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走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅
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转自科学网博客：
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅&&
------三维流形中一个划时代证明的故事
作者： 发表：SimonsFoundation.Org 时间：日 翻译：杨文元
【译者注】这是翻译自Erica Klarreich发表在SimonsFoundation的一篇科普文章“”。这篇文章通俗地详细讲述了近10多年来三维流形的研究背景和重大的进展，和一大批数学家为完善Thurston的研究纲领而所发生有趣的激动人心的故事。译文较长，计划分六次贴出，方便阅读。第一次做翻译，限于文字水平有限，这已是我竭尽所能译出，敬请方家指正。
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三十年前，数学家William Thurston清晰地阐述了一个宏大的蓝图：一个关于所有的有限的三维物体的分类纲领。
Thurston 是一位菲尔兹奖得主，他的大部分工作生涯都是在普林斯顿和康纳尔大学。他拥有一种不可思议的能力来形象化地思考通常很难想象的事物：这不仅包括我们通常三 维空间中的物体，也包括众多的以非常复杂的自我扭转和缠绕在一起的形状和物体。通常这些复杂的形状只能在高维的空间中才可以完整的展现出来。在通常其他数 学家尚未看出端倪的研究领域中，Thurston已经辨认出了其中的结构：对称变换，二维曲面，和不同的形状之间的关系等。
William Thurston于1991年在伯克莱. Thurston于八月去世，享年65岁. (照片: 承蒙Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach提供)
“许多人们基于多年的学校学习有这样的一种印象， 那就是数学是一门严密的形式化学科，有着复杂的且令人非常迷惑的规则”，他在2009年时这样写道。“好的数学事实上正好相反， 它其实是一种人类可理解的艺术...当我们能理解了它的时候，就如同感受到的歌曲美妙的旋律一样”。
Thurston 宏伟蓝图的核心是在于沟通两种看上去迥然不同的研究三维物体的方法：几何和拓扑。几何的研究对象是我们所熟悉的角度，长度，面积和体积等。而拓扑则完全是 研究那些不依赖于精确的几何化的测量的性质，也即是那些经过如同对橡皮泥进行拉伸和变形下仍不改变的性质。
对于拓扑学家来说，平底锅的表面无异于桌面、铅笔表面抑或足球的表面；同样的，茶杯的表面是和炸面圈或者环的表面是同一个东西。以这种拓扑的观点来看，二维 形状的类型即曲面的类型本质上只有三类：像球的曲面，像环的曲面和带有若干个洞的环的曲面。（我们通常会以为球和环是三维的，但数学家们这里假设他们内部 是空的，把他们想象成只有面积而没有体积的二维物体。）
Thurston 的核心观察在于三维的物体或者说三维流形可以通过几何和拓扑互补的方式来研究和理解。正如在二维拓扑流形的世界中，平底锅和铅笔的表面通常以理想球面来作 为典型的几何代表。在三维流形的世界中，Thurston猜想大多数的三维流形也有一个典型的几何代表。这些典型的几何代表是如此地完美，一致和漂亮，以 致哥伦比亚大学的Walter Neumann这样形容说：“rings like a bell.” 更进一步，Thurston猜测那些即使没有典型的几何代表的三维流形仍然可以分割成有若干具有典型几何的部分。
在他1982年的论文中，Thurston阐明了所谓的“几何化猜想”，并提出了23个关于三维流形的公开问题。这些问题为数学家们提供了一个透彻理解三维 流形的路线图。（他其实列出了24个问题，尽管那个问题仍未解决，但相对主要的研究道路而言更多是一个晦涩不明的小巷）。
“Thurston有一种宝贵的能提出正确问题的能力”，加州理工学院的数学家Vladimir Markovic如是说。“任何人都可以提出问题，但是能提出导致新的洞见和漂亮的结果的问题却异常罕见。Thurston的问题却似乎总可以做到这点”。
这些问题影响了一大批数学家，其中数十人是在Thurston的指导下开始他们的博士研究的。Thurston的这些嫡传弟子们也展现出了他的个人风格。 Johns Hopkins大学的Richard Brown这样写道：“他们似乎都以小朋友观看狂欢节的兴奋来研究数学：充满惊奇异和乐趣，沉醉于每个新的发现，并乐于为推进整个的研究进展尽自己的才 能”。
在 Thurston著名的论文发表后的数十年间，数学家们遵循他的路线图，被如下的认识所驱动去研究三维流形而非关注它可能的应用：三维流形在整个物体形状 的研究中占有重要的位置。二维流形略显单调，并且易于形象化和分类。四维，五维和更高维的形状本质上无法理解的：它们的可能性是如此的巨大以致数学家们不 得不只能去研究一些很特别的形状类型。相反地，三维流形的结构神秘并引人深思，但却似乎可以达到最终的完全理解。
随着Thurston的论文发表近30周年之际，23个问题中除了四个问题外都已完全解决。这其中包括几何化猜想，被俄罗斯数学家Grigori Perelman于2002年证明。该项成就被认为是现代数学的一个重大的进展。然而，那剩下的四个问题却迟迟未被证明。
