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77*13+25*999+510简便计算...15复变函数部分习题解答分析(复拉)
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15复变函数部分习题解答分析(复拉)
复变函数部分习题解答分析；作业卷（一）一判断题；1.复数7+6i&1+3i.；×.两个复数,只有都是实数时,才可比较大小.；2.若z为纯虚数,则z=zˉ.√；.按书上定义,纯虚数指yi,y=0,若z=yi,；3.函数w=arg(z)在z=?3处不连续.√；.当z从下方→?3时,w=arg(z)的极限为?；.Th1.4.3.；5.参数方程z=t2+ti(
复变函数部分习题解答分析作业卷（一）一判断题1.复数7+6i&1+3i.×.两个复数,只有都是实数时,才可比较大小.2.若z为纯虚数,则z=zˉ.√.按书上定义,纯虚数指yi,y=0,若z=yi,则zˉ=?yi.3.函数w=arg(z)在z=?3处不连续.√.当z从下方→?3时,w=arg(z)的极限为?π;当z从上方→?3时,w=arg(z)的极限为π.4.f(z)=u+iv在z0=x0+iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在(x0,y0)点连续.√.Th1.4.3.5.参数方程z=t2+ti(t为实参数)所表示的曲线是抛物线y=x2.×.x=y2.二填空题1.若等式i(5?7i)=(x+i)(y?i)成立,则x=2.方程Im(i?zˉ)=3表示的曲线是3.方程z3+27=0的根为4.复变函数w=z?2z+1,y=.分析:两复数相等的定义.x=?6,y=?1,或x=1,y=6.分析:由复数相等,Im(i?zˉ)=Im[i?(x?iy)]=Im[?x+(1+y)i]=1+y=3,故填y=2.kπkπ)+sin(π+2)),k=0,1,2,z=?3,分析:z3=27eiπ,z=271/3(cos(π+23±3√i.的实部u(x,y)=,虚部v(x,y)=x2?x+y2?2,(x+1)+y.v(x,y)=.3y.(x+1)+y分析:将z=x+iy代入,分离实部、虚部,得u(x,y)=5.设z1=2i,z2=1?i,则Arg(z1z2)=分析:arg(z1)=π,arg(z2)=?π,Arg(z1z2)=√6.复数z=??2i的三角表示式为分析:4[cos(?5π)+isin(?5π)],4ei(?π).三计算、证明题5π?π+2kπ=π+2kπ,(k=0,±1,±2,???).指数表示式为1.求出复数z=(?1+)4的模和辐角.√48πππ4解z=(?1+i)=24(cos2+isin2)=16ei,|z|=16,Arg(z)=2.设z=x+iy满足Re(z2+3)=4,求x与y的关系式.解Re(z2+4)=Re(x2?y2+3+2xyi)=4,x2?y2=1.3.求f(z)=解由w=1z1√2π+2kπ,k=0,±1,±2,???.将平面上的直线y=1所映射成w平面上的曲线方程.1,xw得z=+iy=1u+iv=u+vu?u+vvv22i.又由y=1得?u+=1,u+v+v=0.v4.求角形域0&arg(z)&解arg(w)=arg(ˉz),0.π3π而?在映射w=zˉ下的象.&arg(ˉz)&0,角形域0&arg(z)&π在映射w=zˉ下的象为?π&arg(w)&5.将直线方程2x+3y=1化为复数形式.解将x=一判断题z+ˉz,y=z?zˉ3代入2x+3y=1并整理得(1?i)z+(1+3i)ˉz=1.作业卷（二）1.若f??(z)在区域D内处处为零,则f(z)在D内必恒为常数.√.在D内f??(z)=ux+ivx≡0,ux=vx=0.从而vy=ux=0,uy=?vx=0.综上结论成立.2.若u(x,y)和v(x,y)可导,则f(z)=u+iv也可导.×.若u(x,y)和v(x,y)可导,则u,v之间一般没有什么直接关系.f(z)=u+iv可导,u,v之间一个几乎完全确定另一个(活动的余地只是一个常数).3.若f(z)在z0点不解析,则f(z)在点z0必不可导.×.参见三2.4.|sinz|≤1.×.复变函数中,sinz无界.如|sinik|=|eiik?e?iik|=|ek?e?k|→+∞(k→+∞,k&0).5.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z0=x0+iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)可微.