微分流形,第4章,1-6节_百度文库
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微分流形,第4章,1-6节
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此评价对我流形_百度百科
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流形（manifold)是局部具有性质的，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。中也可以定义流形。就是双摆的位形空间。一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如一个，如果你知道
区间的取值，则整个实数范围的值都是固定的，所以局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。
如果把几何形体的看作是完全柔软的，因为所有变形（）会保持结构不变，而把解析簇看作是硬的，因为整体的结构都是固定的（譬如一个1维，如果你知道(0,1)区间的取值，则整个实属范围的值都是固定的，局部的扰动会导致全局的变化），那么我们可以把流形看作是介于两者之间的形体，其的结构是硬的，而整体结构是软的。这也许是中文译名流形的原因（整体的形态可以流动），该译名由著名数学家和数学教育学家引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理上的模型。
流形可以视为近看起来象欧氏空间或其他相对简单的空间的物体。例如：人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象。所以，一个理想的上的球在足够小的区域也象一个平面，这使它成为一个流形。但是球和平面有很不相同的整体结构:如果你在上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。
一个是三维的。但是，流形可以有任意维度。其他的例子有，一根线的圈（的）以及三维空间中的所有旋转（三维的）。旋转所组成的空间的例子表明流形可以是一个抽象空间。流形的技术使得我们能够独立的考虑这些对象，从某种意义上来讲，我们可以有一个不依赖于任何其他空间的球。
局部的简单性是一个很强的要求。例如，我们不能在球上吊一个线并把这个整体叫做一个流形；包含把线粘在球上的那一点的区域都不是简单的—既不是线也不是面—无论这个区域有多小。
我们用收集在地图集中的平的地图在地球上航行。类似的，我们可以用在数学图集中的数学地图（称为坐标图）来描述一个流形。通常不可能用一张图来描述整个流形，这是因为流形和建造它的模型所用的简单空间在全局结构上的差异。当使用多张图来流形的时候，我们必须注意它们重叠的区域，因为这些重叠包含了整体结构的信息。
有很多不同种类的流形。最简单的是，它们局部看来像欧氏空间。其他的变种包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个不仅支持拓扑，而且要支持微积分。流形的思想导致了的数学基础，使得人们能够用来描述时空。圆周是除欧氏空间外最简单的流形。让我们考虑二维平面内一个半径为1，圆心在原点的圆（单位圆）。若x和y是平面上的欧式坐标，那么单位圆的方程就是x^2 + y^2 = 1。圆圈流形基于斜率的坐标图集单位圆的任意一点附近的一小段都像一条线。而线是一维的图形，我们只要一个坐标就可以标记这一小段上的一个点。例如单位圆在x轴上方的半圆上的任何一点都可以用x坐标确定。所以，存在双射Xtop，它通过简单的投影到第一个坐标(x)将圆的黄色部分映射到开区间(-1, 1)：
这样的一个函数称为一个局部坐标卡（local coordinate chart）。类似的，单位圆的下半圆，左半圆，右半圆上也有相应的坐标卡。这四个半圆可以覆盖整个单位圆，我们称对应的四个局部坐标卡组成这个单位圆的一个坐标图集（atlas）。注意上部和右部的坐标卡的重叠部分。它们的交集位于圆上x和y坐标都是正的四分之一弧上。两个图χtop 和χright 将这部分双射到区间(0, 1)。这样我们有个函数T 从(0, 1)到它自己，首先取黄色图的逆到达圆上再通过绿图回到该区间:
