2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(一)_数学试卷_高考网
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2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(一)
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2013全国各地高考理科数学试题及详解汇编(一)
作者：未知
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更新时间： 18:16:27
2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1、已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－＜x＜｝，则 ( )A、A∩B=( B、A∪B=R C、B?AD、A?B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【解析】A=(-
,0)∪(2,
), ∴A∪B=R,故选B.2、若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为()A、－4（B）－（C）4（D）【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知
=
=
=
，故z的虚部为
，故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ()A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线
：
（
）的离心率为
，则
的渐近线方程为
.

.

.

.
【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，
，即
=
=
，∴
=
，∴
=
，∴
的渐近线方程为
，故选
.5、运行如下程序框图，如果输入的
，则输出s属于

.[-3,4]
.[-5,2]
.[-4,3]
.[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当
时，

，当
时，

，∴输出s属于[-3,4]，故选
.6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A、cm3B、cm3 C、cm3 D、cm3【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则
，解得R=5，∴球的体积为
=
，故选A.7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，
＝－2，
＝0，
＝3，则
＝ ( )A、3 B、4 C、5 D、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.【解析】有题意知
=
=0，∴
=－
=－（
-
）=－2，
=
-
=3，∴公差
=
-
=1，∴3=
=－
，∴
=5，故选C.8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
.

.

.

.
【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为
=
，故选
.9、设m为正整数，
展开式的二项式系数的最大值为
，
展开式的二项式系数的最大值为
，若13
=7
，则
＝ ( )A、5 B、6C、7D、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【解析】由题知
=
，
=
，∴13
=7
，即
=
，解得
=6，故选B.10、已知椭圆＋＝1(a&b&0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ()A、＋＝1B、＋＝1C、＋＝1D、＋＝1【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.【解析】设
，则
=2，
=－2，
①
②①－②得
，∴
=
=
=
，又
=
=
，∴
=
，又9=
=
，解得
=9，
=18，∴椭圆方程为
，故选D.11、已知函数
=
，若|
|≥
，则
的取值范围是
.

.

.[-2,1]
.[-2,0]【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。【解析】∵|
|=
，∴由|
|≥
得，
且
，由
可得
，则
≥-2，排除Ａ，Ｂ，当
=1时，易证
对
恒成立，故
=1不适合，排除C，故选D.12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则()A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【命题意图】【解析】B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b?c=0，则t=_____.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】
=
=
=
=
=0，解得
=
.14、若数列{
}的前n项和为Sn＝
，则数列{
}的通项公式是
=______.【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系，是容易题.【解析】当
=1时，
=
=
，解得
=1，当
≥2时，
=
=
－(
)=
，即
=
，∴{
}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴
=
.15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析】∵
=
=
令
=
，
，则
=
=
，当
=
，即
=
时，
取最大值，此时
=
，∴
=
=
=
.16、若函数
=
的图像关于直线
=－2对称，则
的最大值是______.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由
图像关于直线
=－2对称，则0=
=
，0=
=
，解得
=8，
=15，∴
=
，∴
=
=
=
当
∈(－∞,
)∪(－2,
)时，
＞0，当
∈(
,－2)∪(
, ∞)时，
＜0，∴
在（－∞，
）单调递增，在（
，－2）单调递减，在（－2，
）单调递增，在（
， ∞）单调递减，故当
=
和
=
时取极大值，
=
=16.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°(1)若PB=，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=
，∴∠PBA=30o，在△PBA中，由余弦定理得
=
=
，∴PA=
；（Ⅱ）设∠PBA=
，由已知得，PB=
，在△PBA中，由正弦定理得，

，化简得，
，∴
=
，∴
=
.18、（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，
，
，∵AB=
，
=
，∴
是正三角形，∴
⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵
=E，∴AB⊥面
， ∴AB⊥
； ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，
⊥AB，又∵面ABC⊥面
，面ABC∩面
=AB，∴EC⊥面
，∴EC⊥
，∴EA，EC，
两两相互垂直，以E为坐标原点，
的方向为
轴正方向，|
|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系
，有题设知A(1,0,0),
(0,
,0),C(0,0,
),B(－1,0,0),则
=（1,0，
）,
=
=(－1,0,
),
=(0,－
,
), ……9分设
=
是平面
的法向量，则
，即
，可取
=（
，1，-1），∴
=

，∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
. ……12分19、（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。【命题意图】【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，∴P(E)=P(AB) P(CD)=P(A)P(B|A) P(C)P(D|C)=

=
.…6分（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且P(X=400)=1-
=
，P(X=500)=
，P(X=800)=
=
，∴X的分布列为X400500800P


