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高中, 社区积分 2898, 距离下一级还需 2102 社区积分
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　积分考查综合性强，是高等数学中的核心计算，也是考研数学考查的重中之重，所占比重最大，大题2-3个小题3-4个。本文将梳理不定积分、定积分及二重积分的基本计算思路及方法，目的是使知识系统化。　　一、不定积分　　不定积分的计算是整个积分运算的基础，定积分、重积分的计算都是依赖于此。因此掌握不定积分的计算方法和思路非常重要。　　不定积分计算的根本是最基本的积分公式，我们将这些公式分为两种，一种是直接将常用的求导公式反过来得到的积分公式：　　如等
　　另一种是在计算积分的过程中得到的一些比较常用的公式，例如：
file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif
　　这些公式在今后的计算中经常用到，所以也总结在基本积分公式中，需要同学们记忆并熟练应用。在基本公式的基础之上，掌握常见的积分法即可正确解题，需要清楚的是，不管是何种积分方法，最终都是转化为用基本积分公式解题。　　常见的积分法：第一类换元积分，又称为凑微分法，用来解决被积函数中同时存在原函数与导函数的情况，基本思想是;第二类换元积分是与第一类换元法相反的思路，在计算过程中应用得很频繁，基本思想是;分部积分法主要解决两类不同类型的函数的乘积形式的积分，尤其是含有反三角函数、对数函数时的积分，基本思想是，关键点是、的选取。
　　常见的基本题型包括：有理函数的积分;可化为有理函数的积分(包括：三角有理式、指数有理式);根式的处理;分部积分法的使用等。　二、定积分　　定积分的计算包含两方面：一、基本思路是牛莱公式，利用不定积分的解题方法来计算;二、利用对称区间及函数的基本性质来解题，主要是运用函数的奇偶性。　　1、利用不定积分的计算方法　　1)换元法　　定理：设函数在区间上连续，函数满足条件：
　　ⅱ在区间上具有连续导数，其值域
　　注意：上下限要对应;　　2)分部积分法
　　出现抽象函数的导数或二阶导数，一律使用分部积分，例如设有一个原函数，求。
　　2、对称区间上函数定积分的计算　　1)利用奇偶性　　设在区间上可积
　　如果是偶函数，则有;
　　如果是奇函数，则有。
　　2)被积函数本身无奇偶性，直接计算积分又难算时考虑变量代换，令，例如file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image057.gif。
　　特别地，分段函数的积分利用区间可加性先分段再计算，如果函数的在区间上的解析式为，则;当被积函数中含有绝对值，最大值或最小值符号，或是极限式时，其本质上也是分段函数。因此，需要先写出被积函数的分段解析式，再分段计算。
　　三、二重积分　　计算二重积分的基本思路是将其化作累次积分(也即两次定积分)，要把二重积分化为累次积分，有两个主要的方式：一是直接使用直角坐标，二是使用极坐标。这是我们计算二重积分的两个主要的武器。　　首先，对直角坐标来说，主要考点有两个：一是积分次序的选择，基本原则有两个：一是看区域，选择的积分次序一定要便于定限，说得更具体一点，也就是要尽量避免分类讨论;二是看函数，要尽量使第一步的积分简单，选择积分次序的最终目的肯定是希望是积分尽可能地好算一些，实践表明，大多数时候，只要让二重积分第一步的积分尽可能简单，那整个积分过程也会比较简洁，所以我们在拿到一个二重积分之后，可以根据它的被积函数考虑一下第一步把哪个变量看成常数更有利于计算，从而确定积分次序。　　二是定限，完成定限之后，二重积分就被化为了两次定积分，就可以直接计算了。　　关于极坐标，我们主要关注三个问题：　　首先是转换公式：，。这里要注意的是将转化为之后前面要乘上，这是因为表达的是指教坐标下的面积元，而在极坐标下的面积元的表达式为
　　其次是极坐标的适用范围，也即什么情况下要想到利用极坐标计算。这里基本原则也有两个：一是看函数，始于极坐标的被积函数最佳形式是，一般情况下，要求可以减弱，只要被积函数中含有就可以考虑使用极坐标进行计算;二是看区域，如果积分区域为圆或是与圆相关(环形、扇形、或者边界的某一部分为圆弧)，就可以考虑使用极坐标。
　　最后一个问题是定限方法，极坐标不存在积分次序的问题，肯定是先对积分(先对积分的大部分都很复杂)，所以，确定要用极坐标计算之后，直接定限即可。
