第九章 多元函数微分法 及其应用一元函数微分学 推广 多元函数微分学注意: 善于类比, 区别异同第一节 多元函数的基本概念一、区域第九章二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性一、 区域
1. 邻域 点集PP0 ? δ 称为点 P0 的?邻域.例如,在平面上,U ( P0 , δ ) ? ?( x, y ) U ( P0 , ? ) ? ?( x, y, z )在空间中,?(圆邻域) ?(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 U ( P0 ) . 点 P0 的去心邻域记为0 ? PP0 ? δ在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆邻域可以互相包含.。P0平面上的方邻域为U( P0 ,δ ) ? ? ( x, y )?2. 区域 (1) 内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P :E? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E ,则称 P 为 E 的内点；? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? ,则称 P 为 E 的外点 ; ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .(2) 聚点若对任意给定的? , 点P 的去心 邻域E内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .(3) 开区域及闭区域? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ;? 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集；? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. D。。例如，在平面上? ? ( x, y ) x ? y ? 0 ? 开区域y? ? ( x, y ) 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 ?? ? ( x, y ) x ? y ? 0? ? ? ( x, y ) 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 ?oyx闭区域o 1 2xyyoxo 1 2x? 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域； ? 点集 ? ( x, y ) x ? 1? 是开集， 但非区域 .y?1o 1 x? 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P?D 与某定点A 的距离 ?AP?? K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .3. n 维空间n 元有序数组 记作 R n , 即 的全体称为 n 维空间,R n ? R? R? ? ? Rn 维空间中的每一个元素 一个点, 当所有坐标 O. 称为该点的第 k 个坐标 . 称为空间中的称该元素为 R n 中的零元, 记作R n 中的点 x ? ( x1 , x2 ,?, xn ) 与点 y ? ( y1 , y2 ,?, yn )的距离记作 规定为R 中的点 x ? ( x1 , x2 ,?, xn ) 与零元 O 的距离为x ?2 x1n?2 x2???2 xn当 n ? 1, 2, 3 时, x 通常记作 x .R n 中的变元 x 与定元 a 满足 x ? a ? 0 记作 x ? a.R n 中点 a 的 ? 邻域为二、多元函数的概念引例:? 圆柱体的体积? 定量理想气体的压强rh? 三角形面积的海伦公式ba c定义1. 设非空点集在 D 上的 n 元函数 , 记作映射称为定义点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 ? u u ? f ( P ) , P ? D ? 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数例如, 二元函数 z ?1? x ? y22z定义域为 圆域 ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1 ?oxz图形为中心在原点的上半球面.1 y又如, z ? sin( x y ) , ( x, y ) ? R 2说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 的图形一般为空间曲面 ? . 三元函数 u ? arcsin( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 定义域为 单位闭球xy图形为空间中的超曲面.三、多元函数的极限定义2. 设 n 元函数 f ( P), P ? D ? R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 ? , 总存在正数? , 对一 切 P ? D ? U ( P0 ,δ ) , 都有?则称 A 为函数记作P ? P0lim f ( P) ? A (也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记 ? ? PP0 ? ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 二元函数的极限可写作：? ?0lim f ( x, y ) ? A ? lim f ( x, y ) ? Ax ? x0 y ? y0例1. 设 f ( x, y ) ? ( x 2 ? y 2 ) sin 求证：lim f ( x, y ) ? 0 .x ?0 y ?01 x2 ? y2( x 2 ? y 2 ? 0)要证证:?ε? ?ε ? 0 , ?δ ? ε ,当 0 ? ? ? x 2 ? y 2 ? δ 时, 总有? x2 ? y2故x ?0 y ?0lim f ( x, y ) ? 01 , xy ? 0 ? y sin ? x sin 1 y x 例2. 设 f ( x, y ) ? ? 0 , xy ? 0 ? lim f ( x, y ) ? 0 . 求证：x ?0 y ?0? f ( x, y ) ? 0 证： ? x ? y要证?ε? ?ε ? 0, ?δ ? ε 2 ,当 0 ? ρ ? x 2 ? y 2 ? δ 时， 总有lim f ( x, y ) ? 0故x ?0 y ?0? 若当点 P( x, y ) 以不同方式趋于 P0 ( x0 , y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数极限 不存在 .xy 例3. 讨论函数 f ( x, y ) ? 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x ?y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有k x2 k lim f ( x, y ) ? lim 2 ? 2 2 x ?0 x ?0 x ? k x 1? k 2y ? kxk 值不同极限不同 !故 f ( x, y )在 (0,0) 点极限不存在 .例4. 求此函数定义域 不包括 x , y 轴2 2 2 2 2 2 则 ( x ? y ) , 解: 因 x 2 y 2 ? 1 令 r ? x ? y , 44 (1 ? cos r ) ? r64(1 ? cos r ) 2r 而 lim ? lim 6 ? ? 6 r? 0 r? 0 r r故2 r 2 1 ? cos r ~ 2224? 二重极限 lim f ( x, y ) 与累次极限 lim lim f ( x, y )x ? x0 y ? y0x ? x0 y ? y 0不同. 如果它们都存在, 则三者相等.仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.例如,x ?0 y ?0显然lim lim f ( x, y ) ? 0 ,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .四、 多元函数的连续性定义3 . 