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近5年对口高考三角函数题的分析与启示
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高考数学理科一轮复习任意角的三角函数学案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
高考数学理科一轮复习任意角的三角函数学案
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文 章来源莲山课件 w ww.5 y kj.Co m 第四章　三角函数与三角恒等变换学案17　任意角的三角函数导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．&&自主梳理 1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按______时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________角．(1)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是__________角．(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为____________________；终边在y轴上的角表示为__________________________________________；终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．(4)弧度制把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．(5)度与弧度的换算关系360°＝______ rad；180°＝____ rad；1°＝________ rad；1 rad＝_______________≈57.30°.(6)弧长公式与扇形面积公式l＝________，即弧长等于_________________________________________________．S扇＝________＝____________.2．三角函数的定义任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；②____叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；③________叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x≠0)．(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．&(2)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和____________．&&&自我检测 1．“α＝π6”是“cos 2α＝12”的&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.(;济宁模拟)点P(tan 2 009°，cos 2 009°)位于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ）A．第一象限&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．第二象限C．第三象限&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．第四象限3．(;山东青岛高三质量检测)已知sin α&0且tan α&0，则角α是&&&&&& （&&& ）A．第一象限角&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．第二象限角C．第三象限角&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．第四象限角4．已知角α的终边上一点的坐标为sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为&&&& (　　)A.5π6&&&&&&&&&&& B.2π3&&&&&&&&&&&&& C.5π3&&&&&&&&&&&& D.11π6&探究点一　角的概念&例1 　(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限；(2)写出终边落在直线y＝3x上的角的集合；(3)若θ＝168°＋k&#° (k∈Z)，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．
变式迁移1　若α是第二象限的角，试分别确定2α，α2的终边所在位置．
探究点二　弧长与扇形面积&例2 　(;金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α，0&α&2π，其所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C&0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
变式迁移2　(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
探究点三　三角函数的定义&例3 　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
变式迁移3　已知角α的终边经过点P(－4a,3a) (a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．
&1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法． &(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(;宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q，则Q的坐标为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ）A．(－12，32)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．(－32，－12)C．(－12，－32)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．(－32，12)2．若0&x&π，则使sin x&12和cos x&12同时成立的x的取值范围是&&&&&&&&&&&&&& (　　)A.π3&x&π2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.π3&x&56πC.π6&x&56π&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.π3&x&23π3．已知α为第三象限的角，则α2所在的象限是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．第一或第二象限&&&&&&&&&&&&&&&&& B．第二或第三象限C．第一或第三象限&&&&&&&&&&&&&&&&& D．第二或第四象限4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于&&&&&&&&&& (　　)A．sin 12&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.π6C.1sin 12&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．2sin 125．已知θ∈－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)A．－3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．3或13C．－13&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．－3或－13题号&1&2&3&4&5答案&&&&&二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________________．7．(;龙岩模拟)已知点Psin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．8．阅读下列命题：①若点P(a,2a) (a≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；②同时满足sin α＝12，cos α＝32的角有且只有一个；③设tan α＝12且π&α&3π2，则sin α＝－55；④设cos(sin θ)•tan(cos θ)&0 (θ为象限角)，则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上)三、解答题(共38分)9．(12分)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求AB的弧长；(2)求弓形OAB的面积．
10．(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.
