参考答案：B；；4.结点法计算静定平面桁架，其所取脱离体上的未知；参考答案：B；；5.要保证轴向拉杆在荷载作用下不失效，横截面上（；C最大正应力小于许用正应力与折减因数的乘积D最大；6.图所示杆件的矩形截面，其抗弯截面模量为（）；参考答案：D；7.；A稳定平衡B不稳定平衡C临界平衡D几何不变；参考答案：C；；8.在单位荷载法中，欲求梁某一点的线位移，应在该；
参考答案：B；
4. 结点法计算静定平面桁架，其所取脱离体上的未知轴力数一般不超过（ ）个。 A
4 参考答案：B；
5. 要保证轴向拉杆在荷载作用下不失效，横截面上（ ）。 A
最大正应力小于或等于许用正应力 B
最大正应力大于许用正应力 C
最大正应力小于许用正应力与折减因数的乘积 D
最大正应力大于许用正应力与折减因数的乘积 参考答案：A；
6. 图所示杆件的矩形截面，其抗弯截面模量为（
参考答案：D；
稳定平衡 B
不稳定平衡 C
临界平衡 D
几何不变 参考答案：C；
8. 在单位荷载法中，欲求梁某一点的线位移，应在该点设（ ）。 A
一个单位集中力 B
一个单位集中力偶 C
一对单位集中力 D
一对单位集中力偶 参考答案：A；
9. 力法典型方程是根据以下哪个条件得到的（ ） 。 A
结构的平衡条件 B
结构的物理条件 C
多余约束处的位移协调条件 D
结构的抗弯刚度 参考答案：C；
10. 排架只有铰结点，位移法计算时的基本未知量是独立结点的（ ）。 A
角位移和线位移 D
都不是 参考答案：B；
1. 力偶对物体的转动效应，用力偶矩度量而与矩心的位置无关。（√ ）
2. 平面一般力系的平衡方程共有三组九个方程，但独立的平衡方程只有三个。（√ )
3. 在约束的类型中，结点可分为铰结点、刚结点、自由结点。（× ）
4. 平面弯曲是指作用于梁上的所有荷载都在梁的纵向对称面内，则弯曲变形时梁的轴线仍在此平面内。（× ）
5. 作材料的拉伸试验的试件，中间部分的工作长度是标距，规定圆形截面的试件，标距和直径之比为5:1或10:1。（√ ）
6. 有面积相等的正方形和圆形，比较两图形对形心轴惯性矩的大小，可知前者比后者大。（ √）
7. 压杆的长细比λ越大，其临界应力越小，压杆更不容易丧失稳定。（× ）
8. 在垂直于杆件轴线的两个平面内，当作用一对大小相等、转向相反的力偶时，杆件将产生弯曲变形。（× ）
9. 结构的刚结点数就等于结构的超静定次数。（× ）
10. 转动刚度是为了使单跨超静定梁的某端产生单位转角，在该端所需施加的力矩大小。(√)
单项选择题
1. 既限制物体沿任何方向运动，又限制物体转动的支座称为（ ）。 A
固定铰支座 B
可动铰支座 C
固定端支座 D
都不是 参考答案：C；
2. 平面平行力系合成的结果是（ ）。 A
主矢和主矩 参考答案：D；
3. 静定结构的几何组成特征是（ ）。 A
体系几何不变 B
体系几何不变且无多余约束 C
体系几何可变 D
体系几何瞬变 参考答案：B；
4. 在集中力作用下（ ）发生突变。 A
剪力图 参考答案：D；
5. 胡克定律应用的条件是( )。 A
只适用于塑性材料 B
只适用于轴向拉伸 C
应力不超过比例极限 D
应力不超过屈服极限 参考答案：C；
6. 工程上习惯将EI称为受弯构件的（ ）。 A
抗拉刚度 B
抗扭刚度 C
抗弯刚度 D
抗剪刚度 参考答案：C；
7. 受压杆件在下列各种支承情况下，若其他条件完全相同，其中临界应力最大的是（
两端铰支 B
一端固定一端铰支 C
一端固定一端自由 D
两端固定 参考答案：D；
8. 平面桁架在荷载作用下的位移主要是由（ ）变形产生的。 A
弯曲变形 B
剪切变形 C
轴向变形 D
扭转变形 参考答案：C；
3 参考答案：B；
10. 以下哪种结构不能用力矩分配法计算？（ ） A
无结点线位移的结构 C
无侧移刚架 D
有结点线位移的结构 参考答案：D；
1. 对于作用在刚体上的力，力的三要素是大小、方向和作用线。（ ） T
× 参考答案：T；
2. 物体系统是指由若干个物体通过约束按一定方式连接而成的系统。（ ） T
× 参考答案：T；
3. 一个点和一个刚片用两根不共线的链杆相连，可组成几何不变体系，且无多余约束。（ ） T
× 参考答案：T；
4. 桁架中内力为零的杆件是多余杆件，应该撤除。（ ） T
× 参考答案：F；
5. 任何一种构件材料都存在着一个承受应力的固有极限，称为极限应力，如构件内应力超过此值时，构件即告破坏（ ） T
× 参考答案：T；
6. 只要平面有图形存在，该图形对某轴的惯性矩恒小于零。（ ） T
× 参考答案：F；
7. 压杆上的压力等于临界荷载，是压杆稳定平衡的前提。（ ） T
× 参考答案：F；
8. 在使用图乘法时，两个相乘的图形中，至少有一个为三角图形。（ ） T
× 参考答案：F；
9. 结点角位移的数目就等于结构的超静定次数。（ ） T
× 参考答案：F；
10. 位移法杆端弯矩的正负号规定与力法一样。（ ） T
× 参考答案：F；
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第1章本章的主要内容 1.1 1.2 1.3 1.4 结构力学的主要内容和教学要求 结构的计算简图 荷载的类型 结构形式绪论1.1 结构力学的主要内容和教学要求1）研究对象 结构力学――就是研究结构在荷载作用下，其内力和变形的计算问题。 结构――就是构造物中起着承重作用的骨架，它由承重构件组成。 土木工程及水利工程中常见的结构有：刚架、桁架、拱、水坝、墩式码头等， 根据几何形状可以把它们分成三大类： 杆系结构 板壳结构 实体结构 ▲ 杆系结构――由若杆根杆件组成，杆件的几何特征是：其长度远远大于杆 件截面的宽度和高度。 ▲ 板壳结构――其厚度远远小于长度和宽度两各尺寸的结构。 ▲ 实体结构――是指三个尺寸大约为同量级的结构。 结构力学的研究对象是：杆系结构 2）主要研究内容 ▲ 结构由荷载、支座移动、温度变化、制造误差引起的内力计算――称为强 度计算； ▲ 结构由荷载、支座移动、温度变化、制造误差引起的变形及位移计算―― 称为刚度计算； ▲ 结构的稳定计算； ▲ 结构的组成规律及计算简图的选择。 在本课程中主要讨论内力计算、位移计算和结构的组成规律及计算简图的选 择。结构的稳定计算将另外开课进行讨论。 3）结构力学与其它课程的关系理论力学和材料力学是结构力学的先修课程，专业课程（钢筋混凝土、钢结 构、桥梁结构等）是结构力学的后续课程。1.2 结构的计算简图在工程设计中对结构进行力学分析时，需要一个图形，这个图形与实际结构 完全一样，实际上是做不到的，因此必须对实际结构进行抽象和简化，得到一个 计算时所用的计算简图。抽象和简化必须遵循以下原则： a、正确反映结构的实际受力情况，使计算结果与实际情况比较吻合； b、略去次要因数，便于分析和计算。 （1）杆件的简化 杆件可以用轴线来表示：杆件 原因是：细长杆件可以近似采用平面假定，因此截面上的应力可以由截面 上的内力来确定，而内力只与杆件的长度有关，与截面的宽度和高度无关。 （2）结点的简化 杆件与杆件的连接点称为：结点 结点的简化分两类：铰结点和刚结点 ▲ 铰结点 几何特征：各杆可以绕结点自由转动。 受力状况：不会引起杆端弯矩。 表示方法：例如：图示木屋架的结点，由于各杆件之间是通 过螺栓、耙钉连接的，无法阻止杆件间的 微小转动，因此该结点应简化为铰结点。▲刚结点 几何特征：各杆不能绕结点作相对转动。 受力状况：由于结点能阻止杆件之间发生相对转角，因此杆端有弯矩、剪 力和轴力。 表示方法：例如：图示现浇钢筋混凝土框架的结点， 由于梁、柱的钢筋是帮扎在一起 的，又用混凝土一次浇灌成型， 杆件间是无法发生相对位移的， 因此该结点可以简化成刚结点。 （3）支座的简化 对平面结构的支座一般可以简化成以下三种形式： ▲ 可动铰支座 只能约束竖向运动的支座称为：可动铰支座 表示方法：例如：把梁放在柱顶上，不作任何处理，其支座就可简化成可动铰支座。 ▲ 固定铰支座 只能约束竖向和水平和运动的支座称为：固定铰支座 表示方法：例如：把屋架放在柱顶上，并与柱顶的预埋件连接，这样的支座可简化成 固定铰支座。 ▲ 固定支座 能约束竖向、水平和转动的支座称为：固定支座 表示方法：例如：柱子与基础完全现浇在一起，而且柱子的钢筋插入基础一定距离（如 上图所示） ，那么柱子的支座就可简化成固定支座。 （4）结构的简化图中为一单层厂房的结构，它是由屋架、柱、吊车梁、基础等构 件组成的空间结构体系。屋架、柱、吊车梁等构件都是预制的，先把 柱子下端插入基础的杯口，用细石添实，然后把屋架放于柱顶，由预 埋件通过螺栓或焊接而成。这个由屋架、柱、基础组成的结构称为横 向排架结构。沿着厂房纵向若干个排架之间再用吊车梁等构件连接 （吊车梁与柱的牛腿是通过预买钢板焊接而固定的） ，即组成了单层 厂房的空间体系。由于每个排架之间受力具有相同性，因此可以取出 平面的排架结构进行计算，它的计算简图如下：1.3 荷载的类型1）按荷载的分布分 ▲ 面荷载 ▲ 体荷载 ▲ 集中荷载 如：风荷载、雪荷载、雨荷载、人群荷载、水压力等 如：结构自重，温度荷载等 如：集中力、集中力矩等2）按荷载作用在结构上的时间分 ▲ 恒荷载 ▲ 活荷载 ▲ 移动荷载 如：结构自重和设备重量等 如：人群荷载、雪荷载、雨荷载等 如：吊车荷载、汽车荷载、火车荷载等3）按荷载作用在结构上的效果分 ▲ 静荷载 ▲ 动荷载 如：结构自重和设备重量等 如：风荷载、地震荷载、冲击荷载等1.4 结构的形式1）梁 有简支梁、悬臂梁、曲梁、多跨静定梁和超静定梁等。简支梁悬挑梁 曲梁多跨静定梁2）拱 有三铰拱、两铰拱、无铰拱等。三铰拱两铰拱无铰拱3）桁架4）刚架5）组合结构第2章本章的主要内容 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 几何构造分析的几个概念 几何不变体系的组成规律 几何构造分析方法 瞬变体系 分析几何构造举例结构的几何构造分析2.1 几何构造分析的几个概念结构是由若干根杆件通过结点间的联接及与支座联接而组成的。 结构是用来 承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。例如：几何可 变体系 几何不 变体系显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。 因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。 1）几何不变体系和几何可变体系 如果一个结构受到一个任意荷载作用，若不考虑材料的应变，而能保持几何 形状和位置不变的，称为几何不变体系，反之称为几何可变体系。 2）自由度 判断一个体系是否可变，涉及到体系运动的自由度问题，因此下面复习一下 自由度的概念。 （1）点的自由度 点在平面内的自由度为： 2YxAyX（2）刚片的自由度 刚片――就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体 由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的， 因此我们可以把一 根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定为 几何不变的部分都看作是一个刚片。 刚片在平面内的自由度为：3YxAαyX3）约束 结构是由各种构件通过某些装置组合成不变体系的， 它的自由度应该等于或 小于零。那种能减少刚片自由度的装置就称为约束。 约束装置的类型有： （1） 链杆 链杆可减少一个自由度，相当于一个约束。还有 2 个自由度 （2） 单铰还有 5 个自由度一个单铰可以减少两个自由度，相当于两个约束。还有 4 个自由度 （3）复铰还有 1 个自由度复铰――连接两个以上刚片的铰。 连接 n 个刚片的复铰， 相当于 n-1 个单铰。还有 5 个自由度（4）刚结点 一个刚结点能减少三个自由度，相当于三个约束。用刚节点连接还有 3 个自由度，相当于 2 个刚节点。2.2 几何不变体系的组成规律1）一个点与一个刚片之间的联结方式点A链杆 刚片1由于两链杆在点 A 处的运动方向不一致,因此是不可变的。 规律 1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一条直线上，则 组成几何不变体系，并且没有多余约束。两根不在一条直线上的链杆用 一个铰连接后，称为二元体。二元体规律 1 还可以这样叙述： 在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会改变体系原来性质的。