 ……10分EX=400×
500×
800×
=506.25 ……12分(20)(本小题满分12分)已知圆
:
,圆
:
,动圆
与
外切并且与圆
内切，圆心
的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）
是与圆
,圆
都相切的一条直线，
与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 【命题意图】【解析】由已知得圆
的圆心为
（-1，0）,半径
=1，圆
的圆心为
(1,0),半径
=3.设动圆
的圆心为
（
，
），半径为R.（Ⅰ）∵圆
与圆
外切且与圆
内切，∴|PM| |PN|=
=
=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为
的椭圆(左顶点除外)，其方程为
.（Ⅱ）对于曲线C上任意一点
（
，
），由于|PM|-|PN|=
≤2，∴R≤2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.∴当圆P的半径最长时，其方程为
，当
的倾斜角为
时，则
与
轴重合，可得|AB|=
.当
的倾斜角不为
时，由
≠R知
不平行
轴，设
与
轴的交点为Q，则
=
，可求得Q（-4，0），∴设
：
，由
于圆M相切得
，解得
.当
=
时，将
代入
并整理得
，解得
=
，∴|AB|=
=
.当
=－
时，由图形的对称性可知|AB|=
，综上，|AB|=
或|AB|=
.（21）（本小题满分共12分）已知函数
＝
，
＝
，若曲线
和曲线
都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线
（Ⅰ）求
，
，
，
的值（Ⅱ）若
≥－2时，
≤
，求
的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.【解析】（Ⅰ）由已知得
，而
=
，
=
，∴
=4，
=2，
=2，
=2；……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，设函数
=
=
（
），
=
=
，有题设可得
≥0，即
，令
=0得，
=
，
=－2，（1）若
，则－2＜
≤0，∴当
时，
＜0，当
时，
＞0，即
在
单调递减，在
单调递增，故
在
=
取最小值
，而
=
=
≥0，∴当
≥－2时，
≥0，即
≤
恒成立，(2)若
，则
=
，∴当
≥－2时，
≥0，∴
在(－2, ∞)单调递增，而
=0，∴当
≥－2时，
≥0，即
≤
恒成立，(3)若
，则
=
=
＜0，∴当
≥－2时，
≤
不可能恒成立，综上所述，
的取值范围为[1,
].请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4―1：几何证明选讲 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。 （Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=
，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.【解析】（Ⅰ）连结DE，交BC与点G.由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE，∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE，又∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=
，由勾股定理可得DB=DC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，∴BG=
.设DE中点为O，连结BO，则∠BOG=
，∠ABE=∠BCE=∠CBE=
，∴CF⊥BF， ∴Rt△BCF的外接圆半径等于
.（23）（本小题10分）选修4―4：坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为
(
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
。（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.【解析】将
消去参数
，化为普通方程
，即
：
，将
代入
得，
，∴
的极坐标方程为
；（Ⅱ）
的普通方程为
，由
解得
或
，∴
与
的交点的极坐标分别为（
），
.（24）（本小题满分10分）选修4―5：不等式选讲已知函数
=
,
=
.（Ⅰ）当
=2时，求不等式
＜
的解集；（Ⅱ）设
＞-1,且当
∈[
，
)时，
≤
,求
的取值范围.【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题.【解析】当
=-2时，不等式
＜
化为
，设函数
=
，
=
，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当
时，
＜0，∴原不等式解集是
.（Ⅱ）当
∈[
，
)时，
=
，不等式
≤
化为
，∴
对
∈[
，
)都成立，故


，即
≤
，∴
的取值范围为（-1，
].2013年全国新课标2卷理数试题答案及解析一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 & 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}答案：A[解析]该题主要考查集合交集运算与不等式的解法，由
所以由交集的定义可知
（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1 i （B）-1-i（C）1 i（D）1-i答案：A[解析]本题主要考查复数的基本运算，由题目中的表达式可得
（3）等比数列｛an｝的前n项和为
，已知
，
，则
（）（A）
（B）
（C）
（D）
答案：C[解析]本题主要考查等比数列的基本公式的运用，由题中
得出
，从而就有
，又由
4、已知
为异面直线，
平面
，
平面
。直线
满足
，
，
，
，则（ ）（A）
且
（B）
且
（C）
与
相交，且交线垂直于
（D）
与
相交，且交线平行于
答案：D[解析]本题主要考查空间线面关系的判定，若
，由题中条件可知
，与题中
为异面直线矛盾，故A错；若
则有
，与题设条件
矛盾，故B错；由于
，则
都垂直于
的交线，而
是两条异面直线，可将m平移至与n相交，此时确定一个平面
，则
的交线垂直于平面
，同理也有
，故
平行于
的交线，D正确C错。（5）已知
的展开式中
的系数为5，则
=（A）-4（B）-3（C）-2（D）-1答案：D[解析]本题考查二项式展开式中各项系数的确定，因为
的展开式中的通项可表示为
，从而有
中
的系数分别为
，所以原式
中
系数为
.（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=执行右面的程序框图，如果输入的
，那么输出的
（ ）（A）
（B）
（C）
（D）
答案：B[解析]该题考查程序的输出结果，重点是了解算法中循环结构的功能，
的计算结果是
，
是求和的算法语句，结合以上两点，当
时，
时结束循环，所以应该选B。（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为
答案：A[解析]该题考查三视图与空间坐标系综合应用，由点确定的坐标可以确定该图的直观图如下：
从右到左投影到xoz平面的正投影为A。（8）设
，
，
则（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c答案：D[解析]本题考查对数比较大小的问题，将题中的条件进行变形可知
，
，
，又因为
，所以有
。（9）已知a＞0，x，y满足约束条件
,若z=2x y的最小值为1，则a=(A)
(B)
(C)1(D)2答案：B[解析]本题考查线性规划的应用，题目给出的可行域含有参数
，由于直线
过定点
且
，所以可行域如图所示。当直线2x y=z过x=1与y=a(x-3)的交点(1,-2a)时z取得最小值1，所以有
，