“他们迟迟未被证明意味着一些深奥的数学还未被发现”，耶鲁大学的Yair Minsky这样说道。
终于，在三月份，加州大学伯克利分校的Ian Agol宣称解决Wise的猜想而震动了数学界：因为这毕其功于一役，同时也解决了Thurston的最后的那四个公开问题。
数学家们纷纷称这一结果象征着一个时代的终结。
“Thurston在他论文中所陈述的三维流形分类纲领，在当时看来令人难以置信的，现在却已经完全实现了”，加州理工学院的Danny Calegari这样说。“他的纲领完完全全被彻底实现了：包括其中每个细节都被证明是正确的”。
“我过去以为我拥有别人所没有的某种独特的思考方式和知识”，这是在Thurston今年获得Steele奖时，大约在8月份以65岁去世的几个月前这样说 的。“我非常高兴的终于认识到这不再是正确的了：许多数学家学会了我思考问题的方式，并且很多人证明了我曾经尝试但没有成功的定理”。
Agol的结果意味着有一个简单的程序去构造所有的紧致的双曲的三维流形，正是这类三维流形长期以来没有被充分研究清楚。“我们现在可以非常准确地理解所有的三维流形的样子”，伦敦大学学院的Henry Wilton这样说，“这是由众多的努力最终汇聚而成的成果”。
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一个世纪前，数学家们对二维流形成功地进行了几何化的分类研究。Thurston的纲领正是试图对三维流形做同样的事情。因此作为热身，让我们先对紧致的可 定向的曲面的分类作一探究。（紧致的可定向的曲面是指有限的没有洞和切口的曲面，并且曲面上可以赋予一个一致协调的方向）。
为了研究曲面的分类, 数学家们证明了对于任意一个曲面, 我们可以通过沿着一些曲线去一步步地剪开它直到曲面被完整展开而成一个平面多边形。
对于环面, 这是很容易看到该如何去剪: 首先如图1所示沿着闭曲线A剪开, 这样产生了一个圆柱面，接着再从闭曲线B割开, 这样把圆柱面便展开为长方形了。对于图2中的”双环面”(即带两个”洞”的环的表面), 稍困难一点但仍然可以沿着四条闭曲线把它剪开成为一个八边形。一般地, 对于有n个洞的环的表面, 我们可以沿着2n条闭曲线去把曲面展开成一个4n条边的平面多边形。
图1：沿着闭曲线A切开环面得到圆柱面，继续沿着闭
曲线B切开就把圆柱面展开成一个正方形
图2：沿着闭曲线A, B, C和D切开就得到了一个八边形。
对于任意的一个(有限的)曲面, 我们总可以去用类似的方法去剪开它。假定该曲面不是球面, 拓扑学家证明了在曲面上一定存在着嵌入的(即不自我相交的), 同时不可以收缩成一点的闭曲线, 类似于环面上的闭曲线A和B那样。沿着其中一个闭曲线割开曲面也就简化了曲面的一些拓扑特征。数学家们证明了只需要有限次这样的分割, 我们就可以最终把曲面变成一个平面多边形。
现在假设已经把我们要研究的类型未知的曲面割开成了一个多边形, 那么接下来, 我们会比较容易看到当我们重新粘合多边形相应的边去复原原来的曲面时, 我们必然只能得到环面, 双环面, 三环面等这样类型的曲面。事实上, 第一次的粘合把平面多边形变成了一个像管道一样的曲面, 接下来每次的粘合在原来的基础上或者引入了新的类似管道样的把手, 或者只是”缝合”了一些敞开的管道的两端的边界。当我们完成粘合以后, 结果就得到了一个环面或者是带若干”洞”的的环面。(译者注: “洞”就是在所谓闭合管道的两端时形成的)。
如上的方法不仅证明了任意一(有限的)曲面都是拓扑等价于一个球面或者类环面的曲面, 它同时也给出了一个在曲面赋予一个一致的几何结构的方法。
一个球面当然上面已经有了一个一致的几何结构: 当你站在该曲面上它的几何看起来到处是一样的。相反地, 一个轮胎的表面看起来却离一致性很远: 轮胎的靠外的区域弯曲地像球面那样, 但是靠内的区域则弯曲的更像一个马鞍面的形状。
无论在我们空间中如何放置一个环面---允许你去任意地拉伸和变形---你还是没有办法把环面上每一点变得有一致的几何：一些部分弯曲地像球面, 而一部分像马鞍面, 甚至一部分还是平坦的。
但是, 我们却可以在环面上赋予一个抽象的几何结构以使得在每一点处的几何都是相同的： 我们在环面上每一个很小的区域内假定它的距离和角度是和前面用来构造环面的长方形上的距离和角度是一样的。当然刚才的假定在我们通常的三维空间中是无法物 理上来实现的，但是如此定义的距离和角度却是内蕴一直并兼容的。因为长方形有着我们通常意义下的欧氏几何, 我们也因而说环面上赋予了一个欧氏几何结构。赋予了欧式几何的环面很类似于一个视频游戏(译者注: 贪吃蛇游戏?): 当一个生物从屏幕的右边离开, 那么它从屏幕的左边出现, 当它从屏幕上边离开, 它又会从屏幕底端冒出来。
但是当我们也试图对双环面做相同的操作时，我们就遇到了障碍。回想我们可以通过粘合一个平面多边形的边来得到一个双环面。如果我们想去用平面八边形内的（即 欧式）几何来赋予双环面上的几何时，我们就会发现在八边形的顶点处遇到了问题。当平面八边形粘合成为双环面的时候，所有的顶点就被粘合成为双环面上的一个 点。因而八边形的8个顶点的相应区域将顺序环绕该双环面上的那点。这样由于每个区域将贡献出135°的角度，8个顶点区域便总共形成了1080°的角度， 这与通常认为的一个点周围应环绕360°的事实相违背。
