某车站的5路车到站时间X（分钟）服从均匀分布：X～U[0，θ]，X1，X2，…，Xn为X的一个样本．（1）求未知参数θ的矩估计量；（2）若有样本观察值为：5，8，10，12，6．求θ的矩估计值；（3）判断θ的矩估计量是否为θ的无偏估计量？并说明理由．考点：；．分析：（1）当估计一个未知参数时，矩估计法是用样本均值去估计总体的一阶矩．总体服从[0，θ]上的均匀分布，一阶矩可求．样本已给出，所以矩估计量可写出．（2）此时对于（1）中的矩估计量，每个样本用实际观测到的数值代入，这时得到的就是θ的矩估计值；（3）由无偏估计的定义判断是否等于θ即可．解答：解：（1）已知X～U[0，θ]，所以总体X的一阶矩为E（X）=，在矩估计中拿样本均值估计总体一阶矩即=E（X），所以θ的矩估计量为（2）已知样本观察值为：5，8，10，12，6．所以θ的矩估计值为=i，将样本观察值代入，得θ的矩估计值为（3）θ的矩估计量是θ的无偏估计量．理由如下：因为=，所以θ的矩估计量是θ的无偏估计量．点评：本题考查了无偏估计的定义及性质，构造矩估计量的方法，属于常见题型，应熟练掌握．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　日期：日&
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一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型。在模型中只有一个解释变量，其参数估计方法也是最简单的。通过最简单模型的参数估计，可以较清楚地理解参数估计方法的原理。一元线性回归模型的一般形式是：
& &&&&&i=1,2,…n&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
在满足基本假设：
&&&&&&&&&&&&&&&
i=1,2,…,n&&
j=1,2,…,n&&
的情况下，随机抽取n组样本观测值（i=1,2,…n），就可以估计模型的参数。
一、普通最小二乘法(OLS)
普通最小二乘法(Ordinary Least Square,简称OLS)，是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其它估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。
在已经获得样本观测值（i=1,2,…n）的情况下&&&&&
y&&&&&&&&&&&&&
（见图2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计&&&&&&&&&&&&&
量已经求得到，为和，并且是最合理的参数估计量，&&&&&&&&&&
那么直线方程（见图2.2.1中的直线）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&i=1,2,…n&&&&&&&
（2.2.2）&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&
应该能够最好地拟合样本数据。其中为被解释变量的&&&&&&
估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2.2.3）
最小。为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。
是、二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。很明显，当对、的一阶偏导数为0时，达到最小。即
容易推得：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.4）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.5)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.6）
于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。
为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。但离差形式的计算公式在其它方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。记
(2.2.6)的参数估计量可以写成：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.7)
至此，完成了模型估计的第一项任务，下面进行模型估计的第二项任务，即求随机误差项方差的估计量。记
为第i个样本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差。则随机误差项方差的估计量为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.8)
在本节最后关于的无偏性的证明中，将给出(2.2.8)的推导过程，有兴趣的读者可以参考。
在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”和“估计值”的区别。由（2.2.6）给出的参数估计结果是由一个具体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估计”，是参数估计量和的一个具体数值；但从另一个角度，仅仅把（2.2.6）看成和的一个表达式，那么，则是的函数，而是随机变量，所以和也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计量”。在本章后续内容中，有时把和作为随机变量，有时又把和作为确定的数值，道理就在于此。
二、最大或然法(ML)
最大或然法(Maximum Likelihood,简称ML)，也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。虽然其应用没有最小二乘法普遍，但在计量经济学理论上占据很重要的地位，因为最大或然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估计母体参数的内在机理，计量经济学理论的发展，更多地是以最大或然原理为基础的，对于一些特殊的计量经济学模型，只有最大或然方法才是很成功的估计方法。