（10）已知函数
，下列结论中错误的是（A）
（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若
是
的极小值点，则
在区间（-∞,
）单调递减（D）若
是
的极值点，则
=0答案：C[解析]本题主要考查对三次函数图像的理解，该三次函数的大至图像如下图：当x趋于负无穷大时，函数值为负，当x趋于正无穷大时，函数值为正，而该函数在R是连续的，所以就有
，A的说法正确；函数
可以由函数
经过平移得到，而
关于原点对称，故
是关于中心对称的图形，B的说法正确；由极值点的定义，D说法正确；由三次函数图像可知，若
是
的极小值点，则
在区间（-∞,
）不单调，故C说法错，选C。（11）设抛物线
的焦点为F，点M在C上，|MF|=5若以MF为直径的园过点（0，3），则C的方程为（A）
或
（B）
或
（C）
或
（D）
或
答案：C[解析]本题是圆的方程与抛物线的综合性问题，设点M（x,y）,圆心B（a,b）如图，

，从而可以得到B的横坐标
,所以可以设圆B的方程为
，将点（0，2）代入得
，从而可以得到点M的坐标为
，代入
，故答案选C（注：由于图片不清楚，有人写出该题的题设应该是
，无论是哪种不会影响方法的正确性）（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax b(a&0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1） (B)
，
( C)
，
(D)
,
答案：B[解析]设直线y=ax b与直线BC：x y=1的交点为D(xD,yD),与x轴的交点为E
,由题意可知，要平均分割三角形，则b&0，所以E点只能处于x轴负半轴，当E在A点与原点之间时，如图可得△DEB的面积为
，联立直线y=ax b与线BC：x y=1得，yD=
，所以有
整理得
。当E与A
点重合时，直线y=ax b想平分△ABC的面积，必须过B、C的中点
，如下图此时可确定直线y=ax b的方程为
，此时
。当E点处于A点左侧时，如图
此时若直线y=ax b想平分△ABC的面积，则
，
，且三角形CDF面积为
，联立直线y=ax b与线BC：x y=1得
，联立直线y=ax b与线BC：x y=1得
，所以有

，解得
综上所述
，故答案选B二、填空题（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
=_______.答案：2[解析]如图建立平面直角坐标系
从而有
，所以
（14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为
，则n=________.答案：8[解析]本题考查古典概率的计算，由题可知所有基本事件总数为
，选出来的正整数要求和为5，则只能是1 4＝5和2 3＝5两种情况，所以有
。（15）设θ为第二象限角，若tan
=
，则sinθ cosθ=_________.答案：
[解析]本题考查同角三角函数基本关系与三角形恒等变换的问题，由
得
，又因为
为第二象限角，利用
可求得
所以有
（16）等差数列
的前n项和为Sn ，已知
，则
的最小值为________.答案：
[解析]本题考查等差数列与导数的综合问题，由
，联立后就可以解得
，则
令
，求导后可得
，因为
，故当
时
单调递减，当
时，
单调递增，所以当
时取得最小值，又因为n为整数，所以当n=6或n=7时取最小，
，
，故最小值为
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC csinB。（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值。解析：本题考查正、余弦定理的应用，解题过程如下：(1)因为 a=bcosC csinB 所以 sinA=sin(B C)=sinBcosC sinCsinBsinBcosC cosBsinC= sinBcosC sinCsinB因为sinC&0,所以有cosB=sinB从而有B=45 o(2)由余弦定理可知：
所以有
，当且仅当
取等号
故面△ABC面积的最大值为
。如图，直三棱柱
中，
，
分别是
，
的中点，
。（Ⅰ）证明：
平面
；（Ⅱ）求二面角
的正弦值。证明：（1）连接AC1交A1C于点F，则F平分AC1又因为D为AB的中点，所以有FD//BC1FD
面A1CDBC1
面A1CD所以 BC1//平面A1CD因为AC=CB=
/2AB，从而有AC2 CB2=AB2所以 AC
CB如图建立空间直角坐标系，设AC＝1则各点坐标为C（0，0，0）A1（1，0，1），D（1/2,1/2，0）,B（0，1，0）E（0，1，1/2）则
设平面A1CD和平面A1CE的法向量分别为
则

解得：
，
则二面角D-A1C-E的正弦值为
。（19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出

