿大学等学府与同行切磋随后就销声匿迹。数学界眼下最为好奇的是佩雷尔曼是否会去领 取这100万美元的獎金。

喜欢数学和不喜欢数学的人们
了 解数学家费马和不了解数学家费马的人们

这是我在北大未名bbs连载的66篇文章讲的是数学家费马们的故事。从第一次发文到现在已经 将近三个月。在davibaby的帮助下把这些东西编成这么一个小册子，和bbs上的版本相比这里的错别字要明显的尐了，很多数学家费马的名字后面还加了 中文的译名不过，我还是想尽量保留bbs上的风格从一开始的发信日期到最后的签名档，都作了保留希望大家喜欢。

一是你泛着倦意淡淡的笑容

这是一个生产数学家费马和物理学家的部落有着十几 位优秀的科学家都拥有这个令人驕傲的姓氏。
John Bernoulli（约翰.贝努利）在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出公开挑战主要是针对他的哥哥 Jacobi.Bernoulli（加可比.贝努利）, 这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年John求悬链线的方程熬了一夜就搞定了，Jacobi做了一年还认为悬链线应该是抛物线实在是很没媔子。那 个杂志好像是Leibniz搞得很牛，欧洲的牛人们都来做这个东西到最后，John收的了5份答案有他自己的，Leibniz的,还有一个 L.Hospital（洛比塔）侯爵的（我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好像是他雇人做的是个有钱人）然后是他哥哥Jacobi的，最后一 份是盖着英国邮戳的必然是Newton（牛顿）的，John自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子．”据说当年Newton从造币厂回去看到了 Bernoulli的题，感觉浑身不爽熬夜到凌晨4点，就搞定了这么多解答当中，John的应该是最漂亮的类比了Fermat（费马）原理，用光学 一下做了出来但是从影响来说，Jacobi的做法真正体现了变分思想
Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说讲的是 Daniel Bernoulli（他是John Bernoulli的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoullis。"那个人当时僦怒了说：“我是还是Issac Newton呢。”Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历把此当作他曾经听过的最衷心的赞扬。

John 和 Jacobi这两个Bernoulli家族的囚都算不出来自然数倒数的平方和这个级数，Euler从他老师John那里知道的并且给出了π2/6这个 正确的答案。Euler（欧拉）是他那个时代最伟大的数學家费马

法国有一个很著名的哲学家，叫做Denis Diderot中文的名字叫做狄德罗，是个无神论者这个让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请Euler来教育一丅Diderot其实Euler本来是弄 神学的，他老爸就是的后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲，才让Euler做数学了Euler邀请Diderot来了皇宫，他这次的工作是 证明上帝的存茬性然后，在众人面前说：“先生( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；请回答!”Diderot自然不懂代数，于是被羞辱显然他面对的是欧洲最伟大的数学家费马，怹不得不离开圣彼得堡回到了巴黎……

证明是一个偶像，数学家费马在这个偶像前折磨自己

一次拓扑课，Minkowski（闵可夫斯基）向学生们自負的宣称：“这个定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家费马在这上面花过时间下面我就来证明它……”于是 Minkowski开始拿起粉笔。这节课结束的时候没有证完，到下一次课的时候Minkowski继续证明，一直几个星期过去了……一个阴霾的早 上Minkowski跨入教室，那时候恰好一道闪电划过长空，雷声震耳Minkowski很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的……”
1942年的时候Lefschetz（莱夫谢茨）去Harvard做了個报告，Birkhoff （伯克霍夫）是他的好朋友讲座结束之后，就问他最近在Princeton有没有什么有意思的东西Lefschetz说有一个人刚刚证明了四色猜想。 Birkhoff严重的鈈相信说要是这是真的，就用手和膝盖直接爬到Princeton的Fine Hall去，Fine

从实用的观点来判断我的数学生涯的价值等于零。

Lev Landau（朗道）这位俄国最伟大嘚物理学家惊叹道：“为什么素数要相加呢素数是用来相乘而不是相加的。”据说这是Landau看了 Goldbach（哥德巴赫）猜想之后的感觉术业有专攻吖......

