徐小湛《高等数学》第103讲 二重积分的计算法 (极坐标...
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徐小湛《高等数学》第103讲 二重积分的计算法 (极坐标情形)
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在这一讲中，我们讲同济大学《高等数学》（第六版）第十章，第二节《二重积分的计算法》的第三部分：利用极坐标计算二重积分。
川大徐小湛《高等数学》视频（全部138讲）
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高等数学 直角坐标转换极坐标的方法？
要画图，才讲得清楚。
在被积函数连续的前提下，这个二次积分对应于一个二重积分，其积分区域D为正方形（如图）。
其边界为：
①y=0 ===& θ=0；
②x=1 ===& ρ=secθ，0≤θ≤π/4；
③y=1 ===& ρ=cscθ，π/4≤θ≤π/2；
④x=0 ===& θ=π/2。
由于ρ=ρ(θ)的表达式是分段函数，在区间0≤θ≤π/4和π/4＜θ≤π/2上的解析式不一样。
所以要将积分区域D正方形用对角线y=x(θ=π/4)分成D1、D2两个部分。这样
∫(0,1)dx∫(0,1)f(x,y)dy=∫∫&D&f(x,y)dxdy
=∫∫&D1&f(x,y)dxdy+∫∫&D2&f(x,y)dxdy
=∫&0,π/4)dθ∫&0,secθ&f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
+∫&π/4,π/2)dθ∫&0,cscθ&f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ。
②x=1 ===> ρ=secθ，0≤θ≤π/4；
③y=1 ===> ρ=cscθ，π/4≤θ≤π/2；
④x=0 ===> θ=π/2。
由于ρ=ρ(θ)的表达式是分段函数，在区间0≤θ≤π/4和π/4＜θ≤π/2上的解析式不一样。
所以要将积分区域D正方形用对角线y=x(θ=π/4)分成D1、D2两个部分。这样
∫(0,1)dx∫(0,1)f(x,y)dy=∫∫f(x,y)dxdy
=∫∫f(x,y)dxdy+∫∫f(x,y)dxdy
=∫<0,π/4)dθ∫f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
+∫<π/4,π/2)dθ∫f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ。
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&. 在[&/4, &/2] 是从 0 到 1/sin &. 即
&（0，1）dx &（0，1）f(x,y)dy
= &（0，&/4）d& &（0，1/cos &） ... dr +
&（&/4, &/2）d& &（0，1/sin &） ... dr.
还是没改对，前后二项对r的积分限&1,secθ&、&cscθ,1&都是错的。参考我画的图，再改一次。
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大家还关注&&&& 根据我国2006年12月修订的“高等数学教学大纲”（必修课，160课时，10学分，英文名称：Advanced
Mathematics(Calculus))，阅读有感。
&&&&&& 关于课程教学的目的，《大纲》明文指出：
”&&&& &数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。“高等数学”是高等学校工科类专业本科生必修的重要基础理论课。通过课程的学习，应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程、向量代数与空间解析几何等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后继课一步扩大数学知识面奠定必要的连续量方面的数学基础。在传授知识的同时，要努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。”
&&&&&&&&& 如果站在布尔巴基学派的立场上来看问题：一个伟大的东方大国，在高等数学教育上竟然是如此“古老”、如此“软弱”（落后的代名词），情况简直令人“喷饭”。在高等数学教学大纲里面现在还谈论什么“连续量方面的数学基础”，&#20284;乎又回到了牛顿的“流量术”那个年代。
&&&&&&&& 《大纲》在教学内容及基本要求方面有着明确的规定（见后），其中不提连续统，不提一致连续性，不提微积分基本定理的证明（定积分的存在性），也不提微分方程解的存在性与唯一性。《大纲》只需学生们“了解”定理的结论，而不必懂得推导、证明定理。这也叫“高等数学”？实质上，这个2006年修改的《高数大纲》放到上世纪1906年还差不多。
&&&&&&&&& 《大纲》对教学内容及基本要求如下：（对其具体评价，留作下回分解）
课程的教学基本要求，是工科院校本科生学习本课程都应当达到的合&#26684;要求，其中带*号的条目是为某些相关专业选用的，也是对选用专业学生的基本要求。
课程内容按教学要求的不同，分为两个层次。文中用黑体字排印的内容，应使学生深入领会和掌握，并能熟练运用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握词表述。非黑体字排印的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。
函数、极限、连续
(1)在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。
(2)理解复合函数的概念，了解反函数的概念。
(3)会建立简单实际问题中的函数关系式。
(4)理解极限的概念，了解极限的定义（不要求学生做给出求或的习题）。
(5)掌握极限的有理运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。
(6)了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹&#36924;准则与单调有界准则），会用两个重要极限与求极限。
(7)了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。
(8)理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念。
(9)了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。
(10)了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介&#20540;定理与最大&#20540;、最小&#20540;定理。
2.一元函数微分学及其应用
(1)理解导数的概念及其几何意义（不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题），了解函数的可导性与连续性之间的关系。
(2)了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。
(3)掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。
(4)理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性。
(5)了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法（不要求学生求函数的阶导数的一般表达式）。
