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第16章 差分方程模型
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第六节 Taylor级数与函数的幂级数展开
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第七章 差分方程模型
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3秒自动关闭窗口z变换的基本性质
8-2 &变换的基本性
通过上节分析可知，求离散时间信号即序列的z变换，其最基本方法是几何级数求和法。然而对于较为复杂的信号，采用级数求和法就显得麻烦和困难。与连续时间信号的拉普拉斯变换相似，也可由z变换的定义，推出一些基本性质。这些基本性质反映了序列与其z变换之间存在的一些关系，利用这些性质不仅可方便地求序列z变换的像函数，而且可由像函数求得原序列。因此本节将讨论一些基本性质或定理，以熟悉和掌握z变换的方法。
z变换是一种线性运算。设, 为双边序列，并且
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&& 为任意常数，其收敛域至少是两个函数收敛的公共部分，利用z变换定义可直接证明式(8-12)成立，并且可推广到多个序列z变换的情况。
例8-2 求余弦序列的z变换。
解&& 因&&&&
根据z变换的线性性质，并利用式(8-7)可得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
同理，可推得
1.对于双边z变换
若&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
则移位序列的双边z变换为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&
式中，为任意正整数。
证明& 根据双边z变换定义，可得
&&&&&&&&&&&&&&&&&& 即式(8-13)成立。
可见，把序列沿轴左移个单位变为或右移个单位变为，对应的z变换等于原序列z变换与或的乘积。通常称为位移因子。由于位移因子仅影响变换式在或处收敛情况。因此对于
具有环形收敛域的序列。位移后其z变换收敛域保持不变。
2．?对于单边z变换
若&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
则& (1)为双边序列时，
&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&& &&& &&&&&&(8-15)
收敛域为。
(2) 为因果序列(单边右序列)时，
&&&&&&&&&&& &&&&&&&& (8-16)
&&设为双边序列，由单边z变换定义，可得
&&&&&&&&&&&&&&
故式(8-14)成立。用同样方法可证明式(8-15)和式(8-16)成立。
例8-3& 求矩形序列
&&&&&&&&&&&
解& 矩形序列可用单位阶跃序列与右移个单位的单位阶跃序列的差表示，即
&&&&&&&&&&&
根据z变换的线性和移位性，并利用式(8-3)，得
&&&&&&&&&&
根据移位性，显然有
式中，为正整数。
若是除以外序列值恒为零的有限序列，其z变换为, 则由组成的单边周期序列
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&& &(8-17)
证明&& 因&&&&&&&&& &
由移位性和线性性质，得
式中的几何级数在时收敛为。故有
所以式(8-17)成立。
例8-4& 求单边周期性单位序列
&&&&& ，又
根据周期性，可得
若已知序列的z变换为，其收敛域为，则
&&&&&&&&&&&&&&&&&
该性质反映在时域中序列乘以指数序列相当于z平面上原像函数在尺度上压缩倍，因此称之为z域尺度变换。
&&&&&&&&&&&&&&&&&
由z变换定义可知
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&& &&&&&&&&&&&证毕
例8-5& 已知，求其z变换。式中为实常数。
解&&& 因为&&&&&&&&& &
根据z域尺度变换性，可得
收敛域为&&&&&
设&&&&&&&&&&&&&& &
&&&&&&&&&&& &&&&& && (8-19)
&&&&&&&&&&&&&
交换上式求和与求导的次序，可得&
由于是复变量z的幂级数，而一幂级数的导数或积分是具有同一收敛域的另一个级数。因此式(8-19)收敛域与收敛域相同。
上述结果可推广到乘以的任意正整数次幂的情况，即有
式中，表示对求导并乘以(-z)共次。
例8-6& 求下列序列的z变换：
解& 因的z变换为，根据z域微分性，则
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
，式中为整数， 。
&&&&&&&&&&&
交换上式求和与求积分的次序，得
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
其收敛域与的收敛域相同。故式(8-20)成立。证毕
&&&&&&&&&& &(8-21)
&求下列序列的z变换：
解&& (1) 由z域积分性，得
(2) 因为&&
根据z域积分性式(8-21)，可得
设有序列，它是另一序列的前项之和，即
&&&&&&&&&&&&
收敛域为与的公共部分。
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&
根据z变换性质，得
&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&证毕
其收敛域为|z|&1与收敛域的重叠部分。
设&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&& &&&&
故式(8-23)成立。
若序列,的z变换分别为和，则时域两个序列卷积和的z变换为
&&&&&&&&&&& &
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
其收敛域为， 收敛域的公共部分。
&&&&&& & &
交换求和次序，得
式中利用了z变换移位性。显然收敛域应为和收敛域的重叠部分。
例8-8 &求的z变换(为正实数)。
根据卷积定理，得
与拉普拉斯变换类似，也可利用序列的单边z变换来确定原序列的初值。
设原序列的单边z变换为，则
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
显然当时，上式等号右端除第一项外，均为零。所以
&&&&&&& &&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&证毕
类似地，由式(8-25)可推得
&&&&&& ，即序列存在终值，而值的确定可直接由像函数求得，不必求原序列。
设的单边z变换为，即
且当时， ，则
&&&&&&&&&&&&&
& &&&&&&&& &&&&&&证毕
可见，初值定理表明，时域序列的初值等效于z域中其像函数的终值。而终值定理反映时域收敛序列的终值等效于z域中其像函数与乘积在点的值。应用这两个定理时应注意序列为因果序列。
例8-9 &设序列的z变换为
求, 和(为正实数)。
解& 由初值定理式(8-25)，得
由终值定理式(8-27)，得
当时&&&&&&&
当时&& &&&&&
当时&&&&&&&
而实际上，即不存在终值。这是由于已不在的收敛域内，因而取的极限无意义。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
表 8 - 2& 常用z变换的基本性质和定理格式：pdf&&&
贡献者：Hejialuo1010
上传时间： 13:06
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