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线性代数-第三版
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7 ; 978-7-313-10439-7
I&S&B&N ：
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开&&&&本：
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线性代数-第三版
特色及评论
&&&& 《线性代数(第3版新核心理工基础教材普通高等 教育十二五重点规划教材)》编著者上海交通大学数 学系。
&&&& 上海交通大学数学系是全国工科数学教学基地， 为满足少学时本科教学需要，特组织编写本教材。
&&&& 《线性代数(第3版新核心理工基础教材普通高等 教育十二五重点规划教材)》分为行列式、矩阵、n维 向量与线性方程组、特征值与特征向量、n维向量空 间、实二次型等6章。本书的特点是科学性与通俗性 相结合，由浅入深、循序渐进；每章后附有适量的习 题，书末给出全部习题答案。
&&&& 本书可作为高等院校的工业、农业、林业、医学 等专业及成人、高职教育各非数学专业的教材或教学 参考书，也可供读者自学及有关科技人员参考。
线性代数-第三版
l 行列式& & 1．1 n阶行列式的定义& & 1．2 n阶行列式的性质及其计算& & 1．3 克莱姆法则&& & 附录&& & 习题1&& 2 矩阵&& & 2．1 消元法矩阵&& & 2．2 矩阵的运算&& & 2．3 可逆矩阵&& & 2．4 分块矩阵&& & 2．5 矩阵的初等变换矩阵的秩初等矩阵& 习题2&& 3.l 维向量与线性方程组&& & 3．1 n维向量及其线性相关性&& & 3．2 向量组的秩& & 3．3 齐次线性方程组解的结构& & 3．4 非齐次线性方程组解的结构& -& 习题3& 4 特征值与特征向量& & 4．1 矩阵的特征值与特征向量& & 4．2 相似矩阵与矩阵的对角化& & 习题45 n维向量空间& & 5．1 向量空间及其子空间& & 5．2 向量空间的维数基与向量的坐标& & 5．3 基变换与坐标变换& & 5．4 向量的内积标准正交基和正交矩阵& & 习题5& 6 实二次型& & 6．1 实二次型的基本概念及其标准形& & 6．2 化二次型为标准形& & 6．3 惯性定理正定二次型& & 习题6& 习题答案
线性代数-第三版&&&&&&&&
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海淀公安分局备案编号：谁有上海交大微积分习题解答？
求大学数学微积分（上海交大编，高等教育出版社出版）的课后习题解题答案！！！
09-10-23 &匿名提问
我不知道你指的是通常大学理科所学的“高等数学”课程的范围，还是宽泛的、广义的“高等”数学的内容。同样的作为一本课外书，它们是很不同的。我只好多说一点。 一、通常“高等数学”课程的内容包括： 初等微积分（不同于复变函数、实变函数、泛函分析之类的高等数学分析）和简单的微分方程、线性代数初步、空间或平面解析几何、初等概率论和数理统计。上面的清单不是所有教材都面面俱到，还可能分成了不止一门课，有时“高等数学”这个课只是一些初等微积分和微分方程的内容。 这一类内容主要还是选择教材来看。常见的有如下一些，内容按由浅入深排列，你可以按介绍来选择。我个人觉得课外书还是找一本最简单的看，理解思想方法最主要： 1、北大版或人大版《文科高等数学》。想快速了解高数的一些思想、原理和计算方法的话，这两本书都是不错的选择。基本没有什么难度，高中生读来不会有什么障碍。还有一大好处是内容比较杂，微积分、代数、几何、统计什么的都有一点。 2、高等教育出版社，旧版是人民教育出版社，樊映川著《高等数学讲义》。这个书是五六十年代一直到80年代使用十分广泛的教材，尤其是师范类院校。讲解相当细致，例题选择精到，没有习题。这个书还有一大好处是先有很大篇幅讲空间解析几何，后讲微积分。 3、同济版（新版是第五版）《高等数学》。它是被国内工科大学广泛采用的一本教材，也是国家“十五”计划教材，在同类教材中算是比较好的，计算例题比较详细。不过我觉得作为“课外书”可能会嫌篇幅大了一点。（纠正santiagomunez说的一点，中国高数教材多如牛毛，并不以它为蓝本，同济这个书用得多一些，但还称不上什么权威） 4、西安交大版，或国防科大版《工科数学分析》。内容有相当深度，想把它当成课外书啃下来是很难的事情。工科数学分析的特点是所有问题基本都能让你“知其所以然”，不留逻辑漏洞，但又注意形象思维，不像数学专业的书那么形式化。 