因此假设我们可以给双环面一个与平面八边形内相同的几何结构的话，我们将最终只能得到一个除去一点以外才具有欧氏几何的双环面。该点周围的曲面形似一个顶上 有纽扣的帽子。（当我们在粘合长边形的时候，这个问题并不存在：因为我们把4个角度为90°的顶点区域粘合得到正好是360°的角度。）
为了双环面的该粘合点处得到光滑的几何结构，我们需要该八边形的每个顶点区域仅贡献出45°的角度大小，而不是135°。令人欣慰的是，这样的八边形确实存 在，但并不是存在于欧氏平面之上，而是存在于另外一种几何结构中，称之为“双曲圆盘”。所谓的双曲圆盘和球面几何或欧式几何一样，是一种一致的内恰的几何 形式。但是这种几何更难形象化，也因此直到19世纪早期才被数学家们发现和开始认识。
大致而言，双曲几何就是这样一种几何结构，使得图3中的所有的鱼在该几何结构下大小是相同的。图3可以认为是通过某种透镜看到的双曲圆盘的图像，在这样的图 像上会使得靠近圆盘边界的鱼远小于中心的鱼的大小。而真实的双曲圆盘其实是透镜的前边的世界，在那里所有的鱼大小都是一致的。
图3：在双曲几何结构下，所有的鱼大小都是一样的。沿着鱼的脊 梁穿过的曲线是双曲直线，或者说“测地线”。（图片提供： Douglas Dunham明尼苏达大学德鲁斯分校）
事实上我们的空间中不存在一种方式来构造一个光滑的双曲圆盘，使得鱼大小看起来都一样。但我们再次需要强调的是，抽象地看，这种鱼大小改变的规则实际上对应着一种内恰的每点处的看起来都一致的几何---当然这不是从可以改变大小的透镜去看，而是从一个生活在双曲圆盘的生物的视角去观察的。
在双曲几何中，两点之间的最短路径，或者说“测地线”是一条可以穿过最少的鱼来从一点到达另外一点的路径。这样的路径被证明恰恰总是与圆盘边界正交的半圆 圈。比如通过鱼的脊椎的半圆圈就是这样路径。从我们这些外部透过透镜的角度去看，这些路径是弯曲的，但是从内部视角看的话，这些路径都是“直线”。“在这 样的路径上驾车，你是永远不用担心要拐弯的&，Thurston经常这样描述。在欧氏平面上，平行线之间总是保持相同的距离；但在双曲圆盘上，两条不相交 的线可以彼此分开地越来越快。从双曲几何的视角看，图4中的形状都是正八边形。其中的一个八边形中，所有的角度都是45°---这正好是我们为构造双环面 所需要的多边形。如果我们恰当地粘合这个八边形的边，结果就会得到一个双环面并且上面带有一致的双曲几何结构。
类 似地，我们也可以赋予三环面一个双曲结构。一个三环面可以通过粘合一个12边形的边来得到。如果我们可以构造一个双曲的12边形并且每个角都是30°的 话，那么它上面的双曲几何就自然地赋予到了三环面上了。延续同样的方法，我们就可以赋予四环面，五环面等等曲面一个双曲结构。因此我们的紧致曲面的分类也 即变成了带球面几何的曲面（球面），带欧氏几何结构的曲面（环面），和无限多个带双曲结构的曲面（所有带有多于一个洞的环的表面）。
图4：双曲空间中的正则八边形的内角可以取0°和135°之间的任意值，图中描绘了几个正则八边形。棕色的八边形每个内角都是45°，正好可以粘合形成一个具有光滑的双曲结构的双环面。（图片提供：Silvio Levy）
在过去的一个世纪以来，这样的分类已经卓有成效地帮助数学家们去转化曲面上拓扑问题为几何问题，或者反其道为之。曲面的分类被证明是二维物体形状研究中一个很重要的成果，后续的研究都以之为出发点。
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三维流形远比二维流形丰富，因而相应问题也就更加困难。庞加莱于1904年提出一个看上去很简单的问题，却在提出近一个世纪都没有解决，这就是著名的庞加莱 猜想。该猜想声称三维的球面是唯一的紧致的三维流形使得上面的每个闭曲线都可以连续收缩成一个点，即流形上没有“洞”。
但是，Thurston更大胆地猜测我们应该也可以像二维流形一样对三维流形进行分类。
二维的欧氏几何，球面几何和双曲几何在三维都有对应类型的几何。但是在三维空间，还不仅仅只有这些性质良好的几何存在。例如存在一些混合型的几何使得空间在某些 方向是双曲的或球面的， 而其他方向是欧式的。总而言之，三维空间存在着8种不同的几何类型，它们是一致的：意味着这些几何在空间的每一点处看来都是一样的。
如同果曲面一样，Thurston猜想三维流形也可以被赋予一些自然的几何结构。更具体地说，他提议如果我们以一种特别的方式去把紧致的三维流形割成若干部 分，那么每一部分都可以赋予这八种几何中的一种。”目的就是在三维流形上把几何和拓扑完整地统一起来“, Minsky这样解释道。一个自然的途径去证明几何化猜想是去做类似于我们在二维曲面上做的事情：沿着闭圆圈去剪开曲面直到所有的有趣的拓扑性质都被简化 掉而成为一个平面多边形。对于三维流形，因而相应的途径是去沿着曲面去割开它希望最终它也可以变成一个多面体。然后，如果可以赋予这个多面体以正确的几何 的话，我们就可以把这个几何传递到原来的三维流形上。这正是我们对曲面所成功做到的事情。
让我们回忆一下曲面上的情形：为了使曲面上的分割程序能顺利继续下去，我们切开的每条闭曲线必须满足如下两个性质：该曲线不能自我相交（用数学语言说，就是” 嵌入的“），而且它必须具备我们所称呼的”有趣的拓扑性质“, 即它其中蕴含了这个曲面的一些拓扑特征从而不能收缩成一点（这些要求确保了沿这样的闭曲线割开确实会从拓扑的角度上简化该曲面）。