×.函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z0=x0+iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)可微且满足C?R条件.反例u=x,v=?y.du=dx+0dy,dv=0dx?dy,u,v都可微但f(z)=u+iv=x?iy无处可微.6.函数ez是周期函数.√.2πi为其周期.二填空题1.设ez=?3+4i,则Re(iz)=分析：对z=?3+4i两边取自然对数，有z=Ln(?3+4i)=ln|?3+4i|+iarg(?3+4i)+2kπi,从4而Re(iz)=i[iarg(?3+4i)+2kπi]=arctan+(2k+1)π.(注：这里是从集合角度说)2.3i=分析：3i=eiLn3=ei[ln3+iarg(3)+2kπi]=ei[ln3+2kπi]=e2kπ(cosln3+isinln3).3.(1+i)i=分析：(1+i)=e4.cos2i=分析：cos2i=5.方程eiz=ekπ.6.设z=x+iy,则ei?2z的模为分析：|ei?2z|=|ei?2(x+iy)|=e?2x.7.函数f(z)=u+iv在z0=x0+iy0点连续是f(z)在该点解析的三计算、证明题y1.问k取何值时，f(z)=kln(x2+y2)+iarctanx在域x&0内是解析函数.ei2i+e?i2i?iziiLn(1+i)=ei[ln|1+i|+iarg(1+i)+2kπi]=ei[ln√iπ+2kπi]=e2kπ?(coslnπ√+isinln√=e2+e?2=cosh2.(注：后两结果都可)的解为z=分析：两边同乘以eiz,得e2iz=1.两边取自然对数，得2iz=Ln1=ln|1|+iarg(1)+2kπi=2kπi,z=条件.分析：f(z)在该点解析,则f(z)在该点的某一个邻域内可导，在该点当然连续。填必要.分析:解析的充要条件.ux=2kx,uyx+y=2ky,vyx+y=1k=1,即k=时f(z)在域x&0内是解析函数.11+=x,vxx+y=y.x+y由ux=vy,uy=?vx得:2.讨论函数f(z)=(x?y)2+2(x+y)i在何处可导,何处解析,并求其可导点处的导数.分析:可导与解析的概念及其联系,可导与解析的充要条件.ux=2(x?y),uy=2(y?x),vx=2,vy=2.由ux=vy,uy=?vx得x?y=1.故f(z)仅在x?y=1上可导,f??(z)=ux+ivx=2+2i,无处解析.3.若函数f(z)=u+iv解析,且u=v2,求证f(z)为一常数.分析:解析的充要条件.?u=2vvx=vy,三式易得vx≡vy≡0,v为常数.又u=v,u为常数,从而f(z)=const..4.若函数f(z)=u+iv解析,且u?v=(x?y)(x2+4xy+y2),试求u(x,y)和v(x,y).分析:解析的充要条件.由u?v=(x?y)(x2+4xy+y2)(0),得u=v+x3+3x2y?3xy2?y3.又由ux=vy,uy=?vx,得:vx+3x2+6xy?3y2=vy(1)vy+3x2?6xy?3y2=?vx(2)由(1),(2)得vy=6xy?v=3xy2+C(x)(3).5.求方程chz=0的全部解.分析:双曲函数的定义.解法一chz=ch(?z)=ch(iiz)=cos(iz)=0,z=(k+1)πi.解法二chz=ez+e?z21=0,e2z+1=0.2z=Ln(?1)=ln|?1|+iarg(?1)+2kπi,z=(k+2)πi.?u2=2vvy=?vx两式相乘并整理得(4v2+1)vxvy=0.由以上ux=vy=6xy?u=3x2y+D(y)(4)将(3),(4)代入(0)式,得u=3x2y?y3+C,v=3xy2?x3+C.作业卷（三）一判断题1.设C为f(z)的解析域D内的一条简单正向闭曲线，则??Cf(z)dz=0.1×.分析：f(z)的解析域D不足以保证f(z)在C上及内解析。关键词单连通区域.反例f(z)=??1|z|&2内解析，C取|z|=1,则Cdz=2πi=02.若u，v都是调和函数，则f(z)=u+iv是解析函数.在0&×.分析:解析对u，v的要求很高,它们之间有本质的内在联系即Cauchy-Riemann方程,知道其一,另一若不考虑差一个常数,则完全确定.调和这一要求达不到.反例俯拾即是u(x,y)=x,v(x,y)=?y都是调和函数,但f(z)=x?yi不解析.3.