2013级数学学院硕士研究生《现代分析基础》复习题_百度文库
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2013级数学学院硕士研究生《现代分析基础》复习题
近​世​代​数​ ​研​究​生​考​试
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你可能喜欢我和小姨在车上做爱小说,紧急迫降演员表,轻轻地吹，酥酥地挑逗着李婷地**。李婷
轻轻地吹，酥酥地挑逗着李婷地**。李婷的挣扎一直是
“大毕业了，工作还没有下落呢！”许筱竹满眼期待地看着阿飞道，“子建，能不能给阿姨一个面子？”&&&&
“唔……？”连长瞪着她。&&&&
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吕四娘叹一口气，露出羞赧的表情。如今她已经不是叱咤风云的女侠了，是陷入居少天的手里，在情欲的侵蚀下，变成追求肉欲的女人。 &&&&
小高和小夏都很满意，小高说：“我快射了……一会儿换你。”&&&&
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乔枫决定开始行动。他用自己的一只大手紧握住李婷的一双小手，另一只手紧搂住李婷娇软纤细的腰肢，开始轻柔地亲吻她的脖颈，时而用舌头轻轻地舔，时而用嘴唇在李婷小耳朵上轻轻地吹，酥酥地挑逗着李婷地**。李婷的挣扎一直和老婆的妈妈激情是无力的，她心中明明想要反抗，但全身却酥酥软软，一丝力量都使不出来。与丈夫的恩爱使她竭力想抗拒那邪恶的舒服和老婆的妈妈激情感，但事与愿违，她反而跟着邪恶亢奋了起来。乔枫搂着腰肢的手已经技巧地抚摸她着柔软的腰际，并不时地下滑到她圆润的臀丘上揉动。李婷的腰肢扭动起来，似乎在抵抗乔枫的魔手，又似乎在迎合着，嘴里喃喃地娇喘着：“啊……嗯……不……不要……枫……快……快放开我……啊……啊……”。在情场上浸淫多年的乔枫从她似有若无、似拒又迎的挣扎扭动中感觉到李婷心的臣服，他知道今天一定可以采摘到这个意淫已久的娇美人儿。于是，他放开了她的小手，趁着梳理她飘柔发际的当儿掌握住她的脖项，使她的头无法挣扎，在她还来不及呻吟出声的时候，嘴唇紧贴上去，吻住了她娇艳的嘴儿，含住她可口的唇瓣。李婷瞪大了晶莹水润的眼眸，气息急促的同时，却无法躲开乔枫霸道的嘴唇侵袭。乔枫肆意地舔弄着李婷香甜柔软的樱唇，在两人嘴唇撕扯磨合空隙间，李婷娇柔地逸出“啊……”的一声。而在她开口的同时，乔枫狡猾的舌头乘机钻入她的嘴里，急切地汲取她檀口中的蜜汁。&&&&
友情链接：maple中怎样让cos(i*pi/2)等于0?,已经用了assume(i,integer)我打错了,是cos((i+1/2)*pi) 我的意思是算出来的结果有类似sin(i*pi)的结果其中i是整数,所以这一项应该为0,但maple还给我保留了.怎么让这项为零?_百度作业帮
拍照搜题，秒出答案
maple中怎样让cos(i*pi/2)等于0?,已经用了assume(i,integer)我打错了,是cos((i+1/2)*pi) 我的意思是算出来的结果有类似sin(i*pi)的结果其中i是整数,所以这一项应该为0,但maple还给我保留了.怎么让这项为零?
maple中怎样让cos(i*pi/2)等于0?,已经用了assume(i,integer)我打错了,是cos((i+1/2)*pi) 我的意思是算出来的结果有类似sin(i*pi)的结果其中i是整数,所以这一项应该为0,但maple还给我保留了.怎么让这项为零?
一定要记得"Pi"(P大写）是被assign了3.14.这个值,而"pi"（p小写)是会和alpha,beta一样被maple认为constant的. cos((i+1/2)*CONSTANT) 当然会得出sin(i*CONSTANT )某同学在“探究并联电路电流规律”的实验时，根据图甲连接好实物，用电流表分别测出I1、I2、I的大小，改变小灯泡的规格，重复实验，记录数据如下表．
0.85（1）分析上表的数据，可以得出的结论是并联电路的干路电流等于各支路的电流之和（2）为确定电流表量程，试触时看到如图乙的实验现象，这是因为电流表的正负接线柱接反了．（3）实验中，该同学改变小灯泡的规格，进行多次实验，这样做的好处是为了得到普遍性的规律，防止结论的片面性和偶然性．
分析：（1）分析表格中数据，得出并联电路的规律：并联电路的干路电流等于各支路的电流之和；（2）在使用电流表时，正负接线柱应正确，电流应从电流表的正接线柱流入，负接线柱流出，否则电流表的指针会反转；（3）实验中为得出普遍性的结论，防止结论的片面性和偶然性，应换用不同规格的灯泡多测几组数据进行分析．解答：解：（1）由表格中数据知：并联电路的干路电流等于各支路的电流之和；（2）由图乙知，电流表的指针反转，说明电流表的正负接线柱接反了；（3）实验中，改变小灯泡的规格，进行多次实验，是为了得到普遍性的规律防止结论的片面性和偶然性．故答案为：（1）并联电路的干路电流等于各支路的电流之和；（2）电流表的正负接线柱接反了；（3）为了得到普遍性的规律防止结论的片面性和偶然性．点评：并联电路的干路电流等于各支路的电流之和，这是并联电路的电流规律，在此探究实验中，要用到电流表，所以有关电流表的使用、读数一定要熟练掌握，同时要学会分析数据得出结论，在实验中，为得出为了得到普遍性的规律，防止结论的片面性和偶然性，应换用不同规格的灯泡多测几组数据进行分析．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中物理
某同学在探究“并联电路中干路电流与支路有什么关系”（1）请你用笔画线表示导线，根据图甲电路图在图乙中连接测量A点电流的实物电路图．请将未连接的导线用笔画线补充完整？（2小明同学选了两个规格不同的小灯泡按如图做了两次实验，得到数据如表一所示：
A点的电流（A）
B电的电流（A）
C点的电流（A）
第一次测量
第二次测量
0.18分析表一数据，你能得出的结论是：并联电路中，干路中的电流等于各支路的电流之和．
科目：初中物理
题型：填空题
