本科高数下复习题_百度文库
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本科高数下复习题
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你可能喜欢1第一章： 第一章：函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 函数 （m 是常数） 叫做幂函数。幂函数的定义域，要看 m 是什么数而定。例如，当 m = 3 时，y=x3的定义域是(-∞ ,+∞)；当 m = 1/2 时，y=x1/2 的定义域是[0,+∞ )；当 m = -1/2 时，y=x-1/2 的定义域是(
0,+∞ )。但不 论 m 取什么值，幂函数在(0,+∞)内总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 ． 函数 y=ax（a 是常数且 a&0,a≠1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值 x，总有 ax &0，又 a0=1，所以指数函数的图形，总在 x 轴的上方，且通过点(0,1)。 若 a&1，指数函数 ax 是单调增加的。若 0&a&1，指数函数 ax 是单调减少的。 由于 y=(1/a)-x=a-x，所以 y=ax 的图形与 y=(1/a)x 的图形是关于 y 轴对称的（图 1-21）。[如图] 2．对数函数 ． 指数函数 y=ax 的反函数，记作 y=logax（a 是常数且 a&0，a≠1），叫做对数函数。 它的定义域是区间(0,+∞)。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线 y = x 对称（图 1-22）。 y=logax 的图形总在 y 轴上方，且通过点(1,0)。 若 a&1，对数函数 logax 是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞)内函数值为正。 若 0&a&1，对数函数 logax 是单调减少的，在开区间(0,1)内函数值为正，而在区间(1,+∞)内函数值为负。[如图] 1.1.3 三角函数与反三角函数 1．三角函数 ． 正弦函数和余弦函数都是以 2π 为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞)，值域都是必区间[-1,1]。 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。 正切函数和余切函数都是以 π 为周期的周期函数，它们都是奇函数。 2．反三角函数 ． 反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。 这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。 例如，把 Arcsinx 的值限制在闭区间[， ]上，称为反正弦函数的主值，并记作 arcsinx。 。这样，函数 y = arcsinx 就是定义在闭区间[-1，1]上的单值函数，且有 1.2 设{ 数列极限的概念 }是一个数列，a 是实数，如果对于任意给定的 }的极限，或者称数列{，总存在一个正整数 N，当 n&N 时都有 ，a 即为 的极限。，我们就称 a 是数列{}收敛，且收敛于 a，记为数列极限的几何解释： 以 a 为极限就是对任意给定的开区间 部落在这个区间内。 1.3 函数极限的概念 设函数 f(x)在 定存在 的极限，记作 有 。 例如： 点附近（但可能除掉 ，使得当 ,这时称 f(x)在， N 项以后的一切数 第全点本身）有定义，设 A 为一个定数，如果对任意各定 时，总有 ，我们就称 A 是函数 f(x)在，一 点点极限存在，这里我们不要求 f(x)在点有定义，所以才，当 x=1 时，函数是没有定义的，但在 x=1 点函数的极限存在，为 2。21.4 单调有界数列必有极限 单调有界数列必有极限， 具体叙述如下： 单调有界数列必有极限 是判断极限存在的重要准则之一， 满足条件 ，就称数列 如果数列是单调增加的；反之则称为是单调减少的。在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数 列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在。 对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点 限趋近某一定点；或者 只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者 无沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增，已符合趋向无穷的定义） 。但现在数列又是有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。 从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列 可知这个数列极限存在， 通常用字母 e 来表示它， 即 时，函数 ，易证它是单调增加且有界（小于 3） ，故 。 可以证明， x 取实数而趋于 当 或的极限存在且都等于 e，这个 e 是无理数，它的值是 e = 2.045…1.5 柯西（Cauchy）极限存在准则 柯西（ ） 我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限 单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不 单调有界数列必有极限 是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条 件。柯西（Cauchy）极限存在准则 数列 柯西（ 柯西 ） 收敛的充分必要条件是： 收敛的充分必要条件是： 。对于任意给定的正数 ，存在着这样的正整数 N，使得当 m&N，n&N 时，就有 ， ， 必要性的证明 设 ，若任意给定正数 ，则也是正数，于是由数列极限的定义，存在着正整数 N， 。当 n&N 时，有；同样，当 m&N 时，也有因此，当 m&N， n&N 时，有 所以条件是必要的。充分性的证明 充分性的证明从略。 充分性的证明 这准则的几何意义表示，数列 号码的点 1.6 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ，在数轴上一切具有足够大，任意两点间的距离小于 。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。连续函数 ，1.6.1 定义：若函数 f(x)在 x0 点的附近包括 x0 点本身有定义，并且 定义：则称 f(x)在 x0 点连续，x0 为 f(x)的连续点。[如图] 1.6.2 充要条件：f(x)在 x0 点既是左连续又是右连续。 充要条件： 初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。 1.6.3 三类不连续点： 三类不连续点： (1)第一类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在但不相等。[如图] (2)第二类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)中至少有一个不存在。[如图] (3)第三类不连续点：f(x0+0),f(x0-0)存在且相等，但它不等于 f(x0)或 f(x)在 x0 点无定义。[如图] 1.7 一致连续性的概念及它与连续的不同31.7.1 定义： 定义： 对 时总有， 可找到只与 有关而与 x 无关的 ，就称 f(x)在区间内一致连续。， 使得对区间内任意两点 x1,x2， 当1.7.2 与连续的比较： 与连续的比较： (1)连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。 (2)连续函数对于某一点 x0， 取决于 x0 和 ，而一致连续函数的 只取决于 ，与 x 值无关。(3)一致连续的函数必定连续。[例：函数 y = 1/x，当 x∈(0,1)时非一致连续，当 x∈(C,1)时一致连续] (4)康托定理：闭区间[a , b]上的连续函数 f(x)一定在[a , b]上一致连续。 第二章：导数与微分 第二章：导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度， 微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微 分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。 分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。 2.1 导数的概念 2.1.1 导数的定义 导数的定义：设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x（点 x0+ x 仍在 该领域内）时，相应地函数 则称函数 即 在 取得增量 ；如果 在点 与 之比当 时的极限存在， ,处可导，并称这个极限为函数 ,也可记作处的导数，记为 。 和导数的定义式也可取不同的形式,常见的有 导数的概念就是函数变化率这一概念的精确描述。 2.1.2 求导举例 例 求函数 解 把以上结果中的 换成 得 更一般地,对于幂函数 例 求函数 的导数 （ ,即 为常数）,有 （n 为正整数)在 处的导数这就是幂函数的导数公式.解 这就是说, 正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得 就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数。 例 求函数 解 的导数. =即4即 例 求函数 解这就是指数函数的导数公式,特殊地,当 的导数.时,因,故有=作代换即得 时,由上式得自然对数函数的导数公式:这就是对数函数的导数公式,特殊地,当 2.1.3 导数的几何意义 由导数的定义可知:函数 线斜率，即 在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切,其中 是切线的倾角.如下图：例 求等边双曲线 y=1/x, 在点(1/2,2)处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程。 解 根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 由于 ,于是 从而所求切线方程为 所求法线的斜率为 k2-1/k1=1/4, 于是所求法线方程为 2x-8y+15=0. 2.2 微分的概念 2.2.1 微分的定义 设函数 可表示为 其中 A 是不依赖于 而 叫做函数 的常数,而是比 在点 高阶的无穷小,那末称函数 的微分,记作 ,即 在点 是可微的, 在某区间内有定义, 及 即 4x+y-4=0.在这区间内,如果函数的增量相应于自变量增量例 求函数 y=x2 在 x=1 和 x=3 处的微分. 解 函数 函数 例如, 函数 在 处的微分为 在任意点 的微分，称为函数的微分,记作 的微分为 称为自变量的微分,记作 dx， 即 在 或 函数 处的微分为 ,即 的微分为通常把自变量 的增量.于是函数 y=f(x)的微分又可记作 dy=f’(x)dx, 从而有 x=3 就是说，函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数.因此，导数也叫做”微商”.52.2.2 微分的几何意义 设△y 是曲线 y=f(x)上的点的纵坐标的增量,dy 是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量, 当O△xO很小时, O△y-dyO比O△xO小得多,因此在 M 点的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.第三章： 第三章：中值定理与导数的应用 上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念， 上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变量的变化快慢出发，引出了导数的概念，并讨论了导数的计算 方法。