5、北大版，李忠编《高等数学》（物理类）。理科院系用书，难度和4差不多，重理论推导。也包含空间解析几何的内容。 6、北大版，张筑生著《数学分析新讲》（三册）。就是以前数学系用的书，这一版本的特点是比较注意形象性，把一些难理解的东西都放在较后面。但学完它肯定有很好的训练。 7、科学出版社新版，菲赫金哥尔茨，《微积分学教程》（三册）。经典教材。苏联的书就是讲得细，没得说，所有定理都有详尽的讨论。缺点是篇幅太大，有时过于罗索。 8、美国R·柯朗著《微积分和数学分析引论》，科学出版社。这是一本数学名著，讲了不少别的书很少提到的应用上的原理，风格比菲赫金哥尔茨的书明快一些。我就是看了这本书才搞明白“面积”的严格定义的。虽然比较难，但有不少有趣的内容，很值得一读。 9、W.Rudin《数学分析原理》，机械工业出版社，英文影印本和译本都有。这是一本数学名著。很难，都是从抽象的、一般角度讲数学分析。风格十分简约。不推荐初学者读。 如果是想自学，可能还是会需要有解答的习题集或问题集，也按难度排： 1、同济版高数的习题解答或同步辅导。想必你不感兴趣。 2、人民教育出版社，吉米多维奇，《数学分析习题集》；山东教育出版社，《数学分析习题集解》。这个书有4千多道题，无论如何是太多了，有许多同类型的重复。曾见有此书的精简本，也有一千多吧。 3、北大，方企勤，《数学分析解题指南》。跟上一个内容相似，难度也相似。量比较少，也比较精致。 4、高教，裴礼文，《数学分析中的典型问题与方法》。很难，讲了不少技巧。初学不推荐。 5、波利亚、舍贵，《数学分析中的问题和定理》。这是一本数学名著。超级难，但绝不是为了应付考试的书。有志于进入数学领域的话还是值得一看的。不过就是非初学也不怎么推荐。 二、宽泛的内容。 凡是中学以后的内容基本上都是广义的高等数学范畴，要列出一个详细的书单是困难的。但作为入门的、课外的读物，比较好的有： 1、北大，《数学的美与理》《数学的源与流》。都是讲数学的思想、方法和应用，前者尤其浅显易懂。 2、科学出版社，亚历山大洛夫，《数学——它的内容、方法和意义》（三卷）。这是一本数学名著。通俗地介绍了数学的各个分支的主要内容、思想方法和应用。因为是科普性质，所以有高中知识就可以读懂。而这本书的内容又十分广泛、全面，涉及的领域绝不浅近，是不可多得的好书。 3、上海科技教育出版社，克莱因，《古今数学思想》（四册）。一本十分经典的数学史的书，主要是西方数学成就，至今没有什么数学史的书比它更出色。和上面那本书一样是百科全书式的，不同的是上一本重“论”，这一本重“史”。
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抓住微积分，它是高数的核心，理解好导数和积分的含义。 题记―――高等数学，是某些自考专业的重要课程。但对于如何通过考试，如何学好这门课程，许多朋友都是百展莫愁，头痛不已。而高数及格率又是所有科目中及格率最低的几门之一，成为许多考生能否顺利完成专业课程的主要障碍。 数学，是一门深奥而又有趣的课程。如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它，你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难，这对于学好数学是一个非常必要的条件。 培根说，“数学是科学的大门和钥匙。”的确，数学是科学技术的基础。高等数学与应用数学（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程，等等）是各专业的重要基础理论课。在会计专业里，比如财务成本管理，审计，评估，管理会计，……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此。无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印。大凡经济学大家们，数学功底都极深。比如，约翰·纳什，萨缪尔逊，中国的茅于轼，……都是数学家或者有相当深厚的数学功底。即使是有些敌视数理经济学的张五常，也免不了要创造一个“张式数学”（这是俺给的名字）来加强论文说服力和逻辑性。 数学学科的特点是高度的抽象理论与严密的逻辑推理，要通过学习数学提高抽象思维能力，逻辑推理能力，数学运算能力以及应用数学解决实际问题的能力。任何一门数学课的内容都是由基本概念(定义)、基本理论(性质与定理)、基本运算(计算)及应用四部分组成，要学好数学就要在这四个部分上认真钻研刻苦努力，多下功夫。 基本概念要清楚，要读懂，要理解透彻、叙述准确，不能似是而非、一知半解。