在1962年，数学家Wolfgang Haken在如下的特定情况下找到了简化三维流形为多面体的方法：假定该三维流形中存在着一个可以沿着它割开曲面。这样的曲面需要满足下面的两个条件：它 必须是嵌入的，并且是不可压缩的，意味着该曲面上的每个“拓扑有趣”的闭曲线在它所在的更大的三维流形中也是“拓扑有趣”的。（译者注：即曲面上闭曲线如 果在曲面上不可收缩成一点的，那么同样即使在流形中变形也不能收缩成一个点。）
因而，比如一个环面在我们的三维空间中就不是不可压缩的，因为每条绕着环面的闭曲线在环面上是“拓扑有趣”的，但它却可以在三维空间中压缩为一个点。相反 地，这个环面在如下的三维流形中就是不可压缩的：即由该曲面加厚而得到的三维流形。为了具有不可压缩性，该曲面的每个拓扑的特征都必须反映出更大的三维流 形上的拓扑的一些性质。这样的含有嵌入的不可压缩的曲面的三维流形现在被称为Haken流形。
如果我们的三维流形中有一个嵌入的不可压缩的曲面，那么沿着它割开便会简化一些拓扑有趣的性质，从而会得到更简单的三维流形。更重要地是，Hakan证明了 只要该流形包含一个这样的曲面，那么割开以后得到的新的流形仍然是Haken的：也就是说新流形中仍然包含一个嵌入的不可压缩的曲面，从而可以去继续分割 它。这样经过有限步以后，Haken证明了原流形上有趣的拓扑性质就完全被简化完了，而得到了一个多面体。
在1970年代后期，Thurston证明了我们可以在最后得到的多面体上赋予八种三维几何中的一种，使得多面体上的几何可以自然地传递到再粘合回去的流形 上，也即多面体的顶点和面可以&恰如其分&地粘合在一起。换句话说，Thurston对通过由“标准分解”得到的每部分都是Haken流形的三维流形证明 了他的几何化猜想。（译者注：所谓标准分解，作者本文中并没有论述，读者应避免与所述的Haken流形的切割程序相混淆。）
不幸地是，任意给定一个紧致的三维流形上并没有保证一定会存在有这样的曲面。事实上，1970年代末到1980年代初，Thurston促使三维流形的研究者们意识到三维流形中包含有嵌入的不可用压缩的曲面（即Haken流形）只是特例，远非一般的规则。
为了弄清楚对非Haken流形如何证明几何化猜想，数学家们被整整难住了有20多年。最终，Perelman于2002年宣布了一个证明，但该证明所依赖的 工具远远不同于Thurston的大多数追随者的所使用的工具。（Perelman的证明解决了这个有一个世纪之久的庞加莱猜想，这项成就使得克莱研究所 于2010年决定颁发给他一个一百万奖金的数学奖---但是他由于各种复杂的原因马上予以拒绝了。）
Perelman证明标志性地完成了Thurston的把拓扑和几何统一起来的梦想。现在每个三维流形的拓扑问题都有一个对应的几何问题，或者相反。但是Perelman的定理并没有解答像“什么样的三维流形可以存在的”这样重要的问题。
在对分类紧致的二维流形过程中，数学家们不仅证明了每个曲面上都可以赋予一个几何结构，而且还能列出来了所有可能的二维流形。但是在三维，这样完整的列表一直缺失着。
八种三维几何中的7种，除去双曲几何，都已经得到了完整地理解。甚至在Perelman的工作之前，三维拓扑学家已经把可以赋予这7种几何中的一种的三维流形研究地很清楚了。这样的流形是相对比较简单，并且数量上也比较少。
正如同曲面的情形一样，大多数三维流形事实上是双曲的。数学家们对三维的双曲流形的理解远远贫乏于其上可以赋予其他7种几何的三维流形。“在八种几何中，双曲流形是最神秘而且也是最丰富的一类”，巴黎六大的Nicolas Bergeron这样说。
Perelman的结果也告诉数学家们双曲流形确实是最后的堡垒---唯一的还需要透彻地理解的一类三维流形。但是他的结果并没有告诉大家这些三维流形具体是什么样子的。
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数学家们再一次地从Thurston著名的论文中来寻找指导。在那个著名的公开问题列表中，他提出了许多双曲流形应具备的特征，有如下的两个猜测直接描述了这些流形应该是什么样子的：这就是几乎Haken猜想和几乎纤维化猜想。
几乎Haken猜想猜测每一个紧致的三维流形几乎是Haken的，更准备地说，我们可以用一种特别的方式去把一个紧致流形经过有限次“解开”而得到一个Haken流形。这个新的被解开的流形被称之为原流形的一个有限覆盖。
当数学家们说一个流形N覆盖着另外一个流形M时，这大致是说可以把流形N绕着流形M“缠绕”某一次数（可以无限次）后，使得M的每个的部分都和其他的部分一 样被覆盖了该相同次数。为了成为一个覆盖，所述的缠绕过程需要具备有一些很好的性质。例如， 流形N在缠绕的过程中不能自我交叠或撕裂， 同时流形M上的每个很小的部分都被流形N中和它相同的若干部分所覆盖。
让我们来看一个具体的例子。图5中那个有六个花瓣的花就可以这样来覆盖那个有三个花瓣的花：把六瓣花绕着三瓣花旋转缠绕两次就可以了。三瓣花上的每一点因而被六瓣花覆盖了两次。数学家们称六瓣花为三瓣花的一个2次覆盖。类似地，一个无限长的圆柱面可以这样覆盖一个环面：把圆柱面顺着环面无限次地一直均匀地缠绕下去。见图6。环面上的每个点都被覆盖了：闭曲线A就被圆柱面上无限多个均匀分开的闭曲线所覆盖，而闭曲线B在圆柱面上则展开成一条顺着圆柱面无限延伸的直线。
图5：六瓣花通过自我缠绕两次来得到一个三瓣花。