某同学在探究“并联电路中干路电流与支路有什么关系”（1）请你用笔画线表示导线，根据图甲电路图在图乙中连接测量A点电流的实物电路图．请将未连接的导线用笔画线补充完整？（2小明同学选了两个规格不同的小灯泡按如图做了两次实验，得到数据如表一所示：A点的电流（A）B电的电流（A）C点的电流（A）第一次测量0.480.260.22第二次测量0.400.220.18分析表一数据，你能得出的结论是：________．
科目：初中物理
题型：阅读理解
新课标2007年中考模拟综合测试卷（一）附答案物&理&试&卷说明：1、本卷分第I部分（选择题）和第II部分（非选择题）两部分，共8页，满分为100分，考试时间80分钟。& & & 2、第I部分（选择题）用规定的铅笔在答题卡上作答。& & & 3、第II部分（非选择题）必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。第Ⅰ部分&&选择题& &（共36分）选择题（每小题3分，共36分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的1．一度电可以A．使80W的电视机工作25h & & & & & & & & & B．使40W的日光灯工作60hC．使100W的电烙铁工作10h & & & & & & & & &D．使1000W的碘钨灯工作5h2．以下温度中最接近23℃的是A．让人感觉温暖而舒适的房间温度& & & & & & & B．广州市夏季最热的室外温度C．健康成年人的体温& & & & & & & & & & & & & D．冰水混合物的温度3．下列关于光现象的说法正确的是A．光发生漫反射时，不遵守光的反射定律 & & B．光从空气斜射入水中，传播方向不变C．月食是因为光的反射而形成的 & & & & & & D．平面镜可以成像，也可以控制光的传播方向4．小明在学习家庭电路时，安装了两盏白炽灯和两个插座，如图1所示。如果两插座中均连入家用电器，且将电路中的开关全部闭合，那么各用电器工作的情况是A．甲、乙、丙、丁都正常工作B．只有甲、乙、丁正常工作C．只有甲正常工作D．只有乙正常工作5．下列物体的尺度由小到大排列的是原子核、质子、电子& & & &B.质子、原子核、中子C.质子、原子核、原子& & & & &D.原子、原子核、质子6．如图2所示是电机示意图，对于图示的说法，正确的是A．图中绘出的是交流发电机的示意图，此时导线切割磁感线，线圈中产生电流B．图中绘出的是交流发电机的示意图，此时导线不切割磁感线，线圈中没有电流C．图中绘出的是直流电动机的示意图，线圈正转到平衡位置D．图中绘出的是直流电动机的示意图，线圈受到磁场的作用力而转动7．关于声学的下列说法中，错误的是控制噪声的措施有：防止噪声产生、阻断噪声传播、防止噪声进入耳朵闻其声知其人，是根据每个人发出的声音频率不同来判断的利用回声可以探测海的深度回声是声音的一种反射现象8．下列现象中，发生能量转化的是用水来冷却汽车的发动机& & & & & & & &B.往热水里加入冷水C.用热水袋焐手& & & & & & & & & & & & & &D.用电壶烧水9．潜水艇在水中可以自由地上浮和下沉，是靠潜水艇内水舱的充水和排水来实现。潜水艇在水中能够浮沉，你认为它主要是靠改变所受的浮力& & B.水的密度& & &C.自身的重力& & &D.水的压强10．像的成因有三个：直线传播成像、反射成像和折射成像，所成的像有实像和虚像两种。下面列出了部分成像实例：①针孔照相机内所成的像，②在潜望镜中看到的景物的像，③放大镜中看到的物体的像，④幻灯机屏幕上的像，⑤汽车观后镜中的像。以下说法正确的是属于实像的是①④& & & & & & & & & & & & &B.属于虚像的是②③④C.属于折射成像的是①③& & & & & & & & & & & &D.属于反射成像的是①②⑤11．关于力，有以下说法：①物体间力的作用是相互的；②只有相互接触的物体才有力的作用；③力是改变物体运动状态的原因；④只要有力作用在物体上，物体就一定运动。其中正确的一组是A．①②& & & & B．①③& & & & & C．②③& & & & & & D．③④12．如图3所示的电路，电源电压不变，闭合开关s，当滑动变阻器的滑片P向右滑动时，关于安培表的示数，伏特表的示数，小灯泡的亮度（设灯泡电阻不变），以下说法正确的是安培表的示数变大，伏特表的示数变小，小灯泡的亮度变暗安培表的示数变小，伏特表的示数变小，小灯泡的亮度变暗安培表的示数变小，伏特表的示数变大，小灯泡的亮度变亮安培表的示数变大，伏特表的示数变大，小灯泡的亮度变亮第Ⅱ部分&&非选择题& &（共64分）注意事项：用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案直接写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上。在本试卷上作答无效。二、填空题（每小题4分，共16分）13．小红在厨房里帮妈妈煮鸡粥，妈妈说，待粥锅里的水烧开后，改用小火，盖上锅盖，让锅内微微沸腾，就能将鸡粥煮好。小红发现，在此过程包含很多热学知识。请你就此场景说出两个与热学知识有关的物理现象。示例：粥（液体）沸腾时有水汽化成水蒸气，这是汽化现象。（1）& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &；（2）& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &。14．用图4所示的滑轮组将重为G的物体匀速提升h。绳子移动的距离为& & &，所做的有用功为& & &&；假设所用的拉力为F，则该滑轮组的机械效率为& & &&；通过实验分析，可知对动滑轮机械效率产生影响的因素有& & & & & & & & & & &&。（答出一条即可）15．太阳能热水器利用太阳能直接给水加热，它安全、环保，且节省能源。一热水器的水箱内装满50kg的水，在阳光照射一段时间后，水温从20℃升高到60℃，则水吸收的太阳能是& & & & & &J；设燃气热水器的效率为60%，这相当于节约了热值为4．