　　以上是我们计算二重积分的主体思路，在此基础之上，我们还可以利用对称性，它在二重积分的计算中虽然属于辅助性的技能，但如果恰当使用的话，还是可以明显地简化计算。　　二重积分中的对称性分为两种：一是奇偶性，二是轮换对称性。一般来说，对称性应该使用在拿到一个二重积分之后的第一步，只要积分区域关于某坐标轴是对称的，就要先检验被积函数是否具有相应的对称性，尤其要注意有没有奇函数，以尽可能地简化计算。　　以上是对考研高等数学积分部分的一个简单分析，希望能够对2014年考研的同学起到一定的作用，用有限的时间取得最好的成绩。积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用
定积分的计算是高等数学的重要内容之一,本文着重介绍如何用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化积分计算。1一重积分以下均假设f(x)在积分区间上连续。分为以下四种情况:1)积分区间对称,被积函数有奇偶性。则()20()()0()aaaf x dxf x dxf x?f x=?????∫∫为为偶奇函函数数。1212I=2x x cos xdx?11x+例1:计算积分∫+?。x dx+x cos xdx解:I=∫?1+1?x∫?1+1?x120222xdx+0=∫1+1?x12=4∫0(1-1-x)d x=4?π2)积分区间对称,被积函数无奇偶性。则4I0ln(1tan x)dxπ例4:计算积分=∫+。4I0ln(1tan x)dxπ解:=∫+401[ln(1tan)ln(1tan())]2x4x dx=∫π+++π?401[ln(1tan)ln2]2x1tanxdxπ=∫+++401ln2ln22dx8=∫π=π...&
(本文共3页)
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1被积函数的奇偶性在定积分、二重积分、三重积分计算中的应用在此仅以二重积分给出结论,定积分和三重积分有类似结论。定理1设是有界区域,f(x,y)在D上有界。(1)若平面区域D以y轴为对称,即(x,y)∈D(x,y)∈D,则(D1是D中x≥0的部分)。(2)若平面区域以轴为对称,即(x,y)∈D(x,y)∈D,则(D2是D中y≥0的部分)。(3)若平面区域D同时关于x轴,y轴对称,即(x,y)∈D(x,y)∈D且(x,y)∈D(-x,y)∈D,[1](D3是D中第一像限的部分)。例1计算I=x[1+yf(x2+y2)]dxdy,其中D由y=x3,y=1,x=-1围成,f是D上的连续函数。解:积分区域D如(图1)所示,分解D=D1+D2,显然D1关于y轴对称;D2关于X轴对称;函数xyf(x2+y2)在D1上是x的奇函数,在D2上是y的奇函数,于是2被积函数的奇偶性在第一类曲线积分与第一类曲面积分计算中的应用在此仅以第一类平面曲线积...&
(本文共1页)
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区域的对称性和函数的奇偶性不仅可以体现数学美,而且可以为积分计算提供某种信息,帮助人们寻找最优的解题策略,使复杂的问题得以简化.如在计算定积分时,很多高等数学教材都给出了如下结论:当积分区间关于原点对称且被积函数为奇函数时,该定积分的值为0;当积分区间关于原点对称且被积函数为偶函数时,该定积分可转化为原被积函数在单侧区间上积分值的2倍[1].对二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的计算[2-4],是否也有类似简明实用的结论呢?本文拟将区域的对称性和函数的奇偶性在各类积分计算中的应用进行比较,归纳出简明实用的结论,并将其作为求解积分问题的一个有力的工具.1积分区域的对称性积分区域随着积分的类型不同而不同,它可以是区间,也可以是平面区域或者空间区域,还可以是弧段或曲面片.若将它们统一为空间区域,则可建立积分区域对称性的一般定义.定义1设Ω哿R3是任一空间区域,1)若点(x,y,z)∈Ω,有(x,y,-z)∈Ω,则称Ω关于xoy面对...&
(本文共5页)
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投稿邮箱:微积分学起源于生产实践和科学实验,它的建立对现代科学技术的发展起到了巨大的推动作用[1]。积分学的起源可追溯到公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得和阿基米德用“穷竭法”——分割与求和的方法近似计算一些不规则平面图形的面积和立体的体积。穷竭法一方面包含了极限的思想雏形,另一方面也包含了积分学的思想方法[1]。但直到17世纪,历经约2000年的发展,在众多数学家们的不懈努力之下,穷竭法终于在数学大厦中找到了归属——建立在极限理论之上的积分学。求积分不是一件容易的事情。一方面,不是所有连续函数都可求出其积分,对于不可用初等函数表达的积分,即便绞尽脑汁对被函数进行各种变形,最终还是徒劳而无所获。另一方面,求积分是一种数学运算,要熟练求积分,需要热爱、感兴趣这种运算,通过大量的练习去掌握基本积分公式、法则和技巧。要提高积分的运算能力以及兴趣,需要善于归纳,根据被积函数和积分区间的特点对积分题的解...&
