[理学]32前束范式谓词推理前束范式
logic 一阶逻辑
谓词公式的标准化形式： 谓词..
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[理学]32前束范式谓词推理
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如何求公式的前束范式
如何求公式的前束范式
3、有能力者可扩充数理逻辑的其他内容,譬如推理系统的构造和证明,求谓词公式的前束范式等.A-Z + is OR * is AND _ is → # is⊕(适用课程:&离散数学Ⅰ(aa),离散数学Ⅱ(aa)【访问量：636739】
3.4.1 前束范式
在命题逻辑中，我们引进过公式的标准形式，即范式。因为一个公式，在等价意义下，可以有各种不同的表示，因此，公式的标准表示形式就是一个有意义的问题。在命题逻辑中，范式的重要作用我们已经知道，范式在谓词逻辑中有同样重要的作用，本节我们讨论谓词逻辑中公式的两种标准形式。
谓词逻辑中公式G称为前束范式，如果G有如下形状：
Q1x1…QnxnM
其中 Qixi或者是"xi，或者是$xi，i=1，…，n，M是不含量词的公式，Q1x1…Qnxn称为首标，M称为母式。
例如，"x"y$z(P(x，y)(R)Q(x，z))
$x$y$zP(x，y，z)
等等，就是前束范式。
设G是公式，其中自由变量有且仅有一个x，记以G(x)，H是不含变量x的公式，于是有：
1) "x(G(x)?H)="xG(x)?H
1’) $x(G(x)?H)=$xG(x)?H
2) "x(G(x)?H)="xG(x)?H
2’)$x(G(x)?H)=$xG(x)?H
3) ?("xG(x))=$x(?G(x))
4) ?($xG(x))="x(?G(x))
证明：我们只证明1)和4)。
设I是G(x)和H的一个解释。若"x(G(x)?H)在I下取1值，则在I下，对任意x?D，G(x)?H都是真命题。若H是真命题，则"xG(x)?H是真命题；若H是假命题，则必然是对每个x?D，G(x)都是真命题，故"xG(x)取1值。所以"xG(x)?H在I下取1值。
若"x(G(x)?H)在I下取0值，则必有一个x0?D，使G(x0) ?H在I下取0值。故G(x0)为假命题，H为假命题。所以"xG(x)取0值。从而"xG(x)?H在I下取0值。
若I满足?($xG( x))，则I弄假$xG(x)。故对任意x?D，G(x)都是假命题，从而?G(x)都是真命题，故I满足"x(?G(x))。
若I弄假?($xG(x))，则I满足$xG(x)。故有x0?D，使得G(x0)是真命题。从而?G(x0)是假命题，故I弄假"x(?G(x))。
其它等式同理可证。
设G，H是两个公式，其中自由变量有且只有一个x，分别记以G(x)，H(x)，于是有：
1) "xG(x)"?xH(x)="x(G(x)?H(x))
2) $xG(x)$?xH(x)=$x(G(x)?H(x))
3)"xG(x)?"xH(x)="x"y(G(x)?H(y))
4)$xG(x)?$xH(x)=$x$y(G(x) ?H(y))
证明：用类似于证明引理1的方法，可证明此引理的1)，2)。
"xG(x)"?xH(x)
="xG(x)"?yH(y)
="x(G(x)?"yH(y))
="x"y(G(x)?H(y))
同理可证4)。
对任意公式G，都存在与其等价的前束范式。
证明：通过如下算法，可将公式G化成等价的前束范式。
1. 使用基本等价式
(K<<H)=(K(R)H)?(H(R)K)
(K(R)H)=?K?H
可将公式G中的<<和(R)删除。
2. 使用?(?H)=H，De Morgan律，引理1，可将公式中所有否定号?放在原子之前。
3. 如果必要的话，则将约束变量改名。
4. 使用引理1，2将所有量词都提到公式的最左边。
于是，将公式G在等价意义下化成了一个前束范式。
"x"y($z(P(x，z)?P(y，z))$(R)uQ(x，y，u))
="x"y(?($z(P(x，z)?P(y，z)))$?uQ(x，y，u))
="x"y("z(?P(x，z)??P(y，z))$?uQ(x，y，u))
="x"y"z(?P(x，z)??P(y，z)$?uQ(x，y，u))
="x"y"z$u(?P(x，z)??P(y，z)?Q(x，y，u))离散数学 前束范式_百度文库
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