利用规律 1，可以组成所需的不变体系：二元体刚片 1在刚片 1 上不断地搭上二元体，组成了一个内部不变体 2）两个刚片之间的联结方式 规律 2：两个刚片用一个铰和一根链杆相联结，且三个铰不在一条直线上， 则组成几何不变体系，并且无多余约束。把规律 1 中的 1 根 链杆用刚片代替刚片 13）三个刚片之间的联结方式 规律 3：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一条直线上，则组成几 何不变体系，并且无多余约束。把规律 2 中的 1 根 链杆用刚片代替以上三条规律实际上可以归纳为一个基本规律：三角形不变规律。 前面说过：一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束，因此一个 单铰可以用两根链杆来代替，有：O虚铰实铰规律 4：两个刚片用三根不交于一点的链杆相连，则组成几何不变体系，并 且无多余约束。2.3 几何构造分析方法利用以上规律，我们可以组成各种各样的几何不变体系，也可以对已组成的 体系进行几何构造分析。 1）组装几何不变体系 （1）从基础出发进行组装 把基础作为一个刚片， 然后运用各条规律把基础和其它构件组装成一个不变 体系。 例 1： 搭上了 5 个二元体 刚片 1在刚片 1 上搭上了 5 个二元体， 因此组成的是几何不变体， 并没有多余约束。例 2：刚片 1 二元体 二元体123地基作为刚片 2刚片 1 与刚片 2 由 3 根不交于一点的链杆（1、2、3）连接，组成了没有多 余约束的几何不变体系，然后在这个不变体上加上了 2 个二元体，因此整个体系 是几何不变的，且没有多余约束。 例 3：二元体刚片 11刚片 223地基作为刚片 33 个刚片由 3 个不在一条线上的铰（1、2、3）连接，组成了不变体，然后 在这个不变体上搭上了一个二元体，因此整个体系是几何不变的，且没有多余约 束。 （2）从上部体系出发进行组装 先运用各条规律把上部结构组装成一个几何不变体系， 然后运用规律 4 把它 与基础相连。 例 1：刚片 1 刚片 2 31 刚片 323 个刚片之间由一根链杆（1-2）和一个铰（3）连接，且 1、2、3 个铰不 在一条直线上，因此组成的是内部不变体，然后把它看成一个大刚片，它与地基 之间由 3 根不在一条直线上的链杆连接，因此整个体系是几何不变的，且没有多 余约束。例 2：21123刚片 1 与刚片 2 由 3 根不交于一点的链杆（1、2、3）连接，组成的是一个不 变体，把它看成一个大刚片，它与地基之间由 3 根不在一条直线上的链杆连接， 因此整个体系是几何不变的，且没有多余约束。 2）分析已组成的体系 例 1： 1在刚片 1 上搭上了 4 个二元体，因此上部体系是几何不变的，这个大刚片与 地基之间由 3 根不在一条直线上的链杆连接，因此整个体系是几何不变的，且没 有多余约束。 例 2：二元体 1122刚片 1 与刚片 2 由 1 根链杆（2）和一个铰（1）连接，且 3 个铰不在一条直 线上，因此组成的是几何不变体系，且没有多余约束。但这个体系相对地基来说 还有 3 个自由度。例 3：O刚片1 1 3 地基作为刚片3 2刚片23 个刚片之间由 3 根链杆（1、2、3）连接，但 3 个链杆交于一点，因此组 成的是瞬变变体。2.4 瞬变体系例：图示两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联结，分析其几何构造。△ △ △α1 =L1 L2 L3Δ L1α2 =Δ L2α3 =Δ L3α11α22α33α1 ≠ α 2 ≠ α 3假设 3 根链杆的底部不动，但它们顶部的运动趋势是一致的，因此运动是可 能的。但当两刚片发生了微小的相对运动后，三根链杆就不再平行了，也不交于 一点， 故体系就变成了不可变的了。 这种在短暂的瞬间是几何可变的体系称为瞬 变体系。 1）瞬变体系的几种情况 （1）两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆联结（如上图所示） 。如果三根链 杆互相平行又等长，体系是可变的，如下左图所示。O（2）两个刚片用三根其延长线交于一点的链杆联结，如上右图所示。 三根链杆的延长线交于点‘O’ ，两刚片在瞬间就会发生绕‘O’点的相对转 动，但是在短暂的运动发生以后，三根链杆的延长线就不再交于一点，体系就变 成了不可变体系。 ‘O’点称为虚铰或瞬铰。 O瞬铰O实铰如果三根链杆直接交于点‘O’点（右上图） ，则组成的是可变体系， ‘O’ 称为：实铰。 （3）三刚片用 3 个在一条直线上的铰两两联结。在中间铰处两刚片有共同的运动趋势，因此它们可沿公共切线作微小的运 动，但一旦运动以后，三个铰就不再共线，体系变成了不可变体系。 （4）三刚片用三对链杆联结 ① 一对平行链杆平行 链杆两虚铰的连线与组成无穷远铰的链杆平行，体系是瞬变的。 若两虚铰变成两实铰， 且连线与组成无穷远铰的链杆平行， 体系也是瞬变的。 若两虚铰的连线与组成无穷远铰的链杆不平行，体系是不变的。② 两对平行链杆平行 链杆组成无穷远铰的两对链杆互相平行，体系是瞬变的。 组成无穷远铰的两对链杆互相不平行，体系是不变的（如下图） 。 组成无穷远铰的两对链杆互相平行又等长，体系是可变的。两对平行链杆 互相不平行③ 三对平行链杆体系是瞬变的。2）瞬变体系不可作为结构使用 例：O P A B a L b L C∑X =0 ∑M ∑MARA = RC（1） （2） （3）= 0 RB × L + RC × h = P × a = 0 RB × L + RA × h = P × bC由第二式与第三式得： RA ≠ RC ，与第一式矛盾，因此无解。这是因为瞬变 体系在图示状态是可变的，因此不能运用平衡原理。 例：接近瞬变体系结构的受力分析αA P CαBFNCA CFNCBP取 C 结点：∑X = 0FNCA = FNCB2 FNCA Sinα = P∑Y = 0FNCA =P 2 Sinα若α 很小，FNCA 就很大。因此瞬变体系是不能作为结构使用的。2.5 几何构造分析举例例 1：01 5 03 6一3 1二02 42三 分析：刚片设置如图所示，刚片一与刚片二由杆 1、2 连接，交于无穷远铰 O1， 刚片二与刚片三由由杆 3、4 连接，它们交于铰 O2，刚片一与刚片三由由杆 5、6 连接，它们交于铰 O3。由于铰 O1、O2 的连线与杆 1、杆 2 平行，因此体系是无 多余约束的瞬变体系。例 2：4 两组 平行 3 一组 平行二1 52一6三 分析：刚片设置如图所示，刚片一与刚片二由杆 1、2 连接，交于无穷远，刚片 二与刚片三由由杆 3、4 连接，它们也交于无穷远，刚片一与刚片三由由杆 5、6 连接，它们交于 6 号点。杆 1、2 与杆 3、4 不平行，因此该体系是无多余约束的 不变体系。例 3：13一2二 分析：刚片设置如图所示，刚片一与刚片二由杆 1、2、3 连接，由于杆 1、杆 2、 杆 3 不交与一点，因此该体系是无多余约束的不变体系。例41一3 2二分析：刚片设置如图所示，刚片一与刚片二由杆 1、2、3 连接，由于杆 1、杆 2、 杆 3 不交与一点，因此该体系是无多余约束的不变体系。例 5：二元体一二123分析：刚片设置如图所示，去掉二元体，刚片一与刚片二由杆 1、2、3 连接，由 于杆 1、杆 2、杆 3 不交与一点，因此该体系是无多余约束的不变体系。例 6：O1O2一O3 2 1二3 4三 分析：刚片设置如图所示，刚片一与刚片二由铰 O3 连接，刚片一与刚片三由由 杆 1、2 连接，它们交于铰 O1，刚片二与刚片三由由杆 3、4 连接，它们交于铰O2。由于三个铰不在一条线上，该体系是无多余约束的几何不变体系。第3章本章主要内容 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 梁的内力计算回顾 斜梁 多跨静定梁 静定刚架 桁架 组合结构 三铰拱静定结构内力计算3.1梁的内力计算回顾在本章中要介绍的静定结构有： ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ 简支梁、悬臂梁 多跨静定梁 刚架 桁架 组合结构 三铰拱首先回顾一下梁的内力计算。 1）计算方法 所谓的内力就是：杆件截面上的弯矩、剪力和轴力。对于静定结构来说，利 用力的平衡原理，对每个隔离体可建立三个平衡方程： ΣX = 0, ΣY = 0, ΣM = 0 由此就可求得每个结构的反力和每根杆件的内力。 2）内力正负号的规定 轴力 FN ―拉力为正，压力为负 剪力 FQ ―使隔离体沿顺时针方向转动者为正 弯矩 M ―使梁的下侧纤维受拉者为正正MAB A端 FQAB杆端内力B端 FQBA正 FNBAFNAB弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正负号。轴力和剪力图可绘在杆件 的任一侧，但需标明正负号。 3）直杆内力的微分关系q(x)Fp dx M xyp(x)取出梁上一个微段：M q(x) dx FN FQ FN+d FN FQ+dFQ M+dMP(x) dx由平衡方程可得： dM = FQ , dx dFQ dx = ?q (x) , dFN = ? p(x) dx4）剪力图与弯矩图之间的关系 梁上 情况 剪力图 无外力 水平线 一般为 斜直线 均布力作用 （q 向下） 斜直线 抛物线 下凸 为零处 集中力作用处 （Fp 向下） 有突变 变号 （突变 值=Fp） 有尖角 （向下） 有极值 集中力偶 M 作用处 无变化 有突变 （突变值 =M） 铰处 无影 响弯矩图有极值为零5）内力计算及内力图 内力计算的一般步骤： 求反力→画弯矩图→画剪力图→画轴力图。 （1）求反力 a、上部结构与基础的联系为 3 个时，对整体利用 3 个平衡方程，就可求得反 力。 例：4kN B C∑X =01kN/mFAX = 1× 4 = 4kN4m∑MA=0FDY = (4 × 2 ? 1 × 4 × 2) ÷ 4 = 0 FAY = 4kNA 2mD∑Y = 02mb、上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对整体建立平衡方程，而且必须把结构打开，取隔离体补充方程。 例：20kN/m 2m由整体：∑X =0 ∑MAFAX = FBX（1）C=0FBY = 20 × 4 × 6 ÷ 8 = 60kN FAY = 20 × 4 ? 60 = 20kN6m∑Y = 0 ∑M=0AB 4m 4m取右半部分为隔离体：CFAX = 20 × 4 ÷ 8 = 10kN FBX = 10kN由式（1） ： （2）画弯矩图a、几种简单荷载的弯矩图▲ 简支梁在均布荷载作用下的弯矩图q qL2/8▲简支梁在集中力作用下的弯矩图FPFPL/4▲ 简支梁在集中力矩作用下的弯矩图M/2 MM/2b、用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下的弯矩图例 1：MA A q q MB B= +MA+MB例 2：=MA qL2/8MB=例 2：MA A FP MB B=MA+ +FP FPL/4 MB=MAFPL/4MB结论：把两头的弯矩标在杆端，并连以直线，然后在直线上叠加上由节间荷载 单独作用在简支梁上时的弯矩图。 （3）画剪力图 要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为基础，取一隔离体（要求剪力的 点为杆端） ，把作用在杆件上的荷载及已知的弯矩标上，利用取矩方程或水平或 竖向的平衡方程即可求出所要的剪力。 例：求 FQBA1m A 17 8 1m 26 B FQBA由： ∑ M A = 0 也可由： ∑ Y = 0FQCA = (?8 ×1 + 26) ÷ 2 = 9kN FQCA = 17 ? 8 = 9kN画剪力图：17+ 画剪力图要注意以下问题： ▲ 集中力处剪力有突变； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。 （4）画轴力图9要求某杆件的轴力，通常是以剪力图为基础，取出节点把已知的剪力标上， 利用两个方程即可求出轴力。 例：B 4 － A D FNBA 4 ＋ C ＋ 4 FQBA=- 4 FNBC FQBC= 4剪力图 由：∑Y = 0FNBC = ?4FNBA = ?46）用区段迭加法画弯矩图对图示简支梁把其中的 AB 段取出，其隔离体如图所示，把 AB 隔离体与相 应的简支梁作一对比，显然两者是完全相同的 。