Graham说：“我知道一数论学家，他仅在素数的日子和妻子同房：在月初这是挺不错的，23，57；但是到月终的日子就显的难过了，先是素數变稀19，23然后是一个大的间隙，一下子就蹦到了 29……”

由于Fermat大定理的名声，在New York的地铁车站出现了乱涂在墙上的话： xn + yn = zn 没有解,对此我已經发现了一种真正美妙的证明可惜我现在没时间写出来，因为我的火车正在开来
Hilbert（希尔伯特）曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann（黎曼）猜想尽管其中有个无法挽回的错误，Hilbert还是被深深的吸引了第二年，这个学生不知道怎么回事就死 了Hilbert要求在葬礼上做一个演說。那天风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收Hilbert开始致词，首先指出这样的天才这么早离开我们实 在是痛惜呀，众人同感哭得越來越凶。接下来Hilbert说，尽管这个人的证明有错但是如果按照这条路走，应该有可能证明Riemann猜想再接下来，Hilbert继续热烈的冒雨讲道：“事实仩让我们考虑一个单变量的复函数.....”众人皆倒。

Wolfskehl（沃尔夫凯勒）,大学读过数学痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他被无数佽被拒绝感到无所依靠，于是定下了自杀的日子决定在午夜钟声响起的时候，告别这个世界再也不理会尘世间的事。Wolfskehl在剩下的日子裏依然努力的工作当然不是数学，而是一些商业的东西最后一天，他写了遗嘱并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较高的缘故在午夜之前，他就搞定了所有的事情剩下的几个小时，他就跑到了图书馆 随便翻起了数学书。很快,被Kummer解释Cauchy等前人做Fermat大定理為什么不行的一篇论文吸引住了那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家费马最后的时刻阅读Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug，一直到黎明的时候他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止于是一切皆成烟 云……这样他重新立了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖讲给第一个證明Fermat定理的人10万马克……,这就是Wolfskehl奖的来历。

Gottingen市政厅底层的墙上直言不讳的镌刻着：

1854 年Riemann（黎曼）为了在Gottingen（哥廷根，这是二战之前数学和物悝的中心德国著名的学府）获得一个讲师的席位，发表了他划时代的关于几何学 的演说由于当时听这个演说的人很多是学校里的行政官员，对于数学根本就不懂Riemann在演说中仅仅只用了一个数学公式。Weber（韦伯）的回忆 说当演说结束后，Gauss（高斯）怀着少见的表情激动地称贊Riemann的想法如果读读Riemann的讲稿，就会发现那几乎就是哲学尽管这样 子，当时的观众中只有一个人可以理解Riemann,那就是Gauss而整个数学界,为了完善消化Riemann的这些想法，却花了将近100年的时 间
有人说Riemann的著作，更接近于哲学而不是数学甚至在一开始，欧洲的很多数学家费马认为Riemann的东西是┅种家庭出版物更接近物理学家的看法，与数学家费马没有关系一次，Helmholz（霍姆霍兹）和Weiestrass（外而斯特拉斯）一起外出度假Weiestrass随身带了一篇Riemann的博士论文，以便能在一个山清水秀的环境里静静地研究这篇他认为是复杂又宏伟的工作但是Helmholz大惑不解，他认为Riemann的文章再明白不过叻，为什么Weiestrass作为数学家费马要这么花功夫呢

Klein（克莱茵）上了年纪之 后，在Gottingen的地位几乎就和神一般大家对之敬畏有加。那里流行一个关於Klein的笑话说Gottingen有两种数学家费马，一种数学家费马做他们自己要做但不是Klein要他们做的事；另一类数学家费马做Klein要做但不是他们自己要做的倳这样Klein不属于第一类，也不属于第二类于是 Klein不是数学家费马。
Wiener（维娜）去Gottingen拜访这位老人家他在门口见到女管家时，问道教授先生在麼女管家训斥道，枢密官先生在家一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数学家费马在英国科学界的地位，譬如说NewtonWiener見到Klein的时候，感 觉就像去拜佛后者高高在上，Wiener的描述是“对他而言时间已经变的不再有任何意义”

还有一个故事，当初王诗宬老师请叻一个法国的拓扑学家来北大做报告他讲的东西和双曲几何有些关系，半路上突然讲到了Klein和Poincare（庞卡莱）的故事，说是Klein和Poincare都在研究自守函数什么的对于2维的情况，Poincare把自己的结果用Fuchs（富克斯）的名字来命名因为这个人的东西他曾经看过，并且有很大的影响Klein感到特别的鈈爽，他也得到了这样的结果然而Fuchs本人对此却一无所知如此冠名，他自然觉得很不妥后来，他和Poincare分别做3维的情况无奈自己不是Poincare那样嘚天才，用功过度体力不支，身体都垮了从此结束了自 己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这么东西于是把3维自己得到的群命名为Klein群。
当时王老师也特别想讲这个故事自己踌躇了半天，后来说这个东西是法国人很有面子的一件事情还是让这个法国人讲了。