数学的推理完全靠基本概念，基本概念不清楚，很多内容就学不懂，无法掌握和运用。例如，线性代数中向量组的线性相关性、线性无关性，向量组的秩与极大无关组，矩阵的相似对角形等，初学者往往掌握不深不透，这就要通过复习与作习题的过程中逐步深入、反复思考、彻底读懂。 基本理论是数学推理论证的核心，是由一些概念、性质与定理组成的，有些定理并不要求每位初学者都会证明，但定理的条件和结论一定要清楚，要熟悉定理并学会使用定理，有些内容是必须牢记的。例如，矩阵的初等变换是线性代数的重要内容之一。求逆方阵、求矩阵的秩，解线性方程组等都离不开矩阵的初等变换，要懂得其中的道理，为什么可以用初等变换解决以上问题，理论依据是什么？是作初等行变换还是列变换。又如，线性方程组解的存在定理及解的结构定理，判断向量组线性相关与线性无关的有关定理，都是必须牢记的。在概率论的学习中，微积分知识对于理解概率统计的理论很重要。 掌握数学概念和理论并学会运用主要靠作题，在读懂了内容后要作题，而且要作一定数量的题，才能不断加深对内容的理解，提高解题能力，熟才能生巧，捷径是没有的，“不作题等于没学数学”这是大家公认的事实。在解题过程中要不断总结思路和方法，掌握解题规律性，通过作题提高分析问题、解决问题的能力，也就是逐步提高数学素养。我大学时期的数学老师是北大的研究生（当时正准备去美国读数学博士），福建省当年高考的状元，他高考数学是120分（满分），物理99分，……他告诉我学习微积分的经验就是作四万道题，保证微积分通过（包括考研微积分部分）。——作题的重要性可见一般。 要学好数学就要认真对待学习的各个环节。首先是听课，听课要精神集中，如能预习效果会更好，要抓住教师讲课中对问题的分析，作好笔记，学会自己动手，边听边记，特别要记下没有听懂的部分。第二个环节是复习整理笔记及作题，课下结合教材和笔记进行复习，要对笔记进行整理按自己的思路，整理出这一次课的内容。在复习好并掌握了内容后再作习题，切忌边翻书边看例题，照猫画虎式地完成练习册上的习题，这样做是收不到任何效果的。要用作题来检验自己的学习，是真懂了还是没完全懂。对于没有彻底读懂的地方再反复思考，直到完全读懂。（当然，我不鼓励象我一样，自己一个人看书，最好找一下免费的视频课件，效率会高些） 接着是阶段总结。每学完一章，自己要作总结。总结包括一章中的基本概念，核心内容；本章解决了什么问题，是怎样解决的；依靠哪些重要理论和结论，解决问题的思路是什么？理出条理，归纳出要点与核心内容以及自己对问题的理解和体会。 最后是全课程的总结。在考试前要作总结，这个总结将全书内容加以整理概括，分析所学的内容，掌握各章之间的联系。这个总结很重要，是对全课程核心内容、重要理论与方法的综合整理。在总结的基础上，自己对全书内容要有更深一层的了解，要对一些稍有难度的题加以分析解决以检验自己对全部内容的掌握。 若能把握住以上四个环节，真正做到认真学习，不放过一个疑难点，一定会学好数学。 当然，对于自考的高等数学一和高等数学二来说，详细具体的计划是必要的（最好计划要有些富余，以减少突发事件对计划的影响），毕竟我们要工作的，时间有限，合理的规划往往会事半功倍，“凡事预则立，不预则废”；历年考题的详细研究也是保证通过的一个不错的途径。因为自考的定位，就是考些我们应知应会的东东，题目往往不会太难，据说题库的总量好像也不大，每年重复出题的几率很高。当然，也会有个别题目有难度，因为被大多数学生考满分，说明老师水平有问题，：），至少试题有问题。 最后送两句话给自考的朋友，来点私心，也copy一份留送给自己。 “顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰。”——狄更斯 “没有比人更高的山，没有比脚更长的路。”――汪国真 4月17日，我在上海财大考了自考的高数（二），考试比预想中的要顺利很多，估计能够打破我参加自考以来的得分记录。自考不在于分数高低，关键在于花费最少的时间得到你想要的结果，考后回忆自己最后这一个月的复习历程感慨甚多，觉得有必要把自己的考试经历及最后1个月的应试方法写出来和大家共享。 第一次报名自考的时候就报了高数（二），报名之前就知道高数难，难到很多人为此放弃自考，但我当时并没有把这当一回事，我想我读书的时候成绩最好的就是数学，其他没有把握这门应该没有问题。但真正进行起来我发现完全不是这么回事，要把这两本书完全看懂几乎是不可能完成的任务，线性代数的书看了一半我就放弃了。 之后的几次自考我都没有报高数（二），一方面是想先把其他科目解决掉，另一方面是对这门课有点畏惧。但再怕还是要考的，我已经上了自考的贼船了！2005年4月的考试我再次报名高数（二），这次我准备了不少资料，最重要的是中华会计网校2004年的语音视频课件及讲义，我下定决心一定要考过。 