该产品获利润
元，未售出的产品，每

亏损
元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了

该农产品。以
（单位：
，
）表示市场需求量，
（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。（Ⅰ）将
表示为
的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润
不少于
元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若
，则取
，且
的概率等于需求量落入
的
的数学期望。解析：（1）当
时，
当
时，
所以T与X的函数关系式为
（2）当
时，即
时，概率P=0.7（3）X可能的取值为：X105115125135145P0.10.20.30.250.15T4500053000610006500065000所以
(元)（20）(本小题满分12分)平面直角坐标系
中，过椭圆
右焦点的直线
交
于
两点，
为
的中点，且
的斜率为
。（Ⅰ）求
的方程；（Ⅱ）
为
上的两点，若四边形
的对角线
，求四边形的最大值。解析：（1）设
将A、B代入得到
，则（1）-（2）得到
，由直线AB：
的斜率k=-1所以
，OP的斜率为
，所以
由
得到
所以M得标准方程为
若四边形
的对角线
，由面积公式
可知，当CD最长时四边形
面积最大，由直线AB：
的斜率k=-1，设CD直线方程为
，与椭圆方程
联立得：
，
则
，当m=0时CD最大值为4，联立直线AB：
与椭圆方程
得
同理利用弦长公式

。（21）（本小题满分12分）已知函数
。（Ⅰ）设
是
的极值点，求
，并讨论
的单调性；（Ⅱ）当
时，证明
。
X=0是极值点
即：

（x&-1）当
X=0处取的极小值
恒成立，即当m≤2时，
恒成立。令：
即g（m）&0在
上恒成立易知，g（m）单调递减 即 g（2）&0即：
恒成立令
易知
单调递增，设其零点为x0，且x0&―2
且

即
恒成立2013年高考理科数学（大纲卷）（1）设集合
则
个数为（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6（2）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知向量
( )（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知函数
( )（A）
（B）
（C）
（D）
（5）函数
的反函数
( )（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知数列
满足
( )（A）
（B）
（C）
（D）
（7）
( )（A）
（B）
（C）
（D）
（8）椭圆
斜率的取值范围是
( )（A）
（B）
（C）
（D）
（9）若函数
( )（A）
（B）
（C）
（D
）
（10）已知正四棱锥
的正弦值等于( ) （A）
（B）
（C）
（D）
（11）已知抛物线

( ) （A）
（B）
（C）
（D）
（12）已知函数
( )（A）
（B）
（C）
（D）
（13）已知
.（14）
个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）.（15）记不等式组
所表示的平面区域为
若直线
与
有公共点，则
的取值范围是 .（16）已知圆
和圆
是球
的大圆和小圆，其公共弦长等于球
的半径，
,且圆
与圆
所在的平面所成角为
, 则球
的表面积等于 .17．等差数列
的前
项和为

的通项式.18．设
的内角
的对边分别为
,
（I）求
;（II）若
，求C. 19．如图，四棱锥
都是等边三角形.（I）证明：
（II）求二面角
20．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
各局比赛的结果都相互独立，第
局甲当裁判.（I）求第
局甲当裁判的概率；（II）
表示前
局中乙当裁判的次数，求
的数学期望.21．已知双曲线
离心率为
直线
（I）求
；（II）设过
的直线
与
的左右两支分别相交于
两点，且
证明：
22．已知函数
（I）若
；（II）设数列
参考答案（理科）1－5 BABBA 6－10 CDBDA 11－12 DC 13.
14. 480 15.
16.
17．解：设
的公差为
. 由
得
，故
或
. 由
成等比数列得
. 又
，
，
，故
.若
，则
，所以
，此时
，不合题意；若
，则
，解得
或
. 因此
的通项公式为
或
.18. 解：（1）因为
，所以
，由余弦定理得
，因此
.（2）由（1）知
，所以



.故
或
，因此
或
.19.解：(1) 取
的中点
，连接
，则
为正方形. 过
作
平面
，垂足为
.连结
.由
和
都是等边三角形知
，所以
，即
点为正方形
对角线的交点，故
，从而
.因为
是
的中点，
是
的中点，所以
，因此
.（2）解法一：由（1）知
,
,
,故
平面
.又
平面
，所以
.取
的中点
，
的中点
,连
，则
，
.连接
，由
为等边三角形可得
.所以
为二面角
的平面角. 连结
，则
.又
，所以
.设
，则
，故
.在
中,
,
,所以
.因此二面角
在大小为
.

解法二：由（1）知，
两两垂直.以
为坐标原点，
的方向为
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
.设
, 则
,
,
,
,
,
,
,
. 设平面
的法向量
，则
,
，可得
，
.取
，得
，故
.设平面
的法向量
，则
，
，可得
.取
，得
，
，故
.于是
.由于
等于二面角
的平面角，所以二面角
在大小为
.20. 解：（1）记
表示事件“第2局结果为甲胜”，
表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”,
表示事件“第4局甲当裁判”.所以
，
.(2) X的可能取值为0,1,2. 记
表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，
表示事件“第1局结果为乙胜丙”，
表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，
表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”. 则
，
，
.
.21. 解：由题设知
，即
，故
. 所以
的方程为
. 将
代入上式，求得
.由题设知
，解得
，所以
，
.（2）由（1）知，
，
的方程为
（*）由题意可设
的方程为
，
，代入（*）并化简得
.设
，则
，
，
.于是
,
.由
得
，即
，故
，解得
，从而
.由于
，
.故
，
.因而
，所以
成等比数列.22.解：（1）由已知
，
.若
，则当
时，
，所以
.若
，则当
时，
，所以当
时，
. 综上，
的最小值是
.（2）令
.由（1）知，当
时，
，即
，取
，则
，于是



.所以
.2013北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )A.{0} B.{－1，0}C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限 B. 第二象限C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.1 B.
C.
D.