11．(14分)(;舟山月考)已知角α终边经过点P(x，－2) (x≠0)，且cos α＝36x.求sin α＋1tan α的值．
答案& 自主梳理1．始边　顶点　终边　逆　顺　零　(1)第几象限(2){α|α＝kπ，k∈Z}　α|α＝kπ＋π2，k∈Z　α|α＝kπ2，k∈Z　(3){β|β＝α＋k&#°，k∈Z}　{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}　(4)半径　圆心角　弧度制　rad　弧度　(5)2π　π　π180　180π°　(6)|α|•r　弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积　12lr　12|α|r2　2.①y　②x　③yx　(2)α的正弦线　α的余弦线　α的正切线自我检测1．A　2.D　3.C　4.D课堂活动区&例1 　解题导引　(1)一般地，角α与－α终边关于x轴对称；角α与π－α终边关于y轴对称；角α与π＋α终边关于原点对称．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角．解　(1)π＋2kπ&α&3π2＋2kπ (k∈Z)，∴－3π2－2kπ&－α&－π－2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ&－α&π＋2kπ (k∈Z)．①∴－α角终边在第二象限．又由①各边都加上π，得3π2＋2kπ&π－α&2π＋2kπ (k∈Z)．∴π－α是第四象限角．同理可知，π＋α是第一象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为α|α＝π3＋kπ，k∈Z.(3)∵θ＝168°＋k&#° (k∈Z)，∴θ3＝56°＋k&#° (k∈Z)．∵0°≤56°＋k&#°&360°，∴k＝0,1,2时，θ3∈[0°，360°)．故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是56°，176°，296°.变式迁移1　解　∵α是第二象限的角，∴k&#°＋90°&α&k&#°＋180° (k∈Z)．(1)∵2k&#°＋180°&2α&2k&#°＋360° (k∈Z)，∴2α的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上．(2)∵k&#°＋45°&α2&k&#°＋90° (k∈Z)，当k＝2n (n∈Z)时，n&#°＋45°&α2&n&#°＋90°；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，n&#°＋225°&α2&n&#°＋270°.∴α2是第一或第三象限的角．∴α2的终边在第一或第三象限．&例2 　解题导引　本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起．确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解．解　&(1)设扇形的弧长为l，该弧所在弓形的面积为S，如图所示，当α＝60°＝π3，R＝10 cm时，可知l＝αR＝10π3 cm.而S＝S扇－S△OAB＝12lR－12R2sin π3＝12×10π3×10－12×100×32＝50π3－253 cm2.(2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，S扇＝12αR2＝12•αR•R＝14•αR•2R≤14•αR＋2R22＝14•C22＝C216.当且仅当αR＝2R，即α＝2时，等号成立，即当α为2弧度时，该扇形有最大面积116C2.变式迁移2　解　设扇形半径为R，圆心角为θ，所对的弧长为l.(1)依题意，得12θR2＝4，θR＋2R＝10，∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.∵8&2π，舍去，∴θ＝12.(2)扇形的周长为40，即θR＋2R＝40，S＝12lR＝12θR2＝14θR•2R≤14θR＋2R22＝100.当且仅当θR＝2R，即R＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.&例3 　解题导引　某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解．解　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t) (t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t&#|t|，当t&0时，r＝5t，sin α＝yr＝－3t5t＝－35，cos α＝xr＝4t5t＝45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34；当t&0时，r＝－5t，sin α＝yr＝－3t－5t＝35，cos α＝xr＝4t－5t＝－45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，t&0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；t&0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.变式迁移3　解　r＝－4a2＋3a&#|a|.若a&0，则r＝5a，α角在第二象限，sin α＝yr＝3a5a＝35，cos α＝xr＝－4a5a＝－45，tan α＝yx＝3a－4a＝－34.若a&0，则r＝－5a，α角在第四象限，sin α＝yr＝3a－5a＝－35，cos α＝xr＝－4a－5a＝45，tan α＝yx＝3a－4a＝－34.课后练习区1．A　2.B　3.D　4.C　5.C6.π4，π2∪π，5π4解析　由已知得sin α&cos α，tan α&0，∴π4＋2kπ&α&π2＋2kπ或π＋2kπ&α&5π4＋2kπ，k∈Z.∵0≤α≤2π，∴当k＝0时，π4&α&π2或π&α&5π4.7.74π解析　由三角函数的定义，tan θ＝yx＝cos 3π4sin 3π4＝－1.又∵sin 3π4&0，cos 3π4&0，∴P在第四象限，∴θ＝7π4.8．③解析　①中，当α在第三象限时，sin α＝－255，故①错．②中，同时满足sin α＝12，cos α＝32的角为α＝2kπ＋π6 (k∈Z)，不只有一个，故②错．③正确．④θ可能在第一象限或第四象限，故④错．综上选③.9．解　(1)∵α＝120°＝2π3，r＝6，∴AB的弧长为l＝αr＝2π3×6＝4π.……………………………………………………(4分)(2)∵S扇形OAB＝12lr＝12×4π×6＝12π，……………………………………………………(7分)S△ABO＝12r2•sin 2π3＝12×62×32＝93，……………………………………………………………………………………(10分)∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－93.………………………………………………(12分)10．解　(1)&作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的集合为α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.…………………………………………………(6分)(2)&作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z.……………………………………………………(12分)11．解　∵P(x，－2) (x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2.…………………………………………………………(2分)又cos α＝36x，∴cos α＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23.…………………………………………………………………………………(6分)当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；……………………………………………(10分)当x＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.………………………………………………(14分) 文 章来源莲山课件 w ww.5 y kj.Co m
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