我给自己订了个计划，分3个阶段学习高数，先听课件看讲义（从2004年12月到2005年2月，3个月完成60个课件），再做章节练习（2005年3月），最后做模拟试题冲刺复习。计划订得很好，但由于种种原因没有好好执行，想想我真可以算得上“三天打鱼，七天晒网”到了考试前1个月，也就是3月18日才看完线性代数1-4章，概率统计还没有碰（60个课件才完成了25个），而且效果极差。后面课程中涉及到的前面章节的知识点我象没有学过一样，战线拖得太长的弊端暴露无疑。眼见这次考试又要失败，我猛然觉醒，改变了学习方法，在1个月左右的时间里顺利完成了复习。 最大的改变就是从原先的想法“把书上的知识点弄懂”变成“如何通过这门考核”。 高数（二）的教材并不适合自学，编排体系比较乱，知识点很多，但真正要求重点把握的知识点有限。概率统计中有3章（1、7、9）几乎是不考的，还有些章节中部分内容考核中也不做要求（如线性代数中的分块矩阵、子空间、约当、惯性，概率统计中的多维随机变量、大数定律和中心极限定律不考，第8章只考一元线性回归方程）。我意识到在不到一个月的时间里完成自考的高数（二）必须从考核重点出发，明确学习重点，对重点逐一落实。自考的考生还是上辅导班比较好，但前提是要碰到一个有应试意识的老师。 明确了方向以后要做的事情就是如何明确重点。高数使用的是题库，我收集了从2000年到2004年的16份试卷，对主观题的考点做了统计归纳，具体如下： 线性代数部分： 矩阵的性质、定义 29 方程组求解 15 线性关系 11 行列式计算 4 向量正交 2 特征值、特征向量、对角阵、二次型 11 概率统计部分： 概率计算 23 分布函数与密度函数 25 矩估计 3 无偏估计 11 极大似然估计 2 数学期望 9 置信区间 7 假设检验 7 回归方程 9 （以上统计归纳仅供大家参考） 重点明晰以后我把有限的不到一个月时间重新排了个计划，还是3个阶段。 一、章节复习，重点归纳 重点复习历年试卷中重点考核的知识点，对重点题型认真理解，边学习边对知识点总结归纳，把基本的定义、定理、公式，自己掌握较差的知识点以及常见题型的解题思路及解题步骤记录下来，陆陆续续地在一本笔记本上记了40多页（个人认为这个笔记在应试方面的价值高于任何一本参考书）。每一章的总结完成以后再把历年16份试卷中涉及到该章的题目认认真真地做一遍，对基本的题型做到熟练掌握。 二、各章知识点串联 各章复习完成以后要把相关的章节串起来，我这时的复习重点是我自己的笔记，书已经被我扔到一边去了。 三、综合题复习 最后是看模拟题，这时我已经不动笔做题目了。最后2天是看我买的北大燕园的10套模拟试题，想解题思路（重点是证明题），再对照答案找感觉。当然进考场之前对一些公式之类的还是要再记忆一下。 最后一个月的复习是相当艰苦的，有时在写字台前一坐就是2个小时，这也算是对我前期复习拖沓的惩罚吧！如果我能够在考前2个月就开始调整状态、改变方法认真复习的话，那会轻松很多。 高数是自考中一大难点，很多人在心理上就非常畏惧，就象我这次考试时一个考场25个人只来了7个。高数的确很难，但并非高不可攀，综合我的学习经历，我给准备参加自考高数（二）的网友提供以下建议： 1、建立应试意识，明确考核重点。 2、重点内容重点复习，不求全部掌握，但对于历年考核的重点必须搞懂。 3、学会归纳总结。 我个人认为只要方法对头，平均每天能够投入2个小时，花上1个半月到2个月就能够消灭自考路上最大的拦路虎。 以上是我自考高数（二）的经历及个人总结的功利性的应试方法，这种方法对高数复习有效，但还是希望大家慎用。
你好！如何学好高等数学微积分 几点建议。一、学习高等数学，首先要理解知识间的必然联系，在头脑中形成一个知识网络。《高等数学》(一)微积分教材共有八章，涉及极限、微分、积分、级数、微分方程等方方面面的知识，需要理解、记忆、掌握、熟练运用大量的定理与公式。这就要求学习者在学习的过程中，理清思路，弄清整本教材的脉络。该课程的核心是微积分，围绕这一核心，需要了解作为微积分研究对象的一元函数和多元函数的概念。极限理论和方法是微积分建立，无穷级数学习的基础，因而极限论成为重要的基础内容。而微分方程则是微积分的一个应用，它与微积分有着密切的联系。从这些方面来看，虽然函数、极限、微分、积分、无穷级数、微分方程各自有各自的特点，但它们又是一个密不可分的整体。为此，在学习的过程中，应该掌握好每一块内容的重点和要点，由点带动面的学习，由局部带动整体的理解。二、学习高等数学时，注意多归纳、勤总结。归纳总结能帮助学习者将一些比较分散的知识集中起来，做到对某一方面的知识有一个全面、深入的了解，这样在解决问题时，头脑中会形成更多的思路，找到更多的解题方法。下面是对极限求法的一个归纳总结，以此说明归纳总结的重要性，同时也希望能对学习者起到一个抛砖引玉的作用。