二元一次方程组_百度百科
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二元一次方程组是指含有两个，并且所含未知数的项的都是1的方程组。把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。每个方程可化简为ax+by=c(ab不等于0)的形式。适用范围数学计算答案形式三种
把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个方程含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：含有两个相同未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的其中一个解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解。
【课标要求】
知识与技能目标
二元一次方程组
了解二元一次方程（组）及解的定义
　　　熟练掌握用代入法和加减法解二元一次方程组的方法并能灵活运用
能正确列出二元一次方程组解应用题
【知识梳理】
1．二元一次方程（组）及解的应用：注意:方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。
2．解二元一次方程组：解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，
3．二元一次方程组的应用：列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。1）
用代入消元法的一般步骤是：
1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；
2.将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；
3.解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；
4.将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；
5。把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组 ：x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③
把③代入②，得6(5-y)+13y=89
把y=59/7代入③，得x=5-59/7
∴ x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；
②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
用加减消元法解方程组的的第一种方法
例：解方程组：
解： ①+②
得： 2x=14
把x=7代入①
得： 7+y=9
∴方程组的解是:x=7
用加减消元法解方程组的的第二种方法
例：解方程组：
解： ①+②
得： 2x=14
∴方程组的解是:x=7
利用的性质使方程组中两个方程中的某一个前的的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解，再代入方程组的其中一个方程。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction），简称加减法。例2，（x+5)+(y-4)=8
（x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。例3，x:y=1:4
令x=t,y=4t
方程2可写为：5t+6*4t=29
所以x=1,y=4
二元一次方程组推导过程：
在最后式中只有一个y未知数，求出y值(y=?)，再代入a1x+b1y=k1;求出X。
y=(2-3/4*0)/(1-3/4*2)=2/(-1/2)=-4
3x-4=2或4x-8=0 x=2
推导简易方程：
方程=0；未知数0；1二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。今有一二元一次方程组 ~~~①
设矩阵 ，向量 和 ，根据矩阵和向量的乘积定义，再对比方程组可知有以下关系：
我们把②称作方程组①的矩阵形式
而矩阵A可看做是一次线性变换p，即把向量 按照线性变换p变换之后得到向量 。因此解方程的过程可看做是寻找一个向量 ，使它经过线性变换p之后得到 。因为这是寻找一个向量的过程，所以又可以称之为解向量。
从直观上来理解上面那句话。例如把一个向量a逆时针旋转30°得到一个新的向量b，那么把b顺时针旋转30°之后，一定可以得到a。再比如把一个向量a的横纵坐标都扩大n倍之后得到向量b，那么把b的横纵坐标都缩小n倍之后，一定也可以得到a。因此，在已知b以及线性变换关系的情况下求出的a就是方程的解。
矩阵A和它的逆矩阵 对应的线性变换互逆，所以解向量的过程相当于是寻找矩阵 的逆矩阵。而根据矩阵的性质，一个矩阵 有逆矩阵的充要条件是二阶行列式 =ad-bc≠0.所以，方程组有解的充要条件就是ad-bc≠0.
根据逆矩阵的求法， 的逆矩阵为
即方程组的解为
该方法亦可作为二元一次方程组的求根公式。（前提是ad-bc≠0！）
例题：用解向量法解二元一次方程组
此题中，a=3，b=1，c=4，d=2，e=2，f=0，ad-bc=3*2-1*4=2≠0
∴方程组有解，解为
x=(de-bf)/(ad-bc)=(2*2-1*0)/2=2
y=(af-ce)/(ad-bc)=(3*0-4*2)/2=-4一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：如方程组x+y=5①
6x+13y=89②
y=59/7 为方程组的解如方程组x+y=6①
2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。如方程组x+y=4①
2x+2y=10②，
因为方程②化简后为
这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：
当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。注意
二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！不止限制于一种。
也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
重点：一元一次、，二元一次方程组的解法；方程的有关（特别是行程、工程问题）
依据—等式性质
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c&0)
列方程（组）解应用题
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系
1． 行程问题（匀速运动）
基本关系：s=vt
⑴相遇问题（同时出发）；
⑵追及问题（同时出发）；
若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行；
2． 配料问题：溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
3．增长率问题
4．工程问题
基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。
5．几何问题
常用勾股定理，几何体的面积、，相似形及有关比例性质等。
三注意语言与解析式的互化：
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……
又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
四注意从语言叙述中写出相等关系：