0×107J/m3的煤气& & & & &m3。［水的比热容为4．2×103J/（kg·℃）］16．有一种半导体材料的电阻值随着温度的变化而明显改变，用这种材料制作的电阻称为热敏电阻。图5是某热敏电阻的阻值随温度变化的图象，小明同学用该热敏电阻和电压表设计了一只测量范围为0～100℃的水温表，图6是这个水温表的原理图，图中的电压表量程为0～3V；定值电阻R0的阻值为lOOΩ。当水温达到100℃时，要求电压表的示数达到最大值。小明根据图象知道，该热敏电阻在100℃时的电阻值是& & & &&Ω，由此可知电源两极间的电压是& & & &V。三、作图题（每小题3分，共9分）17．请画出图7中动力F1的力臂。18．电视机的遥控器通过发射一种不可见光——红外线，来实现对电视机的控制。有时不把遥控器对准电视机的控制窗口，而是对着墙壁按一下按钮，利用光的反射也可以控制电视机。请在图8中画出红外线经过墙壁反射的光路。19．小明连接好了一个电路，如图9所示。但是小红认为此电路有缺点，因为没法只让灯L2亮，而灯L1不亮。小红想将此电路改为由S1、S2分别控制灯L1、L2的并联电路，应该如何改？请你帮她想个解决的办法，要求改动的导线不超过两条。请在图上改动，先在需改动的导线上画“×”，然后再画出改动后的导线，并在方框内画出改后的电路图。四、计算题（第20题7分，第21题8分，共15分）20．已知桑塔拉2000轿车的质量是1．6t，它以54 km/h的速度在水平路面上匀速行驶2min，轿车受到的阻力是车重的0．1倍，求轿车在这段时间内：通过的路程；发动机的牵引力；发动机的功率（g取10N/kg）。21．电阻R1的阻值为10Ω，当电阻R1与R2以某种方式连接后接在电源两端时，R1两端的电压为9V；当两电阻以另一种方式连接在同一电源两端时，R1两端的电压为3V。（1）请你在图10中虚线框内画出电阻R1与R2的两种连接电路；（2）求电阻R2的阻值；（3）求出电阻R1在两种连接方式中的较大功率。五、问答题（共5分）22.如图11是司机在驾驶汽车时的照片。(1)汽车方向盘表面为什么做得比较粗糙？请简单解释。（2）根据照片，请再提出一个物理问题，并简单解释。六、实验与探究题（第23题7分，第24题6分，第25题6分，共19分）23．（1）（5分）小明在实验室里测量一块形状不规则、体积较大的矿石的密度。①因矿石体积较大，放不进量筒，因此他利用一只烧杯，按图12所示方法进行测量，矿石的体积是______cm3；②用托盘天平已测得矿石的质量是175．6g，则矿石的密度是______kg/m3；从图A到图B的操作引起的密度测量值比真实值_______(选填：“偏大”、“偏小”或“不变”)；③在使用已调节好的托盘天平，按规范的操作来称量矿石的质量时，通过增、减砝码后指针偏在分度盘中线右边一点，这时应该& & & &&。A．向左调平衡螺母& & & & & & & B．往右盘中加砝码C．从右盘中减砝码& & & & & & & D．向右移动游码（2）（2分）图13是某种物质熔化图象。根据图象判断，下列说法不正确，请你将错误之处圈出来，并在其下方改正。晶体在熔化时，不断吸收热量，温度不断上升。在第20min时，物质是固体状态。24．在学习欧姆定律之后，老师请同学们设计一个测未知电阻Rx的电路，其中小明同学设计的电路如图14所示。R0为已知阻值的电阻，当s1闭合s2断开时，电流表读数为I；当s1、s2都闭合时，电流表读数为I1。请你写出小明同学测Rx的表达式。Rx=& & & & & & & & & & &小红设计了一种不同于小明同学设计的测量电路，如图15所示。请你将图16中的器材按图15电路连接起来（用笔连线表示导线），要求滑动变阻器的滑片P处于最右端时，连入电路的阻值最大。（3）比较两个电路图，请你说一说小红设计的电路的优点。25．（1）（4分）在探究“压力的作用效果与哪些因素有关”的实验中，小明和小红利用图17所提供的器材（小桌、海棉、砝码、木板）设计了图（a）、（b）两个实验，通过观察图（a）、（b）后得出“压力一定时，受力面积越小，压力的作用效果越明显”的结论.此后小红把小桌挪放到一块木板上，发现小桌对木板的压力效果不够明显，如图（c）所示.通过对图（a）、（c）的比较又得出“压力一定时，受力面积越小，压力的作用效果越不明显”的结论.& & & & & & & & & & &图17请你根据已学过的压强知识分析：①造成前后两个结论不一致的原因是：& & & & & & & & & & & & & & & & & &.②比较图（b）和图（c）可知，根据压力的作用效果比较压强的大小需要满足的条件是：& & & & & & & & & & & & & & & & & & &.（2）（2分）物体在流体(液体和气体)中运动时，受到的阻碍物体运动的力，叫流体阻力.这种阻力的大小与哪些因素有关呢？流线型汽车& & & & & &战机着陆打开阻力伞& & & &&模仿鲔鱼体形的核潜艇& & & & & & & & & & & & & & & &图18小明同学在仔细观察如图18所示的应用实例后,对影响流体阻力的因素提出一种猜想：流体阻力可能与运动物体表面粗糙程度有关。他设计了如下的实验方案：&①用弹簧测力计拉一艘底面光滑的船模型在水中运动，记下弹簧测力计的示数F1；②用弹簧测力计拉另一艘底面粗糙的船模型在水中运动，记下弹簧测力计的示数F2；③通过比较F1与&F2的大小，就能得出物体受到流体阻力是否与物体表面粗糙程度有关.请你对小明同学的实验方案中存在的问题,进行评估(只需写出一条评估意见)：& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &。
科目：初中物理
来源：学年贵州省遵义市汇川区泗渡中学九年级期中物理试卷（解析版）
题型：解答题
某同学在探究“并联电路中干路电流与支路有什么关系”（1）请你用笔画线表示导线，根据图甲电路图在图乙中连接测量A点电流的实物电路图．请将未连接的导线用笔画线补充完整？（2小明同学选了两个规格不同的小灯泡按如图做了两次实验，得到数据如表一所示：A点的电流（A）B电的电流（A）C点的电流（A）第一次测量0.480.260.22第二次测量0.400.220.18分析表一数据，你能得出的结论是：______．