这样的函数称为变换映射（坐标变换）。
从的观点来看，圆的变换T只是之间的函数，所以我们知道它意味着T是的。事实上，T在(0, 1)可微而且对于其他变换函数也是一样。所以，这个图集把圆圈变成可微流形。上面这四个坐标卡和它们之间的坐标变换说明单位圆是一个流形。但在单位圆上还可以有其他的坐标卡和坐标图集。考虑坐标卡
这里s是穿过坐标为(x,y)的可变点和固定的中心点(-1,0)的线的斜率；t是镜像对称，其中心点为(+1,0)。从s到(x,y)的为
我们很容易确认x^2+y^2= 1对于所有斜率值s成立。这两个坐标卡提供了圆周的又一个图集，其变换函数为
注意每个坐标卡都缺了一点，对于s是(-1,0)，对于t是(+1,0)，所以每个坐标卡不能独自覆盖整个单位圆。利用拓扑学的工具，我们可以证明没有单个的坐标卡可以覆盖整个单位圆；在这个简单的例子里，我们已经需要用到流形可以拥有多个坐标图的灵活性。流形不必是的（整个只有一片），所以两个不想交的圆周也是一个拓扑流形。流形不必是闭的，所以不带两个端点的线段也是流形。流形也不必有限，所以抛物线这样的图形也是一个拓扑流形。
但是，我们排除了向两个相切的圆（它们共享一点并形成8字形）的例子；切点的附近任意小的一部分都不同胚于欧式空间的任何一个开集一个流形的一个坐标映射,坐标图, 或简称图是一个在流形的一个和一个简单空间之间的双射，使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形，该简单空间是某个欧氏空间Rn而我们感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚保持，也就是可逆的在两个方向都连续的映射。
图对于计算极其重要，因为它使得计算可以在简单空间进行，再把结果传回流形。
例如，是一个R2除了负x轴和原点之外的图。上节提到的映射χtop是圆圈的一个图。多数流形的表述需要多于一个的图(只有最简单的流形只用一个图)。覆盖流形的一个特定的图的集合称为一个图集。图集不是唯一的，因为所有流形可以被不同的图的组合用很多方式覆盖。
包含所有和给定图集相一致的图的图集称为极大图集。不像普通的图集，极大图集是唯一的。虽然可能在定义中有用，这个对象非常抽象，通常不直接使用(例如，在计算中)。图集中的图通常会互相重叠，而流形中的一个点可能会被好几个图所表示。如果两个图重叠，它们重叠的部分会表示流形的同一个区域。这些部分之间的关联代表流形上同一点的坐标点的映射，譬如上面圆圈例子中的映射T，称为,变换函数,或者,转换映射。图集也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个图上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。
这是微分流形的标准定义方式。如果图集的变换映射对于一个拓扑流形保持Rn 自然的结构(也就是说，如果它们是微分同胚)，该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。
通常，流形的结构依赖于图集，但有时不同的图集给出相同的结构。这样的图集称为相容的。一个流形可以以不同方式构造，每个方式强调了流形的一个方面，因而导致了不同的观点。可能最简单的构造一个流形的方法是在上面的例子中的圆圈的构造方法。首先，确认R2的一个子集，然后覆盖这个自己的图册被构造出来。流形的概念历史上就是从这样的构造发展出来的。这里有另一个例子，把这个方法应用在的构造上:
①带图册的球面
的表面可以用几乎和圆圈一样的方法来处理。我们把视作R3的子集：
球面是的，所以每个坐标图将映射球面的一部分到一个R2的开子集。例如考虑北半球，它是带正的部分。(在右图中它着红色)定义如下的函数χ
χ(x,y,z) = (x,y)