求数列或函数极限，是高等数学里的一类基础而重要的问题。常见的求法归纳起来有如下几种：1．先估计数列或函数的极限值，而后利用定义进行验证，这是求极限的最基本的方法，可用于求一些简单的极限。2．利用有限个函数的和、差、积、商以及复合函数求极限的运算法则求极限，可以使一些复杂的极限计算问题得到简化。3．利用无穷小的性质求极限。这主要包括：①有限个无穷小的和(差、积)仍是无穷小。②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。③非零无穷小与无穷大互为倒数。④等价无穷小代换。当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替。正因为等价无穷小的这一性质，所以在求极限时，可以简化计算，减少运算量，快速地解决问题，起到事半功倍的效果。要用好此性质，当然需要适当掌握一些等价的无穷小量。4．两个重要极限及其推广形式 (这里f(x)为一自变量同一变化过程中的无穷小量)。5．利用准则I(两边夹法则)和准则Ⅱ(单调有界数列必有极限)求极限。6．利用洛必达法则求0/0型，(无穷)/（无穷）型，0，无穷，无穷-无穷，0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方型函数极限。需要说明的是，求函数极限的方法很多，到底用哪一种方法简单，这需要具体问题具体分析。有时对一个问题，我们需要两种或两种以上的方法才能简便、快捷地计算出结果。同时运用洛必达法则和等价无穷小代换，可以大大减少计算量，同时也减少了出错的可能。三、学习高等数学，注意自始至终要做到学习与思考相结合。整个学习的过程就是思考的过程。我们在中学就知道，“学而不思则罔，思而不学则殆”的道理。这句话提醒我们只有把学习与思考结合起来，才能不断发现问题，有所收获。遇到一些典型问题要多加考虑，追根溯源，这样不管问题如何变化，都能做到游刃有余。对于有些函数在高等数学里被称为变上、下限的积分函数。这类函数在极限问题和微分问题中是常见的，由于该函数较为抽象，学习和理解起来难度相对来说大一点。教材中已给出当积分上限为变量x时，有公式，我们可以进一步考虑到当积分下限为变量x时，应该有对应的公式成立。再往深处思考，我们还能想到当积分上限为变量x的函数b(x)，积分下限为变量x的函数a(x)时，应该有更相对应的公式成立。通过思考若能掌握这些要点，那么再次遇到有关变上、下限的积分函数的问题，都可轻松解决了。四、学习高等数学时，还要多加注意问题与问题之间的联系，做到自觉灵活地分析和解决问题。对于1/x的不定积分，其一个原函数为lnx，这是一个大家都很熟悉的公式，再有我们还熟知f(x)导数的不定积分=f(x)+c。如果将这两个知识点联系起来，便可组成一个求解不定积分的问题。解决不定积分的根本出路是用公式积分，教材中列出了13个基本积分公式。但直接套用公式的积分问题是很少的。我们所遇到的大多数问题与积分表中所列公式存在差异，因此求解不定积分的基本方向是改变被积分的形式，从而达到能够运用基本积分公式的目的。于是教材中列出了三种常用的基本积分法。一是直接积分法；二是换元积分法，具体地又分为第一换元法(又称为凑微分法)和第二换元法；三是分部积分法。积分时选用哪一种方法，这就要根据题目的特点来定，当然学习者平时的经验积累与敏锐的观察力也是必不可少的。就此例来说，被积函数中含有1/x和lnx，联系它们之间的关系，我们可选用换元法中的凑微分法，将(1/x)dx写成d(lnx)，此类问题即可迎刃而解。五、学习高等数学，日常练习是必不可少的。通过练习，一方面可以回顾、巩固所学知识，另一方面还可以总结解题的关键和思路。但做练习也要适度，不必沿袭中学的题海战术，练习时尽量找有代表性，少而精的题目。比如，分段函数是高等数学里一类基础却重要的函数为例。所谓分段函数是指在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的一个函数。分段函数的定义虽然简单，但我们可以利用它联系起来起很多知识。如已知一分段函数,求:①函数的定义域；②f(1)，f(0)，f(-3/2)，f(1/2)；③研究函数在间断点处的连续性与可导性；④求积分f(x)在某个范围的定积分。通过练习此题的①②④，可以帮助我们深入理解分段函数的定义。对于③的求解，需要用到左、右连续和左、右导数的定义以及函数在某一点处连续和可导的充要条件。更多地，我们从中还可找出函数极限存在、连续与可导之间的密切关系。可谓是一举多得。六、学习高等数学，讲究循序渐进，不可急于求成。这是因为任何知识的学习都需要一定的消化过程，高等数学更是如此。