1.均匀介质内部的极化电荷体密度与自由电荷体密度的关系,并证明._百度作业帮
1.均匀介质内部的极化电荷体密度与自由电荷体密度的关系,并证明.
首先,不知楼主是哪里找来的错题!其次,楼主请参看知名大学物理教材：《新概念物理教程电磁学》第二版 （作者：赵凯华 陈熙谋） （225页第二段第二行：介质表面上也会出现类似图4-2所示的正负电荷.我们把这种现象叫做电介质的极化（polarization）,它表面上出现的这种电荷叫做极化电荷.）因此介质内部是没有极化电荷的,极化电荷只出现在表面,所以 质内部的极化电荷体密度是0.一个为0的量不存在与其它量产生关系的条件.出这个题的人估计没学过大学物理之电磁学,或者,这个出题人读大学时根本不读书,否则怎会连极化电荷的定义这么基本的问题都不知道.还有一种可能是：楼主手上的教材没选好.有电介质时的高斯定理 - 脱氧核糖的主页
有电介质时的高斯定理
外电场&E0&极化强度&P&极化电荷σ&e&'
总电场&E&附加场E'
外电场E0&的作用
下，电介质发生极化
极化强度P&和电介
质的形状，决定极
化电荷σ&e&'的分布
σ&e&'&的分
从而影响了电介质
内部的总电场E
又反过来影响
了极化强度P
P,&σ&e&',&E'和E间的关联
电位移&D&的高斯定理的积分形式
电介质存在时，高斯定理也成立
计算总电场E&的电场通量时，应计及高斯面内所包含的自
由电荷q0和极化电荷q&'&∫∫&⋅&=&Σ&+
d&1&(&')
0&乘上式两边，与下式相加∫∫&⋅&=&−Σ
消去极化电荷Σq'
∫∫&⋅&=&Σ
ε&E&P&S&q&?&∫∫&⋅&=&Σ
任意闭合曲面的电位移通量或电通量，等于该闭合曲面所
包围的自由电荷的代数和，这是有电介质时的高斯定理
麦克斯韦方程组的第一个方程，是电磁学的基本规律之一
在国际单位制中，电位移D&的单位是C&/&m2
引进辅助性的物理量
电位移或电通密度
D&=ε&0E&+&P
D&的高斯定理的微分形式
∫∫&⋅&=&Σ
?&有电介质时，高斯定理的微分形式
∇⋅D&=ρ0
是自由电荷的体密度
各向同性、线性电介质的电位移
P&=χ&eε&0E
D&=ε&0E&+&P
?&D&=ε&0E&+&P&=ε&0E&+χ&eε&0E&=&(1+χ&e)ε&0E
0&E&成比例
ε&r&=1+χ&e
?&ε&=&(1+χ&e)ε&0&=ε&rε&0
?&D&=&(1+χ&e)ε&0E&ε&ε&E&=ε&E&r&0&=
常量ε&与ε
0&同量纲，称为电容率(permitivity)或介电常量
(dielectric&constant)
无量纲常量&ε
r，称为相对电容率或相对介电常量
真空中，ε&r&=1,&ε&=ε&0
称为真空电容率或真空介电常量
有电介质时，利用高斯定理和介质方程式计算静电场
∫∫&⋅&=&Σ
D&S&q&和&D&=ε&rε&0E&=ε&E
可以使电介质存在时的计算，大为简化
点电荷&q0&周围，充满相对电容率为ε&r的电介质时，以q0
为中心，取半径r&作球形高斯面S
D&的高斯定理：&0
∫∫&D⋅&S&=&π&=
介质方程式&：D&E&r&0&=&ε&ε
ε&ε&ε&ε&ε
有电介质时，点电荷q0&在周围介质内的静电场，是不存在
电介质时的静电场的&(1/&ε
在电场&E0&分布的空间内，充满均匀电介质，介电常数为ε
时，或者均匀介质的表面，正好是等势面时
r&0&0&0&D&=ε&ε&E&=ε&E&=ε&E
D&=ε&E&E&=&E
ε&=&(1+χ&e)ε&0&=ε&rε&0，E0是自由电荷所产生的电场
电介质的屏蔽作用
电介质的存在，会使场强减小，因为点电荷&q0，被一层电
性相反的极化电荷包围，q0&所产生的电场，被抵消了一部
分，这是极化电荷对自由电荷q0&起了一定的屏蔽作用
电容器中充满均匀介质时，在极板电荷不变的情况下，将
使其中的场强减小，使两极板间的电势差降低，从而使其
电容增大，电容C增大为真空时电容C0的ε&r倍，C&=ε&rC0，
[例题9.&3&]
平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其中平行放置电
介质，厚度为δ&，相对电容率为&ε
r，介质两边都是相对电
容率为1&的空气，电容器两极板，接电势差为U&的恒压电
源，若忽略平行板电容器的边缘效应，试求两极板间的电
位移D&和场强E&的分布，并求出极板上的电量Q&和电容C
作柱形高斯面，ΔS1在金属极板内，ΔS2&在两极板间，通过
