摘要：在话题标签中看到了“相對论”与“物理学”忍不住来回答一下。文章旨在向“零基础”的读者们用一个相对简单的模型在狭义相对论的框架下解释清楚相对论Φ的时间效应给出了物理学意义上“让时间变慢”的方法。如果有哪里没写清楚或者文中出现错误之处欢迎在评论区留言

如何才能让時间变慢？最开始接触到相对论的时候我也常在想类似的问题然后就是陷入到混乱之中。因为相对论把“我们共同的时空”消解为了“烸个人的时空”同样的东西在不同人的世界中中占据着不同的空间；各人的时间在相互的世界中也走出了不同的速度。

为什么“不同惯性系物理规律相同”这种普适公理最终带给我们的是割裂的世界（这时候再掺入些世界线的概念，绝对是你独享的moment）

“尺缩效应”就算叻至少你停下来的时候眼里世界和大家还是一样的。但“钟慢效应”就折腾人了既然都觉得对方的钟走慢了，那么停下来的时候会发苼什么呢这正是大名鼎鼎的“双生子佯谬”向相对论发出的挑战。

很多人在解释时都会扔给“奇迹的一跃”并表示狭义相对论不接这个鍋下面的例子来自

BC相遇时，有个宇航员D从B跳到C上（还不死）的话这个宇航员D就会发现，他在B上的时候这个小孩应该是10岁。可是他跳箌C上这个小孩就是90岁了（是对于这个宇航员来说的年龄，实际年龄要因为钟慢乘以)

看起来很有道理的样子但不可避免地有人会质疑。哋球相对宇航员D也做同样的变速凭什么地球上小孩的只觉得你过1分钟而你看他却老了80岁，反过来为何不行这是要搞“地球中心说”？還是说以太要死灰复燃了

如果你再翻看一下不难发现二者小孩和宇航员的在那“奇迹的一跃”中确实是不对等的。“惯性系”相对众多嘚“非惯性系”有着独一无二的定位但只是这么一说有些人是不服气的，可想反驳的话又没有抓手很容易出现空对空地讨论。

所以接丅来本文试图用数学语言具体地描述这一过程。如果你熟悉微积分的话能够亲手推导出文中的每一个公式但您即使不熟悉微积分应该吔不妨碍对文中的概念的理解。

让我们回到问题：如何才能让时间变慢这里面“时间”是个很麻烦的概念，我们用原子钟代替它“变慢”这个概念也有些模糊，显然我们需要两个钟来进行比较才有快慢之分差点忘了，还要加一个工具人观察者于是我们现在可以让问題更加具体一点：我们有一个观察者很有钱，家里有两个原子钟他现在拿起一个原子钟从家里出去，该怎么做才能在回来的时候让自己嘚带出去的钟比留在家里的钟走得慢

这个问题说实话有些复杂，一般物理学家考虑问题时会先抽象出一个简单的模型再慢慢添加东西姠真实世界靠拢。我们不妨也学习一下这些物理学家把问题稍作简化得到我们的第一个模型——知乎宇宙。

知乎宇宙是一个空空如也的時空它漆黑一片，没有物质也没有能量现在我们放一个太空基地进去，里面先配备两个原子钟而你作为观察者也被放了进去。由于知乎宇宙很干净基地中的你将处于一个惯性系，里面的物体不受外力作用时会处于静止或匀速直线运动状态

先考虑最简单的情况：你與两个原子钟一同被固定在基地里。根据定义这两个钟走得一样快。“Trivial” 你哼了一声。但这里面还是有些值得说道的东西的此时两個钟是放在一起的，从而你能得到两个原子钟所指示的时间并比较之现在听到了你的冷哼后，某好事者把两个原子钟分别固定在了基地嘚两头根据定义，这两个钟仍走得一样快但你要怎么验证呢？很简单你站在其中一头，然后让另一头原子钟的时间编码成光信号发送过来（比如整点时发个光）当你收到信号时，你就知道另一头原子钟的时间了注意，你收到信号的时间不是某个整点t而是t+Δx/c，其Φc为光速Δx为你与原子钟的距离。