科目：初中物理
题型：阅读理解
人教版第六章&&电压& &电阻&复习提纲一、电压1、电压：电压是形成电流的原因。要使电路中形成电流，电路两端必须保持一定的电压。电压由电源来提供。电源的作用是给用电器两端提供电压。电压的单位是伏特（V）。2、电压表：测量电路中某段电路两端电压大小的仪表。电路符号是电压表的使用规则：使用电压表之前注意观察它的量程和分度值；电压表与所测量的用电器并联；让电流从电压表的“+”接线柱流进，从“-”接线柱流出；电压表可以直接接在电源两极上，待测电压不能的量程，无法估测电压时，可采用试触法来选择量程。3、电压表和电流表的异同仪表电流表电压表电路符号表盘接线柱-，0.6，3-，3，15量程0~0.6A0~3A0~3V0~15V分度值0.02A0.1A0.1V0.5V使用方法相同点电流从表的正接线柱流进，从负接线柱流出所测电流（电压）不能超过量程不同点串联在电路中并联在电路中不允许不经过用电器直接接在电源的两极上允许不经过用电器直接接在电源的两极上4、电压表的读数：根据接线柱确定量程；认清电压表的分度值；待指针稳定后看电压表指针向右偏转的格数，读出正确的电压。5、串联电池组的电压等于各节电池的电压之和；并联电池组的电压与每节电池的电压相等。二、探究串、并联电路电压的规律1、串联电路电压的规律：串联电路两端的总电压等于各部分电路两端的电压之和。即：U=U1+U2。2、并联电路电压的规律：并联电路两端的电压&与各支路两端的电压相等。即：U=U1=U2。三、电阻1、电阻：导体对电流的阻碍作用叫电阻。用R表示。单位是欧姆（Ω），常用的单位还有kΩ、MΩ。电路符号是& &&2、决定导体电阻大小的因素：导体的电阻是导体本身的一种性质，导体电阻的大小与导体的长度、横截面积和材料的性质有关，其关系为R=ρl/S，ρ是导体的电阻率。此外，导体的电阻还和温度有关。与两端的电压大小、通过它的电流的大小无关。同种导体的长度越长，横截面积越小，电阻越大。四、变阻器1、变阻器：变阻器是一种通过改变连入电路中电阻丝的长度来改变电阻&的器件。常见的变阻器有滑动变阻器和变阻箱。滑动变阻器的电路符号为&2、作用：通过改变滑动变阻器滑片的位置，从而改变接入电路中电阻&丝的长度，来改变电路中电阻的大小，从而改变电路中的电流和部分电路两端的电压，还可以保护电路。3、使用方法：串联在要改变的电路中；两接线头要采用一上一下的接法。连接电路时应将滑动变阻器的滑片移至阻值最大处。滑动变阻器在使用时，不能使通过的电流超过最大量程，否则会烧坏变阻器，所以在使用前，要将电阻调到最大，能连续地改变连入电路中的电阻，但不能直接读出电阻值的大小。4、电阻箱：电阻箱是一个能表示出阻值的变阻器，能直接读出连入电路&的电阻值，但不能连续地调节。读数方法：旋盘下面“△”所对示数乘乘以相应的倍数之和。四个是0~9999之间的整数值。五、移动滑动变阻器的滑片P对电路影响的分析步骤要分析滑片P移动时滑动变阻器对电路的控制作用时，首先应通过描电流的路径来判断滑动变阻器连入电路的是哪段电阻丝（电流通过哪段电阻丝，哪段电阻丝就被接入电路中），然后分析当滑片P移动时会使连入电路的电阻丝变长地面观察站是变短，从而知道变阻器的电阻变大还是变小，最后再利用欧姆定律和串、并联电路的特点来分析电路中电流和电压的变化。六、电路中未知元件的选择在选择、填空题中常有电路中未知元件的题目，有的同学碰到这种题目常常感到毫无头绪，其实只要熟悉各种元件的连接方法，再逐一分析即可得出结论。选择时要注意：电压表不能串联在干路上，电流表不能与其它元件并联，出可以这样想：电压表相当于断路，电流表相当于导线。七、电路常见故障的分析在对电路故障分析时，有些同学往往感到无从下手，究其原因主要有三方面：一是没有搞清楚电路故障都有哪些情况；二是没有掌握对此类问题的分析方法；三是不知道电路出现断路和短路后将会主生哪些现象。一般来讲电路故障主要表现为：1、电路断路：电路不通&①灯泡不亮②电流表无示数③电压表示数为零④电压表示数接近电源电压⑤断开处一端能使试电笔氖管发光，另一端不能使其发光。2、电路短路：电路仍通&①灯泡可能仍亮②灯泡可能不亮（说明灯泡被短路）③电流表有示数④电压表可能有示数（和电压表并联部分无短路而断路）⑤电压表示数可能为零（和电压表并联部分无断路而短路）⑥短路处任意点均能使试电笔氖管恨光在清楚了这些电路故障可能引起的现象后，在分析此类问题时考虑就要全面。八、电路故障的检测电路故障检测仪器很多，可以用电压表、电流表以及各种电路元件。电压表没有读数说明所接部分以外电路是断开的，有读数则说明所接部分以外电路是连通的。断路故障的判断：用电压表逐段与电路并联，若电压表指针偏转，则现电压表并联的电路有断点；短路故障的分析：用电压表和电源并联，若有示数，说明电路未全部发生短路，再逐段与电路并联，若电压表示数为零；则该电路被短路；若电压表示数不为零，则该电路不被短路或不完全被短路。用小灯泡检测电路故障时，基本过程和用电压表类似。电流表接入电路时，若有示数，说明电路其它部分连通；若若无示数，说明电路其它部分断开。虚数的物理意义是什么？ | 问答 | 问答 | 果壳网 科技有意思
虚数的物理意义是什么？