Fp A q L B MMA A FQABqMB B FQBAMA AqMB BMA A FYAq MB B FYB因此上图梁中 AB 段的弯矩图可以用与简支梁相同的方法绘制，即把 MA 和MB 标在杆端，并连以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作用在简支梁上时的弯矩图。为此必须先求出 MA 和 MB。 区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下： ▲ 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩值，按比例标在杆件相应 的点上，然后每两点间连以直线。 ▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是杆件的弯矩图。如果分段 杆件的中间还有荷载作用，那么在直线上还要迭加上荷载单独在相应简支梁上 产生的弯矩图形。 例：用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。8kN A C 1m 1m 2m 2m E 1m 1m 4kN/m16kN.mG解：a、把梁分成三段：AC、CE、EG。b、求反力：∑MA=0FY G = (8 × 1 + 4 × 4 × 4 ? 16) ÷ 8 = 7 kN FY A = 8 + 4 × 4 ? 7 = 17 kN∑Y = 0取 AC 为隔离体c、求分段点 C、G 的弯矩值：8 1m A 17 1mMCC FQBA∑MC=0M C = 17 × 2 ? 8 × 1 = 26kN ? m取 EG 为隔离体ME E FQEG 16kN?mG FYG = 7∑ME=0M E = 7 × 2 + 16 = 30kN ? md、 把 A、C、E、G 四点的弯矩值标在杆上，点与点之间连以直线。然后在 AC 段叠加上集中力在相应简支梁上产生的弯矩图；在 CE 段叠加上均布荷载在相应简支梁上产生的弯矩图； EG 段叠加上集中力矩在相应简支梁上产生的弯 在 矩图。最后弯矩图如下所示：A 2 C 26 8 E 30 8 G3.2斜梁1）斜梁在工程中的应用通常用作楼梯梁、屋面梁等。B AL2）作用在斜梁上的均布荷载根据荷载分布情况的不同，有两种表示方法： ▲ 人群等活荷载：力是沿水平方向分布，方向也是垂直向下。 ▲ 自重：力是沿杆长分布，方向垂直向下。q B A A q′ B dsdx LL工程中习惯把自重转换成水平分布的，推导如下：q ds = qdx'q 'ds q' q= = dx Cosα3）斜梁的内力计算讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较。b a Fp1 C A x L Fp1 A x L Fp2 B Fp2 B（1）反力 由：∑X = 0 F ∑M = 0BXA=0FYA =FP1 ( L ? a ) + FP 2 ( L ? b ) L∑MFYA =A=0FP1 × a + FP 2 × b LC因此得到：0 FXA = FXA 0 FYA = FYA 0 FYB = FYB结论：斜梁的反力与相应简支梁的反力相同。 （2）内力 求斜梁的任意截面 C 的内力，取隔离体a FP1 A FYA x C FQC MCAC：FNC相应简支梁 C 点的内力为：0 M C = FY 0 × x ? FP1 × ( x ? a ) A0 FQC = FY A ? FP10 FNC = 0FP1 MC0FYA0FQC0斜梁 C 点的内力为：0 0 M C = FYA × x ? FP1 × ( x ? a ) = M C 0 FQC = ( FYA ? FP1 )Cosα = FQC Cosα 0 FNC = ?( FYA ? FP1 ) Sinα = ? FQC Sinα结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同，剪力和轴力等于水平梁相应 点的剪力在沿斜梁切口及轴线上的投影。 例：求图示斜梁的内力图。 解：a、求反力B qXA = 0 FYA = FYB = qL 2AαLb、求弯矩q M A FYA x k FQk FNkq M = ( Lx ? x 2 ) 2c、剪力和轴力?L ? FQ 0 = q ? ? x ? ?2 ? ?L ? FQ = q ? ? x ? Cosα ?2 ? ?L ? FN = ?q ? ? x ? Sinα ?2 ?d、画内力图q MK0 FYA0 FQK0B A qL2/8 弯矩图 qLsinα qLcoα 2 B ＋ － qLcoα 2 剪力图 A qLsinα 2 － 轴力图 ＋ 2 BA3.3多跨静定梁1）多跨静定梁的组成由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的静定结构――称为多跨静定梁， 如图所示：2）多跨静定梁的应用主要应用于木结构的房屋檩条、桥梁结构、渡槽结构等。3）多跨静定梁杆件间的支撑关系图示檩条结构的计算简图和支撑关系如下所示：C A B 计算简图 D E FE C A B 支撑关系图 附属 部分 基本部分 DF附属 部分AB 支撑关系图我们把 ABC 称为：基本部分，把 CDE、EF 称为：附属部分。显然作用在 附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。 作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。4）多跨静定梁的形式多跨静定梁有以下两种形式：CE D F第 一 种 形 式AB计算简图ECFADB 支撑关系图第 二 种 形 式ABCDEF计算简图ABCD支撑关系图EF5）多跨静定梁的计算由于作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部 分也产生内力。而作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。因此计算 应该从附属部分开始。 例：求图示多跨静定梁的弯矩和剪力图。1kN/m B A 4m 1m C 2m 1kN 3kN D 1m E 1m F 3m 2kN/m G 1m 1m H解：a、层次图1kN/m B A 4m 1m C 2m 1kN 3kN D 1m E 1m F 3m 2kN/m H 1m 1mGE B A CFGHb、求反力FGH 部分：F G FYF2kN/m H FYG∑MF=0FYG =2× 2× 4 = 5.33kN 3∑Y = 0CEF 部分：FYF = ?5.33 + 4 = ?1.33kN3kN C FYCC D E FYE-1.33kN F∑MC=0FYG =2× 2× 4 = 5.33kN 3∑Y = 0FYF = ?5.33 + 4 = ?1.33kNABC 部分：1kN/m A FYA B 1kN C 1.44kN∑MFYB =A=0FYA1× 4 × 2 + 2.44 × 5 = 5.05kN 4∑Y = 0FYA = 1 × 4 + 2.44 ? 5.05 = 1.39kNc、画弯矩图及剪力图2.44 4 12 2 弯矩图 kN?m 2.44 1.39 1.441.3341.56 2.61 剪力图 kN1.33例：对图示结构要求确定 E、F 铰的位置，使 B、C 处的支座负弯矩等于 BC 跨的跨中正弯矩。q A L-x L E x L F x L L-x DB解：以 x 表示铰 E 到 B 支座、铰 F 到 C 支座的距离。a、层次图A E B C F Db、求反力 AE、FD 部分：FYA = FYE = FYF = FYD =c、求弯矩q ( L ? x) 2q( L ? x) qx 2 MB = Mc = x+ 2 2根据要求： M 中=MB=qL2/16 因此有：MB = Mc =q ( L ? x) qx 2 qL2 x+ = 2 2 16由上述方程解得： x = 0.125 LqL2 M B = MC = = 0.AE、FD 的跨中弯矩为：q ( L ? x)2 = 0.0957 qL2 8多跨静定梁的弯矩图及相应简支梁的弯矩图如下：0..0625qL2 多跨静定梁的弯矩图0.0957qL20.0625qL20.0957qL20.125qL22 2 0.125qL0.125qL2 相应简支梁的弯矩图3.4静定刚架1）刚架的特征刚架由梁和柱组成，梁柱结点为刚性联接。在刚性联接的结点处，会产生位 移如转角、竖向位移和水平位移，但杆件之间不会发生相对转角、相对竖向位移 和相对水平位移，即“要动大家一起动” 。2）刚架的应用主要用于房屋结构、桥梁结构、地下结构等。3）刚架的内力计算由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图与梁是一致的。 例 1：画出图示刚架的内力图。 解：编号如图所示D 30kN C 4m A 6m B 80 20kN/m 2m Ea、求支座反力∑X =0 ∑MAFXB = 30kN=0FYB =20 × 6 × 3 + 30 × 4 = 80kN 6∑Y = 0b、作内力图FYA = 20 × 6 ? 80 = 40kN作内力图时应注意以下几个问题： ▲ 弯矩图在结点处应满足 ∑ M = 0 ，因此当结点上没有集中力矩、结点只 有 2 根杆件时，弯矩图一定是画在同一侧的，即要么都在刚架的内侧，要么都在 刚架的外侧。▲ 剪力图和轴力图可任意画在刚架的哪一侧，但一定要标上正负号。90 60 180 180 40 ＋ － 30－80 ＋ 30 40 －－ 30 －弯矩图 kN?m剪力图 kN轴力图 kN例 2：作图示刚架的内力图 解：a、求反力 由于图示结构是对称的，因此：D20kN/m 2m 6m A 8m B 40 120 40 120 弯矩图 kN?m C EαFYA = FYB = FXA = FXB20 × 8 = 80kN 2取 AC 部分为隔离体：∑MC=0FXA =80 × 4 ? 20 × 4 × 2 = 20kN → FXB = FXA = 20kN 8b、作弯矩图如右下图所示，同时可得出以下结论：结论：结构对称、荷载对称，弯矩图是对称的。c、作剪力图取 DC 段为隔离体：20kN/m120 D FQDCC FQCD∑M ∑MC=0 =0FQDC = FQCD =120 + 20 × 4 × 2 = 62.6kN 16 + 4 120 ? 20 × 4 × 2 = ?8.9kN 2 5D取 CE 段为隔离体：20kN/m∑M120C=0FQCEC E FQECFQED =?120 ? 20 × 4 × 2 = ?62.6kN 16 + 4E∑MFQCE ==0?120 + 20 × 4 × 2 = 8.9kN 16 + 4作剪力图如下图，可得出以下结论： 结论：结构对称、荷载对称，剪力图是反对称的。8.9 62.6 ＋ FNDC 8.9 ― 62.6 ＋ 20 D FQDCτ― 2020剪力图 kN 80ηd、作轴力图取 D 结点为隔离体（右上图） ：∑τ = 0Cosα = 4 20FNDC = ?20Cosα ? 80 Sinα = ?53.6kNSinα = 2 2020 CτFNCD取 C 左结点为隔离体：∑τ = 0FNCD = ?20Cosα = ?17.88kNτFNEC取 E 结点为隔离体：FQECE∑τ = 0FNEC = ?20Cosα ? 80 Sinα = ?53.6kN取 C 右结点为隔离体：η8020∑τ = 0FNCE = ?20Cosα = ?17.8kN画轴力图如下：17.8 53.6 20 C FNCE 80 ― ― 80 ― ― 53.6τ同样可以得出以下结论：剪力图 kN结论：结构对称、荷载对称，剪力图是反对称的。例 3：作图示刚架的弯矩图 由于该结构与多跨静定梁一样 由主、从结构组成，因此计算应该 是先从附属部分开始，然后再计算 基本部分。 （1）先计算附属部分，有：FP (主) A 2m B 2m (从) C 1m 1m E D F 2FPF ΣM D = 0 得： FYC = P (↑) 2 F ΣFY = 0 得： FQDF = P (↓) 2ΣFX = 0 得： FNDF = FP (→)（2） 再计算基本部分，有：FQDF FNDF D 附属 C 2FPF FPF ΣM = 0 得： FYB = P (↓) A 2ΣFY = 0ΣFX = 0得： FYA = 2 FP (↑) 得： FXA = FP (→)FYC FNDFED 基本FQDF（3） 作 M 图如下所示。