本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。 方法。本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。我们将 介绍微分学的几个中值定理， 介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础 3.1 三个中值定理 三个中值定理 3.1.1 罗尔定理 罗尔定理 如果函数 f(x)在闭区间 , b]上连续， 在闭区间[a 上连续， 在开区间 内可导， 且在区间端点的函数值相等， 即 ， 在闭区间 上连续 在开区间(a,b)内可导， 内可导 且在区间端点的函数值相等， f(a) = f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点 内至少有一点 那么在 在该点的导数等于零： ，使得函数 f(x)在该点的导数等于零： 在该点的导数等于零 。3.1.2 拉格朗日中值定理 在区间[a,b]上连续，在开区间 上连续， 内可导， 拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)在区间 在区间 上连续 在开区间(a,b)内可导，那么在 内可导 那么在(a,b)内至少有一点 内至少有一点 ，使等式 (1)成立。 成立。 成立3.1.3 柯西中值定理 及 在闭区间[a,b]上连续，在开区间 上连续， 内可导， 柯西中值定理 如果函数 f(x)及 F(x)在闭区间 在闭区间 上连续 在开区间(a,b)内可导，且 F’(x)在(a,b)内的每一点处 内可导 在 内的每一点处 均不为零，那么在 均不为零，那么在(a,b)内至少有一点 ，使等式 内至少有一点 3.2 洛必达法则 3.2.1.洛必达法则的概念 洛必达法则的概念. 洛必达法则的概念 定义:求待定型的方法( 与此同时 并且 f’(x)与 g’(x)在(a,a+ )上存在. );定理:若 f(x)与 g(x)在(a,a+ )上有定义,且 0 且 = = 可推广到 x ,x ,x 。所以对于 待定型, =A 则 = = (2)成立。 成立。 成立f(x)=g(x)=0; =A,(A 可以是 ).证明思路: 补充定义 x=a 处 f(x)=g(x)=0, 则[a,a+ ) 上 即 x 时,x ,于是3.2.2 定理推广 定理推广:由证明过程显然定理条件 x可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。 注意事项: 1.对于同一算式的计算中,定理可以重复多次使用。2.当算式中出现 Sin 或 Cos 形式时,应慎重考 虑是否符合洛必达法则条件中 f’(x)与 g’(x)的存在性。 向其他待定型的推广。 (下转化过程中描述引用的仅为记号.) 1. 2. 0 4. 、 可化为 =0 、 取对数 = ，事实上可直接套用定理。 3. 0 Ln0、 = ，通分以后 0 、 = 0、0 。 。Ln1、0 Ln63.3 由于泰勒公式及其误差图示 时 所以来源:实践,常用导数进行近似运算. ,因此范围:在直接求 f(x)困难,而在 x 附近 x0 处 f(x0)与 f’(x0)较易时应用.条件是 x 与 x0 充分接近,可达到一定的精度. 利用 Sinx x,tgx x, , 当 , 为不同函数时.有常用近似公式如下:(|x|很小时) ,Ln(1+x) x. 于是 与 . 即,p1=f(0)+f’(0)x泰勒公式来源:上述公式在|x|很小时,与 f(x)在 x=0 处函数值相等，且一阶导数相等.为进一步提高精度欲使 在二阶导数处也相等.于是 得 对于误差,有定理: 由定理: , 依此类推: 在 x=0 处有 n+1 阶连续导数,则上式误差 此式为 在 x=0 处的关于 x 的泰勒展开公式.即: ( ,在 x 与 0 之间)公式推广:一般地在 x=X0 附近关于 X0 点的泰勒公式注意:虽然泰勒公式是在 x= 过远)时,&附近&展开,但是事实上 x 可以取 f(x)定义域内任意值,只不过若|x-|过大(即 x 离 固定后,不相应变大.即使用代替 f(x)的误差变大.可是,无论如何泰勒公式总是成立的,当 变化,从而影响 对 f(x)的近似精度.同的 x 将使 发生变化,并使3.4 函数图形描绘示例 定理:若 f(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导.则 f(x)在[a,b]单调上升(或单调下降)的充分必要条件为(a,b)内 (或 ), 推论:若 f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,且 不变号, 则 (或&0) 严格单调上升(下降).定理(极值的必要条件):若 x0 为 f(x)的极值点,那么 x0 只可能是 f’(x)的零点或 f(x)的不可导点. 定理(极值判别法): 若 则若 则 不存在,但 f(x) 在 内 , , f( )为极大值, 与 内 , f( )为极小值上可导 则 为极小点,反之为极大点定义:若曲线在一点的一边为上凸,另一边为下凸,则称此点为拐点,显然拐点处 定义:若 则称 ax+b 为 f(x)的一条渐进线.7定义:若则称 x=c 为 f(x)的一条垂直渐进线. , 即 即 带回定义得定理:若 f(x)的一条渐进线为 ax+b 则 证明:由定义知 所以函数图象描述的基本步骤: 1.确定 y=f(x)的定义域并讨论函数的基本性质,如奇偶性,对称性\周期性等. 2.求出 与 及 与 不存在的各点.3.由 2 的结果函数的上升,下降区间,及图形的上凸,下凸区间以及各极值点. 4.定出函数的渐近线. 5.描点作用. 3.5 曲率的概念及计算公式 3.5.1 概念 概念:来源：为了平衡曲线的弯曲程度。 ： 平均曲率 △s 为 AB 弧长。 例：对于圆， 。所以：圆周的曲率为 1/R，是常数。而直线上 ， 即定义 ，所以 ，即直线“不弯曲”。 ， ，这个定义描述了 AB 曲线上的平均弯曲程度。其中 表示曲线段 AB 上切线变化的角度，对于一个点， A 点， 如 为精确刻画此点处曲线的弯曲程度， 可令 为了方便使用，一般令曲率为正数，即： 3.5.2 计算公式的推导： 计算公式的推导： 由于 因为 所以 具体表示； 1、 3、 再推导 时， 时， ，因为 ，所以 （令 ，两边对 x 求导，得 2、 或 ，所以要推导 。与 ds 的表示法，ds 称为曲线弧长的微分（T5-28，P218） 。 令 ， 同时用 代替 得， 所以时， ） ，推出 。下面将与 ds 代入公式中： 为曲线在某一点的曲率半径。，即为曲率的计算公式。3.5.3 曲率半径：一般称 曲率半径：几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧） ，在法线上取圆心，以 ρ 为半径做圆，则此圆称为 该点处的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。 应用举例：求 上任一点的曲率及曲率半径（T5-30）8解：由于： 3.6 方程的近似解法 3.6.1 应用前提： 应用前提： 方程 f(x)=0，则 f(x)应满足： （2）所以：，（1）f(x)在[a，b]连续，f(a)与 f(b)不同号。 在（a，b）内连续且不变号。在（a，b）内连续且不变号。 （3）3.6.2 应用步骤： 应用步骤： 首先：判断方程是否满足应用前提，先对端点 a，b 求 f(a)、f(b)，取与 fn(x)同号的一点为起点。 过起点做 f(x)的切线，交 x 轴与 以次类推，直到 3.6.3 应用举例： 应用举例： 求： 解：令 在[1，2]内的根，误差 ，有： 。然后：过（ ， ）做 的切线，交 x 轴与 。满足精度要求。所以可应用上述方法，求得： 由于 ，所以误差范围内的近似解为3.6.4 两点说明： 两点说明： 1. 前提条件的作用： 第一个条件显然是为了保证区间上解的存在性。 第二、第三个条件是为了保证各步迭代后，得到的交点仍落在区间上的 2. 迭代公式： 设第 n 步后的交点为 ，所以下一步过（ ， ）做 f(x)的切线，写出其方程就是： ，这就是迭代公式。，它与 X 轴交点为第四章： 第四章：不定积分 在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论他的反问题，即要求一个导函数的原函数， 在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论他的反问题，即要求一个导函数的原函数， 也就是求一个可导函数，使他的导函数等于已知函数。 也就是求一个可导函数，使他的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一 4.1 不定积分的概念与性质 4.1.1 原函数与不定积分的概念 定义 1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x)的导函数为 f(x)，即对任一 x∈I，都有 F’(x)= f(x)或 dF(x)= f(x)dx， 那 的导函数为 ， ∈， 或 ， 末函数 F(x)就称为 f(x)（或 f(x)dx）在区间 I 上的原函数。 就称为 （ ） 上的原函数。 例如，因(sin x)’=cos x,，故 sin x 是 cos x 的原函数。 那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？简单的说就是，连续的函数一定有原函数 连续的函数一定有原函数。 连续的函数一定有原函数 下面还要说明两点。 第一，如果有 ，那么，对任意常数 C，显然也有 ，即如果 是 的原函数，那 F(x)+C 也是 f(x)的原函数。 第二，当 C 为任意常数时，表达式 F(x)+C,就可以表示 f(x)的任意一个原函数。也就是说，f(x)的全体原函数所组 成的集合，就是函数族 定义 2 在区间 上，函数 。由以上两点说明，我们引入如下定义。 的带有任意常数项的原函数称为 （或 上的不定积分， ）在区间 上的不定积分，9记作。其中记号称为积分号， 称为积分号，称为被积函数， 称为被积函数，称为被积表达式， 称为积分变量。 称为被积表达式， 称为积分变量。由此定义及前面的说明可知，如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数，那么 F(x)+C 就是 f(x)的不定积分， 即 例 1 求 例 2 求 解 当 当 . . 时,由于 时，由于 = ,所以 = 是 = 在 内的一个原函数。 因此， 在 内， 内， 。 因而不定积分 解 由于 = ，所以 是 可以表示 的任意一个原函数。 .的一个原函数。因此，由上同理，在将结果合并起来，可写作 4.1.2 不定积分的性质 根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质： 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和， 性质 1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来,即 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来 性质 2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来 即 . (k 是常数 k≠0). 是常数,k例 3 求.解==== = 注意 检验积分结果是否正确,只要对结果求导,看它的导数是否等于被积函数， 相等时结果是正确的， 否是错误的。 4.2 两类换元法及举例 利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定积分的求法. 把复合函数的微分法反过来求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称为换元积分法,简换元法. 换元法通常分成两类. 4.2.1 第一类换元法 具有原函数, 可导, 定理 1 设 f(u)具有原函数 u =φ(x)可导 则有换元公式 具有原函数 可导 例 1 求∫2cos2xdx. 解 作变换 u=2x,便有∫2cos2xdx =∫cos2x?2dx =∫cos2x?(2x)' dx =∫cos u du = sin u+C, 再以 u=2x 代入,即得∫2cos2xdx =sin 2x+C. 例 2 求∫tan x dx. 解 ∫tan x dx =∫sin x /cos x dx. 