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虚数的意义作者： 阮一峰日期： 日有人在Stack Exchange问了一个问题： "我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。中学老师说，虚数就是-1的平方根。可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？它有什么用？"帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！下面，我就用自己的语言，讲述我所理解的虚数。一、什么是虚数？首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。这相当于两次逆时针旋转90度。因此，我们可以得到下面的关系式：(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)如果把+1消去，这个式子就变为：(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i ：i^2 = (-1)这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。二、复数的定义既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。三、虚数的作用：加法虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。四、虚数的作用：乘法如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。五、虚数乘法的数学证明为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？下面就是它的数学证明，实际上很简单。任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：a + bi = r1 * ( cosα + isinα )c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )展开后面的乘式，得到cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )根据三角函数公式，上面的式子就等于cos(α+β) + isin(α+β)所以，( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。（完）
只是学过物理
反问一句先，实数的物理意义是什么呢？得分时候是吧。。。物理运算中会引进很多抽象符号，正数负数，实数虚数，像我们从小学开始学数一样，每次都是发现不够用了——即我们需要更加复杂的指代的时候就会有新的数被创造出来。历史上有些数学上的突破来源于物理学家的需求（很经典的例子是物理学家狄拉克需要δ函数而产生广义函数理论，你在神秘的数学物理方法课上应该和它亲密接触过，）。郑童鞋是学物理的，应该对这些都清楚吧~复数在物理中应用广泛，虚数也就常被用于运算。但是我猜你困惑的物理意义应该是指称性吧，如果大胆地推进一步，设想夸克、暗能量和真空都是具有虚数的物理指称性的对象，恐怕又会有一门新物理和新数学产生了……
虚数没什么特别物理意义，就如同实数里面“1”，“2”，“根号2”，“pi”，“e”并不是特指某某物理概念一样，它是纯是数学的产物，先人们的“万物皆有数”信仰在“根号2”出现后，就开始崩解了。楼主你要区分物理和数学两门学科的不同。最早人们在生产实践中各个民族都会总结出一些数学知识，比如古埃及人，古中国人，巴比伦人等等，都被称为经验数学，最明显的例子是某些民族的计数方式超过”千“或者”万“之类的大数就没有了，因为他们生活中很少使用到那么多的数量，按照实用的观念，自然就不需要这些计数方式了。但是我们现在学的是从古希腊人那边继承过来的逻辑数学。这种数学是通过先指定的基本公理然后用逻辑推理出来的数学知识。他只要公理定好了，就可以运用逻辑不断生产新的数学知识，无需要借助对现实世界的归纳。可以说“虚数”乃至于“复数”是不可能通过古代的经验数学得出来的，所以楼主，也不必纠结它的物理意义，要说物理意义那是有很多的，最常见到你以前学xy轴下的函数图形，都可以变成复数表示。你高中里学的计算人造地球卫星的椭圆形轨道，你现在学的是解析几何方程表示，但是也可以用复数来表示，最终的图形是一样的。所以你现在明白了物理和数学的区别了吧。从基本定义来说，数学里面的”点‘“线”也不是现实中的物体，数学里线的基本定义是没有宽度的，所以在一个很小的平面上可以存在无穷长的曲线，而现实中显然做不到，即使DNA那么高度扭转，也还是会占有空间。虚数的发现比它被再工程中使用要早很多年，而最早使用的时候也仅仅是用于大地测量 的时候计算平面转动。数学家们也是经历了近百年才接受虚数的。虚数发现后，人们先发现它解决一些数学问题“有用”，但是不愿意接受他，所以才给了个这样的名字“虚构的数”。引入虚数概念后，产生的复数依然可以不破坏原先实数的运算法则，甚至在解析函数里面，微积分计算也没啥变化。但是复变函数却能解决很多原先实数函数解决不了的运算，而且新的运用方法不断被发现。最终人们发现了它的价值并接受它。
物理学博士
虚数轴和实数轴构成一个二维平面，有的时候拿它做矢量运算比较方便，这种情况下虚数可有可无，比如在经典力学里。更多时候，尤其是在量子力学里，虚数不可替代。你无法只用sin函数或cos函数简单地构造出物质波。你必须要用到欧拉公式的形式来描述物质波（主要是平面波），于是虚数必须出现。你可以认为因为粒子具有波动性，你就必须要引入虚数来描述它，于是量子力学里充满了一大堆各式各样的共轭。但更深一层的秘密是什么？为什么粒子的波动性必须要用带虚数的e指数函数来描述？目前没人知道……所以曾有物理学家说过，这个i是量子力学最神秘的地方。PS：描述自旋=0（标量）和自旋=1（矢量），可以不用虚数。想描述自旋=1/2（旋量），你必须要用到虚数，或者说你必须用复数。
推荐看一本书--&虚数的故事
虚数没有物理意义。。。所有的物理公式，我们均可以用实数来表达。只不过某些地方用虚数要简单、明了很多。但是作为一种数学工具1.虚数在解决平面场问题、波动问题、电感电容问题等方面上具有很大的优越性，比单纯用实数简单很多2.虚数应用使得高等数学快速发展，当然物理也快速发展了起来，很多以前解不出来的微分方程变得so easy
窃以为是跟实数轴正交的方向，为的是用一个数表达二维向量
虚数没有物理意义。物理学中引用虚数就是为了表达方便，所用到的场合大多数都是要用来讨论相位的问题。而去获得真实可以测量的量时，都要保证最后的结果是实数。
挖坟可以减肥
这个说法是错误的, 数学本身是不代表什么东西的抽象, 物理只是利用数学这个工具来描述规律而已. 因此物理意义可以用虚数来表示, 但是虚数并不一定就指定是哪一种物理意义.