把北半球映射到开单位圆盘，通过把它投影到(x, y)平面。类似的图对南半球也存在。和投影到(x, z)平面的两个图以及投影到(y, z)平面的两个坐标图一起，我们得到了一个覆盖整个的含6个坐标图的图册。
这可以很容易地扩展到高维的。流形可以通过把碎片以一种相容的方式粘合来构造，使得碎片成为互相覆盖的图。这种构造对于任何流形都是可行的，所以经常作为流形的表述，特别是和。它集中于图册的构造，把流形作为坐标图所自然的提供的贴片，因为不涉及外部的空间，这导致了流形的内在的观点。
这里，流形通过给定图册来构造，图册通过定义转换映射来得到。流形的一个点因而是指通过变换映射映到同一个点的坐标点的。坐标图把映射到一个贴片上的点。通常会对变换映射有很强的一致性要求。对于拓扑流形，它们被要求为同胚；如果它们也是，最后得到的流形就是微分流形。
这可以通过变换映射圆圈例子的第二部分中的t = 1/s来解释。从直线的两个拷贝开始。第一个拷贝用坐标s，第二个拷贝用t。现在，通过把第二个拷贝上的点t和第一个拷贝上的点1/s作为同一个点来粘合起来(点t = 0不和任何第一个拷贝上的点认同)。这就给出了一个圆圈。
①内在和外在的观点
第一种构造和这种构造非常相似，但是他们代表了相当不同的观点。在第一种构造中，流形被视为到某个欧氏空间中。这是外在的观点。当一个流形用这种方式来看的时候，它很容易通过直觉从欧氏空间得倒附加的结构。例如，在欧氏空间，很明显某个点的一个向量是否和穿过该点的曲面相切或者垂直。
贴补构造不用任何嵌入，只是简单地把流形看作拓扑空间本身。这个抽象的观点称为内在的观点。这使得什么是更难以想象。但是它表达了流形的本质，在计算上来讲，这使我们避免了使用更高的维度，例如我们只要二维而不是三维就可以作球面上的计算。
②作为贴补的n维球面
n维球面Sn可以通过粘合Rn的两个拷贝来构造。他们之间的变换函数定义为
这个函数是它自身的逆，因而可以在两个方向使用。因为变换映射是一个，这个定义了一个光滑流形。
如果我们取n = 1, 我们就得倒了上面圆圈的例子。很多流形可以定义为某个函数的零点集。这个构造自然的把流形嵌入一个欧氏空间，因而导向一个外在的观点。这很形象，但不幸的是不是每个流形都可以这样表示。
如果一个可微函数的雅戈比矩阵在函数为0的每一点是的，则根据，每个这样的点周围存在一个为0的领域微分同胚于一个欧氏空间。因此是一个流形。
①作为一个的n维球面
n维球面Sn经常定义为
Sn={x∈Rn+1∶‖x‖=1}
这等价为如下函数的零点
x→‖x‖－1
这个函数的雅戈比矩阵是
[x1 … xn+1]
它的秩对于除了原点的所有点为1(对于1×n矩阵就是满秩的)。这证明n维球面是一个微分流形。可以把流形上的不同点定义为相同。这可以视为把不同的点粘合为同一个点。结果经常不是流形，但在有些情况下是流形。
这些情况下，认同过程是用来完成的，这是作用在流形上的群。两个点被视为同一个如果一个能被该群的一个元素移动到另一个上面。如果M是该流形而G是该群，结果空间称为，并记为M/G。可以通过认同点来构造的流形包括和实(分别从一个平面和一个球面开始)。流形的也是流形。但不是每个流形都是一个积。
积流形的维度是其因子的维度之和。其拓扑是乘积拓扑，而坐标图的直积是积流形的坐标图。这样，积流形的图册可以用其因子的图册构造。如果这些图册定义了上的结构，相应的积图册定义了积流形上的一个微分结构。因子上定义的其他结构也可以同样处理。如果一个因子有一个边界，积流形也有。直积可以用来构造和有限面，例如，分别定义它们为S1 × S1和S1 × [0, 1]。两个带边界的流形可以沿着边界。如果用正确有限圆柱面是带边界的流形的方式完成，结果也是流形。类似的，一个流形的两个边界也可以粘合起来。
形式化的，粘合可以定义为两个边界的一个双射。两个点被认同为一个，如果它们互相映射到对方。对于一个拓扑流形，这个必须是同胚，否则结果就不是拓扑流形。类似的，对于一个微分流形，它必须是微分同胚。对于其它流形，其他的结构必须被这个双射所保持。