因为 -sin x dx = d cos x,所以如果设 u=cos x,那么 du=-sin xdx,即 -du=sin xdx,因此.类似地可得∫cot x dx =ln|sin x|+C.在对变量代换比较熟练以后,就不一定写出中间变量 u.例 3 求∫ch(x/a) dx.解.10例4 求(a&0).解.下面求积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式. 3 3 2 2 2 3 例 5 求∫sin x dx. 解 ∫sin x dx =∫sin x sinx dx=-∫(1-cos x)d(cosx)=-∫d(cosx)+∫cos xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos x+C. 2 例 6 求∫cos x dx. 解2.类似地可得∫sin x dx=x/2-(sin2x)/4+C. 利用定理 1 来求不定积分,一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难,因为其中需要一定的技巧, 而且如何适当的选择变量代换 u=φ(x)没有一般途径可循,因此要掌握换元法,除熟悉一些典型的例子,需多练习. 4.2.2 第二类换元法 是单调的、可导的函数 具有原函数,则有换元公式 定理 2 设 x=ψ(x)是单调的 可导的函数 并且 ψ'(x)≠0. 又设 f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数 则有换元公式 是单调的 可导的函数, 具有原函数 ,其中 其中 例7 求 (a&0) ,但我们可以利用三角公式 sin2t+cos2t=1 来化去根式. ,于是根式化为了三角式,所求积 . (x)是 x=ψ(t)的反函数 是 的反函数. 的反函数解 求这个积分的困难在于有根式 设 x=asint,-π/2&t&π/2,那么 分化为利用例 6 的结果得.由于 x=asint,-π/2&t&π/2,所以 于是所求积分为, .具体解题时要分析具体情况,选简捷的代换.第五章： 第五章：定积分 本章将讨论积分学的另一个基本问题――定积分问题。我们先从几何与力学问题出发引进定积分的概念，再讨 定积分问题。 本章将讨论积分学的另一个基本问题 定积分问题 我们先从几何与力学问题出发引进定积分的概念， 论他的性质和计算方法，关于定积分的应用，将在下一章讨论。 论他的性质和计算方法，关于定积分的应用，将在下一章讨论。 5.1 定积分概念 定义 设函数 f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 把区间[a,b]分成 n 个小区间 ，，设有常数 I，如果对于任意给定的正数 e ，总存在一 在 中怎样取法，只要 ，总有个 正 数 d ， 使 得 对 于 区 间 [a,b] 的 任 何 分 法 ， 不 论成立，则称 I 是 f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作 。 接下来的问题是：函数 f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。 定理 1 设 f(x)在区间[a,b]上连续，则 f(x)在[a,b]上可积。 定理 2 设 f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在[a,b]上可积。 对面积赋以正负号，在 x 轴上方的图形面积赋以正号，在 x 轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积11分的几何意义为： 它是介于 x 轴、 函数 f(x)的图形及两条直线 x = a、 = b 之间的各部分面积的代数和。 x5.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例 牛顿－ 定理 如果函数 F(x)是连续函数 f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 证 已知函数 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数 也是 f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节） ， 即 。 (2) 在上式中令 x = a，得 。又由 F (x)的定义式及上节 。 (1)定积分的补充规定知 F (a) = 0，因此，C = F(a)。以 F(a)代入(2)式中的 C， 以 代入(2)式中的 F (x)， 可得 ， 在上式中令 x = b， 就得到所要证明的公式(1) .n 。由积分性质知，(1)式对 a&b 的情形同样成立。为方便起见，以后把 F(b) C F(a)记成公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式， 给定积分提供了一种简便的计算方法， 也称为微积分基本公式。例 1 计算定积分。解。例 2 计算。解。例 3 计算。解。 。例 4 计算正弦曲线 y = sinx 在[0,p ]上与 x 轴所围成的平面图形的面积。 解 例5 求 解 易知这是一个 型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。因此 5.3 定积分的近似计算 在应用问题中常遇到要求定积分。的数值，但 f(x)的原函数根本不能普通的初等函数表示出来。例如等，所以提出了积分的近似计算问题。 定积分近似计算公式的原理：求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。此处介绍抛物线法原理：实质上是用抛物线逼近曲线段，如图由此可推出12。此公式称为辛卜生公式。 近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近（见数值分析） 。 5.4 广义积分的概念 5.4.1 无穷限的广义积分 在区间[a 上连续， 定义 1 设函数 f(x)在区间 , +? )上连续，取 b&a，若极限 在区间 上连续 ， 区间[a 上的广义积分， 区间 , +? )上的广义积分，记作 上的广义积分 这时也称广义积分 类似地， 类似地，若极限 ，即 存在， 存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷 在无穷 。(1) 发散。 发散。收敛；若上述极限不存在， 收敛；若上述极限不存在，称为广义积分 存在， 存在，则称广义积分 和 收敛。 收敛。设函数 f(x)在区间 ,+? )上连续，如果广义积分 在区间(-? 上连续， 在区间 上连续 在无穷区间(-? 上的广义积分， 函数 f(x)在无穷区间 , +? )上的广义积分，记作 在无穷区间 上的广义积分 分都收敛，则称上述两广义积分之和为 都收敛， 收敛； 收敛；否则就称广义积，也称广义积分发散。 发散。上述广义积分统称为无穷限的广义积分。例 1 证明广义积分(a&0)当 p&1 时收敛，当 p? 1 时发散。证 当 p = 1 时，,当 p? 1 时，因此，当 p & 1 时，这广义积分收敛，其值为 ；当 p? 1 时，这广义积分发散。 5.4.2 无界函数的广义积分 现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。 上连续， 的右领域内无界， 定义 2 设函数 f(x)在(a,b]上连续，而在点 a 的右领域内无界，取 在 上连续 上的广义积分， 此极限为函数 f(x)在(a,b]上的广义积分，仍然记作 在 上的广义积分 ，如果极限 收敛。 收敛。 与 ； 发散。 发散。 当 q & 1 时收敛，当 q≥1 时发散。 ， (2) 存在， 存在，则称，这时也称广义积分类似地，设函数 f(x)在[a,b]上除点 c(a&c&b)外连续，而在点 c 的领域内无界，如果两个广义积分 类似地， 在 上除点 外连续， 的领域内无界， 外连续 都收敛， 都收敛， 则定义 否则， 否则，就称广义积分 例 2 证明广义积分 证 当 q = 1 时， 当 q ≠1 时， 因此，当 q & 1 时，这广义积分收敛，其值为(b-a)1-q/(1-q)；当 q≥1 时，这广义积分发散。13第七章： 第七章：空间解析几何与向量微分 在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来， 在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而 可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。 可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。 7.1 几种常见曲线： 几种常见曲线：7.2 曲面方程 7.2.1 曲面方程的概念及一般方程 如果曲面 S 与三元方程 F(x, y, z)=0 (1),有下述关系： 1. 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程(1)；不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程(1)， 那末，方程(1)就叫做曲面 S 的方程，而曲面 S 就叫做方程(1)的图形。 7.2.2 平面方程的几种形式 一般形式：Ax+By+Cy+D=0，其中{A，B，C}是平面法向， A2+B2+C2≠0。 点法式方程： 三点式方程：已知平面过空间三点 ， 。 ， 截距式方程： 。 ，则平面方程为1. 几种特殊的曲面方程 1. 旋转曲面方程 2. 柱面方程 设平面曲线 l : 绕 z 轴旋转,则旋转曲线方程为 母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如 F(y, z)=0 就表示母线平行与 x 轴, 准线为 的柱面. 二次曲面方程（见第七章知识点 3）7.3 空间曲线 7.3.1 空间曲线一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线。设 F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0 是两个曲面的方程，它们的交线为 C[如图]。 因为曲线 C 上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组 （1） 反过来，如果点 M 不在曲线 C 上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。因此， 曲线 C 可以用方程组（1）来表示。方程组（1）叫做空间曲线 C 的一般方程。 空间曲线 的一般方程。141. 为空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程为 1. 方程组 表示怎样的曲线?t 为参数.方程组中第一个方程表示母线平行于 z 轴的圆柱面,其准线是 xOy 面上的圆，圆心在原点 O，半径为 1。方程组 中第二个方程表示一个母线平行于 y 轴的柱面，由于它的准线是 zOx 面上的直线，因此它是一个平面。方程组 就表示上述平面与圆柱面的交线，[如图]。2. 方程组表示怎样的曲线？方程组中第一个方程表示球心在坐标原点 O ， 半径为 a 的上半球面。 第二个方程表示母线平行于 z 轴的圆柱面， 它的准线是 xOy 面上的圆，这圆的圆心在点（a/2，0），半径为 a/2。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。 7.3.2 空间曲线在坐标上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0, 表示曲线 C 在 yOz 面上的投影, 例 已知两球面的方程为 （a） 和 由上述方程组消去变量 z，x，y 后所得的方程分别为： 表示曲线 C 在 xOy 面上的投影, 表示曲线 C 在 xOz 面上的投影。 (b)求它们的交线 C 在 xOy 面上的投影方程。 解 先求包含交线 C 而母线平行于 z 轴的柱面方程。因此要由方程(a) , (b)消去 z，为此可先从（a）式减去(b) 式 并化简，得到 y + z = 1,再以 z = 1 Cy 代入方程（a）或（b）即得所求的柱面方程为 x2+2y2-2y=0 易看出，这是交线 C 关于 xOy 面的投影柱面方程，于是两球面的交线在 xOy 面上的投影方程是 注：在重积分和曲线积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投 影曲线。 