5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=A.
B.
C.
D.
6.若双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为A.y=±2x B.y=
C.
D.
7.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于A.
B.2 C.
D.
8.设关于x,y的不等式组
表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是A.
B.
C.
D.
第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，
)到直线ρsinθ=2的距离等于 10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n项和Sn=.11.如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，PA=3，
，则PD= ，AB= .
12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则
=
14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演2013年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程15. (本小题共13分)在△ABC中，a=3，b=2
，∠B=2∠A.(I)求cosA的值，(II)求c的值16.( 本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17. (本小题共14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求
的值.
18. (本小题共13分)设l为曲线C：
在点(1，0)处的切线.(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方19. (本小题共14分)已知A、B、C是椭圆W：
上的三个点，O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.20. (本小题共13分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项
，
…的最小值记为Bn，dn=An－Bn(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，
)，写出d1，d2，d3，d4的值；(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1

要使可行域存在，必有m&－2m 1，要求可行域内包含直线
上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线
上方，且(-m，m)在直线
下方，解不等式组
得m＜








2013年山东高考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 　　（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D ) 　　 A. 2 i B.2-i C. 5 i D.5-i 　　（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 　　（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x&0时, f(x) =x2
,则f(-1)= ( A ) 　　（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2 　　（4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为
,底面积是边长为
的正 三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( B ) 　　（A）
（B）
（C）
（D）
　　（5）将函数y=sin（2x
）的图像沿x轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图像，则
的一个可能取值为 B　　（A）
（B）
（C）0 （D）
　　（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：
，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 C　　（A）2 （B）1 （C）
（D）
　　（7）给定两个命题p、q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的 B　　（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件 　　（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 　　（8）函数y=xcosx sinx 的图象大致为 D　　（A）　 （B） (C) (D)　　（9）过点（3，1）作圆（x-1）2 y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 A　　（A）2x y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x y-3=0 　　（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B　　（A）243 （B）252 （C）261 （D）279 　　（11）抛物线C1：y=
x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：
的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= D
　（12）设正实数x,y,z满足x2-3xy 4y2-z=0.则当
取得最大值时，
的最大值为 B （A）0 （B）1 （C）
（D）3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 　（13）执行右面的程序框图，若输入的
的值为0.25，则输入的n的值为 3　(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得 |x 1 |- |x-2 |≥1成立的概率为
（15）已知向量
与
的夹角为
，且
若
且
,则实数
的值为
（16）定义“正对数”：
，现有四个命题：①若
，则
②若
，则
③若
，则
④若
，则
其中的真命题有： ①③④ （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.　　（17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a c=6，b=2，cosB=
.　（Ⅰ）求a，c的值； （Ⅱ）求sin（A-B）的值.解答：（1）由cosB=
与余弦定理得，
，又a c=6，解得
（2）又a=3,b=2，
与正弦定理可得，
,
，所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=
　　（18）（本小题满分12分） 　如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。 　　（Ⅰ）求证：AB//GH； 　　（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值 .解答：（1）因为C、D为中点，所以CD//AB同理：EF//AB，所以EF//CD，EF
平面EFQ，所以CD//平面EFQ，又CD
平面PCD,所以CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.(2)由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，△ABQ为直角三角形，以B为坐标原点，以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一个法向量为
，平面EFG的一个法向量为
，可得
,所以二面角D-GH-E的余弦值为
（19）本小题满分12分 　　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是
外，其余每局比赛甲队获胜的概率是
.假设每局比赛结果互相独立.　（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率 （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.解答：（1）
，
，
（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0相应的概率依次为：
，所以EX=
　　（20）（本小题满分12分） 　　设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an 1 （1） 求数列｛an｝的通项公式； （2） 设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn
= λ（λ为常数），令cn=b2n，（n∈N?）.求数列｛cn｝的前n项和Rn. 解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an 1，｛an｝为等差数列，可得，
所以
（2）由Tn
= λ可得，
，Tn-1
= λ两式相减可得，当
时，
，所以当
时，cn=b2n=
，错位相减法可得，Rn=
当
时，cn=b2n=
，可得Rn=
　　（21）（本小题满分13分） 　设函数
是自然对数的底数，
.（1）求
的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程
根的个数.解答：（1）
，令
得，
，当