设 n 元函数 f ( P) 定义在 D 上, 聚点 P0 ? D ,如果存在P ? P0lim f ( P) ? f ( P0 )则称 n 元函数 f ( P) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续.? xy , 2 2 x ? y ?0 ? 2 2 f ( x, y ) ? ? x ? y 2 2 ? , x ? y ?0 ? 0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.又如, 函数例如, 函数在圆周 x 2 ? y 2 ? 1 上间断.结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.sin( xy) lim x ?0 x y ?2 sin( xy ) 解 这里 f ( x, y ) ? 在区域 x D1 ? ?( x, y ) x ? 0? 和区域 D2 ? ?( x, y ) x ? 0? 内都有定义， 同时为 D1 及 D2 的边界点. P 0 (0, 2) 但无论在 D1 内还是在 D2 内考虑，下列运算都是正确的：例求sin( xy) sin( xy) lim ? lim ? lim y ? 1? 2?2 x ?0 xy ?0 y ?2 x x y ?2闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则(有界性定理)(2) f ( P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值(最值定理)(3) 对任意? Q ? D，(介值定理)* (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (证明略)(一致连续性定理)例5.求 lim 解: 原式x ?0 y ?0xy ?1 ?1 . xy1 1 ? lim ? x ?0 x y ? 1 ? 1 2y ?0例6. 求函数 f ( x, y ) ? 解:arcsin(3 ? x 2 ? y 2 ) x? y2的连续域.3 ? x2 ? y2 ? 1yx ? y2 ? 0 2 ? x2 ? y2 ? 4 x ? y2o22x例6. 证明在全平面连续. 证: 又 为初等函数 , 故连续.0?xy x ?y2 2由夹逼准则得? f (0,0)故函数在全平面连续 .第二节 偏 导 数一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数第九章定义1. 设函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内极限x0 ? ?x?xx0存在, 则称此极限为函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为? zx ? x ( x0 , y 0 )( x0 , y 0 );f1?( x0 , y0 ) .同样可定义对y 的偏导数f y ( x0 , y0 ) ? limf ( x0 , y0 ? ?y) ? f ( x0 , y0 )? y ?0?y例1：用定义求下面函数在原点的偏导数.? xy , x2 ? y2 ? 0 ? 2 z ? f ( x, y ) ? ? x ? y 2 2 2 ? 0 , x ? y ?0 ?解：若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数 , 记为?z ? f ? ( x, y ) , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ?y ?y 注意：偏导数与某点偏导数的关系.偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为x ? ?xx?xf y ( x, y , z ) ? ?f z ( x, y , z ) ? ?例1 . 求 z ? x 2 ? 3x y ? y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. ?z ?z ? 2x ? 3y , ? 3x ? 2 y 解法1: ?x ?y ?z ?z ? ? y (1, 2) ? x (1, 2)解法2对吗？ zy ?2? x 2 ? 6x ? 4?z ? x (1, 2)zx ?1 ? 1 ? 3 y ?y2?z ? y (1, 2)注意:在一定条件下 f ( x0 ? ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )? lim ?x? 0 ?xf y ( x0 , y0 ) ? lim? y ?0f ( x0 , y0 ? ?y ) ? f ( x0 ,y0 ) ?y例x f ( x, y) ? x ? ( y ? 1) arcsin y求f x ( x,1)注意： 函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续.? xy , x2 ? y2 ? 0 ? 2 例如, z ? f ( x, y ) ? ? x ? y 2 2 2 ? 0 , x ? y ?0 ?显然?0 ?0在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!y 求证 ） ， 例2. 设 z ? x ( x ? 0, 且 x ? 1 x ?z 1 ?z ? ? 2z y ? x ln x ? y证:x ?z 1 ?z ? ? y ? x ln x ? y? 2z例3. 求 的偏导数 . 2x x ?r ? ? 解: 2 2 2 ?x 2 x ? y ? z r ?r z ? ?z r(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: ? p ? ?V ? ?T ? ?1 ?V ?T ? p RT ?p RT ?? 2 , 证: p ? 说明: 此例表明, ?V V V 偏导数记号是一个 RT ?V R V? , ? p ?T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !? p ?V ?T RT ? ? ? ?? ? ?1 ?V ?T ? p pV二元函数偏导数的几何意义:?f ?xx ? x0 y? y0d ? f ( x, y 0 ) x ? x0 dxzM0z ? f ( x, y ) ? 在点 M0 处的切线 是曲线 ? ? y ? y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.?f ?y是曲线x ? x0 y? y0Txy0Tyo xyd ? f ( x0 , y) y ? y0 dyx0在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的斜率.二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数?z ?z ? f x ( x, y ) , ? f y ( x, y ) ?x ?y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:? ?z ?2z ? ?z ? 2 z ( )? ? f x y ( x, y ) ( ) ? 2 ? f x x ( x, y ); ? y ? x ? x? y ?x ?x ?x2 ? ?z ?2z ? ?z ? z ( )? ? f y x ( x, y ); ( ) ? 2 ? f y y ( x, y ) ? x ? y ? y? x ?y ?y ?y类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n C1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为? ( ?y? z ) ? n ?1 ?x ? yn3 ? z x?2y . 的二阶偏导数及 例5. 求函数 z ? e 2 ? y? x ? z ?z 解: ? 2 e x?2y ? e x?2y ?y ?x 2 2 ? z ? z x?2y x?2y 2 e ? e ? 2 ? x? y ?x? z x?2y ? 2e ? y? x 3 2 ? z ? ? z x?2y ? ( ) ? 2 e ? y? x 2 ? x ? y? x ?2z ?2z ? , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 ? x? y ? y? x2?2 z x?2y ? 4e 2 ?y例如, f ( x, y ) ?x2 ? y2 2 2 xy 2 , x ?y ?0 2 x ?y 0, x2 ? y2 ? 0x4 ? 