学习者应根据自己的实际能力选择一个适当的学习进度。不要一味地追求速度，而忽略了学习的效果，也不要因为某一方面的问题不能解决而放弃学习或停止不前。最好的学习方法是边学习边复习。不断地学习能帮助我们吸收新的知识，而有计划的复习能巩固知识，深化知识，达到对知识的深入理解。在学习过程中遇到各种各样的问题是在所难免的，如果实在不能掌握该问题，建议大家不妨暂时把问题分成一系列小的问题，然后去复习、回顾那些与此相关的基础知识，采取各个击破的方法排疑解难，直到最终解决该问题。比如说，在微分学一章中，以求多元抽象复合函数的高阶导数最为困难。为了克服这一难关，学习者最好先打牢有关的基础，如：什么是多元函数？复合函数以及多元复合函数的含义是什么？什么样的函数为抽象函数？怎样正确做出多元复合函数的求导链？如何理解多元抽象复合函数的一阶导数？解决好这些问题，会对我们掌握好多元抽象复合函数的高阶导数起到关键的作用。
都大学生了还问这个问题不觉得对不起自己么？建议你先不要浮躁静下心来慢慢看，多做一些练习实践永远是这种问题的最好答案
还有比多做更好的办法了吗？
请登录后再发表评论!高校非数学专业学生为什么要学习数学？上海交大数学系
2007.4 上海交通大学公共数学课程体系的改革已走过了6年多了。对于这项改革的定位，当时主管人才培养工作的叶取源副校长在一开始就明确提出了“交大研究生教育是精英教育”和“交大要做研究生数学课程改革的排头兵和探索者”的总要求，在这四年的课程教学和课程建设中，我们一直牢记在心，不敢有所放松，把这两条总要求较全面较深入地体现在全过程中，并将在以后的深化改革过程中继续落实。当然，由于数学课程的影响有较长时间的滞后作用，这些工作的功过得失，有待于时间“老人”加以检验和鉴定，有待于历史和后人们加以评说，特别是那些以后做出了杰出贡献的毕业生，在认真思考后得出的体会才真正是有价值的评价。这6年多来的进展和存在的问题同样相当多。我希望这项工作能够一直继续下去，坚持下去，当越来越多的毕业生有所认识有所体会的时候，那才是真正的评判。我准备从几个不同的角度，来阶段性地尽量客观地讨论这项工作。第一篇是非数学专业学生为什么要学习数学？以后若干篇将就学什么，怎么学等展开，目的是抛砖引玉，希望引起大家对高等数学教育教学的关注，一起来讨论研究，使我们的教学搞得更好。 一． 一个绕不过去的老问题在确定设计课程体系的指导思想之前，先要回答几个必须要弄清的问题：非数学专业的学生为什么要学习数学？他们应具备哪些数学素养和数学能力？学什么样的数学？学多少数学？怎样学数学？什么时候学数学？等等。这些都是从上层领导到每一位数学教师，甚至每一位学生需要回答的问题，这些问题是绕不过去的，因为不能很有说服力地回答它们，设计课程体系的指导思想无法确立。当然，这样的问题，每一个受过高等教育的人，几乎都可以、也都有兴趣来说上几句，就像巴西人几乎都能说上几句足球一样。但是，由于每个人的数学素养和功底不同，学术经历和认识程度不同，或者学术定位不同，对此就可以有100种说法，再过100年还会是如此。不过有一个现象是很奇特，各学科的人们，不管其数学素养和功底如何，他可以说自己的学科与物理关系不大，与化学距离很远，等等，但总是承认数学对他们是“有用”的，尽管他们中的一部分人所认识的“有用”和从业于数学的人所理解的“有用”有所不同，尽管有的说数学“很有用”的学科一讲起他们用的数学的时候会露出一点马脚，。。。。。等等，可以说，说数学无用的人恐怕没有，因为今天他也知道，如果在公开场合对数学说三道四，等于在否定自己的科学品味！这也许令人鼓舞。有不少人也许会承认数学对于高层次人才的重要性，但是一碰到学习数学、理解数学、掌握数学和应用数学的艰难，又会找很多理由，为自己改变主意构造下台的台阶。所以，我们还是回到数学本来的面貌来认识数学的作用。按照经典的说法，数学研究“现实世界里的数量关系和空间形式”，简略的说，数学是研究数与形的科学，这是100多年前恩格斯定义的，现在的数学比100年前进步很多，但这样说数学还是可以接受的。至少，我们可以从下面几个方面来认识数学。第一，数学是一切科学共同的表述语言。一门成熟的科学总是需要定量地来表示和表现其现象乃至内在规律，这就需要也只能依靠数学来表述，有些学科，比如植物学，生理解剖学等曾经用图画和标本等记录和描述研究对象的特点和性态，但今天可用计算机数字图象更清晰地描述和分类，这就离不开数学。牛顿在有了微积分之后才能够表达万有引力和机械运动的规律，爱因斯坦只是在别人告诉他黎曼关于弯曲空间的成果后才得以继续广义相对论的研究，等等。今天我们拥有大海一样多的人类基因数据，尽管有人想用此法那法来“挖掘”生命的规律，但并无真正的进展，根本原因在于没有找到合适的数学工具，或者说，现有的数学也许还不足以描述复杂的生命现象，更不要说生命规律！