成长中的数学工作者
在场论里面有个i-trick，就是所谓的虚时间技术，是为了考虑收敛性而引进的。物理中复数的应用常类似于此。另外在涉及到几何学的时候常常考虑复流形，当然要用到复数。建议把复数集理解成实数域上二维向量空间，把虚数单位i理解成向量空间上的复结构。这样就比-1开根号要好很多。
虚数，或者整数、实数等，只是单纯的数学概念，本来没什么物理意义，它的物理意义只有应用在具体的物理场景中才有意义，而且根据物理场景的不同，可能有很不同的意义。例如自然数1,2,3,4，我们把它应用于描述苹果的个数时，分别代表一个苹果、两个苹果...；如果用来标识座位，那就是１号座、２号座。在这两种场景中，自然数的意义是完全不同的（一个表示数目，一个表示顺序）。在单纯描述个数的应用场景中，负数是没有意义的，一般也不会有－１号座位这样的编号出现。负整数可在自然数中由加法和减法的封闭性要求扩充得到。不过这种数学概念上的扩充很快就找到了新的应用场合，它可以很方便地应用于存在欠费、借贷的场合。同样，负数在不同的应用场景中意义也是不一样的。例如-1秒，并不表示欠了一秒钟，而是指参考时间的一秒钟以前。然后有理数，可由整数根据乘和除法封闭性要求扩充得到。由于引入的极限的概念（还有诸如开根号这类的运算），有理数集是不完备的，需要扩充到实数的概念。然后是虚数了，虚数的引入是为了让求根运算具有某种完备性。我们知道一般的一元二次方程，在实数范围内有可能有两个根，也有可能没有根。这还算是好的，如果一个任意的一元n次方程，要说明它什么情况下有几个实根简直烦死了，将实数扩充到复数之后，这个问题的答案就很简单，一元n次方程在复数范围内必然有n个根（包括重根）。至于说复数可用来表示平面上的点，可用来表示闵可夫斯基时空上第四维等等这些，这都是后面的事了。虽然复数的几何表示有助于直观化的理解，为复数的讨论提供了便利，但这些都不是复数必须出现的原因。复数的应用场景，最典型自然是用来表示平面上的点，但是并不是非如此不可，平面上的点也可以用向量表示，就好像排序并非一定要用1,2,3,4，也可以用a,b,c,d或者甲乙丙丁一样。平面上的点用复数表示还是用向量表示，取决于在具体的问题中，哪个用起来更方便一点。复数作为实数的扩充，具有很多美妙的特性（例如欧拉等式），所以几乎在数学的所有领域（包括数论）都有广泛的应用。在物理上几乎所有涉及到波动、振荡的场合都会用到复数。总结陈词：数只是一个数学上的概念，不能脱离了具体的应用场景去讨论数的意义。
在物理中表示吸收和耗散
我也一直想不明白这个，我就问一下，如果虚数有物理意义，那么应用到相对论中那个公式是不是也可以说明超越光速是有可能的，还有，如果是在计算中，物体质量为虚数貌似就没有意义了，但是自然界（不知怎么描述）中是不是可以存在质量为虚数的物体呢，其实这就涉及到我还不明白的一个问题。虚数有没有一个在数学物理上都是用的普适意义。。。。。。
貌似某类粒子的自旋就是用虚数解释的
我觉得虚数的物理意义是相位。相位十一个很深刻的概念，比如 量子力学的作用量
这是最大的物理之谜，居然能有人去解释
光电子材料与器件
说到底就一个原因：被逼的……
理论物理、天文爱好者
记得几年前有一期的《科学世界》或者是《环球科学》的一篇文章就是讲这个的。
唉，上学期复变函数挂的惨烈。。。。
我初识虚数的时候，老师讲过一句话，说，以前数系都是一维的，有了虚数以后，数系变成了二维......也就是实数轴变成了复平面。至于复数的应用，还是很广泛的，起码保证了一个N次的方程一定有N个解这一条，看着多漂亮~另外没记错的话，在相对论里，复数在计算时空滴距离时候有用....时间和空间之间可以发生转换，这里就有一堆复数神马的...好吧上学期大学物理课相对论现在忘得差不多了.........总之，从我这个数学系的角度看就是，带来了好多课程，复分析啦，复变函数，复流形啊..............