开始讲D.Hilbert（希尔伯特）吧
David Hilbert并不是Gottingen毕业的。19世纪80年代Berlin大学的博士论文答辩，需要2名学生作为对手他们向你不停的发问。 Hilbert的一个对手是Emil Wiechert(埃米尔.魏恰特),后来是最著名的地震学家那时候，德国（也许叫做普鲁士）的大学教授特别少Berlin只有3名数学教授，一般的大学至多2个
Hilbert的博士宣誓儀式，校长主持：“我庄严的要你回答宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证：你将勇敢的去捍卫真正的科学，将其开拓为之添彩；既不为厚禄所驱，也不为虚名所赶只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大”很想知道现在北大的授予博士仪式是不是吔有类似的话。
Hilbert上了年纪的时候一次听到一群年轻人正在谈论一个他知道的数学家费马。那时候Minkowski这些他很熟的人，有很多都已经故去他特别关心正在被谈论的这个人，当大家说完这个人有几个孩子之类的事情之后他就问说：“他还‘存在’么……”

一次在Hilbert的讨论班仩，一个年轻人报告其中用了一个很漂亮的定理，Hilbert说:“这真是一个妙不可言（wunderbaschon）的定 理呀,是谁发现的”那个年轻人茫然的站了很久，對Hilbert说：“是你……”

Gottingen广为流传的一个关于 Minkowski的故事说是他在街上散步，发现一个年轻人正在默默想着某个很重要的问题于是Minkowski轻轻地拍拍怹的肩膀，告诉他“收敛是 肯定的”年轻人感激而笑。

H.Weyl（外尔）刚去Gottingen的时候,被拒之”圈”外所谓的圈，是指 Toeplitz, Schmidt, Hecke和Haar（哈尔）等一群年轻人大家一起谈论数学物理，很有贵族的感觉一次，大家在等待Hilbert来上课Toeplitz指着远处的 Weyl说：“看那边的那个家伙，他就是Weyl先生他也是那种栲虑数学的人。”就这样子Weyl就不属于“圈”这个集合了。这个故事是 Courant讲的Haar当时是Hilbert的助手，Gottingen当时的人们无一不认为他将是那种不朽的数學家费马但是事实证明，Weyl的伟 大无人能比尽管Haar在测度论上贡献突出，但是Courant还是说他和Weyl“根本没法相比”

von Karman（冯.卡门）通过Haar的介绍来到Gottingen,等到Haar去了匈牙利之后，他很快成为“圈”内的领袖圈外人Weyl再一次证明了他的优秀，他和von Karman同时爱上了才貌双全的一个女孩并且展开了一場竞争。最终圈内人都感到特别的沮丧因为那个女孩子选择了Weyl。

Gottingen 讲得太多了吧先停几次，说些别的然后再讲。
先介绍一个人L.V.Ahlfors（阿爾夫斯）, 和另一个美国的数学家费马共同分享了第一届的Feilds奖。Fields奖就相当于数学中的Nobel奖我知道他的一部分工作，就是展示给大家复分析和雙 曲几何之间的深刻联系把曲率之类的几何概念引入了复分析，给出了Schwarz引理的几何上的漂亮解释他还在共形映射，Riemann曲面领域都有非凡貢献
下面是一个很传奇的事情，希望那些认为数学“没有用”的看看数学家费马是如何认为数学有用的
L.V.Ahlfors说这些话的 时候，正是二战受葑锁的时候“Feilds奖章给了我一个很实在的好处，当被允许从芬兰去瑞典的时候我想搭火车去见一下我的妻子，可是身上只有10元钱我翻絀了Fields奖章，把它拿到当铺当了（！！！！）从而有了足够的路费 …… 我确信那是唯一一个在当铺呆过的Feilds奖章……”

再讲几个小事情都是蠻有意思的那种。明天继续Gottingen
这一个是因果循环的。Hilbert写的第一篇关于Dirichlet（狄利克雷）原理的文 章希望Fredholm（弗莱德霍姆）能够欣赏，但是Fredholm根本僦没看；F.Riesz写了很多文章希望Hilbert能够欣赏，但是 Hilbert根本就没看；M.Riesz写了很多文章希望F.Riesz能够欣赏，但是F.Riesz根本就没看……
再来一个苏联大牛的 39年嘚时候，Kolmogorov（柯尔莫果洛夫）决定在冰水中游泳结果以住院告终，医生一致认为他差点死掉；但是70岁的时候，他突然决定到莫斯 科河里遊泳仍然是冰水，这一次却没有事情

开始讲一下Edmund Landau（艾德蒙.朗道，另一个著名的朗道是俄国的物理学家）的故事 E.Landau是后来的Gottingen的数学系系主任，此人不仅解析数论超强而且超级有钱。曾有人问他怎么能在Gottingen找到他的住处 他很轻描淡写的说：“这个没有任何困难，它是城里朂好的那座房子”
年的数学系主任就是Edmund Landau了。Landau的工作习惯很奇怪用6个小时工作，6个小时休息如此交替。他收到过无穷多关于证明了Fermat大萣理的信件后来实在没有精力处理，就印了一批卡片样子大概是这个样子的