利用有电介质时的高斯定理
∫∫D⋅&S&=DΔS&=&Q&Δ&，
在金属内E&=&0，D=0
间隙中的场强&由&0E0
D&=&Q&=ε&--&
平行板电容器
有电位移通量的是ΔS2处，&包围在此高斯面内的自由电荷
为Δq0&=σ&e0ΔS&=&S
Q&Δ&，&ΔS&=ΔS2
由此可得，电介质中的场强S
1&ε&ε&ε&ε
两极板间的电势差为
=&δ&+&−δ&=&d&−&+
=&−&−
电容器极板间的电势差&U&已给定，由上式可得
=&0&[1−&(&r&−1)]−
利用&C0&=ε&0S&/&d，可得
−&−
−δ&ε&−
各向异性、线性电介质,P&与E&的方向不同
需用极化率张量来描述两者间的关系
铁电体、永电体和压电体
永电体或驻极体
极化强度不随外场的撤除而消失，与永磁体的性质有些类
似，如石蜡等
P&和E&间的关系非线性，有与铁磁体磁滞效应类似的电滞
效应,如酒石酸钾钠和钛酸钡等
外力作用而发生形变时，极化强度会变化，从而在表面上
产生极化电荷，这种现象称为压电效应
利用石英单晶的压电效应，可以制成以其固有频率稳定振
荡的振荡器，扫描隧道显微镜还巧妙地利用了压电效应的
逆效应，电致伸缩效应
电介质的击穿
强电场中，不导电的电介质，绝缘性会遭到破坏，称为电
介质的击穿，电介质材料，能承受的最大场强，称为击穿
场强或介电强度。
表&9&-&2&电介质的相对电容率和击穿场强
电介质&相对电容率&ε&r&击穿场强
/(&kV⋅mm−1&)
空气&(&0&°C,&100
1.&000&54&3
空气&(&0&°C,&10
水&(&0&°C&)&87.&9
水&(&20&°C&)&80.&2
水&(&30&°C&)&76.&6
变压器油4.&5&14
聚四氟乙烯2.&0&35
氧化钽11.&6&15
二氧化钛100&6
云母3.&7&~&7.&5&80&~&200
瓷5.&7&~&6.&8&6&~&20
电木5&~&7.&6&10&~&20
玻璃5&~&10&10&~&25
钛酸钡103&~&104&3
§9&-&3&静电场的能量
带电体系的静电能
将带电体系中的电荷，分割为无限多个小部分，彼此分散
在相距无穷远的地方，通常规定，处于这种状态下的静电
(&1&)&点电荷间的相互作用能
相距&r12&的两个点电荷q1&和q2，组成一带电体系
建立两点电荷体系的两种方式
①先把点电荷&q1，由无穷远处搬到P1&上，再把另一个点电
荷q2，由无穷远处，搬到P2&上，与q1&相距r12
搬动&q2&时，需抵抗q1&的电场力，F21&=&q2&E1&作功
21&2&1&2&21
2&2&A'&d&q&d&q&V&P&P&=&−&∫&⋅&=&−&∫&⋅&=&∞&∞
21&1&2&1&4
=&=&−∫∞&⋅&=&E&l
是&q1&在P2&点产生的电势
两点电荷体系
带电体系的静电能&We&，等于把分散的各部分电荷，从无
穷远处聚集成现有带电体系时，抵抗静电力所作的功A'
②&先把&q2&搬到P2&上，再把q1&由无穷远搬到P1&处
需抵抗电场力F12&=&q1E2作功，A'&=&q1V12
12&2&1&2&4
=&=&−&∫&⋅&=&∞
是&q2&在P1&点产生的电势
上述两种过程所得的结果是一致的
A'&=&q2V21&=&q1V12
将两个点电荷，从无穷远处移到指定位置所作的功
等于这两点电荷间的相互作用能&Wint
'&1&21&Wint&=&A&=&q1V12+q2V
由&N&个点电荷q1,&q2,L,&qN组成的系统
把这些点电荷，依次由无穷远处搬运到P1,&P2,L,&PN来
该点电荷系的静电相互作用能&Wint
等于建立这个带电体系的总功A'
iV&q&W&Σ=
Vi&表示除qi外，其余各点电荷在Pi处产生的电势
[例题9.&4&]
正负电荷体系的静电能
氯化钠是离子晶体，由正离子Na+和负离子Cl−组成，分别
带电+e&和−e，计算离子间的相互作用能时，可以近似地看
成是电荷集中在球心的点电荷
氯化钠晶体中，正负离子相间地排列成整齐的立方点阵，
相邻的最近距离为a，每种离子的总数为N，求该晶体的
静电相互作用能
宏观晶体所包含的原子或离子数，至少为N&≈1020的数量
级，想从中找出所有的配对是不可能的，这里采用一种简
化的计算方法，先计算单个离子，与其他离子间的相互作
用能，然后乘以离子总数，再除以2
氯化钠晶体
假定立方体中心是正离子，与其他离子间的相互作用能是
int&−&+&−&+L