2FP FP F FP FP FP A B CFXA A FYAB FYB2FP 2FP ED2FPFP/2FP/2弯矩图4） 课堂练习---快速绘制 M 图FP qL2 2 q(a)(b)(c)qq (e) (f)(d)qFP q qL2 8qL 82FP FP (h)FP (i)(g)FPFP （从）MM（主）(j)(k)(l)MqL2 m m q m A a (m) B L (n) C a 8 FPa FP DB FP L FPL+m FP FPL L m m A FP+m/l L (p) (o) FP+m/l L C qL2 8qB LFPFP B L FPL FP L m/L FP A L FP (r) C FPL Dm mC DLA L m/L (q)3.5桁架1）桁架的特点由材料力学可知，受弯的实心梁，其截面的应力分布是很不均匀的，因此材 料的强度不能充分发挥。现对实心梁作如下改造：FpFp全部改造 截面应 力分布 弯矩图实际工程中的桁架是比较复杂的，与上面的理想桁架相比，需引入以下的假 定：a、所有的结点都是理想的铰结点； b、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心； c、荷载与支座反力都作用在结点上。 2）桁架的应用主要用于房屋的屋架结构、桥梁结构等。3）桁架的形式按外型分：平行铉、三角形、梯形、折线型、抛物线型。平行弦三角形梯形按承受荷载分：上承式、下承式折线形按组成的几何构造分：静定平面桁架、超静定平面桁架、静定空间桁架、超 静定空间桁架4）桁架的计算方法（1）节点法如果一个节点上的未知量少于等于 2 个，就可利用 ΣX = 0 ΣY = 0 两个方程 解出未知量。 （2）截面法 用一个截面切断拟求内力的等杆件，从结构中取出一部分为隔离体，然后利 用三个平衡方程求出需求的杆件内力。 （3）节点法和截面法联合运用 有的杆件用结点法求，有的杆件用截面法求。 （4）判断零杆 桁架中的某些杆件在某些荷载作用下可能是零杆，计算前可先进行零杆的判 断，这样可以简化计算。零杆判断的方法如下： ▲ 两杆节点ΣX = 0 ΣY = 0FN1FN 1 = 0FN 2 = 0FN1两杆结点FN2▲三杆节点ΣY = 0▲ 四杆节点FN 1 = 0三杆结点ΣX = 0 ΣY = 0FN 1 = FN 2 FN 3 = FN 4FN1FN3FN2▲利用结构的对称性FN4四杆结点由于结构对称，荷载对称，桁架杆件的轴力和反力一定对称。结构反对称， 荷载反对称， 桁架杆件的轴力和反力一定反对称。 利用这个规律可以进行零杆的 判断。 例 1：判断图示结构的零杆FpFp图中表注的杆件是零杆。 例 2：判断图示结构的零杆（分别按对称荷载、反对称荷载作用下进行分析）a、对称荷载作用下，由于结构是对称的（在图示荷载作用下，A 点的反力等于零） ，取出 D 结点：Fp D Fp E FCD FCEACBD由： ΣY = 0 得：FCD = FCE = 0 因此：DC 杆、EC 杆是零杆。Fp D Fp Eb、反对称荷载作用下，由于结构是对称的（在图示荷载作用下，A 点的反 力等于零） ，轴力应相对结构的对称轴反 对称，这就要求 DE 杆半根受拉、半根 受压， 而这是做不到的， 因此 DE 杆是零杆。ACB对称轴5）桁架计算举例例 1：计算图示 K 字型桁架中 a、b 杆的内力。Fpk Aa b B 4dh/2 h/2解：a、求反力∑MA=0FYB =FP × 3d 3FP = 4d 4 FP 3 FP = 4 4FNa∑Y = 0b、求内力取 k 结点为隔离体：FYA = FP ?∑X =0FNa = FNbk作 n-n 截面，取左半部分：FNb n Fpk A na b B 4dh/2 h/2∑Y = 02 FNa Sinα =FP 4FNa = FNb =FP 8Sinα例 2：请求出图示桁架杆 1、杆 2 的内力。Fp C D E F L/2 2 L/2 A L/2 L/2 H L/2 B L/21解 1：a、求反力∑MA=0FYB =0.5L × FP FP = 2L 4 FP 3FP = 4 4∑Y = 0FYB = FP ?Fp C nE F L/2 2 L/2D1O1 A L/2n L/2H L/2B L/2b、求内力取 n－n 截面，对 O1 取矩：∑M01=0FN 1Sinα ×L L 3F L + FN 1Cosα × = P × + FN 2 Sinα 2 2 4 2取 m－m 截面，对 O2 取矩：Fp C D E m 1 F 2 L/2 m L/2 O2 L/2A L/2 L/2HB L/2∑MO2=0FN 2 Sinα ×L L F L + FN 2Cosα × = P × + FN 1Sinα 2 2 4 2（1）FN 1Sinα × FN 2 Sinα ×L L 3F L + FN 1Cosα × = P × + FN 2 Sinα 2 2 4 2 L L F L + FN 2Cosα × = P × + FN 1Sinα 2 2 4 21 17 17 FP 6 Cosα = 4 17 17 FP 12（2）其中： Sinα =解得： FN 1 =FN 2 =解 2：利用结构的对称性，把荷载分成对称和反对称。a、 对称荷载作用下，中间两根杆 a、b 是零杆，取 C 结点：FP/2 C D F N1’FP/2 CFP/2ab F’N1 F’NCD H∑Y = 0取 D 结点：F ' NCD =0.5 FP = Cosα2 FP 2∑X =0' N1' FN 14 F + P =0 17 2（拉）F’NCD D F’N1F 17 ' F =? P = FN 2 8b、反对称情况中间的 c 杆是零杆，取 C 结点：FP/2 C c D F”N1 F”N1 FNCD H FP/2 C FP/2F NCH∑Y = 0取 D 结点：FNCD2 2 F + FNCH = P 2 2 5得： FNCD =FP 3 2F NCD∑X =0& FN 1 =FNCD2 4 & = FN 1 2 1717 FP '' = ? FN 2 24D F”N1把对称和反对称的合起来：FN 1 =17 FP 17 FP 17 FP + = 8 24 6FN 2 =17 FP 17 FP 17 FP ? = 8 24 123.6组合结构由受弯杆件和轴力杆件组成的结构称为组合结构。例：下图为一组合结构，其中 BD 杆为二力杆，其它杆件为受弯杆件。解： a、求反力B 1kN/m C D E 3m 3m∑Y = 0 ∑MBFYA = 1× 6 = 6kN= 0 FXA = 1× 6 × 3 ÷ 6 = 3kN∑X =0FXB = 3kNA 4m 2mFNDBb、求弯矩及轴力取 CDE 杆为隔离体CDE∑MC=0FNDB Sinα × 4 = 1× 6 × 37.5kN 2kN/mFNDB =18 × 5 = 7.5kN 4×3c、画弯矩和轴力图（轴力杆件的）9kN/m 2kN/m例 2：图示结构 AB 杆为受弯构件，其它杆件均为轴力杆。n 1kN/m CA E 2m 2m n 2m G 2mB解：a、求反力2mDF由于结构是对称的： FYA = FYB = 1× 4 = 4kNFXA = 0b、求轴力杆的轴力作 n―n 截面，取左半部分，由：∑M取 E 结点：C=0FNEG =?1× 4 × 2 + 4 × 4 = 4kN 2FNED FNEA E FNED∑X =0∑Y = 0FNEA = 4 2kNFNED = ?4kNc、画弯矩和轴力图2kN/m 2kN/m-4kN-4kN +4kN+4 2kN+4 2kN在上述的计算过程中可以得出以下结论： 对称结构在对称荷载作用下，在对称点处只有对称的内力，而反对称的内 力等于零。3.7三铰拱1）拱的特征及其应用拱式结构：在竖向荷载作用下，会产生水平推力。通常情况下它的杆轴线是 曲线的。FPFPFPFP曲梁三铰拱左上图所示结构在竖向荷载作用下，水平反力等于零，因此它不是拱结构， 而是曲梁结构。 右上图所示结构在竖向荷载作用下，会产生水平反力，因此它是拱结构。 常见的拱式结构有：三铰拱带拉杆三铰拱两铰拱 拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。 拱结构的优缺点：无铰拱a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯矩要比相应简支梁或曲梁的要小得多，因此它的截面就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大 跨度。b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因此它需要更坚固的基础或下部结构。 同时它的外形比较复杂， 导致施工比较困难， 模板费用也比较大。拱结构各部分的名称：拱顶f拱趾LL―跨度（拱趾之间的水平距离） f―矢高或拱高（两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离） f/L――高跨比（拱的主要性能与它有关，工程中这个值控制在 1―1/10） 2）三铰拱的计算在研究它的反力、 内力的计算时， 为 了便于理解，始终与相应的简支梁作对 比。 （1）支座反力计算a1 FP2 FP1 k yk C f B L1 L L2 FP3 a2 b1 a3 b2 b3∑MFYA =B=0Pi i∑FLAb0 = FYAAxk∑MFYB ==0Pi i∑FaL0 = FYBFP1 KFP2 CFP3取左半跨为隔离体：AB∑MC=00 FYA × L1 ? FP1 ( L1 ? a1 ) ? FP 2 ( L1 ? a2 ) M C H= = f f由前面计算可见： 三铰拱的竖向反力与相应简支梁的相同，水平反力等于相应简支梁 C 点的 弯矩除以拱高 f。H 与 f 成反比，在跨度一定的情况下，f 越小，H 越大，也就是说：f 越小，拱的特性就越突出。 （2）弯矩计算 求拱轴线上任意点 k 的弯矩，为此取 Ak 为隔离体：∑Mk=0M k = ? FYA xk ? FP1 ( xk ? a1 ) ? ? Hyk ? ?MK FP1 k FQK FNK（3）剪力计算 求拱轴线上任意点 k 的剪力，同样以 Ak 为隔 离体：τ∑η = 0FQk = FYACosα k ? HSinα k ? FP1Cosα k= ( FYA ? FP1 ) Cosα k ? HSinα kH A FYA FP1ηFQk = F Cosα k ? HSinα k0 Qkk MK（3）轴力计算 求拱轴线上任意点 k 的剪力，同样以 Ak 为隔 离体：FYAFQK∑τ = 0FNk = ? FYA Sinα k ? HCosα k + FP1Sinα k = ? ( FYA ? FP1 ) Sinα k ? HCosα k0 FNk = ? FQk Sinα k ? HCosα k三铰拱内力计算公式：M k = M k 0 ? Hyk0 FQk = FQk Cosα k ? HSinα k 0 FNk = ? FQk Sinα k ? HCosα k由上述公式可见：相同点的弯矩三铰拱的要比简支梁的小；相同点的剪力三 铰拱的也比简支梁的小；三铰拱的轴力比较大，而且是压力。例 1： 图示三铰拱的拱轴线方程为：100kN 20kN/m C y D 4m A 3m 3m 6m B xy=4f ( L ? x) x 请求出其 D 点 L2处的内力。 解：a、求反力∑MB=0FYA = (20 × 6 × 3 + 100 × 9) /12 = 105kN∑Y = 0FYB = 100 + 20 × 6 ? 105 = 115kN H =b、求 D 点的内力先求计算参数： xD = 3m105 × 6 ? 100 × 3 = 82.5kN 4yD =4× 4 (12 ? 3) × 3 = 3m 122MD D F左 左tgα D =dy 4 f 4× 4 = 2 ( L ? 2 x) = 2 (12 ? 2 × 3) = 0.667 dx L 12Cosα D = 0.832 Sinα D = 0.555H0 DNCα D = 33°42'求弯矩：F A FYAQCM D = M ? HyD = 105 × 3 ? 82.5 × 3 = 67.5kN ? m求剪力： 由于 D 点处有集中力作用，简支梁的剪力有突 变，因此三铰拱在此处的剪力和轴力都有突变。