如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单位换算
如，“小时”“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。与一元二次方程的区别
1．定义及一般形式：
2．解法：⑴（注意特征）
⑵配方法（注意—推倒求根公式）
⑶公式法：
⑷因式分解法（特征：左边=0）
4．根与系数顶的关系：
逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。
5．常用等式：
⑵基本思想：
⑶基本解法：
①乘方法（注意技巧！！）
②换元法（例， ）
⑷验根及方法：1．二元一次方程（组）及解的应用：注意：方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。
2．解二元一次方程组：解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，转化思想和整体思想也是本章考查重点。
3．二元一次方程组的应用：列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。某水库计划向甲.乙两地送水，甲地需水180万立方米，乙地需水120万立方米，现已经送了两次，第一次往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水84万立方米；第二次往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81万立方米。若按这样的进度送水，问：完成往甲.乙两地送水任务还各需多少天？　　设住甲,乙送水的速度分别为X和Y　　3X+2Y=84　　2X+3Y=81 解得X=18 Y=15　　甲地还要180/18-5=5天 乙地还要120/15-5=3天
2.一学生问老师：“您今年多大年龄？”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大的时
候，我已经37岁了。”请问这位老师和学生的年龄各多少岁？ 　　老师和学生的年龄各X,Y岁　　X-Y=Y-1 　　X+X-Y=37 解得X=25 Y=13
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一元二次方程应用题(含答案)
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3秒自动关闭窗口怎么解一元二次方程_百度知道
怎么解一元二次方程
详细的解法
提问者采纳
一般解法1.配方法　　（可解全部一元二次方程）　　如：解方程：x^2+2x－3=0　　解：把常数项移项得：x^2+2x=3　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4　　因式分解得：（x+1)^2=4　　解得：x1=-3,x2=1　　用配方法解一元二次方程小口诀　　二次系数化为一　　常数要往右边移　　一次系数一半方　　两边加上最相当2.公式法　　（可解全部一元二次方程）　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根　　1.当Δ=b^2-4ac&0时 x无实数根（初中）　　2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2　　3.当Δ=b^2-4ac&0时 x有两个不相同的实数根　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a　　来求得方程的根3.因式分解法　　（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。　　如：解方程：x^2+2x+1=0　　解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0　　解得：x1=x2=-14.直接开平方法　　（可解部分一元二次方程）5.代数法　　（可解全部一元二次方程）　　ax^2+bx+c=0　　同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0　　设：x=y-b/2　　方程就变成穿罚扁核壮姑憋太铂咖：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0　　再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c] 来自团队 新兰史海 希望对您有帮助！
提问者评价
5(x-3)²+x=3
5(x-3)²+(x-3)=0
提取公因式
(x-3)[5(x-3)+1]=0
(x-3)(5x-14)=0
x-3=0或5x-14=0
x1=3 , x2=14/5
x²+(1/6)x-(1/3)=0
x²+(1/6)x=1/3
x²+(1/6)x+(1/12)²=1/3+(1/12)²
[x+(1/12)]²=49/144
x+(1/12)=±√(49/144)
x+(1/12)=±7/12
x+(1/12)=7/12 或
x+(1/12)=-7/12
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1.配方法　　（可解全部一元二次方程）　　如：解方程：x^2+2x－3=0　　解：把常数项移项得：x^2+2x=3　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4　　因式分解得：（x+1)^2=4　　解得：x1=-3,x2=1　　用配方法解一元二次方程小口诀　　二次系数化为一　　常数要往右边移　　一次系数一半方　　两边加上最相当2.公式法　　（可解全部一元二次方程）　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根　　1.当Δ=b^2-4ac&0时 x无实数根（初中）　　2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2　　3.当Δ=b^2-4ac&0时 x有两个不相同的实数根　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a　　来求得方程的根3.因式分解法　　（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。　　如：解方程：x^2+2x+1=0　　解：穿罚扁核壮姑憋太铂咖利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0　　解得：x1=x2=-14.直接开平方法　　（可解部分一元二次方程）5.代数法　　（可解全部一元二次方程）　　ax^2+bx+c=0　　同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0　　设：x=y-b/2　　方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X错__应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0　　再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0 y=±√[(b^2*3)/4+c] X ____y=±√[(b^2)/4+c]
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出门在外也不愁用公式法解一元二次方程
当前位置：>>>>>>>>>>
（1）会用公式法解一元二次方程；
（2）经历求根公式的发现和探究过程，提高学生观察能力、分析能力以及逻辑思维能力；
（3）渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美.