7.4 二次曲面 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。 为了了解三元方程 F (x , y ,z )=0 所表示得的曲面的形状， 我们 通常采用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。 7.4.1 椭球面 7.4.2 抛物面 方程 方程 所表示的曲面叫做椭球面，[截痕法演示]。 （p 和 q 同号）所表示的曲面叫做抛物面，[截痕法演示]。 （p 和 q 同号）所表示的曲面叫做双曲抛物面，[截痕法演示]。 所表示的曲面叫做单叶双曲面,[截痕法演示]。 所表示的曲面叫做双叶双曲面,[截痕法演示]。7.4.3 双曲抛物面 方程 7.4.4 双曲面 方程 方程第八章： 第八章：多元函数微分 在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于几个变量的情形， 在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于几个变量的情形，这就提 出了多元函数微分和积分的问题，本章将在一元微分的基础上，讨论二元及二元以上的多元函数的微分。 出了多元函数微分和积分的问题，本章将在一元微分的基础上，讨论二元及二元以上的多元函数的微分。 8.1 多元函数的极限与连续性158.1.1 定义设函数 f(x,y)在开区域（或闭区域）D 内有定义，P0(x0,y0)是 D 的内点或边界点。如果对于任意给定 的一切点 P(x,y)∈D,的正数 ε，总存在正数 δ，使得对于适合不等式 都有|f(x,y)-A|&ε 成立，则称常数 A 为函数 f(x,y)当 x→x0,y→y0 时的极限，记作 或 f(x,y) →A (ρ→0),这里 ρ=|PP0|。 例 设 因为 （x2+y2≠0） ，求证 。，可见，对任何 ε&0，取，则当 时，总有 成立，所以 。 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指 P（x,y）以任何方式趋于 P0（x0,y0）时，函数都无限接近于 A。 定义 设函数 f(x,y)在开区域（或闭区域）D 内有定义，P0(x0,y0)是 D 的内点或边界点且 P0∈D。如果则称函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)连续。8.1.2 性质 上的多元连续函数， 上一定有最小值和最大值。 性质 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最小值和最大值。 （最大值和最小值定理） 上的多元连续函数， 上取得两个不同的函数值， 性质 2（介值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取得两个不同的函数值，则它在 D 上取 （介值定理） 得介于这两个值之间的任何值至少一次。 得介于这两个值之间的任何值至少一次。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域。 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 P0 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数 在该点的函数值，即 。8.2 偏导数的定义及计算法 8.2.1 定义 设函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 ?x 时，相应的函 数有增量 f(x0+?x,y0)-f(x0,y0),如果 存在，则称此极限为函数 z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 对于函数 z=f(x,y)，求或 fx（x0，y0） 。 时，只要把 y 暂时看作常量而对 y 求导。例 求 z=x2sin2y 的偏导数。解。8.2.2 高阶偏导数 在区域 D 内连续，那 定理 如果函数 z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数 末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 8.3 多元复合函数求导法则及实例 （t） 函数 z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数， 则复合函数 z=f[φ(t), ψ(t)] 定理 如果函数 u=φ(t)及 ψ 都在点 t 可导， 在点 t 可导，且其导数可用下列公式计算： 例 设 z=eusinv，而 u = xy，v = x+y。求 。 。16解 8.4 隐函数的求导公式 8.4.1 一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数 F(x,y)在点 P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且 F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0， 则方程 F(x,y) = 0 在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y = f(x)，它满足条 件 y0 = f(x0)，并有 。上面公式就是隐函数的求导公式。 隐函数存在定理 2 设函数 F(x,y,z)在点 P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且 F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0，则方程 F(x,y,z) = 0 在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 z = f(x,y)，它满足条件 z0 = f(x0,y0)，并有 例 设 x2+y2+z2-4z = 0，求 ， 。 。解 设 F（x,y,z）= x2+y2+z2-4z ，则 Fx = 2x，Fz = 2z-4。应同上面公式，得再一次对 x 求偏导数，得。二、方程组的情形 隐函数存在定理 3 设 F（x,y,u,v） 、G（x,y,u,v）在点 P（x0,y0,u0,v0）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数， 又 F（x0,y0,u0,v0）= 0，G（x0,y0,u0,v0）= 0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）式） ：在点 P x0,y0,u0,v0） （ 不等于零， 则方程组 F x,y,u,v） 0， （ = G （x,y,u,v） 0 在点 0,y0,u0,v0） = （x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数 u = u（x,y） = v（x,y） ，v ， 它们满足条件 u0 = u（x0,y0） 0 = v（x0,y0） ，v ，并有8.5 微分法在几何上的应用 8.5.1 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线 Г 的参数方称为 x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)，这里假定上式的三个函数都可导。[插图 1] 在曲线 Г 上取对应于 t=t0 的一点 M（x0，y0，z0） 。根据解析几何，可得曲线在点 M 处的切线方程为 。 切线的方向向量称为曲线的切向量。向量 T={φ'（t0） ，ψ'（t0） ，ω'（t0）}就是曲线 Г 在点 M 处的一个切向量。 通过点而与切线垂直的平面称为曲线 Г 在点 M 处的法平面，它是通过点 M（x0，y0，z0）而以 T 为法向量的平 面，因此这法平面的方程为 φ'（t0） （x-x0）+ψ'（t0） （y-y0）+ω'（t0） （z-z0）= 0。 8.5.2 曲面的切平面与法线 [插图 2] 设曲面 Σ 由方程 F（x,y,z）= 0 给出，M（x0，y0，z0）是曲面 Σ 上的一点，并设函数 F（x,y,z）的偏导数在该点 连续且不同时为零。则根据解析几何，可得曲面上通过点 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一个平面上。这个 平面称为曲面 Σ 在点 M 的切平面。这切平面的方程是 （x-x0）+Fy（x0，y0，z0） （y-y0）+Fz（x0，y0，z0） （z-z0）= 0 Fx（x0，y0，z0）17通过点 M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。 法线方程是 x=3 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。 向量 n = {Fx（x0，y0，z0） y（x0，y0，z0） z（x0，y0，z0）}就是曲面 Σ 在点 M 处的一个法向量。 ，F ，F 8.6 多元函数极值的求法 8.6.1 多元函数的极值 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。 定理 1（必要条件） 设函数 z = f(x,y)在点 0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值， （必要条件） 在点(x 具有偏导数，且在点 处有极值， 在点 具有偏导数 处有极值 则它在该点的偏导数必然为零： 则它在该点的偏导数必然为零：fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。 在点(x 的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 定理 2（充分条件） 设函数 z = f(x,y)在点 0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 fx(x0,y0) = 0， （充分条件） 在点 的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 ， fy(x0,y0) = 0，令 fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C，则 f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下： ， 2 （1）AC-B &0 时具有极值，且当 A&0 时有极大值，当 A&0 时有极小值； （2）AC-B2&0 时没有极值； （3）AC-B2=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。 利用定理 1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数 z = f(x,y)的极值的求法叙述如下： 第一步 解方程组 fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点。 第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值 A、B 和 C。 第三步 定出 AC-B2 的符号，按定理 2 的结论判定 f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。 8.6.2 条件极值 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 要找函数 z = f(x,y)在附加条件 φ(x,y) = 0 下的可能极值点，可以先构成辅助函数 F（x,y）= f(x,y)+λφ(x,y) ，其中 λ 为某一常数。求其对 x 与 y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程 φ(x,y) = 0 联立起来：有这方程组解出 x，y 及 λ，则其中 x，y 就是函数 f(x,y)在附加条件 φ(x,y) = 0 下 的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。 