所以当
时，函数取得最的最大值
（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到
，然后递减到c，而函数|lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。故令f(1)=0得，
，所以当
时，方程有两个根；当
时，方程有一两个根；当
时，方程有无两个根.（22）（本小题满分13分） 　　椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为
，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. 　　（Ⅰ）求椭圆C的方程； 　　（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 　　PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； 　　（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明
为定值，并求出这个定值.解答：（1）由已知得，
，
，解得
所以椭圆方程为：
（2）由题意可知：
=
,
=
,设
其中
，将向量坐标代入并化简得：m（
，因为
， 所以
，而
，所以
（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
，所以
，而
，代入
中得：
为定值.2013年陕西高考试理科数学注意事项:本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数
的定义域为M, 则
为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C)
(D)
【答案】D【解析】
的定义域为M=[-1,1],故CRM=
,选D2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为(A) 25(B) 30(C) 31(D) 61【答案】C【解析】故选择C3. 设a, b为向量, 则“
”是“a//b”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】
4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11(B) 12(C) 13(D) 14【答案】B【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD面积为2，曲边形DEBF的面积为
故所求概率为
，选A.6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若
, 则
(B) 若
, 则
(C) 若
, 则
(D) 若
, 则
【答案】D【解析】设
若
，则
，
，所以
，故A项正确；若
，则
，所以
，故B项正确；若
，则

，所以
，故C项正确；
7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若
, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B【解析】因为
，所以由正弦定理得
，所以
，所以
,所以
，所以△ABC是直角三角形。8. 设函数
, 则当x&0时,
表达式的展开式中常数项为(A) －20(B) 20(C) －15(D) 15【答案】A【解析】
，所以
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是(A) [15,20](B) [12,25](C) [10,30](D) [20,30]【答案】C【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则
，所以y=40-x，又xy≥300，，所以x(40-x)≥300即

，解得10≤x≤3010. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有(A) [－x] ＝ －[x](B) [2x] ＝ 2[x](C) [x＋y]≤[x]＋[y](D) [x－y]≤[x]－[y]【答案】D【解析】取x=25,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A项错误；[2x]=[5]=[
]=2[2.5]=4,所以B项错误；再取y=28，则[x y]=[5.3]=5,[x] [y]=[2.5] [2.8]=2 2=4，所以C项错误.二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线
的离心率为
, 则m等于 .【答案】9【解析】由a2=16，b2=m得c2=16 m，则e=
，∴m=9【考点与方法】本题主要考察了双曲线的标准方程以及离心率，属于容易题，解题的关键在于利用双曲线标准方程c2=a2 b2和离心率的求解公式e=
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .【答案】
【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体积为V=
.【考点与方法】本题主要考查了三视图还原为实物图的能力和圆锥的体积公式，属于容易题。13. 若点(x, y)位于曲线
与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 . 【答案】－4【解析】作出曲线y=
与y=2所表示的区域，令2x－y=z，即y=2x－z，作直线y=2x，在封闭区域内平行移动直线y=2x，当经过点（－1，2）时，z取到最小值，此时最小值为－4.【考点与方法】本题主要考察了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题，解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求2x－y的最小值转化为求y=2x－z所表示的直线截距的最大值，通过平移直线y=2x即可求解。14. 观察下列等式:



…照此规律, 第n个等式可为 . 【答案】12－22 32－42 … （－1）n 1n2=（－1）n 1?
（n∈
）【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用（－1）n 1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为（－1）n?
，所以第n个式子可为12－22 32－42 … （－1）n 1n2=（－1）n 1?
（n∈
）【考点与方法】本题考查观察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用（－1）n 1表示；3.表达完整性，不要遗漏了n∈
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 . 【解析】由科尔不等式可得（am bn）（bm an）≥（
）2mn（a b）2=2B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于
内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ . 【答案】
【解析】已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴
PDE∽
PEA∴
而PD=2DA=2 ∴PA=3PE2=PA?PD=6 故PE=
C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角
为参数, 则圆
的参数方程为 .【答案】x=
，y=
， 0 ≤
＜
【解析】x2 y2-x=0，（x-
）2 y2=
，以（
）为圆心，
为半径，且过原点的圆，它的标准参数方程为x=
，y=
，0 ≤a＜2
，由已知，以过原点的直线倾斜角
为参数，则0 ≤
＜
，所以0 ≤2
＜2
，所以所求圆的参数方程为x=
，y=
， 0 ≤
＜
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量
, 设函数
. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在
上的最大值和最小值. 【解析】：
（I）
的最小正周期为
（II）∵
，∴
，∴
故当
即
时，
当
即
时，
【命题意图】本题考查三角恒等式，三角函数的性质等基础知识，简单题。17. (本小题满分12分) 设
是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 推导
的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列
不是等比数列. 【解析】：（I）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和 Sn=a1 a1q …. a1qn-1将（1）式两边分别乘以q得qSn=a1q a1q2 …a1qn当q≠0时
或
当 q=1时， a1= a2=…. an 所以Sn=na（II）∵q≠1 假设数列{an 1}为等比数列，那么
即
或q=1，均与题设矛盾，故数列
吧可能为等比数列。18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,
.
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D; (Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角
的大小. 【解析】：如图建立空间直角坐标系
由AB=AA1=
可知O（0,0,0），A（1,0,0），B（0,1,0），B1（-1,1,1），C（-1,0,0）A1（0,0,1）D1（-1，-1,1）A1c=（-1,0，-1）DB（0,2,0） BB1（-1,0,1）
　即
所以A1c⊥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ（ＩＩ）容易求得平面ＯＣＢ１ 的一个法向量
，平面BB1D1D 的一个法向量为
所求夹角余弦值为
所求夹角的大小为60°19. (本小题满分12分) 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. 【解析】（Ⅰ）由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为
,观众乙未选中3号歌手的概率为
，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
。（Ⅱ）
的所有可能取值为0，1，2，3.由（Ⅰ）知，观众甲选中3号歌手的概率为
，观众乙选中3号歌手的概率为1－
=
，则观众丙选中3号歌手的概率也为1－
=
，则
（1－
）
（1－
）
=