　　教学重点
知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程;
能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法.
　　教学难点:求根公式的推导.
　　总体设计思路:
以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维.
　　教学过程
整体教学流程：形成表象,提出问题　　　& 分析问题,探究本质
得出结论,解决问题&&&&&&& 拓展应用,升华提高
归纳小结,布置作业.
　　形成表象,提出问题
在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.
　　解下列一元二次方程:(学生选两题做)
(1)x2+4x+2=0 ;&&&&&&&&&&&&& (2)3x2-6x+1=0;&
(3)4x2-16x+17=0 ;&&&&&&&&&& (4)3x2+4x+7=0.
然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?
接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:（学生不做,思考其解题过程）
(1)3x2+4x+2=0;&&&&&&&&&&&&&& (2)3x2-2x+1=0;&
(3)4x2-16x-3=0 ;&&&&&&&&&&&& (4)3x2+x+7=0.
　　思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?
　　设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;
2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望.
　　分析问题,探究本质
由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.
进而提出下面的问题:
既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?
让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.
ax2+bx+c=0(a≠0)&&&&&&&&&&&&&& 注:根据学生学习程度的不同,可
ax2+bx=-c&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 以采用学生独立尝试配方, 合
x2+x=-&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 作尝试配方或教师引导下进行
x2+x+=-+&&&&&&&&&&& 配方等各种教学形式.
然后再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b2-4ac”的重要性.
当b2-4ac≥0时，
(x+)2=&&&&&&& 注:这样变形可以避免对a正、负的讨论,
x+=&&&&&&&&& &便于学生的理解.
x1=&& ,& x2=
当b2-4ac&0时，
方程无实数根.
　　设计意图:让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维.
　　得出结论,解决问题
由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定. 当b2-4ac≥0时，
当b2-4ac&0时，方程无实数根.
这个式子对解题有什么帮助?通过讨论加深对式子的理解,同时让学生进一步感受到数学的简洁美、和谐美.
进而阐述这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.
运用公式法解一元二次方程.(设计两个环节:共同练习和独立完成)
[共同练习]
(1)2x2-x-1=0;&&&&&&&&&& &&&&(2)4x2-3x+2=0 ;
(3)x2+15x=-3x;&&&&&&&&&&&&& (4)x2-x+=0.
此环节的设计意图:进一步阐述求根公式,归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.
[独立完成]
用公式法解一元二次方程:
(1)x2+x-6=0;&&&&& (2)x2-x-=0;&&&&&&&& (3)3x2-6x-2=0;
(4)4x2-6x=0;&&&&& (5)x2+4x+8=4x+11;&&&&&&& (6)x(2x-4)=5-8x.
此环节的设计意图:能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获.
　　拓展运用，升华提高
分两个环节：用一用和想一想(此环节基于学生课堂掌握的情况而定,可作为课后思考题).
解决本章引言中的问题:
要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?
　　　　　　　　
雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:
&& 即BC2=2AC.
设雕像下部高xm,于是得方程
& x2=2(2-x)
整理得:x2+2x-4=0.
解这个方程,得
x1=-1+,x2=-1-.
精确到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236.
考虑实际意义, x≈1.236.所以雕像下部高度应设计约为1.236m.
　　在前面的基础上进一步提问: (结合学生的实际情况,可以放在课后思考.)
(1)如果雕像的高度设计为3m,那雕像的下部应是多少?4m呢?
(2)进而把问题一般化,这个高度比是多少?
之后简单介绍黄金分割数,使学生感受到数学的奥妙.
此环节的设计意图:①运用所学的知识解决实际问题;②能力层面上的拓展----化归思想.
清清和楚楚刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 清清说:“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由.
此环节的设计意图:基于学生基础较好,因此对求根公式作进一步深化,并综合运用了配方法,使不同层次的学生都有不同提高.
　　归纳小结,布置作业
结合上面用一用,让学生尝试对本节课的知识进行梳理,对方法进行提炼,从而使学生的知识和方法更具系统化和网络化,同时也是情感的升华过程.
作业: (结合学生的实际情况,可以分层布置.)
&&&& ㈡拓广探索:P46第12题　　
㈢阅读思考P46-----黄金分割数,有兴趣的同学可以上网查阅相关资料,或进一步探究根与系数的其他关系.
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