恭喜现在你Get到了狭义相对论中最重要的概念——同时性。顺便学会了两种对时间的方法：

• 两个钟距離比较远时在同一个惯性系里用光信号也可以比较时间

是时候走出基地了现在让我们给基地配艘宇宙飞船。于是你带上原子钟驾驶着宇宙飞船离开了基地。一段时间后你准备回去了于是你驾驶飞船使其速度指向基地，然后关掉了动力系统（为什么？因为只有飞船不受外力了才能看作惯性系而你现在只会算惯性系的东西。）

趁着你离基地还有段距离你在飞船的 处放置了一个激光发射器， 处放置了噭光接收器好，现在你的飞船正路过基地你果断发射信号。飞船记录了发射和接收到信号的时刻分别为 和 。同样基地也记录了这兩个事件(Event)： 、 。尽管飞船惯性系S'与基地惯性系S对 、 两个事件有各自的记录但有一件事是一致的：光速不变： ，为了方便我们约定飞船經过基地时把A点当作了各自坐标系的零点，即 、 从而有 。

很快你就发现了这与你原本认识是矛盾的假设飞船相对基地的速度为v，那么伱很自然地写出飞船上物体在S系中坐标表示： 但(2)(3)推出的结果却是 ，即基地上观察在光在飞船中传播的速度应该为c+v这与实验结果(1)是矛盾嘚。你不得不放弃在日常生活中屡试不爽的坐标变换公式(3)转而建立一套新的变换公式。于是乎你决定考虑线性变换（非线性变换会破坏慣性定律）： 然后找到4个参数能自圆其说就OK了，剩下的什么唯一性证明之类的就交给数学家吧

四个未知数需要四个方程（约束条件）來确定。

1. 考虑到飞船自身在S'系中的坐标恒为x'=0而在S系中飞船的坐标随时间的关系可写作x=vt。我们可以用
2. 同样的基地在自身S系中的坐标恒为x=0絀于对称性的考虑（对，对称性是个好锅什么都可以往里装），在S'系中飞船的坐标随时间的关系可写作x'=-vt'我们可以用 来描述这一约束条件。
3. 现在只剩两个参数了γ和γ'，不妨先认为它们是已知的，从而我们已经得到了坐标变换公式。比如对于基地上的事件 ，我们知道在S'系看来它发生在 处；而对于飞船上的事件 在S系看来它发生在 处。既然(4)(5)两式都是用事件在一个惯性系的坐标求出其在另一个惯性系下的坐标（区别仅在于速度方向）我们没理由不能对事件 使用(5)式。由于基地相对飞船的速度为-v我们有 ，对比(6)(7)两式可以得到 这是惯性系间平等嘚地位所要求的。
4. 最后我们应用光速不变求出最后一个参数将(1)(2)代入(4)(5)(8)中，不难得到 、 两式相乘可得 。最终你得到了最后一个因子 其中 。

将我们的变换公式 稍作整理即可得到洛伦兹变换及其逆变换公式： 对(10)式求导，并上下相除可得：

现在你重新认识了这个世界你意识箌一个事件在不同位置看来发生的时间可能不一样，于是在下一次实验开始之前你决定做些准备

你在宇宙中布下了一些与基地相对静止嘚智能灯塔，这些智能灯塔能通过激光测得自己距离基地的距离它们的存在也允许你在路过它们时能够和基地对时间（参考上一节介绍嘚两种对时间的方法）。慎重考虑你希望飞船系中也能有类似的东西辅助自己，你在0.4光年外召唤了一艘小飞船它同你一样关闭了动力系统并和你保持着相对静止，通过相互发射光信号你们确认这一点

• 事件 ：你路过了基地，各自清零了自己的原子钟即 、 。同时你向后頭的飞船发射了信号要求其在接收到信号时将时钟校准为0.4年。基地此时也向各灯塔发出信号让其根据位置校正自己的时间
• 事件 ：你路過了你先前布置的一个智能灯塔，它给出了你们相遇时的位置 和时间 分别为0.4光年与0.5年，而你所携带的原子钟显示的时间 为0.3年（ 就不用說了吧。）根据基地的测算你飞船的速度为0.8c生性多疑的你决定等一等小飞船的报告。一种自然的想法是此时小飞船也刚好路过基地而伱会在0.4年后收到这一报告。但已经推导出洛伦兹变换的你清楚没那么快能收到报告
• 事件 ：果然，在0.6年后你终于收到了报告报告显示基哋与小飞船相遇的位置 和时间为-0.4光年、0.5年，同时基地内原子钟显示的时间 为0.3年你确认了基地以0.8c的速度远离自己。

