位移法(位移法)位移法 displacement method位移法是解决超静定结构最基本的计算方法，计算时与结构超静定次数关系不大，相较于力法及力矩分配法，其计算过程更加简单，计算结果更加精确，应用的范围也更加广泛，可以应用于有侧移刚架结构的计算。此外，对于结构较为特殊的体系，应用位移法可以很方便地得出弯矩图的形状，位移法不仅适用于超静定结构内力计算，也适用于静定结构内力计算，所以学习和掌握位移法是非常有必要的。目录 位移法是计算超静定结构的另一种基本的、也是有效的方法。不仅如此，对于静定结构，位移法也是一种计算方法。 力法是在虚位移原理，摩尔积分的基础上发展起来的。它的典型方程中的系数（表示第j个力作用点和方向上的单位力，在第i个里的作用点和方向上产生的位移。）和自由项，都是根据莫尔积分求得的，然后再解方程组，求各未知量。 位移法则是利用力法先求出各单位位移引起的杆端弯矩和剪力，以及载荷引起的固定端弯矩和剪力，并列表备查。典型方程中的系数（表示单位的第j个位移处引起的弯矩）和自由项，都是在查表后通过简单计算得到的，就是说，位移法是在力法的基础上发展而来的。位移法的计算要以以下基本假定为前提： 忽略轴力产生的轴向变形的影响，杆件变形前的直线长度与变形后的曲线长度相等。 弯曲变形是微小，并忽略剪切变形的影响，杆件变形后的曲线长度与弦线长度相等。 因此可以得到： 推论1：尽管杆件产生弯曲变形，但直杆件两端点之间的沿杆的轴线方向的距离变形前后仍保持不变。 推论2：直杆的一端不变动而杆发生弯曲变形时，杆的另一端的线位移与杆原轴线相垂直。 推论3：杆件轴挠曲线上某点之切线的倾角（与杆原轴线夹角）便是该点横截面的转角。典型方程法位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩：典型方程法和平 衡方程法。下面给出典型方程法的解题思路和解题步骤。 1、位移法典型方程的建立： 欲用位移法求解图a所示结构，先选图b为基本体系。然后，使基 本体系发生与原结构相同的结点位移，受相同的荷载，又因原结 构中无附加约束，故基本体系的附加约束中的约束反力（矩）必 须为零，即：R1=0，R2=0。 而Ri是基本体系在结点位移Z1，Z2和荷载共同作用下产生的第i个 附加约束中的反力（矩），按叠加原理Ri也等于各个因素分别作 用时（如图c，d，e所示）产生的第i个附加约束中的反力（矩） 之和。于是得到位移法典型方程： 注意： 1．位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各结点位移 共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。实质上是原 结构应满足的平衡条件。 2．位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力（矩 ）。其中：RiP表示基本体系在荷载作用下产生的第i个附加约束 中的反力（矩）；称为自由项。rijZj表示基本体系在Zj作用下产 生的第i个附加约束中的反力（矩）； 3．主系数rii表示基本体系在Zi=1作用下产生的第i个附加约束中 的反力（矩）；rii恒大于零； 4．付系数rij表示基本体系在Zj=1作用下产生的第i个附加约束中 的反力（矩）；根据反力互等定理有rij=rji，付系数可大于零、 等于零或小于零。 5．由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而位移法方 程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件（刚结点的力 矩平衡和截面的投影平衡）。 2、求解步骤： ①确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。 ②令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷 载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力（矩 ）=0，列位移法典型方程。 ③绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项 。 ④解方程，求出结点位移。 ⑤用公式 叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。 ⑥根据M图由杆件平衡求Q，绘Q图，再根据Q图由结点投影平衡求N ，绘N图。直接平衡法位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩：典型方程法和平衡方程法。下面给出典型方程法的解题思路和解题步骤。 1、截面直杆的转角位移方程 各种因素共同作用下杆端弯矩的表达式称为转角位移方程。 ①两端固定梁转角位移方程： ②一端固定一端铰支梁转角位移方程： ③ 一端固定一端定向支承梁转角位移方程： ④已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力： 其中 是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力；MAB，MBA的正负按位移法规定。 2、直接列平衡方程法： 位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。用基本体系方法计算时，是借助于基本体系这个工具，以达到分步、分项写出平衡方程的目的。 也可以不用基本体系，直接由转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，建立截面的投影平衡方程。这些方程也就是位移法的基本方程。 3、求解步骤： 1）确定基本未知量； 2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式； 3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程； 4）解方程，求基本未知量； 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到杆端力； 6）按杆端力作弯矩图。 4、排架计算（剪力分配法）： 1）设Ji为排架柱的侧移刚度系数。Ji是仅使柱顶发生单位侧移时，在柱顶产生的剪力。一端固定一端铰支　的杆的侧移刚度是：Ji=3EI/h3； 两端固定杆的侧移刚度是：Ji=12EI/h3。剪力分配系数； 2）当排架仅在柱顶受水平集中力P作用时，柱顶集中荷载P作为各柱的总剪力，按各柱的剪力分配系数μi进行比例分配，求出各柱剪力，再由反弯点开始即可作出弯矩图。位移法的基本原理，是以在小变形的基础的结构体系中，内力是可以叠加的，位移也是可以叠加的。结构中的受力、变形是可以分阶段、分次发生的，分阶段、分次发生的受力、变形是可以线性叠加的，叠加的结果与这些力、变形同时发生的结构所产生的内力、变形是相同的。
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双语连环画叠加法作弯矩图再讨论
用叠加法作弯矩图最常遇到的有两种形式(在此,用简支梁说明不失其一般性) ,一是简支梁的两端作用有弯矩,中间有一集中荷载,这在已有资料[1 ] ,[2 ] ,[3] 里没有进行讨论;另一种是简支梁的两端作用有弯矩,梁上布满均布荷载q ,这在资料[3]里有所讨论但不够完善。这里就这两种情况进一步讨论如下:1　集中荷载作用图1　集中荷载作用下的弯矩图　　如图1 (a)所示简支梁弯矩图的画法。在此仅讨论a≠b、MA ≠MB,MA、MB 作用方向如图1所示的情况。其弯矩图可能为三种情况:见图1 (b)、(c)、(d)。具体是哪种情况,必须由支反力,再算出Mc的值才能知道。若通过假设αPa=MA,βPb =MB,如图1 (e) ,那么通过算得的A点处的竖直支反力为:　　RA =pl(b - βb+αa)从而求得C点的弯矩值为　　Mc =pabl ( 1 -α- β) ( 1 )( 1 )式十分简单,由( 1 )式可知　　当1 -α- β0时...&
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0引言在结构力学中,结构的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地确定,此类结构就称为超静定结构。解决超静定问题的方法很多,常用有力法、位移法、力矩分配法。而位移法和力矩分配法是先作弯矩图,后作剪力图,再作轴力图。弯矩图是根据杆端弯矩和已知荷载分布情况叠加而成,但剪力图和轴力图是通过繁琐的平衡条件求出杆端内力值,再由内力值与已知荷载分布情况叠加而成。本文探讨另外一种作图方法,即根据分布荷载q、剪力FQ(x)、弯矩M(x)微分关系直接绘出剪力图和轴力图,且达到快、准、易学目的。1剪力、弯矩图规律材料力学已经证明,分布载荷、剪力和弯矩之间存在着一定的关系,根据单元体的平衡条件可推导出dFQdx=q(x)。(1)上试说明,剪力对截面位置坐标x的导数等于同一截面上的分布载荷集度。就是说,剪力图上某点切线的斜率等于该点相应截面上的分布载荷集度q(x)。同理可导出dMdx=FQ(x)。(2)即弯矩对截面位置坐标x的导数等于同一截面...&
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0.引言在结构力学中,结构的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地确定,此类结构就称为超静定结构。解决超静定问题的方法很多,常用有力法、位移法、力矩分配法。而位移法和力矩分配法是先作弯矩图,后作剪力图,再作轴力图。弯矩图是根据杆端弯矩和已知荷载分布情况叠加而成,但剪力图和轴力图,是通过繁琐的平衡条件求出杆端内力值,再由内力值与已知荷载分布情况叠加而成。本文探讨另外一种作图方法,即根据分布荷载q、剪力FS(x)、弯矩M(x)微分关系总结出作图规律,直接绘出剪力、轴力图,达到快、准、易学目的。1.分布荷载、剪力、弯矩微分关系如图-1所示,分布载荷、剪力和弯矩之间存在着一定的关系,根据单元体的平衡条件可推导出dFSdx=q(x)(1)上式说明,剪力对截面位置坐标x的导数等于同一截面上的分布载荷集度。就是说,剪力图上某点切线的斜率等于该点相应截面上的分布载荷集度q(x)。同理可导出dMdx=FS(x)(2)即弯矩对截面位置坐...&