新的数学思想，数学理论和数学框架，可能在生命研究，智力研究中产生和形成。第二，数学是一把钥匙，打开科学大门的钥匙。这是因为只有科学的规律被描述出来了，才可能被深刻地研究，才可以产生成果。第三，数学是一种工具，一种进行抽象思维和形象思维的工具和载体。任何高等的思维是建立在概念的基础上进行的，只有建立了概念之间的联系，才可能推理和思维。不掌握量的规律，就不可能对各中事物的质获得清晰的认识，而数学正是研究量的科学，它能帮助人们总结和积累量的规律性，成为人们认识世界的有力国家工具。计算机问世以来，科学计算已成为理论演绎，实验之后的第三种科学研究的基本方法。历史上的许多技术突破，实际上是数学技术的胜利。第四，数学是一门科学。数学和其他自然科学不同，它忽略了物质的具体形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界，它是和研究思维规律的哲学类似，具有超于具体科学之上、普遍适用的特征。第五，数学是一种文化，而且是一种先进的文化，人类文明的重要支柱。而且，掌握了这种文化，对于开启人的智力大有好处。正因为如此，交大对学生的数学要求，历来很高。这样的高要求一是源于当代科学技术的发展的需要，二是出于交大对培养人才的定位和对人才标准理念的认识。先谈第一点。大家知道，科学技术的发展速度在近半个世纪中越来越快，新产生的知识和科学成果总量呈几何级数上升。许多学科在过去十年中的发展变化，常常超过以前一百年、甚至更长时间中的总和。在这个变化趋势中，一个显著的特点是研究、分析问题的定量化越来越重要，数学本身在20世纪中有了巨大的发展，同时，它向其他科学、技术、管理领域的渗透、交叉与融合，更是到了翻天覆地的变化。 数学在科学技术发展中的作用越来越突出，有什么样的基础和知识水平，就能理解和解释什么样的现象，从而能提出什么样的理论。小学生学了算术，可以在假设的基础上做船在流水中顺水逆水运动的应用题；到了中学，有了代数方程的基础，就可以理解和计算直线上的匀加速运动和匀速圆周运动，讨论比小学复杂一些的现象和问题；只有学了大学的微积分，你才会计算复杂的曲线运动，但是仅仅懂微积分而不懂现代数学，还是不能理解相对论和量子理论，更不要说提出这些领域的新理论。这说明了我们必须用最先进的数学和其它知识来武装自己，才能进入前沿的研究。 科学的发展，对高水平研究人员的基础知识的要求越来越高，越来越没有底线。在19世纪70年代，还在现代数学发展的早期，恩格斯曾经对数学应用的状况作过这样的估计：“在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在流体力学中已经比较困难了，在物理中多半是尝试性的和相对性的，在化学中是取简单的一次方程式，在生物学中等于零。” 这是100多年前的情况。一个多世纪后的今天，我们可以看到恩格斯所描述的状况有了翻天覆地的改变。 数学正在向包括从粒子物理到生命科学，从航空航天到地质勘探，从管理到经济金融在内的一切领域渗透与融合。 数学在物理中的应用经历了一系列激动人心的重大事件；现代化学为了描述化学过程已提出了不少微分方程与积分方程，其中还有许多连数学家都感到棘手的非线性方程； 生物与生命领域不用数学的时代已一去不复返了，不仅用到了当代最前沿的数学分支，而且还提出了一大堆非常困难的问题。比如人类基因测序得到了一大堆巨大数量的数据，如何透过这些天文数字大小的数据去解读生命的奥妙，对数学来说是一个从未有过的挑战，今天连世界上最优秀的数学家都不知道用什么样的数学才能“挖掘”出隐藏在基因数据背后的生命规律，当然有人做了些工作，但这仅仅是在这个大矿边上检到的几块小石子而已，何足挂齿！诸如此类的问题还很多，这充分说明了在化学、生物、生命以及那些原先数学用得少的领域（如人文科学），不是不需要数学，而是系统太复杂，一时难以建立数学模型，或者模型建立后难以求解，或者目前缺乏更加深刻的数学来描述这些学科中研究的现象。不是吗？今天在物理学、生物学与经济学中，抽象的拓扑学正在扮演重要角色；在凝聚态物理中分类晶体结构的“缺陷”和液晶理论中所用到的某些齐性空间中同论群的计算，这样的问题即使对专业的代数拓扑学家也是极为艰难的问题。 连数论这样公认的纯粹数学，从1982年开始，已在“公开密钥”系统，卫星信号传输、计算机科学和量子场论等科学技术领域发挥着主要的，有时是关键的作用。 单就在物理学中获得应用之前沿数学而言，所涉及的抽象数学分支就包括了：微分拓扑学、代数拓扑学、大范围分形、代数几何、李群与李代数，算子代数，代数数论，非交换代数等。50年以前的物理学家，如果说他懂了微积分，线性代数或常微分方程，初等概率等，也许可以在他所在领域能展开工作，能没有多少困难地阅读当时的文献；那么，今天，他即使具有今天大学数学本科甚至研究生的水平，也不见得能成为一名优秀的物理学家，除非不做第一流的研究。 