尽管有很多的稿件都退了，据说剩下的还有3米多高

E.Landau是比較自大的那种人，根本看不起物理化学包括应用数学,他把任何和数学的应用有关的东西贬为“润滑油”。一次Steinhaus（斯坦豪斯）的博士考试需要一个天文学家的提问 Landau似乎很关心，就问Steinhaus都被问了什么问题当他知道是有关三体问题的微分方程的时候，大声的说：“啊如此说來，他知道这个……”
A.Rosenthal曾经和Landau住一个房间一天，Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年的 Dedekind（戴德金）和他絮叨了一下午的废话Dedekind狠狠地抱怨当年Guass（高斯）對他不公平，在他的博士学位考试时问了一些特别难的问题。

两个间接的和Gottingen的人有关系的事情Dehn（戴恩）是Hilbert最得意的弟子之一曾经率先解决了一个Hilbert问题。
Max Dehn离开Gottingen躲避纳粹追捕的时候经过苏联，换火车的时候在海参崴逗留了一阵，闲来无事去了当地的图书馆这里的数学書仅仅占一个架 子，全部都是Springer-Verlag的黄皮书Springer-Verlag应该说是对数学物理的传播发展推动最大的出版社了。
Poincare（庞 卡莱）也曾去Gottingen演讲顺便攻击了一下Cantor（康托）的集合论，Zermelo（策梅罗）当时恰好证明了每个集合都可以良序 化Poincare演讲的时候他恰好坐在靠近Poincare脚边的位子上，然而Poincare并不认识Zermelo他大喊道：“Zermelo 那个几乎独创的证明也应该彻底的毁掉，扔到窗外去！”Zermelo本来就性情古怪暴躁那天更是绝望盛怒。Courant（柯朗）甚至认为 Zermelo一定会在那天吃正餐的时候杀死Poincare

Caratheodory是希腊的一个富人子弟，后来在测度等 很多方面有着重要的贡献北大图书馆还有他的一本讲复变函数的书，非瑺的几何化特别优美。他当初是一个工程师26岁突然放弃了这样一个有前途的职业来 学习数学，众人很不理解他说：“通过不受束缚嘚专心的数学研究，我的生活会变得更有意义我无法抗拒这样的诱惑。”他选择的学校是Gottingen.
W.F.Osgood（奥斯古德）是原来Harvard的数学教授来中国讲过課，我这里还有他在中国的讲稿他也是Gottingen毕业 的，娶了一德国姑娘在美国保持着德国的传统。大概是在Gottingen受的影响太大Osgood做事都模仿F.Klein。他留着欧洲式的头发抽 烟的时候不停的用小刀戳雪茄，一直抽到发苦的烟蒂头

从明天开始，再也不能说Gottingen了
由于纳粹对犹太人 采取的政筞，很多数学家费马都离开了Gottingen一次纳粹的教育部长问Hilbert，Gottingen的数学现在怎么样了Hilbert 说：“Gottingen的数学，确实这儿什么都没有了。”Gottingen从那时开始┅蹶不振
这一个几乎和Gottingen没有什么 关系，很多数学家费马都是这个样子开始的时候自己的工作得不到承认，譬如说S.Lie当初的李群Cantor当初的集合论，等等
Grassmann（格 拉斯曼）最初是一个预科学校的教员，尽管那个时候他就做出了反交换代数这一大堆重要的东西，但是那个时代数學家费马从来不曾重视他的成果 Grassmann自己不得不放弃数学这个没有前途的职业，花了不少功夫在印度的梵文上把一个叫做Rig-Veda的印度古经译成叻德文。所以 Grassmann在当时的语言界受到了更多的尊重
在Gottingen的图书馆里有一本Grassmann写的维数论，标题页上面用铅笔写 着Minkowski的名字序言后的脚注是：“書付印时作者已去世。”Minkowski用几行字清楚的表达了Grassmann的成就：“新版本将比三十多年前收到更多的尊重。”

关于这个宇宙最让人难以理解的哋方就是她竟然是可以被理解的

开始讲述Einstein（爱因斯坦）和他的广义相对论，作为从Gottingen的故事到其他故事的一个过 渡选一句永远让我心驰鉮往的话。
Einstein构思广义相对论的时候尽管他的数学家费马朋友教了他很多Riemann几何，他的数学还是不尽如人意后来，他去过一次Gottingen,给Hilbert等很多数學家费马做过几次报告他走不久，Hilbert就算出来了那个著名的场方程Hilbert的数学当然比Einstein好很多。不久Einstein也得出来了，有人建议Hilbert考虑这个东西的署名权问 题Hilbert很坦诚地说：“Gottingen马路上的每一个孩子，都比Einstein更懂得四维几何但是，尽管如此发明相对论的仍然是 Einstein而不是数学家费马。”

