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高中数学公式大全 （最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y
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方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的，用字母D表示。在概率论和数理统计中，方差（Variance）用来度量和其（即）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着重要意义。外文名variance类&&&&别数学
如下面的例子：
已知某的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用上的点表示如图：
甲仪器测量结果：
乙仪器测量结果：全是a
两台仪器的测量结果的均值都是 a 。但是用上述结果评价一下两台仪器的优劣，很明显，我们会认为乙仪器的性能更好，因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的。那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E[|X-E[X]|]能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度。但由于上式带有,运算不方便，通常用量E[(X-E[X])2] 这一数字特征就是方差。
一般用下面公式进行计算：
D(X)=E(X2)-[E(X)]2
方差不只是为了取正值，它有很直接的意义，源自。以典型的随机散步为例：醉汉每步的长度为Xi，以（xi, yi）表示，有xi2 + yi2= Xi2。走了N步时距离起始点的路程为X, 则 X2 = ∑ (xi2+ yi2) = ∑ Xi2，这正是方差。若每步的距离相等，都是单位距离，则方差 X2 = ∑ Xi2 = N 。方差方差是实际值与之差的平均值，而是方差算术。[1] 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。
方差是各个数据与之差的平方的和的平均数,即 ，其中，x表示的平均数，n表示样本的数量，xi表示个体，而s^2就表示方差。
而当用 作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的倍， 的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“”，所以我们总是用 来估计X的方差，并且把它叫做“”。
方差，通俗点讲，就是和偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S2。 在相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
公式可以进一步推到为：其中x为这组数据中的数据，n为大于0的整数。设X是一个，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。
即D(X)=E{[X-E(X)]2}称为方差，而σ(X)=D(X)0.5（与X有相同的）称为标准差（或）。即用来衡量一组数据的离散程度的。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的。（标准差、方差越大，离散程度越大。否则，反之)
若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,
若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。
因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。[2]由知，方差是随机变量 X 的
g(X)=[X-E(X)]2 pi
数学期望。即：
由方差的定义可以得到以下常用计算公式：
D(X)=∑xi2pi-E(x)2
D(X)=∑（xi2pi+E(X)2pi-2xipiE(X))
=∑xi2pi+∑E(X)2pi-2E(X)∑xipi
=∑xi2pi+E(X)2-2E(X)2
=∑xi2pi-E(x)2
方差其实就是标准差的平方。周期方差曲线（1）设c是，则D(c)=0。
（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=c2D(X)。
（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
D(X -Y)= D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)
特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则
D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y),
此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。
（4）D(X)=0的是X以为1取常数值c，即X=c,a.s.其中E(X)=c。
（5）D(aX+bY)=a2DX+b2DY+2abCov(X,Y)。半方差图期望和方差求解公式
随机变量X。
X服从(0-1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p)
X服从，即X~ π(λ),则 E(X)= λ，D(X)= λ
X服从，即X~U(a，b),则 ,
X服从，即X~e(λ), E(X)= 1/λ，D(X)= 1/λ2
X服从，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)
X 服从，即X~N(μ，σ2), 则E(x)=μ， D(X)=σ2
X 服从，即X~N(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1
随机变量求方差的通用公式，即D(X)=E(X2)-[E(X)]2样本中各数据与的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的叫做样本。n-1样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
方差和标准差。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的。方差是各变量值与其平方的平均数，它是测算的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根，用S?表示。方差相应的计算公式为
标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。（甘肃省，2002年）某校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表所示：
班级参加人数平均字数方差甲
有一位同学根据上表得出如下结论：
①甲、乙两班学生的平均水平相同
②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）
③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大。上述结论正确的是________（填序号）。
解：填①、②、③，
解：甲乙的平均数相同，所以①甲、乙两班学生的平均水平相同．根据中位数可知乙的中位数大，所以②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多。第三题，根据方差数据可知，方差越大波动越大，反之越小，所以甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大。
故填：①②③．
点评：本题考查统计知识中的中位数、平均数和方差的意义。要知道平均数和中位数反映的是数据的，方差反映的是离散程度。
极差不能用作比较，单位不同 ; 方差能用作比较, 因为都是个比率。
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大家都喜欢用 $E=mc^2$ 举例子，但是我不是很理解。
这个公式 $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta =
2 \cos^2 \theta - 1$ 少年可还记得？
插入方程组（注意多行公式结尾\\需要打成\\，可能是因为markdown会自动转义第一个\）：
\begin{aligned}\dot{x} & = \sigma(y-x) \\\dot{y} & = \rho x - y - xz \\\dot{z} & = -\beta z + xy\end{aligned}
插入矩阵（同上）：
\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}
来个复杂点的（注意有的公式开头不会自动识别，用$$包围）：
$$\frac{\partial u}{\partial t}= h^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)$$
最后来个牛逼的吧，薛定谔方程，大学物理就记得这个了：
$$ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}= \frac{-\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \psi + V \psi.$$
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