至此你验证了两个经典的相对论效应：

• 钟慢效应：尽管你身旁的原子钟在基地系中它是不断运动的，但在飞船系中x'≡0。故由(10)式可知 当v=0.8c时，γ=5/3这也就是为什么路过灯塔时，飞船的原子钟只走了0.3年而基地系已经过去了0.5年的原因相对地，飞船系S'的小飞船路过基地时也会观测到这个基地的时钟赱慢了这就叫运动的时钟会变慢。
• 尺缩效应：基地以0.8c的速度离你而去在你花了0.3年到达灯塔后，你自然会认为基地与灯塔的距离是0.24光年事实上在基地系中它们相距0.4光年。相对地基地也会认为你与小飞船的距离只有0.24光年。运动的尺子会缩短这就是尺缩效应。

而这看似洎相矛盾的相对论能够逻辑自洽的基础与之前说的同时性有关事件 与事件 在基地系和飞船系看来发生的先后顺序是不一样的。请看下图：

无论是基地还是飞船的运动都可以用运动方程来描述（如x=vt）如果我们选取一个坐标系将其运动轨迹画出来便能得到世界线（也就是上图中的实线或虚线）。上图中的着色区域代表了特定时空坐标的光錐它是所有能够到达这个坐标以及从这个坐标出发的世界线的集合，其边界是光子的世界线换言之，光锥限制了某时某地的物体过去所能存在的位置以及未来可能出现的位置之所以这里强调了“过去”与“未来”是因为这两个概念正是由光锥所规定的（图中绿色区域昰过去，粉色区域是未来）需要强调的是，“过去”与“未来”与惯性系的选取无关比如左图中 与 发生在 的未来光锥中，右图中发生茬的过去光锥中而事件 与事件 各自在对方的光锥之外，因此分不出先后

让我们引入一个新的概念时空间隔 （微分形式为 ）来描述两个倳件间有无先后关系。 对于事件、 ，属于类时间隔是有先后关系的；而事件、的时空间隔 ，属于类空间隔无先后关系。

可能你已经紸意到了无论在S系或是在S'系上述时空间隔的大小都是一样大的。没错这不是偶然， 在洛伦兹变换下是不变的一个比较明显的例子就昰光子，其世界线上相邻两点的时空间隔在任意惯性系下保持 而这正是光速不变原理所要求的。

守恒导致的一个有趣的结果：时钟在本身的惯性系下走得最慢的这是因为dx'≡0，从而 一般我们把固有惯性系的时间t'写作为τ，并称之固有时: 。因此原子钟的固有时增加的过程便是对其世界线的时空间隔ds积分的过程

回到主题，如何才能让时间变慢如果你站在站台上，你发现匀速运动的高铁的时钟会变慢但換你搭上高铁时，站台的时钟却变慢了是的，运动的时钟在你看来都走得慢因为你现在只会算匀速直线运动，而时钟在本身的惯性系丅走得最慢的～

是时候发挥狭义相对论的真正威力了下面我们将研究最简单的变速运动：匀加速直线运动。到时候你就可以开启动力系统，不用活在什么都只能遇见一次的宇宙中了

首先我们给出匀加速度的定义： ，其中α为常数。这里的上标提醒着你不同的参考系匀加速运动是不同的我们在此讨论的是飞船系S'的固有加速度(proper acceleration)。

由于t'是飞船系S'本身的时间对(15)式的右边积分可以得到飞船本身的固有时τ。但对于(15)式的左边，我们不能简单将速度变化直接相加（积分）毕竟飞船在S'系速度一直是0。这里我们通过对(11)式微分可以将S'中的速度变化量轉化为基地系S的速度变化以便对飞船速度变化进行积分： 。注意到基地S与飞船S'的相对速度v=u上式可写作 ，其中 将(12)(16)式代入(15)可得S系下的积分方程： 。设初条件为 u(0)=0x(0)=0，对方程两边积分可以得到u与t的关系： 反解可得：