這篇文章是连载的第21篇献给欧的室友mashimaro。他刚刚在这个世界上混迹了21个 年头今天是他的22岁生日。祝愿他和fayejay两个人永远快乐开心

说两个聽来的故事，讲的是这个世界上最漂亮的一套理论 ------广义相对论
据说，Einstein的场方程的第一个球对称的解也就是Schwarzschild（施瓦茨查尔德）解，是同洺的 这个人在一战的战壕里给出的。Schwarzschild是Gottingen的天文学的教授
Edditngton（艾丁顿）是一个伟大的 天文物理学家，下面这个故事是讲他如何吹牛的Albert Einstein的廣义相对论发表没有多久，有记者去采访Eddington, 说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论不知这三个人都是谁？Eddington低头沉思很久没有回答。那个记者忍不住又问了一 遍Eddington说：“我正在想谁是第三个人……”

谢谢那些每天都来读我的文章的人，这篇送给我自己了希望那些伟夶的人 们在天有灵保佑我吧。
这个故事是一个gg告诉我的：-）还是讲Einstein，不过没有提到很地道的数学家费马
似乎每一个伟大的人物 都以和Einstein茭谈过感到无比的光荣。杨振宁提到他当初见Einstein的时候过于激动，以至于事后根本不知道自己说过什么Einstein 又说过什么Lev Landau，苏联最伟大的那个粅理学家就说自己当年参加某会议的时候，有幸和Einstein说过几句话而有某个认识Landau的人说 Landau纯属幻想，当时此人和Landau一起坐在那次开会的大厅嘚最后几排，连听都听不清根本不可能谈话。可见Landau对Einstein 的景仰程度
不过另一个版本说Landau在下面指出了爱因斯坦犯了一个错误，Einstein说他不需要聽他的演讲了这是一位英国物理学家 后来回忆当时的情景，Je vous remercie, 由于你的存在更多的光明照在了神州大地。

讲几个Einstein和 数学家费马的事情
Einstein描述广义相对论用的数学就是弯曲空间上的几何学，意大利的数学家费马Levi-Civita在这种几何学上做出了突 出的贡献所以，有人问Einstein他最喜欢意大利的什么,他回答是意大利的细条实心面和Levi-Civita
Einstein是 Minkowski的学生，旷了无穷多的课至于多年以后，Minkowski知道了Einstein的理论的时候感叹道：“噢，Einstein,总 是不来仩课——我真的想不到他能有这样的作为”
一次，P.Halmos（哈尔莫斯）和妻子遇到了Einstein和他的助 手Einstein很想知道“她”是谁，助手就说是Halmos的妻子嘫后Einstein又问Halmos是谁……Halmos最没有面子的一次。

开 始写毕业论文了先写一个和论文有关系的东东。

A.Coble是上个世纪美国的院士做代数几何，一度很囿影响据称，他有无穷多个博士论文的题 目：当你证明了一个2维的情况的时候他叫下一个博士生去证明3维的情况，然后叫下下个博士苼去做4维的后来有个叫Gerald Huff的博士，不但做了5维的情况而且对一般的n也解决了。这就让Coble的未来的无穷个博士无所事事了Coble很怒。

讲完了Einstein, 继續John von Neumann (冯.诺伊曼)应该是符合道理的这个造计算机的数学家费马。 当我们每次用电脑Game的时候,就应该对Neumann示以最崇高的敬意
Neumann的就业态度。von Neumann移居美國的动机很有特别的地方。他用了一种自己认为合理的方法发现在德国将来的3年中，教授的职位的期望值是3而候补的人数期望为 40，這是一个不理想的就业前景所以到美国去势在必行。这就是他的根据此时并没有涉及到政治的形势。

继续冯.诺伊曼的表演
von Neumann曾经碰到別人问他一个估计中国小学生都很熟的问题，就是两个人相向而行中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后狗走了多少的这种。应該 先求出相遇的时间再乘狗的速度。如果没有什么记错的话小时候听说过苏步青先生在德国的一个什么公共汽车上，就有人问他这个問题他老人家当然不会感到 有什么困难了。von Neumann也是瞬间给出了答案提问的人很失望，说你以前一定听说过这个诀窍吧他指的是上面的這个做法。von Neumann说：“什么诀窍我所做的就是把狗每次跑的都算出来，然后算出那个无穷的级数……”
Banach（巴拿赫波兰天才数学家费马）在 1927姩参加一个数学聚会的时候，他伙同众多数学家费马一起用伏特加灌Neumann，最终Neumann不胜酒力去了厕所，估计是呕吐但是 Bananch回忆道，当他回来繼续讨论数学的时候丝毫没有打断他的思路。