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建筑力学的一个重要内容就是如何求内力和绘制内力图。内力包括轴力、剪力、弯矩、扭矩等四种基本类型。对于建筑结构杆式构件来说,其中弯矩是较为重要的内力,对于构件的材料选择起决定性的作用,因而弯矩图的正确绘制也显得尤为重要。如何才能准确而快速地绘制弯矩图呢?这也是许多初学者花费精力较多的地方之一。1截面法绘制弯矩图1.1弯矩弯矩是内力的一种,它存在于构件的内部,须截开构件方可显示;弯矩是构件截面上的应力对截面形心的合力矩。归根结底,弯矩不过是一种力矩(所以二者的单位也是完全相同的)。针对不同的结构形式,弯矩的求法也完全不同。对于静定结构来说,只要采用截面法,就能算出所需要的截面弯矩;而对于超静定结构来说,需要用力法、位移法、力矩分配法、矩阵位移法等方式首先求出杆端弯矩。1.2截面法绘制弯矩图的基本方法就是描点连线法,对于不同特征的线型只要找到控制点就可以连线了,如直线需要两个点,抛物线至少需要三个点,其它曲线则需要多个点。也就是说,要...&
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弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形,例如房屋建筑中的楼面梁,受到楼面荷载和梁自重的作用,将发生弯曲变形,其他如阳台挑梁、梁式桥的主梁等,都是以弯曲变形为主的构件。梁是建筑结构中最广泛的一种构件,为了计算梁的强度和刚度,必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律,从而找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。所以梁截面上的剪力与弯矩沿梁的长度方向变化规律揭示了梁的强度与刚度的内涵,而剪力图和弯矩图则形象地表示了梁的不同截面、不同荷载的剪力和弯矩的分布以及危险截面位置等等,对梁的设计或校核起到极其重要的作用。针对五年制高职生的特点(随着近几年高等教育入学率的不断提高,职业教育生源素质大幅度下降,学生的基础普遍较差,尤其在数学、物理方面,学习能力和自控能力较弱。大部分学生没有明确的学习目标,从而缺乏学习动力),如何使学生理解和学会剪力图和弯矩图的作法,是建筑力学梁内力一章的重点和难点,本文就教与学谈一点体会。以梁横截面沿梁轴线的位...&
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一、基本单元的建立 分段叠加法是我们画弯矩图时最常用的一种方法,它是以简支梁作为基本单元,简支粱的特点是两端铰支处无承受弯矩的能力,因此,若铰支处梁上无外力偶作用时,该处的弯矩值为零,有外力偶作用时,该处的弯矩值等于外力偶矩的值。利用这一特点,结合简支梁承受简单荷载时的弯矩图,不难用叠加法作出其弯矩图。如图l(a)所示的简支梁,其弯矩图如图l(b)所示。具体作法如下,以梁的轴线AB为基线,根据商端铰支处的弯矩值为竖坐标,即M一=0,‰=mB,用虚线AD连接两坐标端点,然后以AD为基线,在C截面处量取竖坐标CE。Pab/L,得E点,连接AE,DE即得简支粱在集中力P作用下的弯矩图,该弯矩图与原基线AB围成的图形,即为所求的最后弯矩图。“蟛, 图l二、静定结构中...&
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无论是机类专业还是土建类专业的学生,在学习材料力学时画简单刚架的弯矩图都感到困难。分析其原因,一是感到列刚架弯矩方程式难,其所以感到难是因为列刚架的弯矩方程式不光分段多,而且坐标原点及坐标轴方向也因杆而异,二是规定刚架弯矩图画在杆件受压一侧,判断那侧受压也有困难。如果采用本文提出的相当梁法,则上述困难均能克服.本法的最大优点是整个刚架可以只建立一个通用的弯矩方程式,而画弯矩图可以完全照搬画梁的弯矩图的所有规定。另一优点还可以为刚架编制一个通用程序,用计算机求刚架各截面的弯矩数值及绘制弯矩图。这样也就为大学四年计算机不断线创造了条件。1简单刚架 所谓简单刚架是指r字形及门字形的简支及悬臂刚架。这是材料力学研究的主要对象。复杂刚架已超出了材料力学研究的范围,故本文不加讨论。2相当梁 按以下步骤得到的梁及其上的作用外力一起称为原刚架的相当梁.2.1求刚架支座反力;2.2将所求出的沿杆件轴线方向的支座反力及作用在杆端沿杆轴的外力均沿其作...&
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