三线合一:如图,如图在rt△abc中acb90,∠acb=90°,be平分∠abc交ac于点e,过点e作ab的垂线交a

&&如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB交AB于点E,且 ...
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB交AB于点E,且CD=AC,DF∥BC,分别与AB、AC交于点G、F
﹙1﹚∵DF∥BC
∴∠DFC=180-∠ACB =180°-90°=90° ∵CD⊥AB交AB于点E
∴∠AEC=90°=∠DFC 又∵∠ACE=∠DCF(公共角)AC=DC
∴⊿ACE≌∠DCF(ASA)∴
CF=CE ∠A=∠GDE
且∵∠AFG=90°=∠DEG ∴⊿AFG≌⊿DEG(ASA)
∴GF=GE ﹙2﹚连接AD
∵∠AEC=90°﹙已证明),∠A=30°
∴∠ACE=60°
而AC=DC ∴⊿ACD是等边三角形(有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形)AB⊥CD ∴CE=DE(三线合一)
即AB是CD的垂直平分线
∴CB=BD=1 在RT⊿ACB中:∠A=30°
∴AB=2CB=2
且∠ECB=60° ∴在Rt⊿BCE中∠ECB=30°
∴BE=?CB=?
∴AE=AB-BE=1.5 ∵⊿ACE≌∠DCF前面已证明
∴DF=AE=1.5
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拍照搜题,秒出答案
在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,且BD=BC,过点D作AB的垂线交AC与点E,连接CD,BE,交与点F,求证:BE是CD的垂直平分线今晚就要,好的追加20分
在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,且BD=BC,过点D作AB的垂线交AC与点E,连接CD,BE,交与点F,求证:BE是CD的垂直平分线今晚就要,好的追加20分
∵∠ACB=90°DE⊥AB,即∠BDE=90°,BD=BC,BE=BE∴△BCE≌△BDE(HL).∴BE平分∠DBC.等腰△BDC∴BF垂直平分CD(三线合一).即BE是CD的垂直平分线.如图,在三角形ABC中,角ACB等于90度,D是AB上一点,且BD等于BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,连接CD,BE,交于点F,求证;BE是线段CD的垂直平分线_作业帮
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如图,在三角形ABC中,角ACB等于90度,D是AB上一点,且BD等于BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,连接CD,BE,交于点F,求证;BE是线段CD的垂直平分线
如图,在三角形ABC中,角ACB等于90度,D是AB上一点,且BD等于BC,过点D作AB的垂线交AC于点E,连接CD,BE,交于点F,求证;BE是线段CD的垂直平分线
∵∠ACB=90°DE⊥AB∴△BCE和△BDE是直角三角形在Rt△BCE和Rt△BDE中∵BE=BE,BC=BD∴Rt△BCE≌Rt△BDE∴CE=DE∠DBE=∠CBE即∠DBF=∠CBF∵BD=BC∴△BCD是等腰三角形∴BF⊥CD且平分CD(等腰三角形底角的平分线、底边上的高,中线三线合一)∴BE垂直平分CD【答案】分析:(1)连接CD,由D为等腰直角三角形斜边AB的中点,根据三线合一得到CD垂直于AB,CD为角平分线,从而得到∠ECD=∠B=45&,根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=DB,再由∠EDC与∠CDF互余,且∠CDF与∠FDB互余,根据同角的余角相等得到∠EDC=∠FDB,根据ASA可得三角形CED与三角形FBD全等,根据全等三角形的对应边相等可得ED=FD,再根据同角的余角相等得到一对角相等,一对直角相等,且DE=DF,根据AAS得到三角形EDM与三角形FND全等,可得MD=FN,又三角形AEM为等腰直角三角形,故EM=AM,所以EM+FN等量代换为AD,而在等腰直角三角形ACD中,根据45&的余弦函数定义可得AD=AC,从而得证;(2)连接CD,同理可得EM-FN=AC;(3)过D作DH垂直于AC,又BC垂直于AC,得到DH与BC平行,根据D为AB中点,得到H也为AC中点,得到DH为三角形ABC的中位线,根据中位线的性质得到DH等于BC的一半,即为AC的一半,又AE=3EC,得到AC=2EC,从而得到BC=2EC,可得HD=EC,设CE=x,则AE=3x,AC=AE-CE=2x,可得AH=HC=CE=x,且AC=BC=EH=2EC=2x,由∠HAD=45&,∠AHD=90&,得到△AHD为等腰直角三角形,同理△AEM和△FND都为等腰直角三角形,可表示出AM=EM=AE=x,进而得到HD=AH=x,由EC=CH=x,得到C为HE的中点,即CG为中位线,根据三角形中位线定理得到CG=HD=x,用GB=BC-CG,表示出GB,由第二问得到EM-FN=AC,将表示出的EM及AC代入表示出FN,即为DN,利用勾股定理表示出BF,由GF=GB+BF,将GF=10代入,列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,进而确定出EM及BM的长,在直角三角形BEM中,由EM及BM的长,利用勾股定理即可求出EB的值.