有限的圆柱面可以作为一个流形构造，先从一个长条R × [0, 1]开始，然后把通过适当的微分同胚粘合起来。克莱因瓶可以一个带孔的和一个沿着各自的圆形边界粘合起来得倒。最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间Rn。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的。这表示每个点有一个领域，它有一个同胚(连续双射其逆也连续)将它映射到Rn。这些同胚是流形的坐标图。
通常附加的技术性假设被加在该上，以排除病态的情形。可以根据需要要求空间是豪斯朵夫的并且第二可数。这表示下面所述的有两个原点的直线不是拓扑流形，因为它不是豪斯朵夫的。
流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度(定义中的数字n)。连通流形中的所有点有相同的维度。有些作者要求拓扑流形的所有的图映射到同一欧氏空间。这种情况下，拓扑空间有一个，也就是它的维度。其他作者允许拓扑流形的不交并有不同的维度。主条目：
如果流形上的局部坐标图之间的坐标变换是光滑的，就可以在该流形上讨论方向，，和可微函数。特别是，可以在微分流形上应用“微积分”。这时我们说流形上被赋予了一个微分结构。带有微分结构的流形叫做。如果流形上的任意两个局部坐标之间的坐标变换是“分段线性函数”，那么我们称这个流形上被赋予了一个分段线性结构。被赋予分段线性结构的拓扑流形称为分段线性流形。
如果流形上有微分结构，那么微分结构自然的诱导了一个分段线性结构。所以微分流形一定是分段线性流形。
存在分段线性结构是比存在单纯剖分略强的条件；分段线性流形的范畴是介于拓扑流形范畴和微分流形范畴之间的一个范畴。[1]考虑一个拓扑流形，其坐标图映射到Rn。给定一个Rn的有序基，坐标图就给它所覆盖的流形的一片引入了一个方向，我们可以视为或者右手或者左手的。重叠的坐标图不要求在方向上一致，这给了流形一个重要的自由度。对于某些流形，譬如，我们可以选取一些坐标图使得重叠区域在&手性&上一致；这些流形称为&可定向&的。对于其它的流形，这不可能做到。后面这种可能性容易被忽视，因为任何在中(不自交的)嵌入的闭曲面都是可的。
我们考虑三个例子: (1)莫比乌斯带，它是有边界的流形，(2)，它在必须自交，以及(3)实，它很自然的出现在中。从一个竖着的无限圆柱面开始，这是一个无边界的流形。在高和低莫比乌斯带的地方各剪一刀，产生两个圆形边界，和它们之间的一个圆形的带子。这是一个带边界的可定向流形，我们在它上面动一个小&手术&。把带子剪开，使得它能展开成一个，但把两头捏住。把其中一头转180°，把内面翻倒朝外，然后把两头无缝的粘回来。现在我们有了一个永久半翻转的带子，就是带。它的边界不再是一对圆圈，而是(拓扑上)单个圆圈；曾经是&内面&的现在和&外面&并了起来，使得它只有&单&面。（在打印机的色带中有这种左扭带的应用。）取两个莫比乌斯带；每个都以一个圈为边界。把每个浸入到三维空间的克莱因瓶圈拉成一个圆圈，并把带子变成交叉帽(cross-cap)。(注意这在物理上是不可能的；克莱因瓶不能放到三维空间中，就像莫比乌斯带(或者)不能放在平面上一样。实际建造一个克莱因瓶必需在至少的空间进行) 把圆圈粘合起来会产生一个新的流形，没有边界的克莱因瓶。把曲面闭合起来并不能改变不可定向性，它只是移除了边界。这样克莱因瓶就成了一个不能分辨内外的闭合曲面。从为原点的开始。穿过原点的每条直线在两个相对的点穿透。虽然我们不能物理上这么做，我们在上可以把相对点合并为同一点。这样产生的闭合曲面是实射影平面，又一个不可定向曲面。它有一些等价 的表述和构造，但是这个方法揭示了它的名字:所有给定的穿过原点的直线射影到该&平面&的一个&点&。两个原点的线
我们在这里给出一个空间的例子，它满足拓扑流形所有的条件，除了它不是豪斯朵夫空间(Hausdorff space)。取两个R的拷贝，把它们写作
并定义如下
(x,0)～(x,1) 若 x≠1
从这个等价关系得到的商空间L是一个象那样的空间，除了有两个点“占据”了原点。特别的是，它们不能被不交的所分离，所以L不是豪斯朵夫的。它是一个拓扑流形，但不是豪斯朵夫拓扑流形。