4x2 y 2 ? y 4 2 2 y , x ? y ?0 2 2 2 f x ( x, y ) ? (x ? y ) 0, x2 ? y2 ? 0 4 2 2 4 x ? 4x y ? y 2 2 x , x ? y ?0 2 2 2 f y ( x, y ) ? (x ? y ) 0, x2 ? y2 ? 0 ? ?y f x (0, ? y ) ? f x (0, 0) ? lim ? ?1 f x y (0,0) ? lim ? y ?0 ? y ? y ?0 ?y f y (? x, 0) ? f y (0, 0) ?x ?1 ? lim f y x (0,0) ? lim ? x ?0 ? x ? x ?0 ?x二 者 不 等定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则f x y ( x0 , y0 ) ? f y x ( x0 , y0 )本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.(证明略)例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.例6. 证明函数满足拉普拉斯? 2u ? 2u ? 2u 方程 ?u ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ?x ?y ?z证：22 3 x ? r 1 3 x 1 ? u ? 4 ? ?? 3? 5 ? ? r r ?x2 r 3 r ?x ? 2u 1 3 y2 ? 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 ? ? 3 ? 5 , ?? 3? 5 2 ?z r r ?y r r 2 2 2 ? u ? u ? u 3 3( x2 ? y2 ? z 2 ) ? ? 2 ? 2 ?? ? ?0 2 3 5 ?x ?y ?z r r? r2备用题 设确定 u 是 x , y 的函数 ,方程连续, 且解:求第三节第九章全微分? y ? A?x ? o(? x)d y ? f ?( x)?x应用一元函数 y = f (x) 的微分近似计算 估计误差本节内容:一、全微分的定义*二、全微分在数值计算中的应用一、全微分的定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成? z ? A ?x ? B ?y ? o( ? ) ,其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关，则称函数f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， A?x ? B ?y 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作d z ? d f ? A?x ? B?y若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.由微分定义 : lim ? z ? lim ? ( A? x ? B? y ) ? o ( ? ) ? ? 0?x ?0 ?y ?0? ?0得?x ?0 ?y ?0lim f ( x ? ? x, y ? ? y ) ? f ( x, y )即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微?z ? f ( x ? ? x, y ? ? y) ? f ( x , y ) 函数在该点连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微 偏导数存在 函数可微(2) 偏导数连续定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 必存在,且有?z ?z d z ? ?x ? ? y ?x ?y 证: 由全增量公式 得到对 x 的偏增量令 ?y ? 0,? A?x ? o ( ?x )x ? ?xx?z ?xz ? ? lim ?A ? x ?x ?0 ? x ?z ? B , 因此有 同样可证 ?y注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:偏导数存在函数 不一定可微 ! xy , x2 ? y2 ? 0 2 2 x ? y 反例: 函数 f ( x, y ) ?0,易知 f x (0, 0) ? f y (0, 0) ? 0 , 但x2 ? y2 ? 0?x ? y? z ? [ f x ( 0, 0 )? x ? f y ( 0, 0 )? y ] ?(? x) ? (? y )22?x ? y ? (? x) 2 ? (? y ) 20? o( ? ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .定理2 (充分条件) 若函数的偏导数在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分. 证：? z ? f ( x ? ?x, y ? ? y) ? f ( x, y)?z ?z , ?x ? y? [ f ( x ? ?x, y ? ? y) ? f ( x, y ? ? y)] ? [ f ( x, y ? ? y) ? f ( x, y)]? f x ( x ? ?1? x, y ? ? y)? x ? f y ( x, y ? ? 2 ? y )? y ( 0 ? ?1 , ? 2 ? 1 ) ? [ f x ( x, y) ? ? ]? x ? [ f y ( x, y ) ? ? ]? y? lim ? ? 0 , lim ? ? 0 ? ? ? x ?0 ? ? x ?0 ? ? y ?0 ? ? y ?0?z ? ? ? f x ( x, y ) ? x ? f y ( x, y ) ? y ? ? ? x ? ? ? y? lim ? ? 0 , lim ? ? 0 ? ? ? x ?0 ? ? x ?0 ? ? y ?0 ? ? y ?0? ?x ? ? ? y ? ? ? ? , 故有 注意到 ??z ? f x ( x, y )? x ? f y ( x, y )? y ? o( ? )所以函数 在点 可微.推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数 u ? f ( x, y, z ) 的全微分为 ?u ?u ?u d u ? ?x ? ? y ? ?z ?x ?y ?z 习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是du ?记作?u ? dz ?zdz ud x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理 du ? dx u ? d y u ? dz u例1. 计算函数 ?z xy y e , ? 解: ?x在点 (2,1) 处的全微分. ?z xy x e ? ?y?z ? e2 , ? x (2,1)?z ? 2e 2 ? y (2,1)例2. 计算函数 解: d u ?y 1 ( 2 cos 2的全微分.? z eyz )d y思考与练习1. 选择题 函数 z ? f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )( A) f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续 ;? ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在 ; ( B) f x? ( x, y ) , f y ? ( x, y )?y (C ) ?z ? f x? ( x, y )?x ? f y( D)当 (?x) 2 ? (?y ) 2 ? 0 时是无穷小量 ; ? ( x, y )?y ?z ? f x? ( x, y )?x ? f y(?x) 2 ? (?y ) 2当 (?x) ? (?y ) ? 0 时是无穷小量 .222. 设x 注意: x , y , z 具有 解: ? f ( x,0,0) ? 轮换对称性 3 ? cos x 1 x ? ? ? ? f x (0,0,0) ? ? 3 ? cos x x ? 0 41 f y (0,0,0) ? f z (0,0,0) ? 4 ? d f (0,0,0) ? f y (0,0,0) d x ? f y (0,0,0) d y ? f z (0,0,0) d z 1 ? (d x ? d y ? d z ) 4利用轮换对称性 , 可得3. 证明函数 在点 (0,0) 连续且偏导数存在,但偏导数在点 (0,0) 不连 续, 而 f ( x, y ) 在点 (0,0) 可微 . 