最后两个关于冯.诺伊曼的故事,祝大家五一节愉快
von Nuemann的年纪比Ulam（乌拉姆）要大一些不过两个囚是最好的朋友，经常在一起谈论女人包括他们坐船旅行，除了数学之外就是旁边的美女，每 次Nuemann就会评论道：“她们并非完美的”怹们一次在一个咖啡馆里吃东西，一个女士优雅地走过Neumann认出她来，并和她交谈了几句他告 诉Ulam这是他的一位老朋友，刚离婚Ulam就问：“伱干吗不娶她？”后来他们两个结了婚。
一次Princeton举行的物理演讲演讲 者拿出一个幻灯片，上面极为分散的排列着一些实验数据并且他試图说明这些数据在一条曲线上。von Neumann大概很不感兴趣低声抱怨道：“至少它们是在同一个平面上。”

五一节休息一下,每天贴一个
数学有害健康，大家过节了还是不要看书的好
下面是历史上最天才的几个数学家费马在这个时间轴上存在的长度：

数学家费马是天生的，不是慥就的

de Moivre （棣莫佛）21岁的时候，已经靠教数学为生并且深信自己完全精通了这门学问。一个偶然的机会他在一个公爵家里做客，刚好Newton送来了自己的《原 理》他信手翻了一下，惊奇的发现数学竟然是如此精深如此美丽的一门学问。这样他买下了这本书，尽管为了教學需要四处奔波他还要撕下书页，以便能够 带在口袋里空闲时进行研究。
de Moivre有个定理好像我们中学的课本里就有说的是一个复数n次方嘚事情。

来 说一个古老一点的人物
Pascal（帕斯卡）据说14岁的时候就已经出席了法国高级数学家费马的聚会，18岁发明了一台计算机是现在计算机的始 祖。尽管如此Pascal成年之后最终致力于神学，他认为上帝对他的安排之中不包含数学所以完全的放弃了数学。35岁的时候Pascal牙疼，鈈得 不思考一点数学问题来打发时间不知不觉间，竟然疼痛全无于是，Pascal认为这是上天的安排所以继续开始做数学家费马。Pascal这次复出嘚时间不 到一周但是已经发现旋轮线的最基本的一些性质。尔后他继续研究神学。
神学也是Newton最终的选择

Kolmogorov(柯 尔莫戈洛夫)是苏联最伟大嘚数学家费马之一，在很多很多的领域做出了开创性的工作；Cauchy(柯西)就不用介绍了从中学开始我们就认识这个法国人了。今 天我们就来说這两个姓柯的牛人
Kolmogorov关于数学天赋的见解。当然很大程度上我认为他想通过这段论述来吹嘘一下，要知道后面那个 亚历山大罗夫是很伟夶的一个数学家费马柯牛人认为，一个人作为普通人的发展阶段终止的越早这个人的数学天赋就越高。“我们最天才的数学家费马茬四五岁的时 候，就终止了一半才能的发展了那正是人成长中热衷于割断昆虫的腿和翅膀的时期。”Kolmogorov认为自己13岁才终止了普通人的发展开始成长为 数学家费马；而Aleksandrov（亚历山大罗夫）是16岁。
Lagrange（拉格朗日）曾经预见了Cauchy的天才苦心的告诫 Cauchy的父亲，一定不要让Cauchy在十七岁之前接觸任何数学书籍这个巨象当年某些人不让张无忌学武功。
（好像有点不恰当……）

说 几个数学家费马作为教师的生涯吧大部分出名的囚物讲课都不是太出色，或者说偶尔会很失败譬如说 Newton 当初就经常对着空空的讲堂，他讲东西第一不是太清楚第二太难，所以Cambridge的学生没囿人喜欢他的课
从一些大家不是太熟悉的人讲 起。
Mondelbrolt（孟得尔布罗特）是靠着画分形出名的其实他的叔叔，Mandelbrojt（孟得尔布罗特）是个更为絀色的数学 家曾经是Bourbaki最早的几个成员。他做学生的时候大老远从波兰到法国读数学，去了之后精神上受到了严重的伤害因为他选了Goursat嘚分 析课，然而Goursat上课永远用一种语气讲述二三十年前就有的旧东西，听了三周左右的课Mandelbrojt感觉和自己梦想当中的课差的太远， 竟然哭了絀来不过，几年后Bernstein来到巴黎，安慰Mandelbrojt说Goursat二十多年前就这么讲课不过Goursat对人是 很热情的。
遥想当年Mandelbrojt那求知的感情是多么的纯真。那种东覀似乎已经再也不属于我们这个时代。

还 是有的数学家费马讲课不错的
Lebesgue（勒贝格）尽管开始研究的东西很奇怪，不过他的讲课确实出渏的受欢迎; Picard（毕卡）则是个古怪高傲的人他的老丈人是Hermite,两个人都是对分析很感兴趣。
和Lebesgue一起是一件很开心的 事。据说Lebesgue的课，总是有無穷的人去听课的大部分人因为Lebesgue讲课不但深刻，而且很有意思一次，一个国外的学者来法国报告自 己的工作Lebesgue说你不用报告了，我替伱报告吧
Picard总给人一种高不可攀的感觉，令人不敢接近每次Picard上课的时候， 前面有一个戴有银链子的校役引路他高傲的踱入教室，在椅孓上放有一杯水Picard先喝一口水，然后开始讲课大约半个小时，他再喝一口水一个小时 以后，那个银链子校役就会来请他下课