设f(z)在单连通区域D内解析,F(z)是f(z)的一个原函数,C为D内的一条正向闭曲线,则0.√??CF(n)(z)dz=.分析:由题设,F(z)在单连通区域D内解析,从而F(n)(z)在单连通区域D内解析.C为D内的一条??正向闭曲线,则CF(n)(z)dz=0.????4.设v=v(x,y)是区域D内的调和函数,则函数f(z)=vy+ivx在D内解析.√.分析:v=v(x,y)是区域D内的调和函数,则设u的共轭调和函数为v,F(z)=u+iv在D内解析,从????解析.+ivx而f(z)=F??(z)=vy?u?u5.若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析,则函数=.√?2u?2u?2u?2u.分析:?x?y,?y?x存在且连续为?x?y=?y?x的充分条件.若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析,?u则f(z)的任意阶导函数在D内解析,从而?x?y,222?2u?y?x?u存在且连续.u的二阶偏导数?x?y=2?2u.?y?x二填空题1.设C为从点z1=?i到点z2=0的直线段，则1.??Czdz=12z,1分析:被积函数f(z)在整个复平面上解析,其一原函数为故Czdz=1z2|0?i=.??12.若C为正向圆周|z|=2,则Cdz=1??z1zz20.分析:由于zzˉ=|z|,在C上z==4,Czdz=C4dz=0.ˉ??ˉ|z|3.若C为正向圆周|z|=1,则C[ln(z+2)+(z2+1)cos(z5+1)]dz=0.分析:在C上及C内,被积函数解析.Cauchy积分定理.4.若函数f(x,y)=epxsiny为区域D内的调和函数，则p=±1.分析:fxx+fyy=p2epxsiny?epxsiny=(p2?1)epxsiny≡0.??2z2+z+1dz,|ξ|=2,则f(3+5i)=(),f(1)=(5.若f(ξ)=z?ξ|z|=2),f??(1)=().分析:由f(z)的表达式,Cauchy积分定理及Cauchy积分公式,得:??2πi(ξ2+ξ+1),if|ξ|&0,f(ξ)=?0,if|ξ|&0于是,f(3+5i)=0,f(1)=2πi(2+1+1)=8πi,f??(1)=2πi(4z+1)z=1=10πi.(说明:由于提取出了f(z)的表达式,后面的计算异常简单.)三计算、证明题1.设点A,B分别为z1=i和z2=1+i,试计算??2|z|dz的值,其中C为C(1)点z=0到点z2的直线段;(2)由点z=0沿直线到z1再到z2的折线段????1222解:(1)该直线段的参数方程:x=t,y=t,0≤t≤1.C|z|dz=0(t+t2)d(t+it)=3+i2.3??(2)Oz1段参数方程:x=0,y=y,0≤y≤1.z1z2段参数方程:x=x,y=1,0≤x≤1.C|z|2dz=??12??1241yd(iy)+(x+1)d(x+i1)=+i.00???32.设C为从?2到2的上半圆周,计算积分C2zdz的值.??3)dz=(2z?3lnz)|2解法一:I=C(2??2=8+3πi.??0iθ?3解法二:该半圆周参数方程:x=2cosθ,y=2sinθ,θ从π到0.I=π2ed(2eiθ)=8+3πi.2e??i3.计算0coszdze?e解:I=sinz|10=sini=i.??z+1+2idz,其中C为正向圆周|z|=3.4.计算C2??1??1解法一:I=Cdz+Cdz=2πi+2πi=4πi.1,101,10?1解法二:作两正向小圆C1:|z+1|=C2:|z+2i|=则由复合闭路定理,I=C1z+1dz+i??2z+1+2+1+2iidz=2πi2zz|z=?1+2πi2z+1+2|z=?2i=4πi.z+2i+2iz+1C2??ez5.计算积分21dz,(1)当点0在C内,点1在C外;(2)当点1在C内,点0在C外;(3)当点0,1均πiCz(1?z)在C内;(4)当点0,1均在C外.ez??(1?z)ez(1)I=1dz=|=1.(2)I=Cz=0达式.22x,uyx=?6x,uyy=6y,u的所有二阶偏导数存在证:ux=?6xy,uxx=?6y,uxy=?6x,uy=3y3?1??2z+1+2i??Cezdz=?1ez????()|z=1ee=?.(3)1?.(4)0.6.证明u(x,y)=y3?3x2y为调和函数,再求其共轭调和函数v(x,y),并写出f(z)=u+iv关于z的表且连续,uxx+uyy=0,u(x,y)为调和函数.??vy=ux=?6xy,v=(?6xy)dy=?3xy2+?