左 0左 FQD = FQD Cosα D ? HSinα DMD0 A FYA0 D FQD0左= 105 × 0.832 ? 82.5 × 0.555 = 41.6kN左 0左 FND = ? FQD Sinα D ? HCosα D= ?105 × 0.555 ? 82.5 × 0.832 = ?127kN右 0右 FQD = FQD Cosα D ? HSinα D100kN MD D F H A FYA A FYA0 D FQD0左 左= (105 ? 100) × 0.832 ? 82.5 × 0.555 = ?41.6kN右 0右 FND = ? FQD Sinα D ? HCosα DF左NDQD= ?(105 ? 100) × 0.555 ? 82.5 × 0.832 = ?71.4kN100kN MD0例 2：请求出图示三铰拱式屋架 D 点的内力。24kN 36kN 29kN C 0.06 2.6 0.2 11.7m 0.2 B 2.3 1.89D A 0.75解：a、求反力FYA = FYB = 29 + 36 + 24 = 89kN FXA = 0H=89 × 5.85 ? 29 × 5.1 ? 36 × 2.8 ? 24 × 0.2 2.09 = 127.8kNb、求 D 点的内力取 AD 为隔离体（直段） ：∑MD=0M D = ?127.8 × 0.2 = 25.56kN ? mFNDA MC D 127.8 A FQDA∑Y = 0 ∑X =0FQDA = ?127.8kN FNDA = ?89kNSinα = 0.316取 AD 为隔离体（斜段）Cosα = 0.94989 MD D 127.8 AτFNDC FQDC∑MD=0M D = ?127.8 × 0.2 = 25.56kN ? m∑η = 0FQDC = 89 × 0.949 ? 127.8 × 0.316 = 44.76kNη89∑τ = 0FNDC = ?89 × 0.316 ? 127.8 × 0.949 = ?149.41kN3）三铰拱的压力线及合理拱轴线（1）三铰拱的图解法 先复习几个概念：▲ 一般来说，一根杆件的任意截面上都有三个内力，它们可以用一个合力来 表示。M FN = M = R RFQ▲ 一根杆件上如果只有三个力作用，并保持平衡，那么这三个力必然交于一 点，组成一个封闭的力三角形。▲ 一个结构在一组力的作用下，如果保持平衡，那么这组力必然组成一个封 闭的力多边形。（2）图解法求合理拱轴线 合理拱轴线――在荷载作用下，任意截面上都只有轴力，而没有弯矩和剪力 的拱轴线。FP1 压力线 H FYA RA k点合力的位置及 方向,大小等于 RA。 FYB RB k 1 2 3 H FP1 FP1 RA O RB FP1 1 FP2 2 FP3 3合理拱轴线的求解步骤： ★ 用数解法求出反力，并用图解法求出反力的合力。 ★ 根据一定的比例，作出荷载与反力的力多边形，并由两反力的交点，作各 荷载的射线：O1、O2、O3。 ★ 作反力 RA 与 FP1 的交点“1” ，把 O1 射线推平行线至交点‘1’处，再作O1 线与 FP2 的交点‘2’ ，以此类推。上图中虚线所成的图形称为：三铰拱的压力线。由压力线可以求出拱上任意 点的内力，还可根据压力线离拱轴线的距离，判断拱的弯矩大小。 例如要求 k 点的内力步骤和方法如下： ★ 在 A1 段内的合力是：RA ★ 通过 k 点作虚线 A1 的垂线， 并量出距离， 乘以 RA， 即为 k 点的弯矩 Mk。 ★ 通过 k 点作拱轴线的切线及切线的垂线，把这两根线推平行线至力多边 形的 RA 处并通过“O”点，以 RA 为斜边作直角三角形，两条直边分别为 k 点的 剪力和轴力。 如果压力线与拱轴线完全重合，拱的弯矩为零，这样的拱轴线称为合理拱轴 线。 （3）数解法求合理拱轴线 已知： M k = M k0 ? Hyk 令： M k = M k0 ? Hyk = 0 有： yk = M k0 / H例：求图示对三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。1 1 解： M = qLx ? qx 2 2 20 kqCH=? qL L q L M =? × ? × f ? 2 2 2 4 qL2 = 8f0 C2? ?÷ f ?A Lf Byk = M k0 / H=1 qL2 4 f qx( L ? x) ÷ = 2 ( L ? x) x 2 8f L由上可见：在均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是一抛物线。第4章本章主要内容 4.5 4.6 静定结构的一般性质 各种结构型式的受力特点 由于学时问题，其它内容自学。静定结构总论4.5静定结构的一般性质（1）内力计算与杆件的截面无关 静定结构的内力计算与杆件的截面无关，因此设计时是先计算内力，然后 根据内力选择截面。 （2）支座移动不会产生内力 如图所示，静定结构在不考虑自重的情况下，若支座有一微小移动时，结 构是不会产生内力的。这主要是静定结构没有多余的约束，当某一支座沿着它支 撑的方向发生移动时，在这个方向上没有多余的约束进行阻止，因此位移顺利进 行，结构不会产生内力。（3）温度改变不会产生内力+t C当温度发生变化时，结构的杆件会发生变形（如上图所示） ，但由于静定结 构没有多余的约束，杆件的变形能不受约束地顺利进行，因此结构也不会产生内 力。 （4）制造误差不会产生内力 静定结构中的某些杆件如果有制造误差时（如比理论值长了或短了） ，同样 由于它没有多余的约束，是不会产生内力的，但是制造出来的结构不再是理论设 计的样子，杆件、结点都可能发生了移动。△CD（5）若结构某一部分能够平衡外荷载，则其它部分将不受力 如图所示，在 FP 作用下，只使相应的柱子受了压力，而其它杆件的内力均 为零。因此可以说：静定结构具有局部平衡的性质，具有“见死不救”的特点， 也可以认为静定结构受力不均匀。Fp=1（6）当静定结构的一个内部不变部分上的荷载作等效替换时，其余部分的内力 不变 如图所示，结构中 BC 梁上的荷载作等效替换后，其它部分的受力状况是不 会改变的。qABqlCl/2l/2（7）当静定结构的一个内部不变部分作构造改变时，其余部分的内力不变 如图所示，结构中 AB 杆件作等效替换后，其它部分的受力状况是不会改变的。Fp Fp Fp FpAB（8）满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯一解答。 也就是说静定结构的解对任何隔离体，都能满足平衡条件，而且是唯一的。4.6 各种结构型式的受力特点下面对简支梁、带悬臂梁、组合屋架、桁架、三铰拱在相同跨度下、相同荷 载下的内力进行比较。qL2/32 qL2/8 L qL2/32qL2/8qL2/32qL2/32从上面的比较可以得到以下几点： （1）实心简支梁：其跨中弯矩为 qL2/8，而且截面的应力分布不均匀，因此 最费材料，但在小跨度时它具有构造简单的优势。 （2）悬挑梁：它的悬挑部分会产生负弯矩，由此减小了梁的跨中正弯矩。（3）三角形组合结构：它的上面两根斜杆是受弯构件，但其跨度为 L/2，最 大弯矩等于 q(L/2)2/8=qL2/32，相当于简支梁的 1/4。它的下弦杆为拉杆，应力分 布均匀。 因此整体来说它的受力要好于简支梁， 但是它的竖向高度要大于简支梁。 （4）折线型组合结构，与三角形组合结构相比主要是受弯构件在支座处带 了一个折，这个“折”起到了两个作用，一是减小受弯构件的跨中弯矩，二是改 善支座处的构造处理。因此它的受力等要好于三角形组合结构。 （5）三铰拱，它的上面两根曲杆受有弯矩，但一般来说比较小，主要内力 是压力。当设计成合理拱轴线时弯矩等于零。因此它的受力要好于组合结构，但 它的竖向高度一般来说要大于组合结构。 （6）桁架：它的受力弦杆是受弯构件，但是它的节间距离一般小于组合结 构，因此它的弯矩较它要小。它的其余构件均为轴力杆件。因此桁架的整体受力 要好于组合结构，但竖向高度要大于组合结构。同是桁架受力也有好坏之分，这 主要与它的外形有关， 在平行弦桁架、 三角形桁架、 梯形桁架和抛物线形桁架中， 抛物线形桁架的受力最均匀的。第5章本章主要内容5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 影响线的概念 各种静定结构的影响线 机动法画影响线 三铰拱的影响线 影响线的应用 简支梁的内力包络图静定结构影响线5.1影响线的概念本章主要讨论静定结构在移动荷载作用下的反力与内力计算问题，具体解决以下两个问题。 （1）荷载移动时，反力及内力的变化规律； （2）荷载移动时，确定荷载的最不利位置，即确定使某个反力或内力达到最大 值的荷载位置，继而求出最不利的内力。 移动荷载――是一组大小不变、方向不变、互相间的距离不变，但是作用位 置随时间变化的荷载。 如：汽车荷载、火车荷载、吊车荷载等。 例：吊车荷载 小车 吊车轮子传下的一 组间距、 大小和方向 都不变的荷载吊车重 物FpFpAB吊车梁 ▲ 小车起吊重物后在吊车 （大车）上，沿厂房的横向移动。当小车起吊了最大重量，又移动到了大车的最边上（左边或右边）时，大车对吊 车梁产生最大轮压。 ▲ 大车在吊车梁上，沿厂房的纵向移动。大车的荷载是通过轮子传给吊车 梁的。由于轮子的间距是不变的，轮子与吊车梁的接触面较小，因此轮子传下来 的力可以简化成一组（个数等于吊车的轮子数）间距不变的、移动的集中力。 ▲ 设计时应考虑最不利的情况，即小车起吊了最大重量、并处在大车的最 边上（产生最大轮压）保持位置不时，大车沿厂房的纵向移动的情况，这时作用 在吊车梁上的力其大小、方向都是不变的。 结构在移动荷载作用下，其各个反力、各杆件的内力都是随荷载的移动而 变化的，而且它们的变化规律是各不相同的，因此只能逐个量值分别研究它们的 变化规律。 由于移动荷载的特点，研究时可用一个单位的移动力进行，然后运用叠加 原理，求出一组力作用下的结果。 影响线――是指结构的某个反力或任意点的某个内力值，随单位移动荷载 位置移动而变化规律的图形。 利用影响线我们可以确定结构在移动荷载作用下的最不利位置。 因此本章的 主要内容其实就是两个方面，一是各种静定结构影响线的研究，二是利用影响线 确定荷载的最不利位置，继而求出最不利的内力。5.2 各种静定结构的影响线静定结构影响线绘制方法有：静力法和机动法，我们将分别讨论。讨论的结 构有：简支梁、悬挑梁、多跨静定梁、桁架、组合结构、三铰拱。 1）简支梁的影响线 （1）反力影响线 把单位力 FP=1 作用于梁的任意位 置，求反力 FYA，FYB。 A xFP=1BL由∑MB=0得： FYA =L?x ……① L式①就是反力 FYA 的影响线方程，显然它是一个直线方程。取两点：x=0FYA = 1x=LFYA = 0画出 FYA 的影响线如下： 1 A B影响线上的值是无量纲的， 每一个竖标， 表示的是： 单位力作用于该位置时， 反力 FYA 的大小。 画影响线的规定： ① 影响线画在基线上或结构上，基线的方向及长度表示单位移动荷载的范 围。 ② 一般要求正的画在基线的上方，负的画在基线的下方，并应在影响线的 图形上标上正负号和关键点处的值。 同理求 FYB 的影响线方程： 由∑MA=0得： FYB =x ……② L式②就是反力 FYA 的影响线方程，显然它也是一个直线方程。 取两点：x=0FYB = 0x=LFYB = 1画出 FYB 的影响线如下： 1 A （2）弯矩影响线 求简支梁上 C 点弯矩的影响线。 首先让单位力在 C 点的左侧移动，即： B0 ≤ x ≤ a ，取 CB 为隔离体：xFp=1 MCAaCBCFQCBFYBb由∑MC=0得： M C = FYB × b =xb ……③ L式③为弯矩 MC 在 AC 段的影响线方程。显然是个直线方程，取两点：x=0MC = 0x=aMC =ab L其次求弯矩 MC 在 CB 段的影响线方程，让单位力在 C 点的右侧移动，即：a ≤ x ≤ L ，取 AC 为隔离体：x FP=1 AMCaCBbAFYACFQC由∑MC=0得：∑MC= FYA × a =( L ? x) bL4 ……○式④为弯矩 MC 在 CB 段的影响线方程。显然是个直线方程，取两点：x=aMC =ab Lx=LMC = 0画弯矩 MC 的影响线如下：ab+A aCab/L b B由上图可以看出：弯矩的影响线由两段直线组成，C 点是其交点。同时两段线沿长至梁边后，其竖标分别为：a 和 b（如图所示） 。 （3）剪力影响线 求简支梁 C 点的剪力影响线。