流形上的拓扑与它覆盖空间上的拓扑是紧密联系在一起的。为了从流形的一个n次覆盖空间来得到原流形，你只需把该覆盖空间来回折叠n次就可以了。同样地，从原 流形出发，你只需要割开它，制作n个复制品，然后把这n个复制品沿着割开的边界再粘起来（当然你得到的覆盖空间依赖于你在边界如何粘合的方式）。
一个覆盖空间保持了原流形的一些拓扑性质的同时，也忽略了某些其他的性质。比如这个无限的圆柱面就依然保持了环面上的闭曲线A是在覆盖空间上也是闭合的，但是它却忘记了闭曲线B在环面是闭合的。
图6：一个无限长的圆柱面通过无限次的缠绕环面来覆盖该环面。环面上的闭曲线A提升为圆柱面上无限多个红色的闭曲线。而闭曲线B在圆柱面上展开成为一条绿色的直线。环面上的点P提升为圆柱面上无限多个绿色的点。
刚才叙述的“解开”的过程正是Thurston所期望的一种方式能为给定的三维流形产生一个有限次的Haken的覆盖空间。正如我们前面讨论的，任意一个紧 致的双曲三维流形，我们没有理由期望它是Haken的（即包含一个嵌入的不可压缩的曲面）。但是，德国数学家Friedhelm Waldhausen于1968年猜测任意的这样的一个流形应该至少包含一个不可压缩的曲面，即使这个曲面可能自我相交而不是嵌入在这个流形中。
如果确实如此的话，Thurston进一步论证道：那么也许存在一个有限覆盖使得该曲面可以把自我相交的部分展开。有限覆盖常常可以做到这样的简化。例如， 图7中的三瓣花上的曲线绕着中心的空洞两次，因而不论你如何去拉伸或移动该曲线，你都不能阻止它自我相交。但是，当我们在它的覆盖空间六瓣花上从点P开始 把曲线绕开的话，最终得到的红色的曲线（数学家们称之为原曲线的提升）就只环绕中心一次，并且自我不相交。（有另外一个提升曲线即蓝色的曲线与红色的曲线相交于两个点，这两个点覆盖了三瓣花中的那个曲线交点。）
图7：三瓣花上绿色的闭曲线自我相交，但是它在六瓣花上的两个“提升”，即红色曲线和蓝色曲线，却都不自我相交（尽管他们彼此之间相交）。
在他1982年的论文中，Thurston猜测给定的任意一个三维的双曲流形，应该也可以做类似的解开从而在某个有限覆盖中产生出嵌入的曲面线。换言之，这样的三维流形应该是几乎Haken的。
一个Haken流形如前解释的是可以通过粘合一个多面体的边界来得到。几乎Haken猜想就因而意味着任意一个紧致的三维双曲流形可以首先恰当地粘合一个多面体，然后再把得到的流形折叠有限次来得到。
Thurston 进一步猜测了更强的结论可能存在：任意一个紧致的双曲流形可能是几乎纤维化的，也即它有一个有限覆盖是可以纤维化的。一个在“圆上纤维化”的流形是这样构 造得到的流形：首先把一个曲面”加厚“变成一个三维流形，然后再把它的两个边界曲面按照某种方式把他们光滑的点对点地粘合起来。（这样的粘合过程是一般不 可以在我们的三维空间中实现的，除非你允许最终粘合得到的流形某些部分自我相交。因此我们只能抽象地去研究它）。这个流形称为纤维化的，是因为当我们拉伸 加厚的曲面以使得两个边界曲面充分分开以致他们就要面对面一起要粘合的时候，那么你就可以想象到最后粘合得到的流形就像一个这样的手镯：在手镯的每一点处 都有一个无限薄的形似曲面的珠子，这些珠子就是所谓的纤维。
每一个纤维化的流形都是Haken的，但反过来却不是正确的。因此，几乎纤维化猜想的结论比几乎Haken猜想的结论更强，Thurston因此并不是很有把握它确实是正确的。 “这个看起来没把握的问题似乎还是很有可能是正确的”，他在1982年的论文中这样写道。
Thurston 提出几乎Haken猜想早期的目的是为了证明几何化猜想，当时他已经对Haken流形证明了几何化猜想。如果几乎Haken猜想是正确的，从而每个紧致流 形都有一个Haken的有限覆盖的话，Thurston希望能用这个有限覆盖上的几何结构来在原流形上赋予一个几何结构。
三十年后，尽管Perelman用不同的方法证明了几何化猜想，几乎Haken猜想和几何纤维化猜想却仍然悬而未决。这两个猜想和其他的两个相关猜想是 Thurston的23个问题中仅剩的未被解决的公开问题。Thurston和伊利诺伊大学厄巴纳香槟分校的Nathan Dunfield通过计算机分析了10,000多个双曲三维流形得到数据强有力地支持几乎Haken猜想的正确性：他们对于每一个流形都找到了一个 Haken的有限覆盖。但是计算机证据支持并不是数学上证明。
当Thurston提出该猜想时，几乎Haken猜想似乎是一个小问题，但它顽固地迟迟无法证明，反映出了我们对这个问题所知如此有限“， Minsky这样评价道。”事实上结果也证明了我们在这个方面是确实是如何的无知“。
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围 绕着几乎Haken猜想的迷雾在2009年开始逐渐散去。这一年, Markovic和那时在纽约州立石溪大学但现已到了布朗大学工作的Jeremy Kahn给出了证明通往几乎Haken猜想的进程中的关键的一步。他们证明的结果, 下文我们称之为的”不可压缩曲面定理”, 宣称每一个紧致的双曲三维流形中包含一个不可压缩曲面(即该曲面可能会自我相交而不是嵌入的)。
Kahn和Markovic给出的证明是一个很典型地成功利用了三维拓扑和几何的相互联系而完成的一个例子: 不可压缩曲面是一个纯粹的拓扑命题, 但是为了证明它, Kahn和Markovic却使用了大量双曲几何所能提供的结构和信息。