对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据。而对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。显然，这是从不同原理出发的两种参数估计方法。
从总体中经过n次随机抽取得到样本容量为n的样本观测值，在任一次随机抽取中，样本观测值都以一定的概率出现，如果已经知道总体的参数，当然由变量的频率函数可以计算其概率。如果只知道总体服从某种分布，但不知道其分布参数，通过随机样本可以求出总体的参数估计量。以正态分布的总体为例。每个总体都有自己的分布参数期望和方差，如果已经得到n组样本观测值，在这些可供选择的总体中，哪个总体最可能产生已经得到的n组样本观测值呢？显然，要对每个可能的正态总体估计取得n组样本观测值的联合概率，然后选择其参数能使观测值的联合概率为最大的那个总体。将样本观测值联合概率函数称为变量的或然函数。在已经取得样本观测值的情况下，使或然函数取极大值的总体分布参数所代表的总体具有最大的概率取得这些样本观测值，该总体参数即是所要求的参数。通过或然函数极大化以求得总体参数估计量的方法被称为极大或然法。
对于一元线性回归模型：
& &&&&&&&&&i=1,2,…n
随机抽取n组样本观测值（i=1,2,…n），假如模型的参数估计量已经求得到，为和，那么服从如下的正态分布：
于是，的概率函数为
&&&&&&&i=1,2,…,n
因为是相互独立的，所以的所有样本观测值的联合概率，也即或然函数为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.9)
将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的极大或然估计量。
由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极大化是等价的，所以，取对数或然函数如下：
& &&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.10)
对求极大值，等价于对 求极小值。极小值的条件为：
解得模型的参数估计量为：
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。但是，随机误差项的方差的估计量是不同的。解或然方程
即可得到的最大或然估计量为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.11)
至此，完成了用最大或然法估计参数的任务。
三、参数估计量的性质
为了检验参数估计量的可靠性与显著性，首先必须讨论参数估计量的统计性质，即从数理统计的角度衡量参数估计量优劣。衡量的标准主要是线性、无偏性和有效性。
所谓线性是指参数估计量是的线性函数。这一点从参数估计量的表达式(2.2.6)中，可以直接看出，无需证明。
因为是随机变量，所以参数估计量也随机变量，下面的性质正是从这里引出来的。
所谓无偏性是指参数估计量的均值（期望）等于模型参数值。即
关于参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量的无偏差性，可作如下证明：由
可对作进一步推导：
&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.12)
其中利用了基本假设
和基本假设
以及期望的运算
同样可以证明，留给读者自己完成。
⒊ 有效性（最小方差性）
参数估计量的有效性是指在所有线性、无偏估计量中，该参数估计量的方差最小。为了证明参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量的有效性，首先需要导出它们的方差。
采用离差表示的参数估计量表达式(2.2.7)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.13)
对，利用(2.2.7)中的
通过类似的推导过程可以求得到方差为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2.2.14)
由高斯—马尔可夫(Gauss-Markov)定理可知(2.2.13)和(2.2.14)表示的方差是所有无偏估计量的方差中最小的，所以最小二乘参数估计量是有效性估计量。
*⒋ 随机误差项方差估计量的无偏性问题
对于(2.2.8)给出普通最小二乘法的随机误差项方差估计量，可以通过模型的离差形式从另外的角度导出．具体过程如下：
模型(2.2.1)的离差形式为：
(2.2.2)可以写成：
该式证明了是的无偏估计量。
可以证明由(2.2.11)表示的随机误差项的方差的极大或然估计量则是有偏估计量。
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参数的就是根据样本构造一个统计量，作为总体未知的估计。定义1设总体的X未知参数为 ，样本为，根据样本构造一个作为未知参数的估计，则称这个统计量为未知参数的估计量。外文名estimator特&&&&点的具体
用来估计总体未知用的。
当经的具体代入估计量时，它就是一个具体的数值，称为，英文是estimate。
设（X1，……，Xn)为来自总体X的样本，（x1,…xn）为相应的样本值，θ是总体分布的未知参数,θ∈Θ，
Θ表示θ的取值范围,称Θ为参数空间.尽管θ是未知的,但它的参数空间Θ是事先知道的.为了估计未知参数θ,我们构造一个统计量h（X1，……，Xn),然后用h（X1，……，Xn)的值h（x1,…xn）来估计θ的真值,称h（X1，……，Xn)为θ的估计量估计量的常用标准有三个，分别为：无偏性、有效性 和 一致性
（一）无偏性
定义若估计量=(X1,X2,…,Xn)的数学期望E()存在，且对于任意?∈?有
E()=?,则称是?的。
在科学技术中E()-?称为以作为?的估计的系统误差,无偏估计的实际意义就是无。
例1：设总体X的的k阶矩?k=E(Xk)(k?1)存在，又设X1,X2,…,Xn是X的一个样本。试证明不论总体服从什么分
特别，不论总体服从什么分布,只要它的数学期望存在
总是总体X的数学期望?1=E(X)的无偏估计量。
例2：对于均值?,方差?2?0都存在的总体，若?,?2均为未知，则?2的估计量是有偏的。
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