至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。 第九章： 第九章：重积分 本章和下一章是多元函数积分的内容。在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的极 本章和下一章是多元函数积分的内容。在一元函数积分学中， 定积分是某种确定形式的和的极限。 这种和的极 限的概念推广到定义在区域、曲线、曲面上的多元函数的情形，得到重积分 曲线积分、曲面积分的概念。 重积分、 限的概念推广到定义在区域、曲线、曲面上的多元函数的情形，得到重积分、曲线积分、曲面积分的概念。 9.1 二重积分的概念与性质 9.1.1 二重积分的概念 为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。 设有一平面薄片占有 xOy 面上的闭区域 D，它在点（x，y）处的面密度为 ρ（x，y） ，这里 ρ（x，y）& 0 且在 D 上连续。现在要计算该薄片的质量 M。 由于面密度 ρ（x，y）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =ρS）来计算。但 ρ（x，y）是连续的，利 用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域 D s i 的直径很小，这些小块就可以近似地看 作均匀薄片。在 D s i（这小闭区域的面积也记作 D s i ）上任取一点（x i，h i） ，则 ρ（x i，h i）D s i（i = 1， …， 可看作第 i 个小块的质量的近似值[插图 1]。 2， n） 通过求和， 再令 n 个小区域的直径中的最大值 （记作 λ）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量 M，即。再设有一立体，它的底是 xOy 面上的闭区域 D，它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面， 它的顶是曲面 z = f（x，y） ，这里 f（x，y）≥ 0 且在 D 上连续。这种立体叫做曲顶柱体。 现在要计算上述曲顶柱体的体积 V。 由于曲顶柱体的高 f（x，y）是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用上面的思想方法，用一 ，则 f（x i，h i）D 组曲线网把 D 分成 n 个小闭区域 D s 1 ，D s 2，…，D s n，在每个 D s i 上任取一点（x i，h i） s i（i = 1，2，…，n）可看作以 f（x i，h i）为高而底为 D s i 的平顶柱体的体积[插图 2]。18通过求和，取极限，便得出。上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一 形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。 定义 设 f（x，y）是有界闭区域 D 上的有界函数。将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 D s 1 ，D s 2，…，D s n， 其中 D s i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积。在每个 D s i 上任取一点（x i，h i） ，作乘积 f（x i，h i）D s i （i = 1, 2, …, n,） ，并作和 。如果当各小闭区域的直径中的最大值 l 趋于零时，这和的极限总存在， 则称此极限为函数 （x， 在闭区域 D 上的二重积分， f y） 记作 ， 即 。 其中 f（x，y）叫做被积函数，f（x，y）ds 叫做被积表达式，ds 叫做面积元素，x 与 y 叫做积分变量，D 叫做 叫做积分和。 积分区域， 在二重积分的定义中对闭区域 D 的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D，那 末除了包含边界点的一些小闭区域外， 其余的小闭区域都是矩形闭区域。 设矩形闭区域 D s i 的边长为 D xj 和 D yk， 则 D s = D xj?D yk。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素 ds 记作 dxdy，而把二重积分记作其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素。这里我们要指出，当 f（x，y）在闭区域 D 上连续时， （*）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数 f（x，y）在 D 上的二重积分必定存在。 9.1.2 二重积分的性质 二重积分与定积分有类似的性质： 性质 1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即 。 性质 2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差） （k 为常数） 。例如。性质 3 如果闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重 积分的和。例如 D 分为两个闭区域 D1 与 D2，则 此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。 性质 4 如果在 D 上，f（x，y）= 1，s 为 D 的面积，则 。 。此性质的几何意义很明显，因为高为 1 的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。 ，则有不等式 性质 5 如果在 D 上，f（x，y）≤ j （x，y） - | f（x，y）| ≤ f（x，y）≤ | f（x，y）|，又有不等式 性质 6 设 M，m 分别是 f（x，y）在闭区域 D 上的最大值和最小值，s 是 D 的面积， 。特殊地，由于 。则有。上述不等式是对二重积分估值的不等式。性质 7（二重积分的中值定理） 设函数 f（x，y）在闭区域 D 上连续，s 是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 （二重积分的中值定理）（x ，h ）使得下式成立：。199.2 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标） 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标） 按照二重积分的定义来计算二重积分， 对特别简单的被积函数和积分区域来说可行， 但对一般的函数和积分区域 来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。 9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 下面用几何的观点来讨论二重积分 的计算问题。在讨论中我们假定 f（x，y）≥ 0。并设积分区域 D 可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x） ，a≤x≤b 来表示[插图 1]，其中函数 j 1（x） 2（x）在区间 [a，b] 上连续。 、j 我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。 为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点 x0，作平行于 yOz 面的平面 x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面 是一个以区间 [j 1（x0） 2（x0）] 为底、曲线 z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（[插图 2]中阴影部分） ，j ，所以这 截面的面积为 。 一 般 的 ， 过 区 间 [a ， b] 上 任 一 点 x 且 平 行 于 yOz 面 的 平 面 截 曲 顶 柱 体 所 得 截 面 的 面 积 为 ，于是，得曲顶柱体的体积为 这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式 。 （1） 。上式右端的积分叫做先对 y、后对 x 的二次积分。就是说，先把 x 看作常数，把 f（x，y）只看作 y 的函数，并 对 y 计算从 j 1（x）到 j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是 x 的函数）再对 x 计算在区间 [a，b] 上的定积 分。这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作 因此，等式（1）也写成 。 ， （1’）在上述讨论中，我们假定 f（x，y）≥ 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。 ，c≤y≤d 类似地，如果积分区域 D 可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y） 来表示[插图 3]， 其中函数 ψ（y） ψ（y） 、 2 在区间 [c， 上连续， d] 那末就有 1 上式右端的积分叫做先对 x、后对 y 的二次积分，这个积分也常记作 因此，等式（2）也写成 ， （2’） 。 。这就是把二重积分化为先对 x、后对 y 的二次积分的公式。 我们称图 9-2-1 所示的积分区域为 X-型区域，图 9-2-3 所示的积分区域为 Y-型区域。对不同的区域，可以应用不 同的公式。如果积分区域 D 既不是 X-型的，也不是 Y-型的，我们可以把 D 分成几个部分，使每个部分是 X-型 区域或是 Y-型区域。如果积分区域 D 既是 X-型的，又是 Y-型的，则由公式（1’）及（2’）就得 。 上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分 。二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域 D 的类型来确定的。例 1 计算，其中 D 是由直线 y = 1、x = 2 及 y = x 所围成的闭区域。解法 1 首先画出积分区域 D[插图 4]。D 是 X-型的，D 上的点的横坐标的变动范围是区间[1，2]。 在区间[1， 2]上任意取定一个 x 值， D 上以这个 x 值为横坐标的点在一段直线上， 则 这段直线平行于 y 轴， 该线段上点的纵坐标从 y = 1 变到 y = x。利用公式（1）得20。 解法 2 把积分区域 D 看成是 Y-型的。同学们可作为练习，验证解出的答案是否与解法 1 的相一致。 对于较复杂的积分区域，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。 这时，既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数 f（x，y）的特性。 例 2 求量各底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围成的立体的体积。 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2 + y2 = R2 及 x2 + z2 = R2 利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分[插图 5]的体积 V1，然后再乘以 8 就行了。 所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为 如 图 9-2-5 （ b ） 所 示 。 它 的 顶 是 柱 面 。于是， ， 。利用公式（1）得从而所求立体体积为。9.2.2 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分，积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量 r，θ 比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分。