1 x2 ? y2 证: 1) 因 ? xy ? xy sin 2 2 2 x ?y 所以x ?0 y ?0lim f ( x, y ) ? 0 ? f (0,0)故函数在点 (0, 0) 连续 ;2) ? f ( x,0) ? 0 , ? f x (0,0) ? 0 ; 同理 f y (0,0) ? 0. 3) 当( x, y ) ? (0,0)时 , 1 x2 y f x ( x, y ) ? sin ? 2 2 x ?y ( x 2 ? y 2 )33 1 1 x ? lim ( x ? sin ? cos ) ? 3 2| x| 2 2| x| x ?0 2| x|( x , x ) ?( 0, 0 )limf x ( x, y )极限不存在 , ? f x ( x, y ) 在点(0,0)不连续 ; 同理 , f y ( x, y ) 在点(0,0)也不连续.4) 下面证明 f ( x, y ) 在点 (0,0) 可微 : 令 ? ? (?x) 2 ? (?y ) 2 , 则? f ? f x (0,0)?x ? f y (0,0)?y?说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.内容小结1. 微分定义:?z ?? o (?)? ? (?x) 2 ? (?y ) 2d z ? f x ( x, y )d x ? f y ( x, y )d y2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导偏导数连续第四节、方向导数与梯度一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．二、方向导数的定义讨论函数 z ? f ( x , y )在一点P沿某一方向 的变化率问题．设函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的某一邻域U ( P ) 内有定义，自点P 引射线 l．yl? P?设 x 轴正向到射线l 的转角 o 为 ? , 并设 P ?( x ? ?x , y ? ?y )P????x?yx为 l 上的另一点且 P ? ? U ( p). （如图）? | PP ? |? ? ? ( ?x )2 ? ( ?y )2 ,且 ?z ? f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ),考虑?z?,当 P ? 沿着 l 趋于 P 时，lim? ?0f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )?是否存在？定义 函数的增量 f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 与2 2 ? PP 两点间的距离 ? ? ( ?x ) ? ( ?y ) 之比值，当 P ? 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存 在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．?f f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) 记为 ? lim . ?l ? ?0 ? ? P 沿着 x 轴正向e1 ? {1,0} 、 依定义，函数 f ( x , y ) 在点 ? y 轴正向e 2 ? {0,1} 的方向导数分别为 f x , f y ；沿着 x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 ? f x ,? f y .定理　如果函数z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 是可微分 的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都?f ?f ?f 存在，且有 ? cos ? ? sin ? ， ?l ?x ?y ? 为 x 轴到方向 L 的转角． 　　　　　其中证明 由于函数可微，则增量可表示为?f ?f f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ? ?x ? ?y ? o( ? ) ?x ?y两边同除以 ? , 得到f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y )?故有方向导数?f ?x ?f ?y o( ? ) ? ? ? ? ? ?x ? ?y ? ?cos?sin ??f f ( x ? ?x , y ? ?y ) ? f ( x , y ) ? lim ? ?0 ? ?l?f ?f ? cos ? ? sin? . ?x ?y例 1 求函数z ? xe 2 y 在点P (1,0) 处沿从点P (1,0) 到点Q( 2,?1) 的方向的方向导数.? l 即为 PQ ? {1, ?1} , 解 这里方向 ? ? l 的转角? ? ? . 故 x 轴到方向 4 ?z ?z 2y ? ? e (1, 0 ) ? 1; ? 2 xe 2 y (1, 0 ) ? 2, ?x (1, 0 ) ?y ( 1 , 0 )所求方向导数?z ? ? 2 ? cos(? ) ? 2 sin(? ) ? ? . 4 4 2 ?l例 2 求函数 f ( x , y ) ? x ? xy ? y? 在点（1，1） ? 的方向射线l 的方向导数.并 沿与x 轴方向夹角为 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？2 2解由方向导数的计算公式知?f ?l? f x (1,1) cos? ? f y (1,1) sin?( 1 ,1 )? ( 2 x ? y ) (1,1) cos? ? ( 2 y ? x ) (1,1) sin? ,? cos ? ? sin ?? ? 2 sin(? ? ), 4? 故（1）当? ? 时， 方向导数达到最大值 2 ; 45? （2）当? ? 时， 方向导数达到最小值? 2 ; 43? 7? （3）当? ? 和? ? 时， 方向导数等于 0. 4 4推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数u ? f ( x , y , z ) ，它在空间一点 P ( x , y , z ) 沿着方向 L 的方向导数 ，可定义 为?f f ( x ? ?x , y ? ?y , z ? ?z ) ? f ( x , y , z ) ? lim , ? ? 0 ?l ?（ 其中 ? ?( ?x ) ? ( ?y ) ? ( ?z ) ）2 2 2设方向 L 的方向角为? , ? , ??x ? ? cos ? ,?y ? ? cos ? ,?z ? ? cos ? ,同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有?f ?f ?f ?f ? cos? ? cos ? ? cos ? . ?l ?x ?y ?z2 2 u ? ln( x ? y ? z ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 例3. 函数指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 则12.? {cos? , cos ? , cos ? }ln( x ? 1)ln(1 ? y ? 1)21 ? 2二、梯度的概念、意义与计算问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快?定义 设函数 z ? f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y ) ? D ，?f ? ?f ? j ，这向量称为函数 都可定出一个向量 i ? ?x ?y z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度，记为 ?f ? ?f ? j. gradf ( x , y ) ? i ? ?x ?y? ? ? ? l 上的单位向量， 设e ? cos ?i ? sin ?j 是方向由方向导数公式知? f ?f ?f ?f ? f ? cos? ? sin ? ? { , } ? {cos ? , sin ? } ?l ?x ?y ? x ?y? ? gradf ( x , y ) ? e ?| gradf ( x , y ) | cos? , ? 其中? ? ( gradf ( x, y ), e ) ?f ? 