许多一流的物理学家，对李群、拓扑、流形、上同调、纤维丛、联络、甚至概形、动形等都到了如数家珍的程度，如果我们的物理学研究生连这样的数学概念都没有，那么又如何去做第一流的研究？恐怕连读文献都困难。现在有些物理学写的数学方法的书，恐怕不少数学博士还读不懂呢。类似地，几十年前的化学家也许在实验室这个试管去那个烧杯来就可以了，但是今天就不行。 对有些化学家和化学工程师，可能需要建立一个复杂化学工程系统的带有干扰的最优控制的模型，需要作Kalman滤波以求模型的参数，甚至还要考虑非线性系统的可控性的现代微分几何解法，否则，你的化工系统不能很好地运行，出了毛病也不知道怎么办。 对生物学家，对工程师，对高级管理人员，情况恐怕都是类似的，我们不一一列举。当然，这里说的前提是指做一流的工作。下面再以系统与控制科学这个学科的发展为例子来进一步说明科学发展的步伐。由于科学技术发展的需要与推动，计算机的大量应用和现代数学的支持，系统与控制科学在近几十年中发生了令人吃惊的变化。在50年代，学习控制专业的学生，有了微积分等数学知识，一般可以读懂那时的教科书了；而当时控制理论与系统工程的成果中，线性空间与线性变换使用尚不多见。到了60、70年代，由于现代控制理论的发展，对学控制专业的学生，数学要求明显增加，需要进一步掌握较深的矩阵理论、专门的常微分方程组等数学工具。 而到了上世纪90年代，不仅实分析、拓扑、泛函、微分几何等方面的内容与结果常被引用，而且甚至会碰到近世代数、代数几何、微分拓扑等数学内容。 比如在60、70年代，讨论线性控制系统的能控性、能观性，用矩阵与线性代数的知识就可以讨论清楚；但到了90年代，探索非线性系统的能控性、能观性时，线性代数的知识当然解释不了，近代微分几何等已经介入进来了，如果你不懂流形、纤维丛等，根本无法读懂当代前沿的文献，更不要说去做一流的研究工作了。这种情况的出现并不是偶然，也绝非少数人的偏好去故弄玄虚，而是科学发展的必然。今天，一个控制学科的博士，仅仅靠微积分、常微分方程与矩阵运算这些工具，已不可能完成系统与控制科学当前面临的日益复杂而困难的任务。再举一个例子。应该承认，直到20世纪50年代，群论对于大多数一流（非数学）科学家而言，还是过于抽象、不太切合实际的时髦玩意儿。1951年，诺贝尔奖金获得者Salam教授在普林斯顿聆听拉卡关于李群的讲演时，不知所云，他觉得这些理论过于艰深，自己大概难于学会，也无必要去弄懂它。20世纪50 年代到60年代中期，在基本粒子研究中，SU（3）理论、夸克模型（其理论框架就是群！）等的巨大成功，造成了群论向物理学的一次大普及的热潮。 耐人寻味的是，1963年，Salam居然公开作了一次关于李群的报告，他告诉大家，要尽早学好群论这一优美的理论，切勿重犯他的错误。 时止今日，群论应用不仅遍及物理学各领域，而且扩展到化学，生物，流体力学，机械，电子电工学等等，群论已经成为高水平学校的物理、化学、材料科学等甚至生命科学学科有关方向研究生的必修课。我校这些专业的研究生的情况不容乐观。无独有偶，我们身边也有生动的例子。很多人认为，材料学科不大需要太多太深的数学，似乎做做实验就可以了。但是，今天的材料科学研究，仅仅做实验是不够的。交大材料学院响誉国内外，依靠在交大的工作，产生了两位院士：徐祖耀教授和潘健生教授，他们的工作成就都与成功地运用数学方法有关，他们选择了合适的数学工具，深刻地使他们各自的研究上升了一个台阶。徐教授用群论方法和孤立子理论研究材料晶格的结构，其中用群论方法研究材料金相结构，是极有分量的成果，使人类对金相结构的认识提升了一个层次，有关的理论前进了一大步。潘教授则把数学计算与仿真应用到传统的热处理领域。徐祖耀教授和Salam教授的例子是群论应用中两朵异曲同工的极其灿烂的鲜花。那些在交大还有点市场的浅薄的认识和观点，在他们面前是何等的苍白。我们从中可以得到无穷的启示，不是吗？其它学科（包括非理工科学科）的情况也是相似的。所以，我们的数学教育与其它学科发展的要求之间存在着的巨大差距不及早消除，那么，我们培养的学生将很难从事一流的科学研究。功利色彩浓重、目光短浅的培养模式和学习态度，常会使“龙种”研究生变成将来的“跳蚤”！但是，说到这里还只涉及到数学教育的一个方面，那就是数学是有用的，不懂数学就无法搞一流的科学研究和工程开发。很多同学会接受这个说法。但是。也许文科的同学会提问，我们的专业和数学没有一点关系，为什么还考数学，学数学？下面就谈第二点。从人才培养的角度看，存在着会“术”和懂“道”之分。会用数学的这个公式那个算法进行计算等，充其量属于前者。交大长期是工科学校，比较重视方法本身。我们常遇到有的人掌握了}