按二重积分的定义有，下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式。假定从极点 O 出发且穿过闭区域 D 内部的射线与 D 的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同 心圆：r=常数，以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把 D 分成 n 个小闭区域[插图 6]。除了包含边界点的一些 小闭区域外，小闭区域的面积 D s i 可计算如下：其中 表示相邻两圆弧的半径的平均值。 在这小闭区域内取圆周 h i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有上的一点 。于是， 该点的直角坐标设为 x i，， 即 由于在直角坐标系中 也常记作 ，所以上式又可写成。。 （4） 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中 rdrdθ 就是极坐标系中的面积元素。 公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的 x、y 分别换成 rcosθ、21rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素 dxdy 换成极坐标系中的面积元素 rdrdθ。 极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。在[插图 7]，二重积分化为二次积分的公式为。 （5）上式也写成。 （5'）特别地，如果积分区域 D 是[插图 8]所示的曲边扇形，那末相当于图 9-2-7（a）中 φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ） 。 这时闭区域 D 可以用不等式 0≤r≤φ（θ） ，α≤θ≤β 来表示，而公式（5'）成为。 如果积分区域 D 如图[插图 9]）所示，极点在 D 的内部，那末相当于图 9-2-8 中 α= 0、β= 2π。这时闭区域 D 可 以用不等式 0≤r≤φ（θ） ，0≤θ≤2π 来表示，而公式（5'）成为。由二重积分的性质 4，闭区域 D 的面积 s 可以 表示为 。在极坐标系中，面积元素 ds = rdrdθ，上式成为 。如果闭区域 D 如图 9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有 特别地，如果闭区域 D 如图 9-2-8 所示，则 φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ） 。于是 。。例 3 计算，其中 D 是由中心在原点、半径为 a 的圆周所围成的闭区域。解 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有例 4 求球体 x2+y2+z2≤4a2 圆柱面 x2+y2=2ax（a&0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积[插图 10]。解 由对称性，，其中 D 为半圆周及 x 轴所围成的闭区域。在极坐标系中，闭区域 D 可用不等式 0≤r≤2acos（θ） ，0≤θ≤π/2 来表示。于是。 9.3 二重积分的应用实例 在二重积分的应用中，由许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理。 如果所要计算的某个量对于闭区域 D 具有可加性（就是说，当闭区域 D 分成许多小闭区域时，所求量 U 相应地分成许多部分量，且 U 等于部分量之 和） ，并且在闭区域 D 内任取一个直径很小的闭区域 dσ 时，相应的部分量可近似地表示为 f（x，y）dσ 的形式， 其中（x，y）在 dσ 内。这个 f（x，y）dσ 称为所求量 U 的元素而记作 dU，以它为被积表达式，22在闭区域 D 上积分：，这就是所求量的积分表达式。9.3.1 曲面的面积 设曲面 S 由方程 z = f（x，y）给出，D 为曲面 S 在 xOy 面上的投影区域，函数 f（x，y）在 D 上具有连续偏导 数 fx（x，y）和 fy（x，y） 。我们要计算曲面 S 的面积 A。 在闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域 dσ（这小闭区域的面积也记作 dσ） 。在 dσ 上取一点 P（x，y） ，对应地 曲面 S 上有一点 M（x，y，f（x，y），点 M 在 xOy 面上的投影即点 P。点 M 处曲面 S 的切平面设为 T[插图 1]。 ） 以小闭区域 dσ 的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱面，这柱面在曲面 S 上截下一小片曲面，在切平面 T 上截下 一小片平面。由于 dσ 的直径很小，切平面 T 上的那一小片平面的面积 dA 可以近似代替相应的那一小片面积的 面积。设点 M 处曲面 S 上的法线（指向朝上）于 z 轴所成的角为 γ，则 。因为，所以。 。这就是曲面 S 的面积元素，以它为被积表达式在闭区域 D 上积分，得上式也可写为。这就是计算曲面面积的公式。设曲面的方程为 x=g（x，y）或 y=h（z，x） ，可分别把曲面投影到 xOy 面上（投影区域记作 Dyz）或 zOx 面上（投影区域记作 Dzx） ，类似地可得 例 1 求半径为 a 的球的表面积。 解：取上半球面的方程为，或。，则它在 xOy 面上的投影区域 D 可表示为 x2+y2≤a2。由，得2 2。2因为这函数在闭区域 D 上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域 D1：x +y ≤b （0&b&a）为积分 区域，算出相应于 D1 上的球面面积 A1 后，令 b→a 取 A1 的极限，就得半球面的面积。，利用极坐标，得于是。这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为 A = 4πa2。 9.3.2 平面薄片的重心 设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在点（x，y）处的面密度 ρ（x，y） ，假定 ρ（x，y）在 D 上连续。 现在要找该薄片的重心的坐标。 在闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域 dσ（这小闭区域的面积也记作 dσ）（x，y）是这小闭区域上的一个点。 ， 由于 dσ 的直径很小，且 ρ（x，y）在 D 上连续，所以薄片中相应于 dσ 的部分的质量近似等于 ρ（x，y）dσ，这 部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出静矩元素 dMy 及 dMx： dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域 D 上积分，便得23。又由第一节知道，薄片的质量为。所以，薄片的重心的坐标为。如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把 ρ 提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得均匀薄片重心的坐标为（1）其中为闭区域 D 的面积。这时薄片的重心完全由闭区域 D 的形状所决定。我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。因此，平面图 形 D 的形心，就可用公式（1）计算。 例 2 求位于两圆 r = 2sinθ 和 r = 4sinθ 之间的均匀薄片的重心[插图 2] 必位于 y 轴上，于是 。再按公式 计算 。 解 因为闭区域 D 对称于 y 轴，所以重心 由于闭区域 D 位于半径为 1 与半径为 2 的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即 A = 3π。利用极坐标计算积分： 所求重心是 C（0，7/3） 。。因此，三、平面薄片的转动惯量 设有一薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D，在点（x，y）处的面密度 ρ（x，y） ，假定 ρ（x，y）在 D 上连续。现 在要求该薄片对于 x 轴的转动惯量 Ix 以及对于 y 轴的转动惯量 Iy。 应用元素法，在闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域 dσ（这小闭区域的面积也记作 dσ）（x，y）是这小闭区域 ， 上的一个点。由于 dσ 的直径很小，且 ρ（x，y）在 D 上连续，所以薄片中相应于 dσ 的部分的质量近似等于 ρ（x， y）dσ，这部分质量可近似看作集中在点（x，y）上，于是可写出薄片对于 x 轴以及对于 y 轴的转动惯量元素： dIx = y2ρ（x，y）dσ,dIy = x2ρ（x，y）dσ。以这些元素为被积表达式，在闭区域 D 上积分，便得 例 3 求半径为 a 的均匀半圆薄片（面密度为常量 ρ）对于其直径边的转动惯量。 解：取坐标系如图[插图 3]所示，则薄片所占闭区域 D 可表示为 x2+y2≤a2，y≥0； 而所求转动惯量即半圆薄片对于 x 轴的转动惯量 Ix。。其中为半圆薄片的质量。 9.4 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 与二重积分的计算类似，三重积分有时也要利用柱面坐标或球面坐标来进行计算。 9.4.1 利用柱面坐标计算三重积分 设 M（x，y，z）为空间内一点，并设点 M 在 xOy 面上的投影 P 的极坐标为 r，θ，则这样的三个数 r，θ，z 就叫 做点 M 的柱面坐标[插图 1]，这里规定 r、θ、z 的变化范围为： 0 ≤ r & +∞,0 ≤θ≤ 2π,-∞ & z & +∞。三组坐标面分别为 r = 常数，即以 z 轴为轴的圆柱面；θ=常数，即过 z 轴的半平面；z = 常数，即与 xOy 面平行的平面。24显然，点 M 的直角坐标与柱面坐标的关系为（1）现在要把三重积分中的变量变换为柱面坐标。为此，用三组坐标面 r = 常数，θ=常数，z = 常数把 分成许多小闭区域，除了含 的边界的一些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体。 考虑由 r，θ，z 各取得微小增量 dr，dθ，dz 所成的柱体的体积[插图 2]。柱体的高为 dz、底面积在不计高阶无穷 小时为 r dr dθ（即极坐标系中的面积元素） ，于是得 dv = r dr dθdz， 这就是柱面坐标中的体积元素。再注意到关系式（1） ，就有 （2）其中 F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）（2）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式。至 。 于变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行。化为三次积分时，积分限是根据 r，θ， z 在积分区域 中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。 例 1 利用柱面坐标计算三重积分 ，其中 是由曲面 z = x2+y2 与平面 z = 4 所围成的闭区域。解 把闭区域 投影到 xOy 面上，得半径为 2 的圆形闭区域 D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在 D 内任取一点（r，θ） ，过此 点作平行于 z 轴的直线，此直线通过曲面 z = x2+y2 穿入 内，然后通过平面 z = 4 穿出 外。因此闭区域 可 用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 来表示。于是9.4.2 利用球面坐标计算三重积分 设 M（x，y，z）为空间内一点，则点 M 也可用这样三个有次序的数 r，φ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离，φ 为有向线段 与 z 轴正向所夹的角，θ 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到有向线段 的角，这里 P 为点 M 在 xOy 面上的投影[插图 3]。