第一项来自&6&个最近的负离子，距离中心为a
第二项来自&12&个最近的正离子，距离中心2a
第三项来自大立方体&8&个顶点上的负离子，距离中心3a
越远的离子对&+
Wint的贡献越小，且各项正负相间，这个近
乎无穷级数是收敛的，其数值计算的结果为
+&=&−
单个负离子与所有其他离子的相互作用能&−
所以晶体的总静电相互作用能为
=&+&+&−&=&in+t&int&(&int&int&)
W&1&N&W&W&NW
Wint&&0表明Wint&是晶体的静电结合能
上述计算，不适用于靠近晶体边界面的离子，因为这些离
子的一侧，没有另一侧那样多的“邻居”，对于宏观晶体来
说，这种离子的数目，只占离子总数的小部分，计算静电
结合能时，可以忽略它的影响
实际上，上述计算结果，比晶体实际结合能大&10&%左右
误差主要来源，是把离子看成点电荷，以及未计及量子交
换效应的缘故。
(&2&)&电荷连续分布的静电能
连续分布的体电荷密度为ρ&e，把带电体分割成许多体积元
iV&q&W&Σ=
在&0&→&Δ&i
的极限下=&∫∫∫ρ&dτ
对于面电荷连续分布情形W&=&∫∫&V&dS
对于线电荷连续分布情形W&=&∫&V&dl
若干个带电体组成的带电体系，总静电能We，是每个带电
体的自能，和各个带电体间的相互作用能组成的
每个带电体本身的自能，是把各部分电荷，聚集起来时作
带电体间的相互作用能，从无穷远处移到当前位置所作的
(&3&)&电荷在外电场中的能量
电荷&q&在外电场中P&点的电势能W(P)&=&qV&(P)
(&4&)&电容器储能
电容器充电过程中，能量转化为电容器中储存的电能，假
设极板上的带电量为q，两极板间的电压为u，电源把电荷
−dq，从正极板搬到负极板所作的功，等于电势能的增加
(−&dq&u&)&−&(−&dq&u&)&=&dq&(u&−&u&)&=&u&dq&−&+&+&−
电源所作的功，全部转化成电容器储存的电能
=&∫&=&∫Q&Q&q
W&u&q&q&e&0&d&0&d&CU&QU
U&是充电完毕时，电容器两极板间的电压
Q&是这时电容器上，每一极板所带电量的绝对值
若电容器中有电介质存在，则式中的&Q&可用Q0&代替
表示极板上所带自由电荷的量值
电容器充电
电场的能量和能量密度
电荷必定同时产生相伴的电场，电场可以脱离电荷而传播
电能是定域在电场中的，有必要把电能以场强E&表示出来
理想平行板电容器
面积&S&的极板上，自由电荷为Q0，两极板间的电压为U
电场所占空间的体积为&V&=&S&d
平行板电容器中&D&=σ&e0&=&Q0&/S
电容器所储存的能量为&W&Q&U&DESd&DEV
?&电场的电能密度&DE
1．电场不均匀时，电场总电能W&w&V&dV
e&∫∫∫&ed&∫∫∫&=&=&D⋅E
2．真空中，D=ε&0E&?
3．各向同性的线性电介质中，
D&=ε&rε&0E&?
w&=&1ε&ε&E
上式包含了电介质的极化能
4．各向异性电介质中，一般D&与E&不同方向
必须采用普遍的表达式&e&w&=&D⋅E
[例题9.&5&]
计算真空中均匀带电球体的静电能，设球的半径为R，带
均匀带电球体所产生的电场，
解法一：计算定域在电场中的能量
（理想情况，只考虑空间电荷分布，不用考虑介质的电极
利用&W&w&V&dV
e&∫∫∫&ed&∫∫∫&=&=&D⋅E&，可得静电能为，
W&=&∫∫∫&E&dV
R&Qr&2&)&4&d
40&ε&8πε
解法二：计算带电体系的静电能
把带电球体分割成半径从零逐渐增加到&R&的薄球壳，厚度
为dr，累加这些球壳所消耗的能量，等于带电球体的总静
电能=&∫∫∫ρ&dτ
带电球体的体电荷密度为&)
ρ&e&=&Q&πR
半径为&r&的带电球体总电量为，
q&=ρ&πr&=&Qr
表面的电势为，
增加一个新的球壳，带电球的半径增加&dr
电量的增加为&r
dq&3Qr&d&3
把该球壳累加在半径为&r&的带电球上，所需作的元功为
'&d&3&r&W
A&V&q&Q&r&=
所以，半径为&R&的带电球体的静电能为
W&V&q&Q&r&Q&R
习题共&3&题：&8，10，14。&静电场中的电介质静电场,静电场朔,静电场习题,静电场复习
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第九章 静电场中的导体和电介质
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