幂级数函数项级数的概念定义1设函数列u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...都在区域I上有定义，则表达式u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...称为定义在I上的函数项级数。定义2取x0属于I，则函数项级数u1(x0),u2(x0),u3(x0),...,un(x0),...则称为常数项级数。若该常数项级数收敛，则称x0为的收敛点；若该常数项级数发散，则称x0为的发散点。定义3函数项级数的收敛点全体的集合称为其收敛域，发散点全体的集合称为其发散域。定义4对于任意一点x，级数u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...所确定的和应该是x的函数，记作：s(x)=u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),...（x属于I）.s(x)称为定义在I上的和函数。定义5若用sn(x)表示函数项级数的前n项的和，则在收敛域上有rn(x)=s-sn(x)，rn(x)称为余项。
幂级数的有关概念定义6 具有下列形式的函数项级数幂级数（1）称为幂级数。特别地，在中令即上述形式化为（2）称为 的幂级数。取为常数项级数，如收敛，其和为取为常数项级数，如收敛，其和为取为和函数项级数，总收敛，其和为对幂级数主要讨论两个问题：（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数。幂级数的收敛域具有特别的结构定理1：（i）如 在 收敛，则对于满足 的一切 ， 都绝对收敛；（ii）如 在 发散，则对于满足 的一切 ， 发散。证：（1）∵ 收敛∴ （收敛数列必有界）而 为几何级数，当 即收∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛（2）反证：如存在一点 使 收则由（1） 收，矛盾。由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使 收敛； 发散，称R为收敛半径，（-R，R）为收敛区间。幂级数的收敛域及其求法定理2：如幂级数 系数满足 ，幂级数则（1收敛区间为（-R，R）；（2）收敛区间为（－∞，+∞）；（3）幂级数 仅在一点x=0处收敛。注意：当时， 的敛散性不能确定，要讨论 的敛散性，从而求得收敛域。例1：求下列幂级数的收敛域。（1） （2） （3）解：（1） ， 故 ，当 时， 原级数为 为交错级数，满足& ， ∴ 收敛；当 时， 原级数为 发散，∴ 收敛域为解（2）由于 ∴ 故收敛域为 。解（3）令 ∴ 。当 时，原级数为∴ 发散；同理 时， 级数也发散 ，∴收敛域幂级数的性质定理求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：
幂级数的和函数
若对幂级数中的每一个x都有a0+a1x+a2x+…+anx+…=S(x)，则称S(x)为幂级数的和函数。
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证明数项级数发散以及函数项级数非一致收敛的方法 终
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幂级数问题,如图,为什么t=1的时候是发散的?
幂级数问题,如图,为什么t=1的时候是发散的?
这是一个常用结论(可用积分判别法证明):对于p-级数∑{1 ≤ n} 1/n^p,当p ≤ 1时发散,p > 1时收敛.本题在t = 1时就是p = 1/2的p-级数,因此是发散的.另外,当t = -1时,∑{1 ≤ n} (-1)^n/√n是通项绝对值递减趋于0的交错级数,根据Leibniz判别法是收敛的.
请问我算出来p是1，为什么t=1,p=1/2
首先明确, 讨论的级数是∑{1 ≤ n} t^n/√n,也就是∑{1 ≤ n} t^n/n^(1/2).要考虑t = 1时的收敛性, 代入得∑{1 ≤ n} 1/n^(1/2).比照p-级数的定义∑{1 ≤ n} 1/n^p,所以这就是p = 1/2的p-级数.你是怎么算出p = 1的?至于为什么要讨论t = 1或-1.是因为已经算出幂级数∑{1 ≤ n} t^n/√n的收敛半径是1,这保证了级数在|t|
1时发散.但在端点处需要讨论敛散性.
明白了！真是谢谢了！数项级数的收敛与发散判别法_图文_百度文库
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数项级数的收敛与发散判别法
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