当 cos( gradf ( x , y ), e ) ? 1时， 有最大值. ?l结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 方向导数的最大值．梯度的模为gradf? ?f ? ? ?f ? | gradf ( x , y ) |? ? ? ? ? ? . ? ?x ? ? ?y ??f x 轴到梯度的转角的正切为　tan ? ? ?y ． ?f ?x22P?f 当 不为零时， ?x? gradf在几何上 z ? f ( x , y ) 表示一个曲面曲面被平面 z?c? z ? f ( x, y) , 所截得 ? ?z ? c所得曲线在xoy面上投影如图y f ( x, y) ? c2Pf ( x, y) ? c1gradf ( x , y )梯度为等高线上的法向量f ( x, y ) ? c等高线ox等高线的画法播放例如, 函数 z ? sin xy 图形及其等高线图形．梯度与等高线的关系：函数 z ? f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f ( x , y ) ? c 在这点的法 线的一个方向相同，且 从数 值较低的等高线指向数 值较 高的等高线，而梯度的 模等 于函数在这个法线方向 的方 向导数．梯度的概念可以推广到三元函数三元函数u ? f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数，则对于每一点P ( x , y , z ) ? G ， 都可定义一个向量(梯度)?f ? ?f ? ?f ? gradf ( x , y , z ) ? i ? j ? k. ?x ?y ?z类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.类似地,设曲面 f ( x , y , z ) ? c 为函数u ? f ( x , y , z ) 的等量面，此函数在点 P ( x , y , z ) 的梯度的方向与 过点 P 的等量面 f ( x , y , z ) ? c 在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.例4求函数 u ? x 2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 3 x ? 2 y 在点 (1,1,2) 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？解 由梯度计算公式得?u ? ?u ? ?u ? gradu( x , y , z ) ? i ? j? k ?x ?y ?z? ? ? ? (2 x ? 3)i ? (4 y ? 2) j ? 6zk , ? ? ? 故 gradu(1,1,2) ? 5i ? 2 j ? 12k .3 1 在 P0 ( ? , ,0) 处梯度为 0. 2 2梯度的基本运算公式(2) grad (C u ) ? C grad u (4) grad ( u v ) ? u grad v ? v grad u思考题　讨论函数 z ? f ( x , y ) ? x ? y 在 (0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？2 2思考题解答?z ?x( 0,0 )f ( ?x ,0) ? f (0,0) ? lim ?x ?0 ?x| ?x | ? lim . ?x ? 0 ? x?z 同理： ?y| ?y | ( 0 , 0 ) ? lim ?y ? 0 ? y故两个偏导数均不存在.? 沿任意方向l ? { x , y , z }的方向导数,?z ?l ? lim? ?0f ( ?x , ?y ) ? f (0,0)( 0,0 )?2 2( ?x ) ? ( ?y ) ? lim ?1 2 2 ? ? 0 ( ?x ) ? ( ?y )故沿任意方向的方向导数均存在且相等.小结1、方向导数的概念2、梯度的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量）3、方向导数与梯度的关系梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .4、关系? 可微?f ? grad f ? l ?l0方向导数存在偏导数存在第五节 多元复合函数的求导法则一元复合函数求导法则 微分法则第九章本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分一、多元复合函数求导的链式法则定理. 若函数z ? f (u, v)处偏导连续, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则 d z ? z d u ? z dv ? ? ? ? d t ?u d t ?v d t证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量zutvt有增量△u ,△v , ?z ?z ? z ? ?u ? ?v ? o ( ? ) ?u ?v? z ? z ? u ? z ?v o( ? ) 2 2 ( ? ? (?u ) ? (?v) ) ? ? ? ? t ?u ? t ?v ? t ?t则有 ?u ? 0 , ?v ? 0 , ?u du ?v dv ? , ? ?t dt ?t dt? o( ? )zutvt?(△t＜0 时,根式前加“C”号)d z ? z d u ? z dv ? ? ? ? d t ?u d t ?v d t( 全导数公式 )说明: 若定理中偏导数连续减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立. u 2v 2 2 , u ? v ?0 2 2 例如: z ? f (u, v) ? u ? vu ?t, v?t易知:0,u 2 ? v2 ? 0但复合函数 z ? f ( t , t ) ? t 2 ? z du ? z dv dz 1 ? ? ? ? 0 ?1 ? 0 ?1 ? 0 ? ? ?u d t ?v d t dt 2推广: 设下面所涉及的函数都可微 .u ? ? (t ) , v ? ? (t ) , w ? ? (t ) ? z dv ? z dw d z ? z du ? ? ? ? ? ? ?v d t ?w d t d t ?u d t ? f1?? ? ? f 2?? ? ? f 3? ? ?1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z ? f (u, v, w) ,zu v wt t t2) 中间变量是多元函数的情形.例如,z ? f (u, v) , u ? ? ( x, y) , v ? ? ( x, y)? z ? z ?u ? z ?v ? ? f 2?? 1 ? ? ? ? ? ? f1??1 ? x ?u ? x ?v ? x ? z ? z ?u ? z ?v ? ? f 2?? 2 ? ? f1?? 2 ? ? ? ? ? y ?u ? y ?v ? yzu vxy xy又如, z ? f ( x, v) , v ? ? ( x, y )当它们都具有可微条件时, 有z? f?z ? f ? ?x ?x ?z ?y??1 ? ? f1? ? f 2 ?? 2 ? ? f2xvx y?z ? f 不同, 注意: 这里 与 ?x ?x ?z ?f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 ?x ?x口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导?z ?z 例1. 设 z ? e sin v , u ? x y , v ? x ? y , 求 , . ?x ? y ?z ? z ?v ? ? 解: ?x ?v ? xu? eu sin v?z ?y? eu cos v ?1zu v yx y? z ?v ? ? ?v ? yx? e sin vu? e cos v ? 1u例2. u ? f ( x, y, z ) ? ex2 ? y2 ? z 2?u ? f ? 解: ?x ?x? 2 xex2 ? y2 ? z 2?u ?u , z ? x sin y, 求 , ?x ? y2?2z e2x2 ? y2 ? z 2? 2 x sin yux y z? 2 x (1 ? 2 x sin y ) e?u ? f ? f ? z ? ? ? ? y ? y ?z ? y2x 2 ? y 2 ? x 4 sin 2 yxyx 2 ? y 2 ? x 4 sin 2 yy? 2 yex2 ? y2 ? z 2?2zex 2 ? y 2 ? z 2 ? x 2 cos? 2 ( y ? x sin y cos y ) e4dz . 