这样的三个数 r，φ，θ 叫做点 M 的球面坐标，这里 r，φ，θ 的 变化范围为 0 ≤ r & +∞,0 ≤φ≤ π,0 ≤θ≤ 2π. r = 常数，以原点为心的球面；φ= 常数，即以原点为顶点、z 轴为轴的圆锥面；θ = 常数，即过 z 轴的半平面。点 M 的直角坐标与球面坐标的关系为（3）为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标面 r = 常数，φ=常数，θ= 常数把积分区域 分成许多小闭区域。考虑由 r，φ，θ 各取得微小增量 dr，dφ，dθ 所成的六面体的体积[插图 4]。不计高阶无穷小， 可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为 rdφ，纬线方向的宽为 r sinφdθ，向径方向的高为 dr， 于是得 dv = r 2 sinφdrdφdθ，这就是球面坐标系中的体积元素。再注意到关系式（3） ，就有,（4） 其中 F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）（4）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐 。 标的公式。要计算变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化为对 r 对 φ 及对 θ 的三次积分。 若积分区域 的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为 r = r（φ，θ） ，则。25当积分区域为球面 r = a 所围成时，则。特别地，当 F（r，φ，θ）= 1时，由上式即得球的体积，这是我们所熟知的。例 2 求半径为 a 的球面与半顶角为 α 的内接锥面所围成的立体[插图 5]的体积。 解 设球面通过原点 O，球心在 z 轴上，又内接锥面的顶点在原点 O，其轴与 z 轴重合，则球面方程为 r = 2acosφ， 锥面方程为 φ=α。因为立体所占有的空间闭区域 可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π来表示，所以 在三重积分的应用中也可采用元素法。 设物体占有空间闭区域 ，在点（x，y，z）处的密度为 ρ（x，y，z） ，假定这函数在 心的坐标和转动惯量。与第三节中关于平面薄片的这类问题一样，应用元素法可写出上连续，求该物体的重等，其中 例 3 求均匀半球体的重心。 解 取半球体的对称轴为 z 轴，原点取在球心上，又设球半径为 a，则半球体所占空间闭区域为物体质量。 可用不等式x2+y2+z2≤a2，z≥0 来表示。显然，重心在 z 轴上，故 其中 为半球体的体积。。，因此，，重心为。第十章： 第十章：曲线积分与曲面积分 上一章， 上一章，我们已经把积分概念从积分范围为数轴上一个区间的情形推广到了积分范围为平面或空间内一个闭区 域的情形。本章将把积分范围推广到一段曲线弧或一片曲面的情形 并阐明有关这两种积分的一些基本内容。 到一段曲线弧或一片曲面的情形， 域的情形。本章将把积分范围推广到一段曲线弧或一片曲面的情形，并阐明有关这两种积分的一些基本内容。 10.1 曲线积分 10.1.1 第一类曲线积分 公式： = 应用前提:1.曲线 L 光滑,方程可以写成为: 公式变形：若 L 为平面曲线，L 方程为2.函数在 L 上有定义，且连续。，则公式可以写成为：26常用计算法： １．对于曲线 L 可以写成为参数形式的，可直接套用公式． ２．对于平面曲线，可以用公式的变形． ３．计算中，根据图形特点，直接将 ds 化为 dx,dy 或 dz． 如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。 （注意：由于折线段不 连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的 将有无意义的点．公式推导及证明 推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割，再求和，最后取极限。推导过程中要用到：中值定理，弧长公式及连续函数 的一些极限性质． 分割：在Ｌ上插入 n 个分割点，令 记 d＝max（ ） ， 为［ ］上的弧长， 为［ ， （ ） ； ］上任意一点．求和：利用积分定义， 由弧长公式： 其中 是由中值定理确定的［ ］上的一点， 由中值定理： ；于是： 利用 , , , 的连续性，有：于是： 右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义取极限： 得公式： 10.1.2 第二类曲线积分 问题的来源：物理上，力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ，求力Ｆ所做的功Ｗ． 公式的推导 分割：将ＡＢ曲线分为小弧段 ， （其中， 设 ， ， ， 是 ，．， ．． 线段与 是 ．在每个小段上将Ｆ视为常力Ｆ ．于是 的夹角） 上作功在 x,y,z 三轴正方向的投影．则：做和：2710.1.3 两类曲线积分的联系 设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线 t 与三正向坐标系的夹角.于是 , , ,据二类曲线计算公式:;由一类曲线推导得: 由曲线方程对称性的公式如下: 对于平面时,公式可化为: 平面上,设 n 为法方向,t 为切向,则 cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x) 于是: 10.2 第一类曲面积分 思想:与曲线积分类似,但分割的是平面.曲线积分中一切线段代替曲线段,以微小切平面代替曲面.求和,取极限. 思想公式: 公式其中 z=f(x,y)为曲面方程.也可写成,其中 为法线与 z轴夹角.若 s 为参数形式 x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)由于,(其中所以公式可化为若记 计算方法: 计算方法,,则公式亦可写为:.1.利用原始公式求积分.(但是注意:有些方程虽不能写成 z=z(x,y)的显示形式,但利用隐式求导.求出 由于方程的特殊形式,有可能消去子项,从而可利用原始公式. 2.化方程为参数方程.计算 A,B,C 或 E,F,G 利用推倒公式求积分. 3.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部分即可.这样做可大大降地计算量.与后.公式推广: 公式推广 第一式中 z=f(x,y).第二式 E,F,G 定义同上.10.3 第二类区面积分同第二类曲线积分的推导及形式,相类似的有积分形式为: 与 I 相比较,有下面求第二类曲面的计算公式: 与上述推导类似,分割,做和,28对于正负号的取舍,适当 uv 平面的正向与曲面 s 选定一侧相关的正向相互对应时取正号,否则取负.因为第二类区面积分计算可利用上述公式将 10.4 两类曲面积分的联系分别计算,然后求和.对于微小面 有(由中值定理得其存在性).作和,由于.取极限:,其中为微小元的直径的最大值.因为,于是得由方程对称性得到联系方程 10.5 各种积分间的联系 三大公式: 三大公式(为法线与 x,y,z 轴的夹角)10.5.1 格林 格林(Green)公式 公式: 公式,其中:l 为光滑曲线,D 为平面单连通区域,l 为 D 的边界. P,Q 在 D 及 l 上连续,并且有对 x,y 的连续偏导,右侧积分取 区域正向,即延正向前进,区域在左边. 10.5.2 高斯(Gauss)公式 高斯 公式: 公式其中:s 为光滑曲面.V 为空间单连通区域,s 为 V 的边界. P,Q,R 在 V 及 s 上对 x,y,z 有连续偏导数, N 为 s 外法线方 向,最后的积分是延区面 s 的外侧. 10.5.3 斯托克斯 斯托克斯(Stokes)公式 公式: 公式其中:l 为光滑曲线 s 为光滑曲面. L 为 s 的边界. P,Q,R 在 s 及 l 上对 x,y,z 有连续偏导数,曲线积分方向与曲面的侧 依右手定则联系. 第十一章： 第十一章：无穷级数 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具 计算的一种工具。 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。本 章先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数， 章先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何将函数展开成幂级 数和三角函数的问题。 数和三角函数的问题。 11.1 收敛级数的性质29性质一：若级数收敛，a 为任意常数，则亦收敛，并且=a。性质二：若两个级数 性质三：一个收敛级数和都收敛，则也收敛，并且有=+。对其项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。注意：加括号后的级数为收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛，即性质三的逆命题不成立。 例： 显然级数发散，加括号后成为(1+1)+(1+1)...显然结果为零。性质四（收敛的必要条件） ：若级数收敛，则。注意：此命题仅给出了级数收敛的必要条件而非充分条件。 例：1+1/2+1/2+1/3+1/3+1/3+...+1/n+...+1/n+... 11.2 正项级数及交错级数的审敛法 11.2.1 正项级数的审敛法 正项级数的审敛法: 它的一般项 ，但级数是发散的。正项级数的定义:各项都是正数或零的级数称为正项级数.1.(比较审敛法):设和都是正项级数,且(n=1,2,3,…).若级数收敛,则级数收敛:反之,若级数发散,则级数发散.推论 1:设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数 N,使当时有(k&0)成立,则级数 推论 2:设 若收敛;如果级数发散,且当时有 (n=1,2…),则级数(k&0)成立,则级数 收敛;发散.是正项级数,如果有 p&1,时 (n=1,2,…),则级数 发散.2.(比值审敛法):若正项级数 则当 时级数收敛;的后项与前项比值的极限等于 (或 )时级数发散;:, 时级数可能收敛也可能发散.3.(根值审敛法):设 数收敛, (或为正项级数,如果它的一般项 )时级数发散,的 n 次根的极限等于:,则当时级时级数可能收敛也可能发散.交错级数的定义:各项是正负交错的级数称为交错级数. 11.2.2 交错级数的审敛法: 交错级数的审敛法301.(莱布尼兹定理):如果交错级数 (1): (n=1,2,3,…) (2):满足条件: 则级数收敛,且其和 ,其余项 的绝对值 .11.2 绝对收敛与条件收敛定义：绝对收敛：对于级数,如果级数收敛的话，则称为绝对收敛。条件收敛：如果发散，但却是收敛的，则称为条件收敛。关系：绝对收敛级数必为收敛级数，但反之不然。例：此级数非绝对收敛，但却是条件收敛的。注意：当我们运用柯西判别法和达朗贝尔判别法来判别正项级数 定义：形如 收敛半径：任意幂级数而获得为发散时，我们可以断言，级数亦发散。幂级数及其收敛性（a 为实数）的级数称为幂级数。 必存在数 r&=0 使得(1) 这一幂级数在(-r,r)内必区间一致收敛且绝对收敛 ，这一幂级数在[-r,r]一致收敛，若幂级数在 x=r 收敛，有相同的结(1)若幂级数在 x=r 收敛，则对任意 果。 (3)对任意，幂级数在 x 发散。则称 r 为幂级数的收敛半径。只须求出 r，则幂级数的收敛性就知道。r 的求法：若 11.5 泰勒级数及其应用 11.5.1 泰勒级数的定义： 泰勒级数的定义： 若函数 f（x）在点，或存在，则幂级数的收敛半径的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内 f（x）的 n 阶泰勒公式为：其中： ，称为拉格朗日余项。以上函数展开式称为泰勒级数。 11.5.2 泰勒级数在幂级数展开中的作用： 泰勒级数在幂级数展开中的作用：在泰勒公式中，取，得：这个级数称为麦克劳林级数。函数 f（x）的麦克劳林级数是 x 的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与 f（x） 的麦克劳林级数一致。 11.5.3 注意：如果 f（x）的麦克劳林级数在点 注意： 的某一临域内收敛，它不一定收敛于 f（x） 。