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定积分具有非常广泛的实际背景,在几何学、物理学和经济学等领域都有着重要的应用.同时定积分也是研究函数性态的重要工具.事实上利用定积分的相关知识,文献[1～3]给出了被积函数f(x)≡0的一个充分条件,即“设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)≥0.若∫baf(x)dx=0,则f(x)≡0,?x∈[a,b]”,从而较好地刻划被积函数f(x)在[a,b]上的整体特性.本文在上述结论的基础上,利用Weierstrass逼近定理,进一步研究被积函数f(x)≡0的充分条件及其应用,并将所得结果推广到一般可积函数中.1预备知识为叙述和证明本文的主要结论,需要用到以下预备知识.引理1[1～3]设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(x)≥0.若∫baf(x)dx=0,则f(x)≡0,?x∈[a,b].引理2[2]若函数f(x)在[a,b]上连续,〗则?ε0,存在多项式函数p(x),使得|f(x)-p(x)|0,存在[a,b]上的连续函数...&
(本文共3页)
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利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算陈增政，徐进明（福州大学）ｌ引言本文揭示当二重积分的被积分域Ｄ关于直线ｙ一伙对称时，积分变量具有的内在联系，对被积函数为线性函数时，起到简化计算的作用。２主要结果定理１设平面有界闭区域＊一ｏ山ｂ且风与么关于直线ｙ—Ｘ对称，函数人。，…在０上连续，则ＤＩｊ（，…ｄａ存在，证将区域Ｄ关于９＝Ｘ为轴进行对称性分割，西沙·Ｅ面与其对称的有凸Ｎ·Ｅ丛，令几为最小区域的最大直径，取点（ｚ’；·叭）Ｅ凸ａ’与点（扒·叭）Ｅ凸Ｏ，树称（为图示），则比较（２）（３）式知（ｌ）式成立定理２设Ｍ重函数。＝ｆ（。，。）在Ｄ上连续则Ｉ—！Ｉｆ。，。）ｄａ存在，为平面有界闭区域Ｄ关于直线９一灯对称，则对任意（...&
(本文共4页)
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对于重力地形改正的计算,当积分公式与数字地形(即高程网)确定之后,其计算速度和精度主要取决于被积函数的处理方法。 一、问题的提出 众所周知,方域地形改正的计算公式为:用(1)式直接计算是完全可以的,些片N乙 N△g!澎E=11=1 陌.1叭 Jl一一军(1) l丫1+(h‘i/:‘s)“J其中:e,;=f·a·D“·C‘,, f:万有引力常数, a:中间层密度(克/厘米“), c:,:与数值积分公式有关的积分系数、 h‘j:计算点与某节点的相对高差(h、;=H、s一H。); ,、;:计算点与某节点的水平距离, △g,:地形影响值,h与:取米时,其单位为微伽。 在(1)式中,通常将但速度极慢。为了提高被积函数的计算速度,目前普遍采用泰勒级数分段展开为多项式的方法。这种方法在地形条件不太复杂的情况下(即令成tg‘5。时,,对于大比例尺矿区重力测量来说,基本上满足了地形改正的精度要求。但对于小比例尺区域重力和山区重力详查工作,往往面对...&
(本文共3页)
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利用函数的奇偶性计算下列定积分?1、∫上限π/3,下限-π/3 x^2*sinx/cos^2*x dx2、∫上限1,下限-1 （4x^3-6x^2+7）dx
1、∫上限π/3,下限-π/3 x^2*sinx/cos^2*x dx令f(x)=x^2*sinx/cos^2xf(-x)=(-x)^2*sin(-x)/cos^2(-x)=-x^2*sin(x)/cos^2x=-f(x)所以f(x)是一个奇函数因为积分上下限关于原点对称,所以最后定积分的值是:02、∫上限1,下限-1 （4x^3-6x^2+7）dx函数f(x)=4x^3是奇函数函数f(x)=-6x^2是偶函数函数f(x)=7是偶函数所以:积分:(-1,1)(4x^3-6x^2+7)dx=积分:(-1,1)(-6x^2+7)dx=2*积分:(0,1)(-6x^2+7)dx=2*[-2x^3+7x]|(0,1)=10
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定积分计算的几类特殊解法
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