(x).uy=3y2?3x2=?vx=3y2????(x),?(x)=x3+C.v=x3?3xy2+C.为求f(z)的表达式,先考察f??(z).f??(z)=ux+ivx=ux?iuy=?6xy?i(3y2?3x2)=3iz2.从而f(z)=iz3+iC,其中C为实的常数.说明:此题也可这样做:由u先求f??(f??=ux?iuy),求出f后再根据f=u+iv定v.这样定的u,v,由解析函数性质,均为调和函数,且v为u的共轭调和函数.这样做显然简单.求f(z)的表达式另法：f(x)=f(x+i0)=u(x,0)+iv(x,0)=i(x3+C)=ix3+iC,故f(z)=iz3+iC.(此法理论依据是什么？D解析函数的惟一性定理)z已知调和函数u求解析函数f(z)=u+iv公式：f(z)=2u(z,)?u(0,0)+iC22i1ˉ(x?iy)],f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),fˉ(x?iy)=u(x,y)?iv(x,y)).[f(x+iy)+f2(u(x,y)=作业卷（四）一判断题1.数列zn=n+(?1)ni必收敛.√.分析:收敛到1.注意区分数列收敛与级数收敛.??∞????∞2.设zn=xn+iyn,则级数∞z收敛的充要条件是级数x与n=1nn=1nn=1yn都收敛.√.分析:Th4.1.2.3.每个幂级数必在其收敛圆上收敛.??∞zn×.反例:n=1n在其收敛圆|z|=1上的点z=1处发散.??∞4.若幂级数n=1an(z?1)n在点z=i收敛则它必在点z=?i收敛.??+∞1(?1+i)n??+∞111n×.反例:an=,则在z=i点收敛(n=1=n=1(?i)),在z=?i点发??+∞1(?1?i)n??+∞1散(n=1=n=1).??∞5.若幂级数n=1anzn在z=2i处收敛,则它必在z=?1处收敛.√.Th4.2.1(Abel定理).二填空题??∞??∞annn.1.设n=1anz的收敛半径为R,则幂级数n=1z的收敛半径为????∞annn说明：原题“设∞az的收敛域为|z|&R,则幂级数n=1nn=1z的收敛域为??∞n??∞体问题而定,一般不会得到|z+1|&R.反例:z收敛域为|z|&1,而n=1n=1不是|z+1|&1.??nn2.幂级数∞n=12(z?i)的收敛圆的中心为3.函数f(z)=tanz在z0=π.π4R.”只能由具(z+1)n的收敛域显然,收敛半径为..i,2.处所展泰勒级数的收敛半径为说明:收敛圆的中心到其最近奇点的距离.??+∞zn4.设f(z)=cos的洛朗级数展开式为n=?∞cn(z?i),则其收敛圆环域为(A)1&|z?i|&+∞;(C)0&|z?i|&1或1&|z?i|&+∞;(B)0&|z|&1或1&|z|&+∞;(D)1&|z?i|&+∞.分析(C).在f(z)的解析区域中的所有收敛圆环域.三计算、证明题??z21.将函数f(z)=0ezdz在z0=0处展成泰勒级数,并指出其收敛半径.??zz2??∞42z6z2n131z51z71z2n+1解:ez=1+z2+z++???++???,edz=z+z+++???++???=n=00R=+∞.2.将f(z)=1z2n+1.分别在下列圆环域内展成洛朗级数(2)1&|z?1|&+∞(1)0&|z|&111??解:(1)(z?=(1?)=(1+z+z2+???+zn+???)??=1+2z+???+nzn?1+???1)z??+∞n?21f(z)==n=1nz.??+∞(?1)n??+∞(?1)n1111(2)f(z)==1+=n=0=n=0.3.将f(z)=解:f(z)=??+∞n(z+2)n?4n=1211在圆环域0&|z+2|&1内展成洛朗级数.=1(1)??=11???(1?1)=1?1(1+z+2+(z+2)+???+(z+2)+???)??=2n.作业卷（五）一判断题11.z=0必为f(z)=zsin的可去奇点.??∞(?1)n11×.sin不再有界.(zsin=+n=0.)2.若f(z)=(z?z0)mg(z),且g(z)在z0点解析,则z0必是f(z)的m级零点.×.g(z)有没有贡献?不确定.包含各类专业文献、中学教育、专业论文、外语学习资料、生活休闲娱乐、15复变函数部分习题解答分析(复拉)等内容。　
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