耐心的看了大部分回复...于是还是不懂...为什么要虚数。比如之前所说的旋转量，虚数表示旋转量我可以懂，然后呢...然后呢...然后呢...要这个表示旋转干什么呢...或者说，用虚数表示旋转量有什么好处呢？再联系一下虚数的出现是因为鉴于某些原因，实数不够用了。那么...是什么原因呢？或者说，是缘于什么物理方程才使得实数不够用需要引进虚数呢？
万有青年养成计划入选者，电讯专业
不知道大家有没有看过一本书叫《实数的扩展》，作者在书中完备的讲了目前的虚数复数理论有多么多么的不完备，多么多么的不好，然后作者自己完整的介绍了自己重新构建的数的理论，这里有这本书的介绍，但是这么多年过去了，复数还是完整的存在在各个领域，这说明，复数的引入在工程学上的应用已经深入到最底层，难以被替代也无法被替代。
柏拉图主义（实在主义）认为物理世界是理念世界的映像，数学属于理念世界，所以数学结构可以在物理中找到很多对应的存在。如果把实数称作一元数，复数叫二元数，那么在一元数，二元数，四元数，八元数…这个序列里，复数是保持域结构的最大扩展（四元数没有乘法交换律，八元数没有一般的乘法结合律）。群，环，域等数学结构在自然界中是真实存在的，从这个意义上来说，复数所构成的数学结构也是真实存在的。
妹控爱好协会
数学本质上是一种语言，它的基本定律从现实物理世界中抽象而来，再运用逻辑工具对其进行扩展。因为数学是从现实的物理世界抽象产物 因此和我们生存的现实世界十分契合，但是 他毕竟只是一门语言 并不是世界的真理， 数学的基本定律可能和真实世界有差异，而逻辑工具也可能本身就有错误。
补充一下, 我记得某个纪录片里面说道, 假设没有虚数的概念, 那么雷达系统的计算量会大到无法承受, 就以现代的计算机能力来说, 也无法计算实时位置. 而虚数大大简化了这一计算的难度.具体为什么我也是看了上面的回答才明白.
自认为保守的万金油
其实虚也不虚例如图像滤波的时候，其实就是一个滤波器的相位而已，实部对应的结果有意义，虚部对应的滤波结果也能用肉眼看懂
我是来吐槽首页那张配图的，念出来纯属某种数码产品的广告啊！
或许应该理解标题为：虚数存在的意义，好处，应用。。。 不过确实讲的很清楚。 中国的教育就缺乏这种比较有来龙去脉，过渡的东西。
就是一个向量逆时针旋转90度
当年只知道i 今天才明白原来如此 中国的教育阿 再次感谢楼主
经典物理里把实数括展到复平面的最大目的是为了简化计算。任何用了虚数的公式都可以用另一种只含有实数的方式表达。在量子力学里，可以认为复数有实际的物理意义。
我怀疑一切
我感觉其实楼主的意思是觉得虚数无法想象？楼主那个图我学结构化学基础那会儿也像你这样画过，貌似还画过一个三条轴的……看见这个理解想象好感动TAT
植物学，生态学，原理控
再问个问题，既然有复平面，为何还没出现3维数体？
电离层物理博士
有了实数为什么还要有虚数？这个是因为在我们的世界里，有些量是标量，就是一个值可以表示的，比如温度，质量，密度，体积。还有些量，它们和温度质量这些量一样常见且有用。但是，它们是有方向的，需要更高级的表达方式。这些量我们叫它矢量。矢量需要特别的表达方式，因为光数量是不够的。但是人们发现它们有时候用两个量长度和在某个坐标中的方向，就表示出来了，也可以用别的方法来表示，比如每个固定方向上的长度。。。聪明人发明一种记法就是虚数。它有意义且可以能把矢量运算从几何直观倒腾到代数上来。几个数或者一组数，那肯定比尺规作图或者别的作图方法好掌握得多。这就是虚数存在的意义。至于虚数单位i，这是一个前提。如果在复平面上的数中，假设有这种运算法则存在：它对应的值和1这个值之间是一种平方的关系，或者叫做自乘的关系，这样其它的数之间若有“旋转90度”这样的关系时候，我们也可以把它看成两个数之间的乘法运算。虚数单位的定义和矢量乘法的定义一样，是一种矢量变换的具有对应性的形象表述。矢量怎么会有类似于标量的乘法？它没有。或者说在矢量的世界里，乘法表示成其它的方式。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。当我们进入矢量的世界，我们就得用一个矢量的视角来看待问题。现在我们都是矢量了。我们矢量之间的运算是客观存在的东西。但是你们虽然是三维的却只有一维的思维习惯。这没问题，世界用0和1就能表述了，反正都要化简的。用数量这样的一维思维来理解我们矢量的习惯也好。你不能直接想象矢量，但是你知道它的长度（50km？）和方向（在正北方向上！）它也就跑不出你的复平面了。
电子设计工程师
牛掰的人 都学数学啊。好严密
虚数当年对我的物理意义就是……要去店里买到卡西欧最贵的991计算器才能做复数计算，为了给考试里算负荷潮流，那些不该是人算的东西。。。噢，这么说来，电力中常用实数计算有功功率，也就是我们平常电表走的字；用虚数计算无功功率，这是实际存在的，无功功率一般都是消耗在了电机驱动上，但其实你用再多无功功率电力公司也不会收你钱（仅限居民用电）。这两者相加（其实还要加上电的传输中的各种损耗）才是电厂发出的电（视在功率）。同样无功功率也很难理解，平时难以捕捉其踪影，和复数给我的印象还真是相似啊。（学渣的渣解释，欢迎学霸们拍砖）
弱弱的物理学本科生