首先让单位力在 C 点的左侧移动，即：0 ≤ x ≤ a ，取 CB 为隔离体：xFp=1MC BAaCbC FQCB FYB由∑Y = 0得：FQC = ? FYB = ?x ……⑤ L式⑤为剪力 FQC 在 AC 段的影响线方程，取两点：x=0FQC = 0x=aFQC = ?a L其次让单位力在 C 点的右侧移动，即： a ≤ x ≤ L ，取 AC 为隔离体：x FP=1 AMCaCBbAFYACFQC由∑Y = 0得：FQC = FYA =L?a 6 ……○ L式⑥为剪力 FQA 在 CB 段的影响线方程，取两点：x=aFQC =b Lx=LFQC = 0画剪力 FQC 的影响线如下：1 A ab/L－a/L+CB b 1由上图可以看出：剪力的影响线由两段直线组成，C 点是其突变点。同时 两段线沿长至梁边后，其竖标均为 1（如图所示） ，因此这两段直线是平行的。 2）悬挑梁的影响线D dA aCB b L dE（1）反力影响线 作悬挑梁 FYA 的影响线。显然单位力在 AB 段移动时，其影响线与相应简 支梁的影响线相同，因此只需研究 DA 段和 BE 段。 DA 段：根据前面的经验，它的影响线一定是直线，因此只需要把力作用 于 D 点，求出 FYA 的值即可。 FP=1 D d A a LCB b dE由∑M ∑MB=0得： FYA =(L + d ) d = 1+ L LBE 段：同样只需把力作用于 E 点，求出 FYA 的值即可。 由B=0得： FYA = ?d LFP=1 D d A a LCB b dE画 FYA 的影响线如下： 1+d/L 1 +－-d/L从以上的计算可以得出以下结论： 画悬挑梁某量值的影响线只需把相应简支梁的影响线延长即可。 （2）弯矩影响线 作悬挑梁 MC 的影响线，可用上面的结论作图。先画出 AB 简支梁段 MC 的 影响线，然后把左线和右线延长即可。 悬挑梁 MC 的影响如下： a b+D－ab/LCA dB－ ELd（3）剪力影响线 作悬挑梁 FQC 的影响线，同样可以先画出 AB 简支梁段 FQC 的影响线，然 后把左线和右线延长即可。 悬挑梁 FQC 的影响如下：1b/L+a/L 3）多跨静定梁的影响线 多跨静定梁的影响线是以简支梁和悬挑梁的影响线为基础的。下图所示多跨 静定梁，其 ABD 部分（悬挑梁）是基本部分，DC 部分（简支梁）是附属部分。 当力在 ABD 段移动时，就是悬挑梁的影响线。当力在 DC 段移动时，影响线应 该是直线，因此取两点的值即可。1A LB aD bC（1）作图示多跨静定梁反力 FYA 的影响线 先作出悬挑梁部分的影响线， 点处的值为 a/L， D 当力作用于 C 点时 FYA=0， 因此 FYA 的影响线如下所示： 1 D A L B a/L a b C（2）作 FYD 的影响线 由于 FYD 是附属部分的反力，因此当力在基本部分移动时 FYD 为零，当力 在 DC 部分移动时， FYD 是简支梁的反力。 FYD 的影响线如下所示： 1 + A L B a D b C（3）作 ME 的影响线 由于 E 点处于基本部分，因此 ME 的影响线在整个梁上都有量值。ME 的影 响线如下：+ cd/LA c L （4）作 FQE 的影响线 E d B aD C ac/L b由于 E 点处于基本部分，因此 FQE 的影响线在整个梁上都有量值。FQE 的 影响线如图所示： 1 A + E L 4）间接荷载作用下的影响线 如图所示，主梁 AB 所受的荷载为间接荷载。荷载在楼板上移动，其力通 过次梁以集中力的形式传给主梁。 Fp=1 A d楼板-B 1 a- DbC次梁C dD dB主梁（1）作主梁 k 点在间接荷载作用下的弯矩影响线 Fp=1 A da C db D d B分 AC、CD、DB 三段讨论。由于 k 点在 CD 段，当力在 AC、DB 段移动 时，由下面取出的隔离体可以看出，k 点的弯矩与直接荷载作用下的完全相同。 Fp=1 A FYA MK k Mk k FYB Fp=1 B当力在 CD 段移动时，k 点的弯矩求解如下：FYC =d?x dFYD =x dxC FYC FYC A FYA k FYC A FYA 直线方程 k MkDFYB FYD B FYBx d?x 1 × 2d ) × FYA = ( × d + d d 3d 2 x = ? 3 3d 2 x M kCD = ( ? ) × (d + e) 3 3d d?x 2 e d ? 2e ? ×e = d ? ? ×x d 3 3 3d显然 MkCD 是 x 的一次函数，因 此在 CD 段的影响线也是条直线。取两点：x=01 M kCD = (2d ? e) 3 1 M kCD = (d + e) 3刚好等于 AC 段在 C 点的值x=d刚好等于 DB 段在 D 点的值Mk 的影响线如下： d+e （2d-e)/3 2d-eACkDB（d+e)/3由以上的经验我们可以得出，间接荷载作用下的影响线可以按以下步骤作 图： ① 先画出直接荷载作用下的影响线； ② 然后对需求点所在区段的影响线进行修正。 （2）作主梁 k 点在间接荷载作用下的剪力影响线 按以上步骤作 k 点的剪力影响线如下： ① 先画出直接荷载作用下的 FQk 影响线； ② 然后对 CD 段的影响线进行修正，得到最后的影响线。 1C A k D B1（3）作主梁 C 点在间接荷载作用下的剪力影响线 C 点处有一次梁，因此剪力有突变：应为 FQC 左和 FQC 右。 FQC 左在 AC 段，因此 AC 段应该修正， FQC 右在 CD 段，因此 CD 段应该修正，影响线如下：1FQC 左影响线ACB 11FQC 右影响线AC D 1B例：求图示结构 FYA、FQE、FQF 的影响线。FP=1F AE BC D2m 解： （1）求 FYA 影响线1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 1mFYA 影响线1 A 1FQE 影响线 1 FQE 左影响线 11 1 FQE 右影响线 1 该题的主梁是多跨静定梁，应先作这部分在直接荷载作用下的影响线（上图 中用细线表示） ，然后进行修正。修正的原则是：在两个次梁之间的影响线应该 是直线，还要注意对边跨的补充和修正。至于 E 点的左剪力和右剪力除此之外， 还需左剪力对 E 点的左边跨进行修正，右剪力对 E 点的由边跨进行修正。 6）静定桁架的影响线 桁架上作用的移动荷载，一般是间接荷载，因此它的影响线作法与间接荷 载作用下的基本相同。 例：求图示桁架 ef、gh、eg 杆的影响线，荷载在 CD 间及 AB 间移动。FP=1 n C e A f h g B n h 6d D（1）作 ef 杆的影响线 ▲ 荷载在 CD 间移动（既上承式） ，分三段：C-e、e-f、f-D 分别讨论。首先 让荷载作用于 C-e 段，取 n-n 截面，可得 ：FNef = ?0 Mh h该段的影响线为：相应简支梁 h 点弯矩的影响线除以 h，并画在下方。 其次让荷载作用于 f-D 段，还取 n-n 截面，可得：FNef0 Mh =? h该段的影响线还是为：相应简支梁 h 点弯矩的影响线除以 h，并画在下方。 至于荷载作用于 e-f 段，由前面的经验知道它一定是直线，因此只需将 C-e 段在 e 点的值与 f-D 段在 f 点的值相连即可。 下面作 FNef 的影响线，步骤如下： ① 作基线，它的长度是：A-B； ② 把相应简支梁 Mh0 的影响线作于基线的下方，并把竖标除以 h； ③ 对上述影响线进行修正： a、把 AC 段和 DB 段去掉（因为荷载没有在这两段上移动） ； b、找到 e、f 两点影响线的值，发现 e-f 段中的影响线本来就是直线，因 此没有必要修正。 ▲ 荷载在 AB 间移动（既下承式） ，影响线的作法与上承式基本相同，只 是 AC 与 DB 段不需修正。FP=1 n C e A f h g B n h 6d DFNef 影响线（上承） 4d 3h 3d 2h FNef 影响线（下承） 4d 3h3d 2h（2）作 eg 杆的影响线 先作荷载在下弦移动。 当荷载在 A-g 段时， m-m 截面， 作 可得：FNgh = FYB ， 当荷载在 h-B 段时，同样可得： FNgh = ? FYA 。至于荷载作用于 g-h 段移动时，只 需将 A-g 段在 g 点的值与 h-B 段在 h 点的值相连即可。 同理可得到荷载在上弦移 动时 FNeg 的影响线。m C e AFP=1 D f h g B m h 6d1 FNeg 影响线（下承） 1 1 FNeg 影响线（上承） 1 （3）作 gh 杆的影响线 先作荷载在下弦移动。当荷载在 A-g 段时，作 n-n 截面，可得： FNgh = 当荷载在 h-B 段时，同样可得： FNgh = 的影响线。 FP=1 n C e A f h g B n h 6d DM eo , hM eo 。同理可得到荷载在上弦移动时 FNgh h2d h 4d 3h 2d h 4d 3hFNgh 影响线(下承)FNgh 影响线(上承)7）组合结构影响线 例：求图示组合结构 FNEF、MD、FQD 的影响线。FP=1 1.2m 1.2m 5.0 2.5 D A E 3 × 4=12m F C B（1）求 FNEF 影响线 作 m-m 截面求得： FNEF =FP=1 D A E m 3 × 4=12m F C BMC FNEF，影响线如下： 1.2m（2）求 MD 影响线 荷载在 AD 段移动， M D = FY B × 3 。荷载在 CB 段移动， M D = ? FYA × 3 。 荷载在 DC 段移动，影响线应是直线，因此取 D 和 C 两点的值连以直线即可。FP=1 D A E F 0.75 C BMD 影响线：＋ －1.5（3）FQD 求影响线 由于 D 点处有一集中力，因此剪力有左和右。求 FQD 左影响线，左 当荷载在 AD 段移动， FQD = ? FYB ? FNEF ×1.2 。当荷载在 DC 段移动， 3左 FQD = FYA ? FNEF ×1.2 1.2 左 。当荷载在 CB 段移动， FQD = FYA ? FNEF × 。 3 3FP=1 D A E F 0.25 C BFQD 影响线－左－0.75 0.5右 求 FQD 右影响线，当荷载在 AD 段移动， FQD = ? FYB 。当荷载在 右 右 DC 段移动， FQD = FYA 。荷载在 CB 段移动， FQD = FYA 。FP=1 D A E 0.75 F C BFQD 影响线右+ －0.255.3 机动法画影响线机动法画影响线运用的是虚位移原理。具体步骤是： a、要求哪一点哪个量值的影响线，就把相应的约束去掉，用力来代替（称 为真实的力状态） ； b、让去掉约束后的机构沿着力的方向发生单位的虚位移（称为虚设的位移 状态） ； c、让真实的力到虚设的位移上去做虚功，由虚功方程：所有外力所做的虚 功=0，可得到影响线方程，虚设的位移状态就是所要求的影响线。 （1）求简支梁反力的影响线FP=1 A B真实的力状态 把 FYA 的约束去掉，用力代替，得到一个机构，让该机构沿着力 FYA 的方 向发生一个虚位移，设虚位移为 1，如下图所示。 1A FYAδPB虚设的位移状态命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：FYA × 1 ? 1× δ P = 0得： FYA = δ P1 ……○δ P 是移动单位力所对应的位移，由于单位力可以在整个梁上移动，因此虚设位移图上的任意点都可称为 δ P 。因此虚设的位移图就是 FYA 的影响线。 （2）求简支梁弯矩的影响线Fp=1 A C B真实的力状态把 C 点的抗弯约束去掉，用一对力矩 MC 代替，得到一个机构，让该机构沿 着力矩 MC 的方向发生一个虚位移，设 C 点发生的相对转角 α + β = 1 。aα +β=1 αMCbβ虚设的位移状态命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：M C × α + M C × β ? 1× δ P = 0MC =δp α +β=δp2 ……○由式②可知，虚位移图就是 MC 的影响线。 （3）求简支梁剪力的影响线Fp=1 A C B真实的力状态把 C 点的抗剪约束去掉，用一对剪力 FQC 代替，得到一个机构，让该机构 沿着剪力 FQC 的方向发生一个虚位移，设 C 点发生的相对错动：a+b=1 。bFQCa虚设的位移状态命令真实的力到虚设的位移上做虚功，由虚功方程：FQC × a + FQC × b ? 1× δ P = 0由式③可知，虚位移图就是 FQC 的影响线。