Lindemann（林德曼），也就是证明了π的超越性的人,据说是历史上讲课最烂的几个 人之一 此处收集他的故事两则，一个是说他讲课一个回忆了一下他茬巴黎求学的两件小事，还是蛮可爱的
传说中Lindemann讲课大部分 时间根本就听不清，听清的话都是不可理解的听不懂的话而少数情况下，他講的话又清楚又听的懂那就是错话。
Lindemann到巴黎学习的时 候听过Bertrand和Jordan的课，当时学数学的人太少尽管Jordan在法国算是领袖级的数学家费马，听怹的课的人只有3个偶尔会达到4个， 其中却有一人是因为教室里暖和
Lindemann还曾拜访过Hermite,让他难忘的一件事，那里有一把椅子是当年Jacobi坐过的。

優 秀的数学家费马在定理或理论之间看到了类似
卓越的数学家费马则从类似中间看到了类似。

毋庸置疑Lefschetz 和Wiener都是这种可以从相似之间看箌相似的数学家费马,不过他们的讲课技巧实在是不能让人恭维。 Rota曾讲了一个Lefschetz的故事关于他的课是如何难懂，因为他经常语无伦次这是幾何课的开场白：“一个Riemann曲面是一定形式的 Hausdroff空间。你们知道Hausdroff空间是什么吧它也是紧的，好了我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是什么现在让我给你们讲 一个不那么平凡的定理--Riemann-Roch定理。”要知道第一节Riemann曲面的课如果这样进行的话恐怕Riemann复生也未必可以听 懂。：-）
Wiener盡管是个天才却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来一定要写一大堆积分符号有一个关于他和中文 的事情，Wiener忝真的认为自己懂一种汉语一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会但是服务员却根本不知道他讲的是汉语。最后Wiener不得不 评论：“怹必须离开这里，他不会说北京话……”
下一次说一些法国数学家费马的事情。

无 论你对他们说什么
他们把他翻译成自己的语言，
于昰就成了全然不同的东西

法国的数学家费马就可想而知了。从最天 才的人谈起他就是群的创始人。
Galois（伽罗华）一共参加了2次Ecole Polytechnique的考试苐一次，由于口试的时候不愿意做解释并且显得无理，结果被拒了他当时大概十七八岁，年轻气盛大部分东西的论证都 是马马虎虎，一般懒的写清楚,并且拒绝采取考官给的建议第二次参加Polytechnique的考试，他口试的时候逻辑上的跳跃使考官Dinet感到 困惑，后来Galois感觉很不好一怒之下，把黑板擦掷向Dinet,并且直接命中Galios的天才是不可否认的，不过rp是少一点了后者在 Polytechnique考试中很重要。最后和Galois决斗的那个人是当时法国朂好的枪手，Galois的勇气令人钦佩两个人决斗的时候，相距 25步Galois被击中了腹部。

1856年的时候Hermite（赫尔米特）患了严重的天花，病好之后经过Cauchy（柯西）大 力怂恿，竟然皈依了罗马的天主教就在这个期间，他和德国的Fuchs（富克斯）一直通信联系于是，Klein说Hermite“在气质上不是一个领袖 囚物”当然，Klein如此的评论有些个人恩怨的成分可以参见这个系列文章第九。
在一次国王接见Cauchy的时候他有五次回答国王的问题 时都这樣说：“我预料陛下将问我这个问题，所以我准备好了答案”然后，他从口袋里拿出笔记本照本宣读。

法语是一种恐怖的语 言Birkhoff是上個世纪初美国最著名的数学家费马之一，一个西方人学习法语按照常理说应当有一定的优势，不过当他老人家去了法国的时候还是遇箌了 麻烦。
Hadamard曾在法国主持讨论班有很多人慕名而来，Birkhoff就这样子来到了法国不过他的法语实在太差。那几天巴黎一直 下雨，一天Birkhoff见到叻Mandelbrojt问：“一周......几次”大概中间的词他不会发音。Mandelbrojt说：“两次” “什么，两次” “是呀，礼拜二和礼拜五”“怎么可能呢？”“下午三点半开始五点之前就结束了。”“这个绝对不可能！！！”这个时候Birkhoff已经快疯了
后 来Mandelbrojt才知道原来Birkhoff问的不是讨论班的时间，而是什麼时候下雨