为了在三维流形中构造曲面, Kahn和Markovic使用了一个双曲几何的特性，称之为“指数级混合”。这意味着如果你从流形上一个任意小的邻域开始, 选择一个方向, 并且假设你的邻域开始沿着该方向顺流而下, 那么你的这个很小的邻域会逐渐地扩散和环绕该三维流形, 进而可以以任意的方向经过任意的一点。更进一步地, 这个邻域散开的过程是以指数增长级的速度进行的。
这样的混合性质是双曲三维流形所特有的, 它源于如下的事实: 和欧氏空间不同, 双曲空间中的两条直线或者换言之测地线会彼此迅速的分开。比如你在双曲圆盘中取一个很小的邻域, 然后让它沿着某个方向开始移动, 那么该移动的邻域会以指数级增长变大的。在一个紧致的三维流形中, 一个移动的邻域同样会指数级地增长, 但由于整个流形是有限的, 这个邻域最终会绕着该流形自我覆盖无限多次。更一步(尽管更难去证明)的事实是该邻域会均匀地围绕该流形, 也就是说会以大概相同的频率经过所有的地方。
这个”指数级混合”的性质在过去25年来已经被数学家们充分地研究清楚了, 并且相关的”测地流”的统计性质也已经被彻底的研究过: 即当该邻域移动时, 它会经过多长时间以怎样的频率经过某个特定点。但是直到Kahn和Markovic证明了不可压缩曲面定理, 数学家们一直都没有能成功地利用这个混合性质来在流形中来构造拓扑的结构。 (另一位数学家, 德州农工大学的Lewis Bowen在之前已经尝试利用指数级混合的性质来在三维流形中构造不可压缩曲面, 但是他的工作遇到了一些技术性的障碍而没有能成功。)
那么如何使用指数级混合的性质来构造拓扑和几何的结构呢, 让我们先看一个比构造曲面更简单的任务 : 构造一个闭测地线使得它的长度接近于我们事先所指定的一个充分大的数, 比如R。
为了构造这样的闭测地线, 我们在流形上取任意的初始点并在该点处选定一个任意的初始方向, 然后想象在该点处的一个小邻域内的有一个朝向该初始方向的水龙头, 打开其开关。这样水流将会沿着测地线的方向开始流动, 只要R足够大, 那么测地流的混合性将意味着当水流在移动R长度后, 水流将会均匀地散布到整个流形上。特别地是, 至少其中一个(事实上很多)水滴将会以初始的方向返回到初始点的位置。那么, 我们就可以在该水滴所移动的测地线的轨迹和初始点之间放连接起来, 这样就产生了一个非常接近测地线的闭曲线, 并且它的长度也十分接近于R。进一步不难证明，在流形上稍拉紧一点这个闭曲线, 我们就能得到一个完全测地的闭曲线。
事实上这个方法不仅仅构造了我们所要的长度接近于R的闭测地线。而且在刚才的过程中, 我们可以选取任意的点和初始方向, 因而许多水滴都将返回到该选定的初始点, 这样我们就得到了大量的闭的测地线。事实上，这是利用指数混合的性质去构建结构的一般性指导原则。
指数级混合意味着”只要你在流形上发现了一个结构, 你必将将会发现大量的这样的结构”, Calegari这样解释说。
Kahn和Markovic使用了类似于我们构造闭测地线的途径去构造了”一条裤子”， 这是一类拓扑等价于有3个洞（即一个腰口和两个裤脚口）的球面的曲面。一条裤子是构造除了球面和环面以外所有的紧致曲面的基本模块---比如, 如图8所示的粘合两条裤子就可以产生一个双环面。
图8: 上面是一条裤子。下图左边的上下两条裤子沿着边界粘合而成了右下角的一个双环面曲面。
任意给定的一个充分大的数R, Kahn和Markovic证明了可以在流形中构造大量的裤子使得他们的两个裤脚边和腰口边的长度是接近于R, 并且是近似于完全测地的闭曲线。从双曲几何的角度看, 这意味着这些裤子的裤脚边和腰口边是看起来很直的(译者注: 意思是说这些边从裤子上的双曲几何来看都是直线, 即测地线)。
他们也证明了一条裤子的每个开口处的对面都有另外一条裤子的存在。Kahn和Markovic通过匹配开口处两边对应的裤子, 从而构造了大量的紧致的曲面。 并且通过调整裤子上连接三个开口处的三条侧边, 他们可以使得这些曲面是几乎测地的。总所周知，几乎测地的曲面在所处的三维流形中是不可压缩的曲面, 因而Kahn和Markovic的构造就证明了不可压缩曲面的存在性。
他们的方法不仅证明了一个三维流形中包含一个不可压缩曲面, 而且”几乎所有点处都有大量的几乎测地曲面”, Calegari这样说。
Kahn和Markovic的工作为他们赢得了2012年度的克莱研究所奖, 该奖项是由克莱研究所每年颁发一次，授予那些做出重大的突破和研究进展的数学家们。
“Kahn和Markovic的方法和他们的结果一样引人瞩目, 也无疑会启发更多的进一步的研究”, 布朗大学的Jeffrey Brock在2011年末在一篇介绍关于Kahn和Markovic的工作的文章中这样预测道。
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隐藏的结构
对于试图证明几乎Haken猜想的数学家们来说, Kahn和Markovic的工作提供了一个出发点。
他们证明了每个流形保证含有一个不可压缩曲面。但是这样的曲面可能是自我交叉, 而不是嵌入的。如同前面六瓣花和三瓣花的例子一样, 为了从Kahn和Markovic的结果得到几乎Haken猜想, 数学家们需要找到一个原流形的有限覆盖空间使得不可压缩曲面可以提升为许多的不自我相交的曲面(尽管不同的提升可能会相交)。如果这样的覆盖空间可以找 到, 那么每一个提升将会是在该覆盖空间中是一个不可压缩的嵌入曲面。因而这意味着该覆盖是Haken的。
但是, 我们怎样才能确切地找到这样的覆盖呢?