例3. 设 z ? u v ? sin t , u ? e , v ? cos t , 求全导数 dt d z ? z du ?z ? ? ? 解: z d t ?u d t ?tt? vett? cos tu v t? e (cos t ? sin t ) ? cos ttt注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例4. 设f 具有二阶连续偏导数,?w ? 2 w w , f1? , f 2? 求 , . ? x ? x? z u v 解: 令 u ? x ? y ? z , v ? x y z , 则 w ? f (u, v) x y zx y z ?w ? ? yz ? f2 ?x ? ( x ? y ? z, x y z ) ? y z f2 ?2w ?? ? x y ?? ? x y ? f12 ? f 22 ? x? z 2 2 ? f ? f ? ? ? ? ? ? ? ? f ? y ( x ? z ) f ? x y z f ? y f ?? ? 2 11 , 引入记号 12 f1? ? ,22f12 ,? 为简便起见 ?u ?u ?v二、多元复合函数的全微分设函数 都可微, 则复合函数 z ? f (? ( x, y ) , ? ( x, y ) ) 的全微分为 ?z ?z dz ? dx ? d y ?x ?y ? z ?u ? z ?v ? ( ? ? ? )dy ?u ? y ?v ? y ?u ?u ?v ?v ( dx ? d y ) ( dx ? d y ) ?x ?y ?x ?ydudv可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.利用全微分形式不变性再解例1. 例 ５. 解: d z ? d( eu sin v )? e cos v dvud (x y)( yd x ? xd y)d ( x ? y) (dx ? d y ) dy? e x y [ y sin( x ? y ) ? cos(x ? y)]d x所以 例1 . z ? eu sin v, u ? x y, v ? x ? y, 求 ? z , ? z . ?x ? y例６已知 求解: 由两边对 x 求导, 得例７ 设函数在点f (1,1) ? 1,?f ?x(1,1)? 2,处可微 , 且 ?f ? 3, ? y (1,1)? ( x) ? f ( x, f ( x, x)) , 求解: 由题设 ? (1) ? f (1, f (1,1) ) ? f (1,1) ? 1d 3 d? 2 ? ( x) ? 3? ( x ) x ?1 dx dx x ? 1 ? 3 ? f1?( x, f ( x, x))? 3 ? ? 2 ? 3 ? (2 ? 3) ? ? 51? ( x, f ( x, x))? ? f2??x ?1练习题１?u ? f1? ?x ?u ? f1? ?y ?u ? ? f2 ?z1 ? f1? y? ? f2x 1 ? ? 2 f1? ? f 2? z yy ? ? 2 f 2? z练习题 ２?z ? f1? ?x?2 z ? ? x? y? ? f2?? ? f 11 ?? ? f 23 ?? ? f 21 ?? ? f 13第六节 隐函数的求导方法一、一个方程所确定的隐函数 及其导数二、方程组所确定的隐函数组 及其导数第九章本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C & 0 时, 能确定隐函数; 当 C & 0 时, 不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性及求导方法问题 .一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) ? 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) ? 0则方程 导数的某邻域内可唯一确定一个 并有连续单值连续函数 y = f (x) , 满足条件Fx dy ?? dx Fy(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：则两边对 x 求导在的某邻域内 Fy ? 0Fx dy ?? dx Fy若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有二阶导数 :Fx ? Fyd y Fx Fx d y ? ? ? (? ) ? (? ) 2 ? x Fy ? y Fy d x dx????2x y x2 FyFx x Fy ? Fy x Fx2 Fy?Fx y Fy ? Fy y FxFx (? ) FyFx x Fy 2 ? 2 Fx y Fx Fy ? Fy y Fx 2 Fy3例1. 验证方程可确定一个单值可导隐函数在点(0,0)某邻域并求dy d2 y , dx x ? 0 dx 2 x ? 0解: 令 F ( x, y ) ? sin y ? e ? x y ? 1, 则x① Fx ? e x ? y, Fy ? cos y ? x 连续 ,② F (0,0) ? 0 , ③ Fy (0,0) ? 1 ? 0 由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且x Fx dy e ? y ?? ?? cos y ? x x ? 0, y ? 0 d x x ? 0 Fy x ? 0d y dx 2 x ? 02d ex ? y ?? ( ) d x cos y ? x??( e x ? y?)(cos y ? x) ? (e x ? y )(? sin y ? y? ? 1)( cos y ? x )2? ?3x?0 y?0 y ? ? ?1导数的另一求法 ― 利用隐函数求导sin y ? e x ? x y ? 1 ? 0, y ? y( x)两边对 x 求导y?x?0ex ? y ?? cos y ? x (0,0)两边再对 x 求导? sin y ? ( y?) 2 ? cos y ? y??令 x = 0 , 注意此时 y ? 0 , y? ? ?1d2 y ? ?3 2 x?0 dx定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) ? 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) ? 0 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx ?z ?? , ?x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,Fy ?z ?? ?y Fz定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:则F ( x, y , f ( x , y ) ) ? 0两边对 x 求偏导?z Fx ? Fz ?0 ?xFx ?z ?? ?x Fz同样可得Fy ?z ?? ?y Fz2 ? z 2 2 2 例 2. 设 x ? y ? z ? 4 z ? 0 , 求 2 . ?x 解法1 利用隐函数求导 ?z x ?z ?z ? 2x ? 2z ? 4 ? 0 ? x 2? z ?x ?x再对 x 求导2??z 2 1? ( ) ?x? z ?4 2 ?0 ?x2解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 z 则 Fx ? 2x , Fz ? 2z ? 4?x x Fx ?z ?? ? ?? z?2 2? z ?x Fz两边对 x 求偏导?2z ? x ? ( ) 2 ?x 2 ? z ?x(2 ? z ) 2 ? x 2 ? (2 ? z )3例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数, 则z F1? ?z ? ?? y x ? x F1? ? y F2 ?x ? ? (? 2 ) F1? ? (? 2 ) ? F2zzF1? ? 1 z?z ?? y x ?y ? ? F1 ? (? 2 ) ? F2 ? (? 2 )z z? ?1 F2 z? z F2 ? ? x F1? ? y F2故Fx ?z z ?z ?z (F1?d x ? dz ? dx ? d y ? ?F ?2?d y) x F1? ? y F2? ? x ?x ?y Fz解法2 微分法. 对方程两边求微分:x y ? ? d( ) ? 