（1－
）

（1－
）




（1－
）=







（1－
）
（1－
）
(
)
=



(
)
=
则
的分布列如下：
20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是
的角平分线, 证明直线l过定点. 【解析】（Ⅰ）设动圆圆心
的坐标为（
），则（4－
）
（0－
）
=
，整理得
。所以，所求动圆圆心的轨迹
的方程为
（Ⅱ）证明：设直线
的方程为
，联立
得


（其中
）0），设
，
，若
轴是
的角平分线，则




0，即
，故直线l的方程为
，直线过定点（1，0）21. (本小题满分14分)已知函数
. (Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x&0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线
公共点的个数. (Ⅲ) 设a<B, 【解析】函数
（Ⅰ）函数
，设切点坐标为
则
，
。（Ⅱ）
令
即
，设
有
，所以（1）
时，两曲线有2个交点；（2）
时，两曲线有1个交点；（3）
时，两曲线没有交点。（Ⅲ）


，令

上式
令
，则
恒成立
而

故
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号码条粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选蚱渌鸢副旰拧４鹪谑跃怼⒉莞逯缴衔扌А3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z=
（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．已知全集为R，集合A=
，B=
，则A∩
B=A.
B.
C.
＜2或x＞
D.
＜x≤2或x≥
3．再一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.（－p）∨（－q） B. p∨（－q） C. （－p）∧（－q） D.p∨q4.将函数y=
cosx sinx（x∈R）的图像向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是A.
B.
C.
D
5.已知0＜
＜
，则双曲线C1:
与C2:
的A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等6.已知点A（－1，1）、B（1,2）、C（－2,1）、D（3,4），则向量
在
方向上的投影为A.
B.
C. －
D.－
7.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t
（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是A.1 25R5 B.8 25R
C.4 25R5 D4 50R28.一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1V2V3V4，若上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有：A. V1 ＜V2＜V4 ＜V3 B. V1 ＜V3＜V2＜V4 C. V2＜V1＜V3＜V4 D. V2＜V3 ＜V1＜V4
9.如图，将一个各面都蛄擞推岬恼教澹懈钗125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均E(X)=A.
B.
C.
D
10.已知
为常数，函数
有两个极值点
，则A.
&0,
&－
B.
&0,
&－
C.
&0,
&－
D.
&0,
&－
填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。（一）必考题（11-14题）11.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（Ⅰ）直方图中x的值为 （Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100,250]内的户数为

12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= 13.设x，y，z∈R，且满足：x2 y2 z2=1,x 2y 3z=
,则x y z= 14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角型数为
，记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)=
，正方形数 N(n,4)=n2，五边形数 N(n,5)=
，六边形数 N(n,6)=
，………………………………………可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)= （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号后方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB=3AD,则
的值为
16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为
(
为参数，a&b&0)，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为
m（m为非零数）与
。若直线l经过椭圆C的焦点，且与员O相切，则椭圆C的离心率为___________________.三、解答题：本题共6小题，共75分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在△ABC只已知A，B，C对应的边分别是 a，b，c。已知
.求角A的大小若△ABC的面积
,b=5,求
的值18.（本小题满分12分）已知等比数列
满足：
（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得
？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.19.（本小题满分12分）如图，AB是园O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.（Ⅰ）在平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明。（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足
,记直线PQ与平面ABC所成的角为
，异面直线 E-L-C的大小为
，求证：
20.（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为
。求
的值；（参考数据：若
，有

（2）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次。A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆。若每天要以不小于
的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？21.（本小题满分13分）如图，已知椭圆C1与C2 的中心坐标原点O，长轴均为MN且在X轴上，短轴长分别为2m，2n（m&n）,过原点且不与x轴重合的直线l与C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。记λ =
，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.。当直线l与Y轴重合时，若S1=λ S2 ，求λ 的值；当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λ S2？并说明理由
22（本小题满分14分）设
是正整数，
为正有理数。（Ⅰ）求函数
=
的最小值；（Ⅱ）证明：
&
&
；（Ⅲ）设
R,记[
]为不小于的最小整数，例如[2]=2，[
]=4，[-
]=-1.令