解答:(1)证明:连接CD,∵AC=BC,∠ACB=90&,点D为AB边中点,∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=45&,CD⊥AB,又∠A=∠B=45&,∴∠ECD=∠FBD,又D为Rt△ABC斜边AB的中点,∴CD=BD=AB,∵∠PDQ=90&,∴∠EDC+∠CDF=90&,又CD⊥AB,∴∠CDF+∠FDB=90&,∴∠EDC=∠FDB,在△CED和△FBD中,,∴△CED≌△FBD(ASA),∴ED=FD,又∵∠MED+∠EDM=90&,∠EDM+∠FDN=90&,∴∠MED=∠NDF,在△EDM和△DFN中,,∴△EDM≌△DFN(AAS),∴MD=FN,又∠A=45&,∠EMA=90&,∴∠AEM=∠A=45&,∴AM=EM,∴EM+FN=AM+MD=AD,在Rt△ACD中,cosA=cos45&==,即AD=AC,∴EM+FN=AC;(2)连接CD,∵AC=BC,∠ACB=90&,点D为AB边中点,∴∠ACD=∠DCB=45&,CD⊥AB,又∠A=∠ABC=45&,∴∠ECD=∠FBD=135&,又D为Rt△ABC斜边AB的中点,∴CD=BD=AB,∵∠PDQ=90&,∴∠FDB+∠EDN=90&,又CD⊥AB,∴∠EDC+∠EDN=90&,∴∠EDC=∠FDB,在△CED和△FBD中,,∴△CED≌△FBD(ASA),∴ED=FD,又∵∠MED+∠EDM=90&,∠EDM+∠FDN=90&,∴∠MED=∠NDF,在△EDM和△DFN中,,∴△EDM≌△DFN(AAS),∴MD=FN,又∠A=45&,∠EMA=90&,∴∠AEM=∠EAM=45&,∴AM=EM,∴EM-FN=AM-MD=AD,在Rt△ACD中,cosA=cos45&==,即AD=AC,∴EM-FN=AC;(3)根据题意画出图形,如图所示:连接BE,过D作DH⊥AC,又BC⊥AC,且D为AB的中点,∴H为AC的中点,即DH为△ABC的中位线,∴DH∥BC,且DH=BC=AC,由AE=3EC,设EC=x,则AE=3x,AC=AE-CE=2x,∴AH=HC=CE=x,且AC=BC=EH=2EC=2x,又∠HAD=45&,∠AHD=90&,∴△AHD为等腰直角三角形,同理△AEM和△FNB都为等腰直角三角形,∴AM=EM=AE=x,∴HD=AH=x,∵EC=CH=x,∴C为HE的中点,又CG∥HD,∴G为ED的中点,即CG为三角形EHD的中位线,∴CG=HD=x,∴GB=BC-CG=2x-x=x,由第二问得到EM-FN=AC,∴x-FN=x,即FN=DN=x,∴BF=x,又GF=10,∴GF=GB+BF=x+x=10,解得:x=4,∴EM=x=6,BM=AB-AM=2x-x=2,在直角三角形BEM中,根据勾股定理得:EB==4.故答案为:EM-FN=AC点评:此题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,三角形的中位线定理,要求学生借助图形,多次利用转化的思想,寻找全等所需的条件,由三角形的全等来解决问题,第二问是探究结论型题,需要充分抓住已知条件或图形的特征,找准问题的突破口,由浅入深,多角度,多侧面探寻联系符合题设的有关知识,合理组合,发现新结论,本题应参照第一问的证明方法来探究第二问的结论,第三问作出辅助线DH,构造三个全等三角形是解题的关键.
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填):
科目:初中数学
已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点.以BD为直径作圆O,交边AB于点P,连接PC,交AD于点E.(1)求证:AD是圆O的切线;(2)当∠BAC=90°时,求证:;(3)如图2,当PC是圆O的切线,E为AD中点,BC=8,求AD的长.
科目:初中数学
我们给出如下定义:有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题:(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称;(2)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点,连接EF并延长交AB于点G.求证:四边形AGEC是等邻角四边形;(3)如图2,若点D在△ABC的内部,(2)中的其他条件不变,EF与CD交于点H,图中是否存在等邻角四边形,若存在,指出是哪个四边形,不必证明;若不存在,请说明理由.
科目:初中数学
(1)已知:如图1,在四边形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求证:AB+AC>2+CD2;(2)已知:如图2,在△ABC中,AB上的高为CD,试判断(AC+BC)2与AB2+4CD2之间的大小关系,并证明你的结论.
科目:初中数学
如图1,AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线,点D是垂足,点E是BC的中点,规定:λA=.如图2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=.
科目:初中数学
如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O.(1)求证:∠AOC=90°+∠ABC;(2)当∠ABC=90°时,且AO=3OD(如图2),判断线段AE,CD,AC之间的数量关系,并加以证明.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F。求证:BE⊥_百度知道
提问者采纳
证明:∵ED⊥AB,∴∠EDB=90°,在Rt△ECB和Rt△EDB中
∴Rt△ECB≌Rt△EDB(HL)∴∠EBC=∠EBD又BD=BC∴BF⊥CD(三线合一)。
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