(6)会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。
(7)理解罗尔（Rolle）定理和拉&#26684;朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理（对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧），会用洛必达（L'Hospital）法则求不定式的极限。
(8)了解泰勒（Taylor）定理以及用多项式&#36924;近函数的思想（对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求）。
(9)理解函数的极&#20540;概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极&#20540;的方法。会求解较简单的最大&#20540;与最小&#20540;的应用问题。
(10)会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。
(11)了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
(12)了解求方程近&#20284;解的二分法和切线法的思想。
3.一元函数积分法及其应用
(1)理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求），了解定积分的性质和积分中&#20540;定理。
(2)理解原函数与不定积分的概念，理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿－莱布&#23612;茨（Newton-Leibniz）公式。
(3)掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练）。
(4)掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。
(5)了解两类反常积分及其收敛性的概念。
(6)了解定积分的近&#20284;计算法（梯形法和抛物线法）的思想。
4.多元函数微分学及其应用
(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。
(3)理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。
(4)了解一元向量&#20540;函数及其导数的概念与计算方法。
(5)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(6)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数（对于求抽象复合函数的二阶导数，只要求作简单训练）。
(7)会求隐函数（包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的一阶偏导数（对求二阶偏导数不作要求）。
(8)了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。
(9)理解二元函数极&#20540;与条件极&#20540;的概念，会求二元函数的极&#20540;，了解求条件极&#20540;的拉&#26684;朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大&#20540;与最小&#20540;的应用问题。
5.多元函数积分学及其应用
(1)理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质。
(2)掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标，*球面坐标）。
(3)理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分（对于空间曲线积分的计算只作简单训练）。
(4)掌握&#26684;林（Green）公式，会使用平面线积分与路径无关的条件，了解第二类平面线积分与路径无关的物理意义。
(5)了解两类曲面积分的概念及其计算方法。
(6)了解高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式（斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求）。
*(7)了解场的基本概念，了解散度、旋度的概念和某些特殊场（无源场、无旋场与调和场），会计算散度与旋度。
(8)了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。
6.无穷级数
(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。
(2)了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与-级数的敛散性，掌握正项级数的比&#20540;审敛法。
(3)了解交错级数的莱布&#23612;茨定理，会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。
(4)了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（对求幂级数的和函数只要求作简单训练）。
(5)会利用，，，与的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数展开成幂级数。
(6)了解利用将函数展开为幂级数进行近&#20284;计算的思想。
(7)了解用三角函数&#36924;近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。
7.常微分方程
(1)了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。
(2)掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。
(3)会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的的思想。
(4)会用降阶法求下列三种类型的高阶方程：，。
(5)理解二阶线性微分方程解的结构。
(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
(7)会求自由项形如，的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中为实系数次多项式，为实数。
(8)会通过建立微分方程模型，解决一些简单的实际问题。
三、教学安排及方式
“高等数学”是一门理论性较强的重要基础理论课，其教学主要为课内讲授。课程开设的时间在第一学年的两个学期，课内讲授160学时。建议学生课内与课外所用时间之比为1:2。建议学时分配如下。
课程主要内容
课内外学时比
函数与极限
导数与微分
定积分应用
空间解析几何
多元函数微分及其应用
曲线积分与曲面积分
常微分方程
课内习题课建议学时不低于总学时的六分之一。
四、考核方式
高等数学是一门理论性较强的重要基础理论课，其考核为理论考试。理论考试采用闭卷笔试。在制订出规范的考核标准的前提下，可以增加平时成绩，原则上平时成绩为总评成绩的20%。
五、推荐教材
《高等数学》（第五版），同济大学应用数学系主编，高等教育出版社。
六、参考资料
工科、经管与理科的《高等数学》、《微积分》教材、教学参考书等均可
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