0 F1? ? d( ) ? F2 z z z d x ? xd z zd y ? y d z ? F1?? ( ) )?0 ? F ?( 2 2 2 z z ?dy ? F1?d x ?F2 xF1?? y F2 ? d z z z2 z ? d y) dz ? (F1?d x ? F2 ? x F1? ? y F2二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即?u ? u ( x, y ) ? F ( x, y , u , v ) ? 0 ? ? ? v ? v ( x, y ) ?G ( x, y, u, v) ? 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式?( F , G ) Fu J? ? Gu ?(u, v)Fv Gv称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.定理3. 设函数 ① 在点导数；满足:的某一邻域内具有连续偏② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) ? 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) ? 0 ;③J?( F , G) ? P ?(u, v)?0P则方程组 F ( x, y, u, v) ? 0 , G ( x, y, u, v) ? 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 ? u( x0 , y0 ) ,v0 ? v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u ? u( x, y) , v ? v( x, y), 且有偏导数公式 :Fx Fv 1 ?u 1 ?( F , G ) ?? ?? Fu Fv G x Gv ?x J ? ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 ?u 1 ?( F , G ) ?? ?? Fu Fv G y Gv ?y J ?( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 ?v 1 ?( F , G ) ?? ?? Fu Fv Gu G x ?x J ?( u, x ) Gu Gv 定理证明略. Fu Fy 1 ?v 1 ?( F , G ) ?? 仅推导偏导数 ? y ? ? J ?( u , y ) Fu Fv Gu G y 公式下： Gu Gv? F ( x, y , u , v ) ? 0 有隐函数组 设方程组 ? ?G ( x, y, u , v) ? 0则两边对 x 求导得?u 这是关于 , ?x系数行列式 J ??u ?v Fx ? Fu ? ? Fv ? ? 0 ? ?x ?x ? ? Gx ? Gu ? ?u ? Gv ? ?v ? 0 ?x ?x ?v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 ?xFu Fv Gu Gv ? 0 , 故得?u 1 ?( F , G ) ?? ?x J ?( x, v )?v 1 ?( F , G ) ?? ?x J ?( u , x )同样可得?u 1 ?( F , G ) ?? ?y J ?( y , v ) ?v 1 ?( F , G ) ?? ?y J ?( u , y )?u ?u ?v ?v , , , . 例4. 设 x u ? y v ? 0 , y u ? x v ? 1, 求 ?x ? y ?x ? y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 ?u ?v x ? y ? ?u ?u ?v ?x ?x , 练习: 求 ?u ?v ?y ?y y ? x ? ?v 答案: ?x ?x ?u y u ? xv x ?y 2 2 ?? 2 由题设 J ? ?x ?y ?0 2 ? y x ? y y x ?v xu ? yv ?u 1 ?u ? y xu ? yv ?? 2 ? 2 ?? 2 ? y x ? y 2 ? x J ?v x x ?y 故有 xv ? yu ?v 1 ?? 2 ? 2 x ?y ?x J例5.设函数邻域内有连续的偏导数,且在点(u,v) 的某一1) 证明函数组在与点 (u, v) 对应的点( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数. 解: 1) 令 F ( x, y, u, v) ? x ? x (u, v) ? 0G( x, y, u, v) ? y ? y (u, v) ? 0则有? ( F , G ) ? ( x, y ) J? ? ? 0, ? ( u, v ) ? ( u, v )由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数.① ①式两边对 x 求导, 得 ? x ?u ? x ?v ? ? 1? ? ?u ? x ?v ? x ? y ?u ? y ?v 0? ? ? ? ?u ? x ?v ? x②注意 J ? 0, 从方程组②解得 ?x 1 ?v ?u 1 1 ? y ?v 1 ? ? ? , ? x J 0 ? y J ?v ? x J ?v同理, ①式两边对 y 求导, 可得?x 1 1?y ?u ?? ?y J ?u 0 ?u?u 1?x ?? , ?y J ?v?v 1 ? x ? ? y J ?u例5的应用: 计算极坐标变换 x ? r cos? , y ? r sin ?的反变换的导数 .由于 所以?rr 1?y ?u ? ? x J ?? v ?? v 1?y ?? r ?x J ?ux ?r 1 ? y 1 ? r cos ? ? cos ? ? 2 ? ? x J ?? r x ? y2y 1?y ?? 1 ?? ? ? sin ? ? ? 2 J ?r ?x r x ? y2 ?r y ?? x ? ? 2 同样有 2 2 2 ?y ? y x ? y x ?y备用题 1. 设又函数有连续的一阶偏导数 , 分别由下列两式确定 :x ? z sin texyt 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得? x y ? 2 , e ? ?0xdt ,ux y z解得因此e x ( x ? z) z? ? 1 ? sin( x ? z ) du y e x ( x ? z) ? f 3? ? f1? ? f 2? ? ?1 ? dx x sin( x ? z )x x2. 设是由方程 所确定的函数 , 求和解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得(1 ? y?)dz ? ? dx?x f? f ?x f? Fy ? Fx ?x f? 1Fy Fz( f ? x f ?) Fy ? x f ? ? Fx ? Fy ? x f ? ? Fz( Fy ? x f ? ? Fz ? 0)解法2 微分法.z ? x f ( x ? y), F ( x, y, z ) ? 0对各方程两边分别求微分:化简得? x f ?d y? F2? d ydz 消去 d y 可得 . dx第七节 多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线第九章一、空间曲线的切线与法平面? x ? ? (t ) ? 设空间曲线的方程 ? y ? ? ( t ) ? z ? ? (t ) ?(1)(1)式中的三个函数均可导.z??M?设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t ? t0 ;M ?( x0 ? ?x , y0 ? ?y , z0 ? ?z ) 对应于 t ? t0 ? ?t .xoMy割线 MM ? 的方程为z??M?x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 ? ? ?x ?y ?zMxoy考察割线趋近于极限位置――切线的过程 上式分母同除以 ?t ,x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? , ?x ?y ?z ?t ?t ?t当M ? ? M ,即?t ? 0时 ,曲线在M处的切线方程x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? . ? ?(t0 ) ? ?(t0 ) ? ?(t0 )切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.? T ? ?? ?