所有的数学家费马生活在两个不同的世界里。
一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世界一座冰宫。
但他们还生活在普通世界里事物因其发展或转瞬即逝，或模糊不 清

数学家费马们穿梭于这两个世界，
在透明的世界里他们是成人，
在现实的世界里他们则成了婴儿。 S.Cappel

说 3个可爱的法国学家爷爷当年的事情,一个是Hadamard（哈达玛）最出色的法国数学家费马之一，无论在几何分析哪个方面，都是经常那种用名字来修饰 “定理”这个词的人；一个是Lebesgue（勒贝格）,实变函数论的创始之人其对数学的贡献不言而明；还有一个叫做Montel（蒙特尔）,相对于前 两个人不是那么出名，不过在复分析当中有一个极其重要的概念叫做Montel正规族，就是用他的名字命名的
这三个人都昰巴黎高等师范学校毕 业的（不好意思，要么Hadamard就是从Ecloe Polytechnique毕业的）Hadamard是他们那一届的第二名，一生都对那个第一名不忿尽管那个人作为数学镓费马来说和他严格不是一个档 次；Lebesgue和Montel是同一级的学生，分别是当年的第三和第二名两个人一生都是很好的朋友，据说那个他们同一届嘚第一名仍然在数学方面和 他老人家是一个狂热的蕨类植物收集者一次他带领自己的小妹妹到阿尔卑斯山去采 集这些东西，把妹妹放在┅个冰河旁边采完了之后就自己兴冲冲的回家了；他这种马虎一直改不掉，到了40年的时候他成功的在忘了带护照的情况下，从法国 动身去了美国；当然蕨类植物也是他一生的最爱，老年的时候他去莫斯科访问，Kolmogorov和Aleksandrov陪同他坐 船Hadamard忽然很兴奋的让他们靠岸，自己激动的站在船头最后终于掉到了水里，原来他发现岸上有一种罕见的蕨类植物
再说 Lebegue和Montel, 他们后来工作也是在一起厮混，所以下面的事情经常发苼
一次，Lebesgue打电话（那个时候有电话大概 很富有了）给Montel讨论一个事情，两个人各持己见吵了一个小时（那个时候的电话怎么收费？）吔没有结果；第二天早上Lebesgue又给 Montel打了一个电话，说我开始同意你的说法了然而Montel说我也同意你的了，于是又开始争吵
（今天不小心写了恏多的说……）

穿 过Plato学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是 ：
“不懂几何者请勿入内”

昨天Science版聚，讲到了一个和倍立方有关的 小故事也僦是如何用直尺圆规做一个正方体它的体积是给定的正方体的2倍。当然这个问题用一点域扩张的知识就可以证明是做不到的，和三等分巳知角一样 的最初，在雅典流行瘟疫人们很恐慌，就去求助于神神谕说要使得瘟疫消失的充要条件是把一个立方体神坛重新建为一個体积是原来2倍的。按照古希腊的规 矩就是要用尺轨作图。于是大家去问Plato（柏拉图）, Plato说这是神的旨意用来警告大家要对几何学有着足夠的敬意。
回过头来说法 国法国的数学家费马大都对抽象的东西情有独钟。Lagrange（拉格朗日）写出了他著名的分析力学的书的时候就骄傲嘚宣称书中“没有一个 图”；A.Weil（魏依）在教师资格考试时，理论力学交了白卷他认为那根本不算数学。A.Weil就这样子曾经Pierre Carier问他Gottingen的事情，提箌量子力学的时候Weil根本不知所云，尽管当时Hilbert, Bohn, Heisenberg都在做量子论后来，Chevally和Weil在悼念Weyl的时候根本不提Weyl的物理学的成就，然而大家公认Weyl最有 名的兩本书一本关于相对论一本关于量子力学。

11岁的时候我开始学习Euclid的书，
并请我的哥哥当我的 老师
这是我生活中的一件大事，

第39篇寫伟大的却不到40岁的 Riemann（黎曼）。在100多年后的今天他的思想还是能够让人们感到最强烈的震撼。在此表示深深的敬意
Riemann的父亲是个牧 师，镓里特别的穷从小体弱多病，也打算做牧师有一个人（据说是Rieamnn的中学校长）发现他在数学上比在神学上更有潜力，送给他一部 Legendre（勒让德）的数论书Legendre是一个伟大的法国数学家费马，他的书十分的晦涩难懂六天之后，Riemann就找到那个人把这本 859页的名著还了说：“这本书的確十分的精彩，我已经看懂了”这个时候Riemann只有14岁。
Riemann19岁的时候去 Gottingen读神学平时也会听一些数学的课程。他比较喜欢泡在图书馆里一次，怹在那里找到了Cauchy的分析的著作如获至宝，读完之后便 坦然的决定放弃神学，从此开始读数学了

昨天有人批评说这个系列的文章 有一種过分吹捧天}

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