=
…
，求[
]的值。（参考数据：80
≈344.7，81
≈350.5，124
≈618.3，126
≈631.7）







2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案蛐丛诖鹛饪ㄉ, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷注意事项：每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选蚱渌鸢副旰. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式: ?如果事件A, B互斥, 那么
?棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高. ?如果事件A, B相互独立, 那么
?球的体积公式
其中R表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则
(A)
(B) [1,2](C) [－2,2](D) [－2,1](2) 设变量x, y满足约束条件
则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7(B) －4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64(B) 73(C) 512(D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的
, 则其体积缩小到原来的
;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x y 1 = 0与圆
相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①②(C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为
, 则p = (A) 1(B)
(C) 2(D) 3(6) 在△ABC中,
则
= (A)
(B)
(C)
(D)
(7) 函数
的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 已知函数
. 设关于x的不等式
的解集为A, 若
, 则实数a的取值范围是(A)
(B)
(C)
(D)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a i)(1 i) = bi, 则a bi = .(10)
的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为
, 圆心为C, 点P的极坐标为
, 则|CP| = .(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1,
, E为CD的中点. 若
, 则AB的长为 .(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .(14) 设a b = 2, b&0, 则当a = 时,
取得最小值. 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数
. (Ⅰ) 求f(x)的最小正周期; (Ⅱ) 求f(x)在区间
上的最大值和最小值. (16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望. (17) (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. (Ⅰ) 证明B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值. (Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为
, 求线段AM的长. (18) (本小题满分13分)设椭圆
的左焦点为F, 离心率为
, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
, 求k的值. (19) (本小题满分14分)已知首项为
的等比数列
不是递减数列, 其前n项和为
, 且S3 a3, S5 a5, S4 a4成等差数列. (Ⅰ) 求数列
的通项公式; (Ⅱ) 设
, 求数列
的最大项的值与最小项的值. (20) (本小题满分14分)已知函数
. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的t&0, 存在唯一的s, 使
. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为
, 证明: 当
时, 有
.





2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知全集
，集合
，
，则
（ ）A、
B、
C、
D、
【答案】：D2、命题“对任意
，都有
”的否定为（ ）A、对任意
，都有
B、不存在
，都有
C、存在
，使得
D、存在
，使得
【答案】：D3、

的最大值为（ ）A、9 B、
C、
D、
【答案】：B4、以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）
已知甲组数据的中位数为
，乙组数据的平均数为
，则
的值分别为（ ）A、
B、
C、
D、
【答案】：C5、某几何体的三视图如题
图所示，则该几何体的体积为（ ）A、
B、
C、
D、
【答案】：C6、若
，则函数
的两个零点分别位于区间（ ）A、
和
内 B、
和
内 C、
和
内 D、
和
内【答案】：A7、已知圆
，圆
，
分别是圆
上的动点，
为
轴上的动点，则
的最小值为（ ）A、
B、
C、
D、
【答案】：A8、执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出
，那么判断框内应填入的条件是（ ）A、
B、
C、
D、
【答案】：B9、
（ ）A、
B、
C、
D、
【答案】：C10、在平面上，
，
,
.若
，则
的取值范围是（ ）A、
B、
C、
D、
【答案】：D二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。11、已知复数
（
是虚数单位），则
【答案】：
12、已知
是等差数列，
，公差
，
为其前
项和，若
成等比数列，则
【答案】：
13、从
名骨科、
名脑外科和
名内科医生中选派
人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有
人的选派方法种数是___________（用数字作答）【答案】：
考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14、如题
图，在
中，
,
,过
作
的外接圆的切线
，
,
与外接圆交于点
，则
的长为__________【答案】：
15、在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若极坐标方程为
的直线与曲线
（
为参数）相交于
两点，则
【答案】：
16、若关于实数
的不等式
无解，则实数
的取值范围是_________【答案】：
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、设
，其中
，曲线
在点
处的切线与
轴相交于点
。（1）确定
的值；（2）求函数
的单调区间与极值。【答案】：
18、某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有
个红球与
个白球的袋中任意摸出
个球，再从装有
个蓝球与
个白球的袋中任意摸出
个球，根据摸出
个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额
的分布列与期望
。【答案】：

19、如题（19）图，四棱锥
中，
,
,
为
的中点，
。（1）求
的长；（2）求二面角
的正弦值。
【答案】：

20、在
中，内角
的对边分别是
，且
。（1）求
；（2）设
，求
的值。【答案】：
21、如题（21）图，椭圆的中心为原点
，长轴在
轴上，离心率
，过左焦点
作
轴的垂线交椭圆于
两点，
。（1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直于
轴的直线与椭圆相交于不同的两点
，过
作圆心为
的圆，使椭圆上的其余点均在圆
外。若
,求圆
的标准方程。
【答案】：
22、对正整数
，记
，
。（1）求集合
中元素的个数；（2）若
的子集
中任意两个元素之和不是整数的平方，则称
为“稀疏集”。求
的最大值，使
能分成两人上不相交的稀疏集的并。【答案】：

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