“从Kahn和Markovic的结果到几乎Haken猜想之间有一个很大的缺口”, Dunfield说。”他们的发现尽管非常重要, 但在当时还不清楚他们的结果是否有助于寻找可嵌入的曲面”。
Kahn 和Markovic的工作引起了麦吉尔大学的Daniel Wise的注意。在某种意义下讲，Wise以前的职业生涯就是去弄清楚如何在有限覆盖空间上除去拓扑物体的自我相交性。他研究的对象是与三维流形看起来很 不相同的立方复形。但Kahn和Markovic的发现使得Wise可以来向其他数学家们证明这两个东西其实并不遥远。
一个立方复形顾名思义就是许多立方体组成的一个集合。当然这里的立方体不仅包含我们通常意义的三维立方体, 也包含任意维数的直角坐标系中所有坐标位于-1和+1的点构成的集合。比如说, 一个正方形是二维的立方体, 一条线段是一维的立方体。立方复形中的不同的立方体之间通过顶点, 边, 面或高维的面而相互连接。
立方复形有着非常不同于三维流形的结构---最基本的一点就是, 它们甚至都不是流形, 因为不同维数的立方体粘合处的部分与我们任意维数的空间都不一样。但是立方复形却提供了一个简化了的情境, 在这里我们可以研究在三维流形中的曲面的一个关键特征: 那就是曲面(至少局部地)把它周围的邻域一分为二。
图9：左边的正方形有两个中分面（红色和绿色的线）。一个立方体有三个中分面（红色，蓝色和绿色的正方形）
如果你研究的是那些把一个物体一分为二的对象, 那么从立方体出发就是一个很自然的选择, 因为在所有可能的形状中, 立方体中含有这样的最简单的例子: 从立方体中间一分为二的中分面。一个正方形有两个中分面, 分别是把正方形一分为二的竖向线段和横向线段。图9显示一个立方体有3个中分面。一个n维的立方体有n个中分面, 所有这些中分面相交于该立方体的中心点。
“中分面与三维流形中的曲面很相似, 但他们却比曲面更容易辨认出来”, Wise这样解释道。”寻找曲面是一般比较困难的, 但是你却可以从简单的中分面开始”。如果你从立方复形中的一个立方体中的某个中分面开始, 那么你就只有唯一的方式把该中分面延展到相邻的立方体中的中分面去; 同理, 这些中分面进而也只有唯一的方式继续延展到相邻的立方体中去。因此, 给定立方复形中的一个中分面, 我们有唯一的一种方式把它延展成为整个立方复形的中分面。
立方复形的中分面唯一扩展性使得它显著区别于三维流形, 因为三维流形中的曲面的一个小区域有大量不同的方式延展成为一个完整的曲面。立方复形和他们的中分面有很好的”刚性”, 而没有三维流形和其中的曲面的那种柔和的”不确定性”,&&Agol这样概括他们的特征。
图10：最右边的正方形的红色中分面唯一地延展成整个立方复形中的一个中分面。
当我们在立方复形中延拓一个中分面的时候, 这个中分面可能会延拓回到出发的立方体中, 并且要继续要延展的中分面与初始的中分面是相互正交的(如图11所示)。换句话说, 延展得到的中分面可能不是嵌入的。如同三维流形中的曲面一样, 我们也可以提出一个立方复形版本的几乎Haken的问题: 立方复形是否有一个有限的覆盖使得自我相交的中分面提升为嵌入的中分面。
几年前, Wise和法国巴黎南大学的Frédéric Haglund定义了一类具有很好的性质的”特殊“的 立方复形, 比如他们只能有含有嵌入的中分面等。在过去的10年里, Wise发展了一整套强有力的工具来弄清楚什么样的立方复形是特殊的。Wise于2009年向小范围的数学家们散发了一部200页长的论文， Dunfield用”经典之作”来形容它的重要性。在这篇论文中, Wise详细地描述了他关于特殊立方复形的大量发现。比如所谓的组合定理, 它是去描述如何粘合两个特殊的立方复形来得到一个新的立方复形, 并使得它是几乎特殊的。Wise在该论文中提出了如下的猜想: 大致上说, 任何的立方复形如果它的几何类似于双曲几何的话, 那么该立方复形就是几乎特殊的, 即存在一个有限覆盖是特殊的。这个命题被称之为Wise猜想。
图11：当我们在左上角的正方形中延展红色的水平中分面通过其他正方形时，你就会看到它最后会返回到左上角的正方形中而自我相交。
Wise确信如果一个物体与立方体有某种相似的话, 或者准确说是可以被”立方复形化”的话, 那么对应的立方复形的结构将会解开原来物体的许多性质。
“立方复形过去一直是一个人们从没想要去探寻的秘密”, 他说。”现在立方复形结构已经成为了一个基本的隐藏在事物中的本质结构”。
“立方体”支架
Wise在变得疯狂地迷恋于立方复形化各种物体时, 他的数学家朋友开始还讥笑他的这种偏执。
在 Kahn和Markovic证明了不可压缩曲面定理后, Wise和Bergeron立即发表了一篇论文证明了紧致三维流形中不可压缩曲面的存在性提供了一个方式去立方复形化该三维流形。而且他们证明了三维流形 中的这些不可压缩曲面与所对应的立方复形中的中分面是一一对应的。
Wise 和Bergeron构造的关键一步是利用由Kahn和Markovic的方法不仅产生一个而是数量众多的曲面这一事实。利用以色列海法大学的Michah Sageev于2003年(译者注: 此处原文有误, 应是1995年)提出的先驱性的立方复形化的工作,&&Wise和Bergeron从大量的Kahn-Markovic的曲面出发去把三维流形分割成一个个紧的多面体, 从而立方复形化了该三维流形。
现在我们来考虑这些曲面相交处的某一点, 不妨假设有n个曲面交于这一点。 Sageev观察到我们可以将该交点看做是一个立方体的n个中分面交点的投影。因此与该三维流形相应的立方复形就可以通过在每n个曲面相交的一点处放置一 个n维的立方体(实际上的构造要更微妙一些, 从而来处理各种的拓扑的难点)。立方复形中的两个立方体是相邻的当且仅当在三维流形中他们对应的曲面交点由一个多面体的面而相彼此关联。
“立方复形因而准确地记录了曲面自身和与其他曲面的相交关系”, Dunfield这样解释说。
Wise 和Bergeron证明了该立方复形是同伦等价于原拓扑流形, 这意味着该立方复形可以通过压扁和拉伸来减小和增加维数从而最终把立方复形转化成为原流形; 该过程反之亦成立。进一步地, 这个同伦等价也把三维流形中的曲面转化成为了立方复形中的一个对应的同伦等价的中分面。
如此构造的立方复形满足了Wise猜想的几何条件, 即如果Wise的猜想是正确的, 那么刚才构造的立方复形就有一个有限的覆盖使得其中的所有的中分面都是嵌入的。