这个问题首先就蛋疼，啥是物理意义？这一点能否说清楚？说不清楚，就会出现各种回答，让楼主觉得没有切中要害。一楼的图解法很形象，算得上物理意义不？相对来说，我个人比较赞同二楼和三楼的说法。虚数（复数）作为数学语言，本身不需要什么物理学背景与直觉。至于给这个数学语言找了各种形象化的理解方式和从应用角度出发的解释，反倒是舍本逐末了。实际上直接地抽象理解更为自然，也少有这样的疑问。至于我个人的理解，物理学中引入复数，进行理论上的表达是一种对于“数学形式美”的追求，本身并不需要追究什么物理意义。很多时候，实数表示的物理量都可以推广到复数表示，其中实部保留原有含义，虚部表示系统的耗散。这样的表达方式，基本存在于对“波动”的描述中，什么交流电、波、折射、反射等等。当然，在另一些时候，通过复数可以将看起来毫不相关的东西联系起来，比如统计性质和随时间的演化性质，温度可以被理解为虚时间，在相对论中，虚时间被作为额外的维度进行理论处理。
“虚数 i 就是逆时针旋转90度”那为什么3 i 不是逆时针旋转270度
数据控，物理学博士
（这是个好问题，不过上面的解答都没有提到量子力学。）在物理学中引入复数结构的必需性的根源和复数最重要的物理意义在于量子力学运动规律限定的数学结构。用群论的语言概括：概率守恒要求演化规律的数学结构是厄米群 U(n) (参见 而 U(n) 恰好可以分解为正交群 O(n) 和实数阈的辛群 Sp(2n, R): U(n) = O(n) ∩ Sp(2n, R) , O(n) 的物理意义是概率守恒，Sp(2n, R) 的物理意义正是量子力学限定的运动规律。最妙的是GL(n, C) 这个复数域的群满足 O(n) ∩ Sp(2n, R) = O(n) ∩ GL(n, C) = Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) = O(n) ∩ Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) 。所以GL(n, C) 这个复数域上的群是把概率守恒和量子力学运动规律耦合在一起的一个数学结构，或者说量子力学运动规律自然具备的一个数学结构。如果用矩阵力学的表述具体一点说，量子力学演化算符在矩阵表述下是厄米矩阵，因为观测值是演化算符的矩阵本征值，必须为实数值，所以演化算符必须是厄米矩阵。如果把厄米矩阵实部虚部分开写，实部是对称矩阵（对应O(n)群），虚部是反对称矩阵（对应实数阈的辛群 Sp(2n, R)），而复数阈的GL(n, C) 结构正是把这两部分始终耦合在一起的数学结构。所以即便不显式引入虚数单位 I，这个复数的数学结构还是必然存在于量子力学运动规律里的。
purdue Univ 量子物理博士
楼主是来挖坑的么？这个问题就是写成一本书都很难专业的回答啊。要说实数最简单最代数闭的拓展吧，数学系的肯定说我蒙人。要说留数积分能解实数积分不能解的问题，微积分老师肯定劈死我。说简单些，只能说是数学工具中一种很自然的实数第一代数拓展的中间域罢了，就像从整数过度到无理数一样中间一定会走分数这个过程。。。。
一时接受不了很正常，几百年前很多大数学家也接收不了，不过时间长了，又加上发现有些问题用虚数很有用，比如涉及到旋转、矢量这些，就慢慢接受了。对于我这个工科生来说，认识到复数是数系的又一次扩充，就像之前的无理数，实数一样，那么我就释然了。至于物理意义，旋转，表示矢量挺方便的，算是物理意义。
刚看到, 请解答下/因此，我们可以得到下面的关系式：(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)如果把+1消去，这个式子就变为：(逆时针旋转90度)^2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i ：i^2 = (-1)这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。/--------------我理解, 不应该是(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度), 而应该是(+1) * [(逆时针旋转90度) + (逆时针旋转90度)], 不然那不就成了90度*90次转了8100度? 那是好几圈了吧. +1逆时钟旋转90就是+1 * -90, 两次就是+1 * -180 则: (逆时针旋转90度)*2 = (-1)将"逆时针旋转90度"记为 i ：i*2 = (-1)这应该得不出你的公式啊.
复数的定义是，定义一个有序实数对（a,b），运算规则是（a,b）+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)a就是实部，b就是虚部~。。。是不是特别无理头？但真是这么定义的。。虚数的定义不是i^2 = (-1)啊，因为（-i）^2 还等于 (-1)如果从那个定义怎么得出i^2 = (-1)呢？其实就是（0,1）*(0,1)=(0*0-1*1,0*1+1*0)=(-1,0)=-1然后称i=（0,1）就好了复数在物理上太有用了，啥啥的在实数里做不出来，就弄到得数里去，一下子简单很多的比如各种积分啊。。
我觉得虚数就是一个单位，实数好比一群会赚钱的人，虚数好比一群会亏钱的人，正实数就是活着的会赚钱的人，负实数是死了的会赚钱的人，会亏钱的人亏了钱以后就相当于死了几个会赚钱的人……
看过一种说法，不知对错 虚数i可以表示四维空间，是三维世界没有的那个维度。
信息与计算科学学士，算法控，AI爱好者
其实就是用一个复数替换二维坐标系的两个实数。
管理学硕士
高中数学学过一点点，大学就没学过了，被楼主这么一解释，瞬间清晰了。数学总有那么一瞬间，让人感觉很销魂。
大家是否都同意这样的观点：数学是物理抽象，最终要指导或服务于物理！否则，研究数学干嘛？所以说虚数最终是有物理意义的！
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