对于世界线(18)，微分公式(13)仍然可以用由(14)(17)， 积分可得飞船的固囿时与基地系时间的关系： ，其反函数为

酷，是时候开始匀速直线运动的实验了你再一次带上你的原子钟，启动深海模式选取120G的档位( )，从基地出发了一周( )后，你看到旁边的智能灯塔显示的数据：当前速度 为0.984c位置 为2339个天文单位(0.037光年)，时间 为16日3时28分正如计算的那样，飞船上的原子钟走慢了但慎重的你决定返回基地以确认这点，于是你将档位调为-120G开始减速

由于初速度的改变，(17)(18)(19)式需改写为： ，

叒是一周后，智能灯塔显示飞船的速度已经降到了0此时飞船在基地系S的时空坐标为 。

回基地同样先加速后减速这是一段对称的旅程，伱在一个月后回到了基地但基地已经过了两个多月。这回时间真的变慢了!

现在还是那个问题，基地相对飞船也做了变速运动为什么鈈是基地的时间变慢了呢？

在上面的计算中我们将飞船系S'分解为了无数个瞬间的随动惯性系 进行积分处理。下面我们将进一步研究飞船嘚随动惯性系 中以寻找基地与飞船的不对称之处

假设飞船行进的中途处关发动机进入惯性系，这时只需要修改一下初条件就可以改写(9)(10)式嘚到两个惯性系间坐标的变换公式：

下面我们以飞船在一周后关闭发动机为例先定性地看看两个惯性系间的关系。

令x'=0可得飞船在基地系嘚世界线及飞船时钟的时间变换关系： 。同样地令x=0可得基地在飞船系的世界线及基地时钟的时间变换关系： ， 这里γ=5.672。

我们先看世堺线(22)(24)基地认为自己与灯塔的距离为 ，而飞船认为这段距离为 （412.4天文单位）这与之前推导出的尺缩效应完全一致。一周后飞船减速为0这┅效应消失：

7天以及之前没出现过的2.84天。(23)式的两个时间之前已经算过了代表了飞船路过灯塔时自身只过了一周，基地系却已经过了半個月解释(25)式的时间就要就要召唤“速度与你时刻保持一致”的小飞船了。你在飞船上观察到基地加速远离你并在飞船时间1周后，与你嘚第一艘小飞船相遇而此时基地与小飞船相遇的时间在基地系中正是2.84天。这个结果与之前的钟慢效应十分类似：最终积分的结果飞船认為基地的时间走慢了基地认为飞船的时间走慢是十分合理的。（(22)(23)的微分形式为dt=γdt'、dt'=γdt而γ始终大于0，因此时间变慢应该是相互的效应）

可惜故事并不在此结束，飞船在第二周减速为零后双方都同意飞船的时间单方面地走慢了。这从(25)式可观察不到任何端倪

那么，减速的过程中发生了什么

我们不妨先把上述特例推广为一般情况：将(17)(18)两式代入(21)可得：

第二个等号中我们取t'=τ，这是因为只有这一瞬间飞船系S'与其随动惯性系 是一致的。将(19)式代入(26)式便可得到基地系与飞船系的坐标变换公式： 对应的逆变换公式为：

将x=0代入(27)可得基地在飞船系的卋界线： ，计算可得半途的那个智能灯塔与基地的距离在你看来只有412.4个天文单位这与(24)式的结果是相一致的。将x=0代入(28)可得基地时钟在飞船系的时间： 这与(25)式的结果相一致。这里需要注意到(30)式与(19)式的区别

对于减速过程，我们将(17')(18')(19')代入(21)可得减速过程的变换公式： 对应的逆变換公式为： 。
对应的基地在飞船系的世界线： ；基地时钟在S'系的时间：

让我们把这些计算结果画出来：

回到飞船时间第二周的时间谜题：为什么基地系中飞船的第二周比第一周长那么多

右图中基地世界線的突兀给了我们突破口：飞船从加速切换为减速的瞬间速度是不连续的！对世界线(29)与(29')微分可得飞船系S'中基地的速度u'，不难计算在飞船切換加速度前后的速度分别为： 、 不仅不连续甚至还超光速了。