假设这样的有限覆盖确实存在, 不妨说是一个m次的有限覆盖。这样的覆盖空间是先把立方复形以某种方式割开, 制作m个复制品, 然后把这些复制品再沿着割开的边界分别粘合起来而形成的。不难证明如下事实: 前面为双曲流形构造的立方复形的一个有限覆盖也会导致原三维流形的一个有限覆盖。这样在该三维流形的有限覆盖上, 曾用来构造立方复形的Kahn-Markovic曲面也就因而会提升为嵌入的曲面。简言之, 如果Wise的猜想是正确的, 那么几乎Haken猜想也将是正确的。
“这个交易是奇怪的: 你的立方复形可能是很庞大的, 比如有10000维, 因而在某个层面上, 你似乎把事情弄的更加糟糕”, Wise说。”但是尽管立方复形是如此庞大, 但是它的许多特征却是非常容易理解的。因此这个交易是值得的。与三维流形相比, 我们更喜欢一些虽然庞大但是组织良好的事物。”
尽管Wise和Bergeron成功地把立方复形和三维流形联系了起来, 大多数的三维拓扑学家们仍然对立方复形保持着距离。或许这是由于Wise的200页的论文令人畏缩, 或许由于立方复形是如此不同于他们已经习惯了的空间。
“这些想法对于熟悉双曲几何的人们却是很难理解的”, Bergeron这样说。但是有一位数学家即精通三维拓扑, 也同样游刃有余于使用抽象而组合的思考问题的方式---这些正是Wise的方法的重点所在。
“我认为Agol是唯一的很早意识到Wise的想法对于三维拓扑研究有着重要意义的三维拓扑学家”, Bergeron这样回顾。
Agol一头扎进Wise的经典之作, 并最终相信Wise的论文中所有支持Wise猜想的部分都是正确的。此前, Agol已经对几乎Haken猜想研究过了一段时间。他意识到Wise的方法, 把柔和的曲面转化成刚性的横截面, 正是他所需要的。
“立方复形提供了一个支脚架去构造所需要的有限覆盖”, 他说。为了建立一个Wise-Bergeron的立方复形的有限覆盖, Agol首先抽象地沿着横截面把该立方复形切割成了众多的积木块。然后他在这些积木块的面上指定了一种颜色, 并满足任何相交于一个顶点处的两个面有不同的颜色。接下来, Agol证明了如下结论: 大致上说, 存在一种方式把有限个积木块沿着相同颜色的面粘合起来, 同时保证这些面的两边的颜色也相同; 这样的话, 每一个延展得到的中分面就只有一种颜色。这样得到的立方复形是原来的立方复形的有限覆盖, 并且所有的中分面都是嵌入的, 因为任两个相交的中分面不同的颜色, 因而每一个中分面就不能自我相交。
在3月12日, Agol宣布了他已经证明了Wise的猜想, 因而也证明了几乎Haken猜想。
“这无疑是自从Perelman证明了几何化猜想以来最令人兴奋的消息”, Dunfield这样说。
这个消息在三维拓扑界不胫而走, 立方复形也忽然成为三维拓扑学家们谈论的一个共同话题。
“直到目前, 我仍然怀疑数学界是否充分认识到Wise工作的巨大威力”, Agol这样说道。”我认为我的结果会促使人们注意到他所做的突破性工作”。
Wise说数学家们现在正逐渐认识到这样的一个事实：”一旦你立方复形化了一个物体, 你将会解开该物体结构上的各种秘密”。
一个时代的终结
Agol 证明了Wise猜想事实是一石四鸟的: 它不仅证明了几乎Haken猜想, 也同时证明了Thurston的23个公开问题中其他三个长期未解决的问题。在他的出证明之前, 他和数学家们就已经证明了所有这三个问题---几乎纤维化猜想和另外两个三维双曲流形上更技术化的问题---都是Wise猜想的结论。
对于几乎纤维化猜想, 目的是去证明每个紧致的双曲三维流形有一个有限覆盖是在圆圈上纤维化的, 即该覆盖是通过粘合一个加厚的曲面的两端而成的。我们知道几乎Haken定理是说三维流形有一个Haken的有限覆盖---就是说, 该覆盖包含有一个嵌入的不可压缩曲面。如果你沿着该曲面割开这个Haken覆盖, 你将会得到一个看起来像加厚的曲面的东西, 但是其中蕴含的拓扑特征却是不明朗的。
Ian Agol最近在韩国的大田 (图片: Sang-Hyun Kim)
在2008年, Agol证明了一个双曲三维流形如果满足一个技术性条件, 那么它就是几乎纤维化的。 Calegari认为这项工作是一个突破性的进展。接下来的一年, Wise基于这一结果证明了所有的Haken流形是几乎纤维化的; 即存在一种方式去解开一个Haken流形来得到一个有限覆盖, 从而简化了复杂的拓扑性质, 得到一个简单的可纤维化的流形。因此, 如果一个流形是几乎Haken的, 那么它就必然是几乎纤维化的。
“我认为几乎所有的人都相信几乎Haken猜想应该是对的, 但是几乎纤维化猜想却似乎是不太可能被证明的”, Calegari这样说。”对于我, 从几乎Haken猜想得到几乎纤维化猜想是整个故事中最精彩激动人心的部分”。
证明了几乎纤维化猜想可能会促使“你认为三维流形是非常简单的, 因为在圆上纤维化的流形是简单的”, Minsky说。”但是我认为在圆上纤维化的流形从根本上并不简单---他们远比我们以前想象的微妙”。
即使这样, 几乎纤维化定理的确给出了一个简单又有指导性的一个程序去生成所有紧致的双曲三维流形: 首先拿一个加厚的曲面, 然后选择一种扭转方式去粘合里面的边界和外面的边界, 最后再折叠有限次。
“假设你想要一个双曲的三维流形, 我就会具体问你你想要什么类型的: 即什么样的扭转方式和折叠几次?”, Calegari这样说。”我们现在知道了通过这种方式我们将不会漏掉任何一个三维流形。”
尽管还是需要一段时间去彻底地检查Agol的证明, 但是大多数人还是很乐观地相信他的证明会经得住考验的。
“Ian Agol可不是一个等闲之辈”, Minsky如是说。
在Thurston的最后的问题还没有完全落下帷幕之际, 研究者们现在已经开始问后Thurston时代的三维拓扑领域将会如何。
数学家们一致认为他们将需要花很多的时间来弄清楚Wise的立方复形如何帮助其他的可立方复形化的物体的研究。但对于三维流形自身而言, 数学家们已经走到了一个时代的终结, Agol这样说, 当然同时这也是一个新的时代的开始。
“大多数的数学领域并没有一个宏大的纲领去指引一个领域的研究工作达二十年或三十年之久, 正如我们经历过的”, 他说。现在, 三维拓扑和几何可能变得和其他领域一样, 在没有一个宏观的指导性纲领下数学家们摸索着前进, 一样不断地取得研究进展。
“新一代的数学家们将会弄清楚接下来什么是重要的研究问题”, Agol说。
【全篇完】
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