FQC =δpa+b=δp3 ……○5.4 三铰拱的影响线C例：求图示三铰拱 D 点内力的影响线 （1）MD 的影响线0 由于： M D = M D ? HyDD 2.25m A 3m 1.5m 4.5m B其中：0 MC H= f yD = 2MD0 影响线 －HyD 影响线22 0.67MD 影响线0.5只需将 MD0 的影响线与－HyD 影响线叠加即成 MD 的影响线。 （2）FQD 的影响线0 由于： FQD = FQD Cosα ? HSinαC D 2.25m A 3m 1.5m B其中： Sinα = 0.316Cosα = 0.949FQD0Cosα影响线 －HSinα影响线0.9490.632FQD 影响线0.473 0.158 0.527只需将 FQD0Cosα的影响线与－HSinα影响线叠加即成 FQD 的影响线。 （3）FND 的影响线0 由于： FND = ? FQD Sinα ? HCosα其中： Sinα = 0.316Cosα = 0.949C D 2.25m A 3m 1.5m 4.5m 0.316 B－FQD0Sinα影响线 －HCosα影响线 FND 影响线1.898 0.528 0.739 1.107只需将－FQD0Sinα的影响线与－HCosα影响线叠加即成 FND 的影响线。5.5 影响线的应用1）当荷载位置确定时求某量值的大小 简支梁反力 FYA 的影响线如下所示，其中 C 点的竖标 yc 是单位力移动至 C 点时， 反力 FYA 的大小。 C 点作用一集中力 FP 若 时，显然 FYA = FP × yc 。 若简支梁上作用有一组位置确定的荷载时， FYA 的计算如下：Fp1 Fp2 Fpi Fp1AycC BFpnFYA = ∑ FPi yii =1ny1 Ay2yiyn B若简支梁上作用有位置确定的均布荷载时，FYA 的计算如下：q a dxFYA = ∫ yqdx = ω qabb上式中的是均布荷载所对应的影响线面积。利用影响线计算在位置确定的荷载作用下某一量值大小的方法如下： ① 作出某一量值 S 的影响线； ②利用下式求出该量值的大小。S = ∑ FPi × yi + ∑ ωi qii =1 i =1nn运用上式要注意正负号，当影响线是负的时，式中的 yi 和 例：利用影响线，求出图示梁 C 点的弯矩。 解：作 C 点的弯矩影响线如下所示 。10kN C A1m 1m 2m要取负的。q=2kN/m 5kN B1m 1m 1mDMC 影响线1 0.5 0.50.251× 2 1× 0.5 M C = 10 × 0.5 + ×2? × 2 ? 5 × 0.25 = 5.25kM ? m 2 22）确定移动均布活荷载的最不利布置 移动均布活荷载指的是：人群荷载、雪荷载、雨荷载等，它不是永久作用在 结构上的。 下图是悬挑梁 C 点的弯矩影响线，若要求 C 点正弯矩的最大值，显然是移 动均布活荷载布满 AB 之间的时候。 若要求 C 点负弯矩的最大值，显然是移动均布活荷载布满 DA 和 BE 之间 的时候。 MCmax 布置D C A B EMCmin 布置例：求图示多跨静定梁 FYB、MB 的最布利荷载布置 。 解：先分别画出 FYB 和 MB 的影响线，然后按求正的最大值时，在影响线的正面 积部分布置移动均布荷载，求负的最大值时，在影响线的负面积部分布置移动均 布荷载的原则，进行荷载布置。ABCDC A BDFYA 的最不利布置C A BDMB 的最不利布置3）确定移动集中荷载的最不利位置 （1）影响线是三角形时的判别公式推导： 图示是一组移动集中荷载及某量值 的影响线。 荷载处于图示位置时，量值 S 的大 小为:y1F1 F2 F3Fi Fi+1Fnh y 2 y3 a yiS1 = FP1 y1 + FP 2 y2 + ?????? + FPn yn设荷载向右移动 Δx , 则 S2 为：y i+1 bynS 2 = FP1 ( y1 + Δy1 ) + FP 2 ( y2 + Δy2 ) + ?????? + FPn ( yn + Δyn )S 的增量为：ΔS = S1 ? S 2 = FP1Δy1 + FP 2 Δy2 + ?????? + FPn Δyn在影响线的同一条直线上有：Δy1 = Δy2 = ?????? = Δyi = Δxtgα = Δx ×h aΔyi +1 = Δyi + 2 = ?????? = Δyn = Δxtg β = ?Δx ×于是 △S 可写成：h bh h ΔS = ( FP1 + ??? + FPi ) Δx ? ( FPi +1 + ???FPn ) Δx a b当 S 为极大值时， Δx 往左或往右移动， ΔS 都应小于等于零。当 S 为极小 值时， Δx 往左或往右移动， ΔS 都应大于等于零。 要满足上述条件，必须有一个 力 FPi 作用在影响线的尖顶上，当求 极大值时，上式为： ① Δx 往右移动，FPi 落在‘b’段内则 有：y1F1 F2 F3Fi Fi+1Fnh y 2 y3 a yiy i+1 bynh h ( FP1 + FP 2 + ??? + FPi ?1 ) ? ( FPi + FPi +1 + ??? + FPn ) ≤ 0 a b② Δx 往左移动（是负的） Pi 落在‘a’段内则有： ，Fh h ?( FP1 + FP 2 + ??? + FPi ) + ( FPi +1 + ??? + FPn ) ≤ 0 a b若上二式成立，FPi 就称为是临界荷载，用 FCR 表示。把 FCR 左边的力称为 F 左，把 FCR 右边的力称为 F 右判断公式可写成：F左 Fcr + F右 ≤ a b当求极小值时：F左 + Fcr F右 ≥ a b① Δx 往右移动，FPi 落在‘b’段内则有：h h ?( FP1 + FP 2 + ??? + FPi ?1 ) + ( Fi + ??? + FPn ) ≤ 0 a b，F ② Δx 往左移动（是负的） Pi 落在‘a’段内则有：h h ( FP1 + FP 2 + ??? + FPi ) ? ( FPi +1 + ??? + FPn ) ≤ 0 a b判断公式与前相同：F左 Fcr + F右 ≤ a bF左 + Fcr F右 ≥ a b例：简支梁在汽车荷载作用下，求截面 C 的最大弯矩。 解： 简支梁截面 C 的的影响线如图所示， 把汽车车队中的 130kN 作用于影响线的 尖顶，车队由右往左行驶，用公式进行 验算：15m 4 5 4 C 25m 15 4 70 130 50 100 50 10070 130 + 50 + 100 + 50 & 15 25 70 + 130 50 + 100 + 50 & 15 256.88 9.38 7.50 6.00 0.38 70 130 50 100 50 100454154说明此位置也是临界位置，相应的 Mc 为：Mc = 100 × 3.75 + 50 × 6.25 + 130 × 9.38 + +70 × 7.88 + 100 × 2.25 + 50 × 0.75 = 2721kN ? m因此 Mc 的最大值为：2721kN?m（2）影响线是多边形时的判断公式： 下图为作用在梁上的荷载及某量值 S 的影响线。 把作用在每段影响线中的 荷载用其合力 Ri 表示，合力 Ri 所对应的竖标用 yi 表示，S 的计 算如下：R1 R22 αFi F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 Fn-1 Fnα3y2R3R3S = R1 y1 + R2 y2 + ?????? + Rn ynΔS 可写成：y1y3y4ΔS = R1Δy1 + R2 Δy2 + ?????? + Rn Δyn α1α4n= R1tyα1Δx + R2tyα 2 Δx + ?????? + Rntyα n Δx = Δx ∑ Ri tyα ii =1和前面一样，只有当有一个力作用在影响线的顶点时，才可能发生极值。 发生极大值时： 发生极小值时：Δx → ΣRi tgα i ≤ 0 Δx ← ΣRi tgα i ≥ 0Δx → ΣRi tgα i ≥ 0 Δx ← ΣRi tgα i ≤ 0例：下图为某一量值的影响线及一组移动荷载，FP=90kN，q=37.8kN/m，求荷载 的临界位置及临界值。 解：取图示荷载位置进行验算：3.5m 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 FP FP FP FP FP 7m q( Δx ← )∑ Rtgα = 90 × 4 × 8 + 90 ×10.25 0.25 ×(? ) + 1× 37.8 ××(? )+ 4 4 0.75 6 × 37.5 × (? ) = 4.5 ? 3.631? 0 68m11 4m0.75 6m( Δx → )∑ Rtgα = 90 × 3 × 8 + 90 × 2 × (?= 3.375 ? 4.191? 010.25 0.25 0.75 ) + 1× 37.8 × (? ) + 6 × 37.5 × (? ) 4 4 6可见上述位置是临界位置，其产生的临界荷载为：1 0.25 ? ? ? 0.813 + 0.75 ? × 2.5 ? + 37.8 × ? S = 90 × ( 3.5 + 5.0 + 6.5 + 8 ) × + 90 × ? 0.75 + ? ×1 8 4 2 ? ? ? ? ? 0.75 ? +? × 6 ? × 37.8 = 456.0kN ? 2 ?5.6 简支梁内力包络图内力包络图----在移动荷载作用下，由梁各截面内力最大值连接而成的曲线 称为包络图，它分弯矩包络图和剪力包络图。 内力包络图的做法：将梁沿跨度分成若干等份，求出各等份点的内力最大值 和最小值，用光滑曲线将最大值连成曲线，将最小值也连成曲线，由此得到的图 形即为内力包络图。 弯矩包络图 将梁分成十等份后，求出各分点截面的弯矩最大值，然后用光滑曲线连接而成。 剪力包络图 同样将梁分成十等份后，求出各分点截面剪力的最大值和最小值，然后用光滑曲 线连接而成。280kN 280kN 280kN 4.8m A 1.44 4.8m B 280kN12m 692.2 .8 8.7 324.8 218.4 134.4 .8弯矩包络图660.8 576.88456 -492.8剪力包络图-28 -56 -84-134.4-218.4-324.8-408.8-576.828 -660.8第 6 章 静定结构位移计算本章主要内容：6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 概述 支座移动产生的位移计算 力的虚设方法 制造误差产生的位移计算 温度作用时的计算 荷载作用下的位移计算 图乘法 线性变形体系的互等定理6.1概述1）计算所采用的理论――虚功原理 先复习一下以下概念： ▲ 虚功――力在由其它原因产生的位移上所做的功。 如图所示，简支梁加载次序是：先 FP1 后 FP2。FP1 A 12 FP2B△11△12△22整个过程力所做的功为： T =1 1 FP1 × Δ11 + FP 2 × Δ 22 + FP1 × Δ12 2 2其中： T = FP1 × Δ12 ――虚功（FP1 在由 FP2 产生的位移上所做的功） ▲ 虚功原理 刚体虚功原理： 所有外力所做的虚功等于零，即： W外 = 0 变形体虚功原理：所有外力所做的虚功等于内力所做的虚功，即： W外 = W内 虚功原理 虚力原理 虚位移原理 虚力原理：位移是真的，力是虚设的。用虚设力的办法来求真实的位移。 虚位移原理：力是真的，位移是虚设的。用虚设位移的办法来求真实的力。 显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理。2）静定结构位移的类型支座移动产生的位移――刚体位移 因为静定结构支座移动不会产生内力，杆件也就不会产生变形。 制造误差产生的位移――刚体位移 同样静定结构由于制造误差不会产生内力，杆件也就不会产生变形。 荷载作用产生的位移――变形体位移 静定结构在荷载作用下杆件会产生内力，也就会产生变形。 温度改变产生的位移――变形体位移 静定结构由于温度改变虽然杆件不会产生内力，但是会产生变形。 显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力 原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形菜体 的虚力原理计算。6.2 支座移动产生的位移计算支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。 