因此，如果 f31（x）在处有各阶导数，则 f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于 f（x）都需要进一步验证。 11.6 函数展开成富里叶级数 定义：设周期为 的函数 f(x)在[- , ]可积和绝对可积 定义令a = 里叶级数记作 ~，n=1,2,3...，则称是 f(x)的富如果 f(x)是周期为 2l 的函数在[-l,l]可积和绝对可积， 则其富里叶级数为 其中 特殊的 (i)若 f(x)为偶函数，则有 (ii)若 f(x)为奇函数，则有 ~ ~ ,其中 n=1,2,3....~，其中n=1,2,3... n=1,2,3...例：在[- ,]上展开成富里叶级数解：因为 f(x)为偶函数，所以富里叶系数, 11.7 函数展开成正弦级数或余弦级数 在实际应用中,有时需要把定义在区间 以得到一下解决方法: 在开区间 的定义,得到定义在 内补充函数 f(x)的定义 得到定义在 的定义 上的函数 F(x),使得它在 使得它在 上成为奇函数(偶函 上成为奇函数 偶函 上的函数 f(x)展开成正弦级数或余弦级数.根据上一节的知识,我们可按这种方法扩展函数定义域的过程成为奇延拓(偶延拓 然后用上一节的方法就可以得到函数富里叶级数.限 数).按这种方法扩展函数定义域的过程成为奇延拓 偶延拓 然后用上一节的方法就可以得到函数富里叶级数 限 按这种方法扩展函数定义域的过程成为奇延拓 偶延拓).然后用上一节的方法就可以得到函数富里叶级数 制x在 的正弦级数(余弦级数 展开式. 上,此时 F(x)=f(x),这样便得到 f(x)的正弦级数 余弦级数 展开式 此时 这样便得到 的正弦级数 余弦级数)展开式 )展开城正弦级数 展开城正弦级数 展开城例:将函数 f(x)=x+1( 将函数 解:对函数 f(x)进行奇延拓. F(x)=f(x) ( )F(x)=-f(-x)()第十二章： 第十二章：微分方程 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究， 方面的反映， 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何 寻求函数关系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系，但是根据问题所提供 寻求函数关系， 在实践中具有重要意义。 在许多问题中，不能直接找到所需的函数关系，32的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式称为：微分方程。对其进行研究， 的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式称为：微分方程。对其进行研究，找 寻未知函数，称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用解法。 寻未知函数，称为解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用解法。 12.1 可分离变量的微分方程 一般地，如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (＊)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 y 的函数 和 dy，另一端只含 x 的函数和 dx，那末原方程就称为可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程。 可分离变量的微分方程 那么我们将怎样解可分离变量的微分方程？通常我们采用两边积分的方法求解。 假定方程（＊）中的函数 g(y)和 f(x)是连续的。设 将上式两端积分，并由 是方程（＊）的解，将它代入（＊）中得到恒等式 引进变量 y ，得设 G(y )及 F(x)依次为 g(y) 及 f(x)的原函数，于是有 G(y)=F(x)+C，因此，方程（＊）的解满足上式。例 1．求微分方程 ．的通解。解 此方程是可分离变量的，分离变量后得 从而 12.2 齐次方程的解法 12.2.1 齐次方程的定义： 齐次方程的定义： 如果一阶微分方程 中的函数 因两端积分得仍是任意常数，把它记作 C，便得方程的通解。可写成的函数，即，则称这方程为齐次方程。例如： 12.2.2 齐次方程的解法： 齐次方程的解法： 在齐次方程是齐次方程，因为（1）中，引进新的未知函数（2） 代入方程（1） ，便得方程就可化为可分离变量的方程。因为由（2）有即分离变量，得两端积分，得求出积分后，再用 y/x 代替 u，便得所给齐次方程的通解。例 1 解方程解 原方程可写成 于是原方程为 或写为因此是齐次方程。令 ；即 以，则， 两端积分，得 。。分离变量，得 代入上式中的 u，便得所给方程的通解为3312.3 一阶线性微分方程12.3.1 定义：方程 定义：（1）叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 y 及其导数是一次方程。如果 Q(x)＝0 则方程（1）称为齐次的；如果 Q(x)不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的。 12.3.2 非齐次线性方程的解法 在（1）中，如 Q(x)≠0，我们先把 Q(x)换成零而写出 （2）方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程。方程（2）是可分离变量的，分离变量后得，两端积分，得，或，这是对应的齐次线性方程（2）的通解。 现在我们用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解。把（2）的通解中的 C 换成 x 的未知函数 u(x),即作变换 得 两端积分，得， （3） 于是 即.（4）, 将（3）和（4）代入方程（1） ,把上式代入（3） ，便得非齐次线性方程（1）的通解 . （5）将（5）式改写成两项之和第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一个特解，由此可知，一阶非齐次 线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。 例：求微分方程 满足条件 y(1)＝1 的特解。解 先将方程化为线性方程标准形，再求解。将原方程变形为利用公式，，现由 y(1)=1,得 C＝1，故方程的特解为二．伯努利方程方程 伯努利方程(10)叫做伯努利（Bernoulli）方程. 以除方程（10）的两端,当 n=0 或 n=1 时，这是线性微分方程。当 n≠0 或 n≠1 时，可把它化为线性的。只要得。容易看出，上式左端第一项与只差一个常数因 1-n，因此我们引入新的未知函数，那末。用(1-n)乘方程（11）的两端，再通过上述代换得线性方程。求出这方程的通解后，以代 z，便得到伯努利方程的通解。3412.4 可降阶的高阶微分方程 12.4.1 型的微分方程有三种容易降阶的高阶方程：（1） 方程右端只含 x，容易看出，只要把 数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个 n-1 阶的微分方程 .同理可得作为新的未知函数，那未（1）式就是新的未知函.依此法继续进行，接连积分 n 次，便得方程(1)的含有 n 个任意常数的通解。 例 求微分方程 的通解解 对所给方程接连积分三次，得。 12.4.2 型的微分方程（2） 方程右端不显含未知函数 y， 如果我们设， 那末而方程就成为.这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程。设其通解为。但是，因此又得到一个一阶微分方程对它进行积分，便得到方程（2）的通解为。例 求微分方程满足初始条件，的特解。解 所给方程是 得 两端再积分，得 12.4.3型的。设 y’= p，代入方程并分离变量后，有 ,即 又由条件 型的微分方程 ( ，得 ),由条件 ，得.两端积分， ,所以 . .,于是所求的特解为(3)方程中不明显地含自变量 x。 为了求出它的解， 我们令 y’= p ， 并利用复合函数的求导法则把化为对 y 的导数，即 这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程。 设它的通解为.这样，方程（3）就成为。，分离变量并积分，便得方程（3）的通解为。35例 求微分方程的通解。解 所给方程不明显地含自变量 x，设, 则，代入方程中，得。在、时，约去 p 并分离变量，得 ，即 ，或。 。 ，或 （ ） 。两端积分，得再分离变量并两端积分，便得方程的通解为 12.5 二阶常系数齐次线形微分方程 在二阶齐次线形微分方程 即（1）式写成为（1）中，如果的系数 P(x) ，Q(x)均为常数，（2）其中 p,q 是常数，则称（2）为二阶常系数齐次线形微分方程 二阶常系数齐次线形微分方程。 二阶常系数齐次线形微分方程如果 p,q 不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线形微分方程 二阶变系数齐次线形微分方程。 二阶变系数齐次线形微分方程 当 r 为常数时，指数函数 用 将 由于 和它的各阶导数都只相差一个常数因子。由于指数函数有这个特点，因此我们 满足方程（2） 。 代入方程（2） ，得 就是微分方程（2）来尝试，看能否选取适当的常数 r ，使 求导，得到 ，所以 把 和（3）由此可见，只要 r 满足代数方程（3） ，函数的解。我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程 特征方程。 特征方程 下面我们就通过研究特征方程 （3） 来研究微分方程的解。 可得出求二阶常系数齐次线形微分方程 （2）的通解的步骤如下：第一步 写出微分方程（2）的特征方程 第二步 求出特征方程（3）的两个根 。 （3）第三步 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 特征方程 的两个根 微分方程 的通解两个不等的实根 两个相等的实根 一对共轭复根例 1 求微分方程的通解。36解 所给微分方程的特征方程为 其根 是两个不相等的实根，因此所求通解为例 2 求方程 解 所给方程的特征方程为 将条件 得 例 3 求微分方程 解 所给方程特征方程为 其根满足初始条件 其根 代入通解，得，的特解。 是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为，从而 代入上式，得将上式对 t 求导， ，于是所求特解为 。， 再把条件 的通解。为一对共轭复根，因此所求通解为。12.7 微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时，我们就要寻求其它解法。常用的有幂级数解法和数值解法。 本节我们简单地介绍一下微分方程的幂级数解法。求一阶微分方程 满足初始条件（1） 的特解，其中函数 f (x , y)是 、 的多项式：.这时我们可以设所特解可展开为 （2） 把（2）代入（1）中，便得一恒等式，比较这恒等式两端 其中的幂级数 是待定的系数， , 以这的同次幂的系数，就可定出常数 的特解。些常数为系数的级数（2）在其收敛区间内就是方程（1）满足初始条件例 1 求方程 解 这时满足 ，故设的特解。 ，把及的幂级数展开式代入原方程，得37由此，比较恒等式两端 x 的同次幂的系数，得于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 关于二阶齐次线性方程 （3）。用幂级数求解的问题，我们先叙述一个定理： 如果方程（ ） 的幂级数那么在－ ＜ ＜ 内方程（ ） 定理 如果方程（3）中的系数 P(x)与 Q(x)可在 －R＜x＜R 内展开为 x 的幂级数那么在－R＜x＜R 内方程（3） 与 可在 ＜ ＜必有形如的解。 的解。例 2 求微分方程 解 这里的满足初始条件,的特解。在整个数轴上满足定理的条件。因此所求的解可在整个数轴上殿开成 x 的幂级数（4） 由条件得。对级数（4）逐项求导，有,由条件得.于是我们所求方程的级数解及的形式已成为（5）（6） 对级数（6）逐项求导，得（7）把（5）和（7）代入所给方程，并按 x 的升幂集项，得因为幂级数（4）是方程的解，上式必然是恒等式，因此方程左端各项的系数必全为零，于是有一般地（n=3 , 4 ,…）.从这递推公式可以推得38一般地(m=1,2,…)，于是所求的特解为。
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