一切的答案就在这一小节的标题中：飞船系的时空结构发生了改变

现在峩需要重新介绍广义相对论中最重要的一个概念：度规(metric)。度规可以理解为在特定空间中对距离的定义反过来也可以认为度规（距离的定義）定义了空间。例如三维空间（欧几里德空间）中距离的定义： 就是一种度规；以及前面说的事件的时空间隔可以认为是一种四维空间嘚距离： 而由该度规定义的空间叫作闵可夫斯基空间我们可以通过所处空间的度规判定一个参考系是否为惯性系。（广义相对论讨论的其实就是物质能量分布对时空的弯曲而度规不仅是对这种弯曲的定量描述，也包含了这种弯曲的所有信息）

对(27)式两端取微分，并代入(13)式中可以得到飞船系的度规： 结合固有时的定义(14)，我们在飞船系中可以用该公式计算某物体的固有时（比如基地时钟）： 假设飞船是茬向上做匀加速直线运动，不难发现固定在飞船不同“高度”x'的时钟走得是不一样快的： 。并且高度越低时间越慢特别是当时钟降到 這一高度附近时，时间几乎停止了流动这一位置正是飞船系的视界：视界内的物质信息发不出去，视界外的物质信息也进不来

如果我們定义 ，飞船系的度规(13')就有了惯性系度规的形式： 而这一该度规所定以的惯性系不是别的，正是飞船的随动惯性系 则代表了系中的时間。从而物体在系的速度 与其在飞船系S'的速度v'关系为： 。可以看到在视界附近所有物体的运动速度都接近于0，就连光子也不例外遑論其它物质。这也就是为什么之前说视界内的所有物质信息发不出去——连光子都被冻结了

还记得我们之前计算的飞船在惯性系的速度 麼，将之前计算的 (412.4天文单位)以及 代入(31)式不难检验之前计算出来的飞船在切换加速度前后的速度确实会相差10.34倍。

至此飞船时间第二周的時间谜题已经解决的：基地由在飞船的“下方”变成了在飞船的“上方”，其固有时本来走得很慢突然变得走得很快走快走慢的两段时間并没有相互抵消，因此当你转一圈回到基地时飞船中的原子钟确确实实比基地的原子钟慢了一个多月。

回到现实世界现实世界中我們的生活的时空主要受到了地球的弯曲（重力无处不在，潮汐力感受不到）就如之前所说，我们可以通过度规（史瓦西度规）来描述地浗对我们所生活时空的弯曲： 由于我们只是生活在薄薄的球壳上：r=R+x（x<<R），从而重力加速度 做小量处理可得不同高度下时间的流速关系 。

有没有感到一丝熟悉之前我们坐飞船向上做加速运动时其实也能体会到类似的“重力”，对(14')做小量近似（ ）同样可以给出： 这已经囿些广义相对论中“等效原理”的意思了。

总结一下要想让时间变慢就必须靠自己的运动“弯曲”时空，或者在已经被天体弯曲的时空Φ找好位置享受更多的“时间变慢”效应我在这里给出的建议是尽量生活在低海拔地区。这样相较于生活在青藏高原的人们你感受到嘚时空弯曲更为充分：每100年你的时间会比他们的时间慢1ms左右。（这里插一句你确实会比他们年轻一些，但不是说你真的续命了+1ms还是有區别的。）不断做变速运动也有助于让时间变慢但很难达到同样的效果，毕竟我们怎么运动αx还是比较小的所以说相变年轻还是要“善假于物也”。

最后做一些展望从匀加速直线运动直接进入我们的日常生活可能还稍显跳跃，中间用匀速圆周运动过渡一下可能比较好另外视界的问题可能也需要多讨论一些以加深大家的认识。但限于篇幅和精力正文的内容就先这么多了。向讨论的欢迎进入评论区此外，由重力加速度导致的“时间变慢”效应在 这一量级靠我们的感官是不能感知的，也很难想象但我相信随着宇航技术的发展，最終我们能通过工质飞船在物理学的意义上实现小说中的“冬眠技术”届时我们就能够真真体验“天上一天，地上一年”的感觉（刚才粗略的一想好像喷射光子是理论上把能量转换为动量效率最高的方式，搞不好以后飞船就是靠“光力”驱动的）