例：图示简支梁 B 支座往下位移了 Δ ，求由此产生的 A 点转角 ? A 。A B Δ L真实的位移状态M=1虚设的力状态 解：运用刚体的虚功原理，把简支梁发生位移的情况称为：真实的位移状态，然 后虚设一个力状态，即在原结构要求转角处（A 点）虚设一个单位力矩。让虚设 力状态上的所有外力到真实的位移状态上去做虚功， 而这个虚功应该等于零， 即：1× ? A ?得： ? A =Δ L1 ×Δ = 0 L可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：Δ = ?Σ R × c其中： R ――由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力c ――真实的支座位移运用以上计算公式时还需注意正负号，反力与支座位移一致时取正，相反取 负。 例：图示三铰刚架 A 支座往下位移了 b，B 支座往右位移了 a，求 C 点的竖向位 移 Δ CV 和 C 点的相对转角 Δ C? 。 （1） 求 C 点的竖向位移 Δ C?CA b L/2 L/2B a真实的位移状态 虚设一个力状态：在 C 点作用一个竖向单位力，求出有支座位移处的反力 FYA 和LFXB 。求得： FYA =1 1 ， FXB = ， 2 4FP=1CAB虚设的力状态1 1 b a 运用位移计算公式可得： Δ CV = ?(? × b ? × a) = + 2 4 2 4（2）求 C 点的相对转角 Δ C? 虚设一个力状态： C 点作用一对单位力矩， 在 求出有支座位移处的反力 FYA 和FXB 。M=1 CAB虚设的力状态 求得： FYA = 0 、 FXB =1 L1 a 运用位移计算公式可得： Δ C? = ?( × a) = ? L L6.3力的虚设方法力的虚设方法 力的大小：一般虚设单位力。 力的位置：作用在所求位移的点及方向上。 力的方向：随意假设，若求出的位移是正的，说明位移与假设的方向一致。若是 负的，说明与假设的方向相反。 力的性质：求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；求二点的相对水平或竖 向位移加一对相反的单位集中力；求二点相对转角要加一对单位力 矩。Fp=1 B C求 C 点竖向位移FP=1B求 B 点水平位移M=1 C B求 C 点转角位移A B Fp=1 Fp=1求 A、B 两点相对竖向位移A Fp=1 B Fp=1求A、B两点相对水平位移M=1C求 C 点相对转角位移Fp=1/L CD Fp=1/L求CD杆相对转角位移6.4 制造误差产生的位移计算制造误差产生的位移应采用刚体的虚力原理计算。 例：图示桁架 AC 杆比要求的短了 2cm，求由此产生的 C 点水平位移。 解：虚设一力的状态：在 C 点作用一水平单位力，方向朝左（随意假设） 。求出 桁架各杆的内力，把有制造误差的杆件砍断，让内力暴露出来，变成外力，由于 它是压力，方向如图所示。C -2cm b C Fp=12AbBAB真实的位移状态 令虚设的力到真实的位移上去做功： 利用虚功方程有： 1× Δ CH ? 2 × 2 = 0 得： Δ CH = 2 2cm虚设的力状态例： 图示悬臂梁 C 点由于制造误差有一转角 α ， 求由此引起的 B 点竖向位移 Δ BV 。Mc=a B b A a C b FP=1 Bα A a C真实的位移状态虚设的力状态解：虚设一力状态：在 B 点加一竖向单位力，求出 C 点的弯矩，并把 C 点的抗 弯连系去掉，用弯矩 M C 表示。令虚设的力到真实的位移上去做功： 利用虚功方程有： 1× Δ BV + M C × α = 0 得： Δ BV = ? M C × α 负的说明真实的位移（向上）与假设的（向下）相反。由上面的讨论可以得出制造误差引起的位移计算公式如下：Δ = ∑ F N λ + ∑ M α + ∑ F Qη其中： F N 、 M 、 F Q ――虚设单位力作用下，杆件在有制造误差处产生的轴力、 剪力和弯矩。λ 、 α 、η ――制造产生的轴向误差、弯曲误差和剪切误差。正负号规定：虚内力与误差方向一致为正，方向相反为负。 例：图示桁架 DC 杆短了 2cm，FE 杆短长了 3cm，求 C 点的竖向位移。D -2 A +3 F 4m D FCE 3×4=12mBACFP=1EB真实的位移状态虚设的力状态解：虚设一力状态：在 C 点作用一竖向单位力，求出 DC 杆、FE 杆的轴力：FNDC =运用位移计算公式有：1 5 ， FNFE = 4 161 5 7 ΔC = ? × 2 + × 3 = 4 16 166.5温度作用时的计算温度作用产生的位移应采用变形体的虚力原理计算。计算公式推导： 图示简支梁上下温度不一样， t1 & t2 求由此起的 A 点转角 ? A 。t1 A Bt2 L αt1ds h1 h h2 +t1 +t0 +t2 ds αt2ds dθαt0ds先讨论一下，由温度变化引起的梁变形。从梁上取出一微段 ds，温度引起 微段的变形如图所示。其中，微段发生的转角为： dθ = 微段发生的轴向变形为： d λ = α t0 ds 其中： Δt = t1 ? t2 ――杆件上下边缘的温度差值α t1ds ? α t2 dsh=αΔtdsht0 ――杆件轴线处的温度变化值注意：温度变化不会产生剪切变形。 然后以梁由于温度变化引起变形的情况作为真实的位移状态， 在原结构要求 转角处施加一个单位力矩的情况作为虚设的力状态。t1 A t2 L B真实的位移状态M=1 A L B虚设的力状态 运用变形体的虚功原理，所有外力所做的虚功等于内力所做的虚功。Δ = ∫ F d λ + ∫ M dθ = ∫ F α t0 ds + ∫ MN NαΔthds以上结构只有一根杆件，若结构有 n 根杆件，则公式为：Δ = ∑ ∫ F d λ + ∑ ∫ M dθ = ∑ ∫ F α t0 ds + ∑ ∫ MN NαΔthds若温度沿杆长变化相同，且截面高度不变，则上式可写成：Δ = ∑ ∫ F α t0 ds + ∑ ∫ MNαΔthds = ∑ α t0ω N + ∑αΔthωM其中： ωN ――由虚设单位力产生的轴力图面积ωM ――由虚设单位力产生的弯矩图面积正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的变形方向一致时，取正号， 反之取负号。 例：图示三铰刚架，室内温度比原来升高了 300 ，室外温度没有变化，求 C 点的 竖向位移 Δ CV ，杆件的截面为矩形，高度 h 为常数，材料的膨胀系数 α 。00+300A 5m 5mB10m2mC解： 1）在 C 点作用一竖向单位力画出弯矩 M 和轴力 FN 图。 （Fp=1 2.08 2.08 2.08 2.08CM1 图0.208 A 0.5 Fp=1 0.38 0.38 C B 0.2080.50.50.5FN 图A B（2）运用公式求 Δ CVΔt = 300 ? 00 = 300Δ CV = ?α ×15 ( 0.5 × 10 × 2 + 0.38 × 5.38 × 2 )　　　α × ?30 ? 10 960 ? ? ? ? 0.208 × × 2 + 2.08 × 5.38 ? = ?α ? 211.2 + ? h ? h ? 2 ? ?6.6 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算采用的是变形体的虚力原理。1）积分法结构位移计算的一般公式推导图示悬臂梁微段 ds 发生了轴向变形 d λ 、剪切变形 dη 和弯曲变形 dθ ，求 B 点的竖向位移。把微段的变形浓缩至 D 点：C DAdsBCdλdηDdθdλ C Ddηdθ虚设一力状态：FP=1ABB 点的竖向位移为： d Δ BV = F N d λ + F Q dη + M dθ若整根梁上都由变形，则 B 点的竖向变形为：∫ dΔCV= Δ CV = ∫ F d λ + ∫ F dη + ∫ M dθN Q= ∫ F ε ds + ∫ F γ 0 ds + ∫ M κ dsN Q由材料力学可知： κ =LF F MP ， γ 0 = k QP ， ε = NP GA EI EA对结构则有： Δ = Σ ∫oL kFQP F Q L F FN M PM ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds ……① o o EI GA EA其中： M P 、 FQP 、 FNP ――荷载作用下结构产生的弯矩剪力、轴力M 、 F Q 、 F N ――单位力作用下结构产生的弯矩剪力、轴力做题步骤：a、写出结构在荷载作用下每根杆子的弯矩、剪力、轴力的方程； b、写出结构在虚设单位力作用下每根杆子的弯矩、剪力、轴力的方程； c、代入公式①进行计算。例：求图示简支梁中点 C 的竖向位移 Δ CV 。q kN/m A C L/2 L/2 FP=1 B真实的位移状态虚设的力状态C解：a、取虚力状态如图所示b、写出弯矩、剪力的方程：当0 ≤ x ≥L 时， 2 1 1 q q 1 M = x ， F Q = ， M P = Lx ? x 2 ， FQP = qL ? qL 2 2 2 2 2由于对称写一半即可。c、计算 Δ CV 1 ?q q ? 1 ? qL ? x ? Lx ? x 2 ? ? qL ? Lκ × ? 2 ?2 2 ? 2? 2 ?dx dx + 2 ∫ 2 0 EI GAΔ CV = 2 ∫L 20=5qL4 κ qL2 + 384 EI 8GA（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响 弯曲变形： Δ M =ΔQ ΔM5qL4 384 EI剪切变形： Δ Q =2κ qL28GA（取 κ = 1.2 ）两者的比值：EI ?h? = 11.52 = 2.56 ? ? 2 GAL ?L?若高跨比为： 结论：Δ h 1 = ，则： Q = 2.56% 结论： ΔM L 10在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度的话，一般可以不考 虑剪切变形及轴向变形的影响。 例：计算图示刚架 C 点的水平位移 Δ CH 和 C 点的转角 Δ C? ，各杆的 EI 为常数。q FP=1 B EI EI C B C LA LA真实的位移状态 解：a、求 Δ CH虚设的力状态虚设的力状态如图所示，写出杆件的 M 、 M P 的方程：1 BC 杆： M = 0 ， M P = ? qx 2 2 1 BA 杆： M = x ， M P = ? qL2 2 1 ? qL2 x L qL4 代入公式有： Δ CH = ∫ 2 （与假设方向相反） dx = ? 0 4 EI EIb、求 Δ C?虚设的力状态如图所示，写出杆件的 M 、 M P 的方程：B C M=1A虚设的力状态1 M P = ? qx 2 2 1 BA 杆： M = ?1 M P = ? qL2 2 1 1 ? qx 2 ( ?1) ? qL2 ( ?1) L L 2qL3 代入公式有：Δ C? = ∫ 2 （与假设方向一 +∫ 2 dx = 0 0 EI EI 3EIBC 杆： M = ?1致） 各种静定结构位移的计算公式如下： （1）梁、刚架 ――只考虑弯曲变形Δ = Σ∫LoM PM ds EI（2）桁架 ――只有轴向变形Δ=ΣFNP F N L EA（3）组合结构――受弯构件只考虑弯曲变形，轴力杆件考虑轴向变形Δ = Σ∫LoF FN M PM ds + Σ NP L EI EA（4）三铰拱――曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形、拉杆考虑轴向变形。Δ=∫LoL F FN F FN M PM ds + ∫ NP ds + NP L o EI EA EA1因为拱的轴力比较大。 曲杆的积分计算可用数值计算代替：Δ=ΣF FN F FN M PM ΔS + Σ NP ΔS + NP L EI EA EA1其中： M P 、 M 、 FNP 、 F N 、 EI 、 EA 都取 ΔS 段上中点的值。 例：求图示半径为 R 的圆弧形曲梁 B 点的竖向位移 Δ BV ，已知 EI 为常数。FP B ds k R θ A dθ O A O R FP=1 B真实的位移状态虚设的力状态解：取虚设的力状态如图所示，为求 M P 和 M 取 kB 隔离体如下：FP Mk k Nk Qk R}