经常，拓扑流形被定义为必须是豪斯朵夫的，在这个定义下，上面的例子不是流形。要在流形上研究，通常必须用附加的结构来装从代数曲线来的四个流形饰这些空间，例如上面的微分流形所加入的微分结构。根据所需要的不同的几何，有许多其它的可能性:·: 复流形是建模在Cn上的流形，在图的重叠处以为变换函数。这些流形是复研究的基本对象。一个复流形称为。
·和Fréchet流形:要允许无穷维，可以考虑巴拿赫流形，它局部同胚于。类似的，Fréchet流形局部同胚于Fréchet space。
·轨形(Orbifolds):一个轨形是流形的推广，允许某种&奇异点&在其拓扑中存在。大致来讲，它是局部看起来像一些简单空间(例如，欧氏空间)通过各种有限群的的商。奇点对应于群作用的，而作用必须在某种意义下相容。
·和概形(Algebraic varieties and schemes):一个代数簇是几个仿射代数簇粘起来得到的，仿射代数簇是在代数封闭的上多项式的零点集。类似的，概形是仿射概形粘起来得到的，而仿射概形是代数簇的一个推广。二者都和流形相关，但都使用而非坐标图集来构造。第一个清楚地把和曲面本身构想为空间的可能是高斯，他以他的theorema egregium（突出的定理）建立了内在的。
是第一个广泛的展开真正需要把流形推广到高维的工作的人。流形的名字来自黎曼原来的德语术语Mannigfaltigkeit,William Kingdon Clifford把它翻译为&manifoldness&(多层)。在他的哥廷根就职演说中，黎曼表明一个属性可以取的所有值组成一个Mannigfaltigkeit。他根据值的变化连续与否对stetige Mannigfaltigkeit和离散 [sic] Mannigfaltigkeit(连续流形 和不连续流形)作了区分。作为stetige Mannigfaltikeiten的例子，他提到了物体颜色和在空间中的位置，以及一个空间形体的可能形状。他把一个n fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit (n次扩展的或n-维流形)构造为一个连续的(n-1) fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten堆。黎曼直觉上的Mannigfaltigkeit概念发展为今天形式化的流形。 黎曼流形和黎曼曲面以他的名字命名。
交换簇的概念在黎曼的时代已经被隐含的作为复流形使用。力学和力学,从几何方面考虑，本质上也是流形理论。
研究了三维流形，并提出一个问题，就是现在所谓的:所有闭简单连通的三维流形同胚于3维球吗？这个问题已经完全解决，其中最重要的工作是由俄罗斯数学怪才Grigori Perelman做出的。中国数学家朱熹平和参与了最后的封顶证明。
Hermann在1912年给出了微分流形的一个内在的定义。该课题的基础性方面在1930年代被Hassler Whitney等人运用从19世纪下半叶就开始发展的精确的直觉理清，并通过微分几何和理论得到了发展。
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光滑流形（：smooth manifold），或称 C∞-微分流形（differential manifold）、C∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C∞ 类的微分流形。
-可微流形的定义[]
设是自然數，拓扑空间被称为是维 可微流形，如果，
被维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在的维，使得
满足的任意，
当第三個條件中的座標變換改成是光滑映射（既代表可無限次微分）時，滿足這三條件的稱為光滑流形，寫作流形；当座標變換不是可微映射，僅是連續映射時，滿足這三條件的稱為拓扑流形，寫作流形。
; 陈维桓. . 北京大学出版社. 2001.  .
. . 北京: 、. ].  .
. Differentiable Manifolds [可微流形]. 北京: 施普林格出版社、. ].  .
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