( t0 ),? ?( t0 ),? ?( t0 )?法平面：过M点且与切线垂直的平面.? ?(t0 )( x ? x0 ) ? ? ?(t0 )( y ? y0 ) ? ? ?(t0 )( z ? z0 ) ? 0例1u ? : 求曲线 x ? ?0 e cos udu ，y ? 2 sin tt? cos t , z ? 1 ? e 3 t 在t ? 0 处的切线和法平面方程.解 当t ? 0时， x ? 0, y ? 1, z ? 2,x? ? e t cos t , y? ? 2 cos t ? sin t , z? ? 3e 3 t ,? x?(0) ? 1,切线方程y?(0) ? 2, z?(0) ? 3,x ?0 y ?1 z ? 2 ? ? , 1 2 3 法平面方程 x ? 2( y ? 1) ? 3( z ? 2) ? 0,即 x ? 2 y ? 3 z ? 8 ? 0.? y ? ? ( x) , 2.空间曲线方程为 ? ?z ? ? ( x)在M ( x0 , y0 , z0 )处,切线方程为x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 ? ? , 1 ? ? ( x 0 ) ? ?( x 0 )法平面方程为( x ? x0 ) ? ? ?( x0 )( y ? y0 ) ? ? ?( x0 )( z ? z0 ) ? 0.? F ( x, y, z ) ? 0 3.空间曲线方程为 ? , ?G ( x , y , z ) ? 0x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? , 切线方程为 Fy Fz Fz Fx Fx Fy G y Gz 0 Gz G x 0 G x G y 0法平面方程为Fy Gy Fz Gz 0 ( x ? x0 ) ? Fz Gz Fx Gx 0 ( y ? y0 ) ? Fx Gx Fy Gy 0 ( z ? z0 )? 0.2 2 2 x ? y ? z ? 6， x ? y ? z ? 0在 例 2 求曲线 点(1,?2, 1)处的切线及法平面方程.解 1 直接利用公式;x 求导并移项，得 解 2 将所给方程的两边对dz ? dy y ? z ? ? x ? dx dx ? ? ? dy ? dz ? ?1 ? dx dxdy z ? x ? , dx y ? zdz x ? y ? , dx y ? z?dy ? 0, dx (1, ?2 , 1)dz ? ?1, dx (1, ?2 , 1)由此得切向量? T ? {1, 0,?1},x ?1 y ? 2 z ?1 ? ? , 所求切线方程为 1 0 ?1法平面方程为 ( x ? 1) ? 0 ? ( y ? 2) ? ( z ? 1) ? 0,?x?z?0二、曲面的切平面与法线设曲面方程为? nMF ( x, y, z ) ? 0在曲面上任取一条通 过点M的曲线? T? 曲线在M处的切向量 T ? {? ?(t0 ), ? ?(t0 ), ? ?(t0 )},? x ? ? (t ) ? ? : ? y ? ? ( t ), ? z ? ? (t ) ?? ? 则 n?T , 由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条 ? n 垂直，故 曲线，它们在 M 的切线都与同一向量 曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一 平面上，这个平面称为曲面在点 M 的切平面.? 令 n ? { Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}切平面方程为Fx ( x0 , y0 , z0 )( x ? x0 ) ? Fy ( x0 , y0 , z0 )( y ? y0 ) ? Fz ( x0 , y0 , z0 )( z ? z0 ) ? 0通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.法线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? Fx ( x0 , y0 , z0 ) F y ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在M处的法向量即? n ? { Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}特殊地：空间曲面方程形为 z ? f ( x , y )令 F ( x, y, z ) ? f ( x, y ) ? z,曲面在M处的切平面方程为f x ( x0 , y0 )( x ? x0 ) ? f y ( x0 , y0 )( y ? y0 ) ? z ? z0 ,曲面在M处的法线方程为x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) ?1全微分的几何意义因为曲面在M处的切平面方程为z ? z0 ? f x ( x0 , y0 )( x ? x0 ) ? f y ( x0 , y0 )( y ? y0 )切平面 上点的 竖坐标 的增量函数z ? f ( x, y )在点( x0 , y0 )的全微分z ? f ( x , y ) 在( x0 , y0 ) 的全微分，表示 曲面 z ? f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 , z 0 ) 处的切平面上的点的竖坐标的增量.? 表示曲面的法向量的方向角， 若? 、? 、 并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z ? 是锐角，则法向量的方向 轴的正向所成的角 余弦为 ? fx cos? ? , 2 2 1 ? fx ? f ycos ? ? ? fy2 x 2 y1? f ? f 1 cos ? ? . 2 2 1 ? fx ? f y,其中f x ? f x ( x0 , y0 )f y ? f y ( x 0 , y0 )例 3求旋转抛物面 z ? x 2 ? y 2 ? 1 在点( 2,1,4)处的切平面及法线方程.解f ( x, y ) ? x ? y ? 1,2 2? n ( 2,1, 4 ) ? {2 x , 2 y , ? 1} ( 2,1,4 )? {4, 2,?1},切平面方程为 4( x ? 2) ? 2( y ? 1) ? ( z ? 4) ? 0,? 4 x ? 2 y ? z ? 6 ? 0,法线方程为x ? 2 y ?1 z ?4 ? ? . 4 2 ?1例 4求曲面 z ? e z ? 2 xy ? 3 在点(1,2,0) 处的z切平面及法线方程.解 令 F ( x, y, z ) ? z ? e ? 2 xy ? 3,Fx? (1, 2, 0 ) ? 2 y (1, 2, 0 ) ? 4, Fy? (1, 2 , 0 ) ? 2 x (1, 2 , 0 ) ? 2,Fz? (1, 2 , 0 ) ? 1 ? e z (1, 2 , 0 ) ? 0,切平面方程 4( x ? 1) ? 2( y ? 2) ? 0 ? ( z ? 0) ? 0,? 2 x ? y ? 4 ? 0,法线方程x ?1 y ? 2 z ? 0 ? ? . 2 1 0例 52 2 2 x ? 2 y ? 3 z ? 21 平行于平面 求曲面x ? 4 y ? 6 z ? 0 的各切平面方程.解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点, 切平面方程为2 x0 ( x ? x0 ) ? 4 y0 ( y ? y0 ) ? 6z0 ( z ? z0 ) ? 0依题意，切平面方程平行于已知平面，得2 x 0 4 y0 6 z 0 ? ? , ? 2 x0 ? y0 ? z0 . 1 4 6因为 ( x0 , y0 , z0 ) 是曲面上的切点， 满足方程 ? x0 ? ?1, 所求切点为 (1,2,2), ( ?1,?2,?2), 切平面方程(1)2( x ? 1) ? 8( y ? 2) ? 12( z ? 2) ? 0 ? x ? 4 y ? 6 z ? 21切平面方程(2)? 2( x ? 1) ? 8( y ? 2) ? 12( z ? 2) ? 0 ? x ? 4 y ? 6 z ? ?21思考题如果平面3 x ? ?y ? 3 z ? 16 ? 0 与椭球面3 x ? y ? z ? 16 相切，求 ?.2 2 2思考题解答设切点 ( x0 , y0 , z0 ), 依题意知切向量为? n ? {6 x0 , 2 y0 , 2 z0 },{3, ? ,?3}? y0 ? ?x0 , z0 ? ?3 x0 ,6 x0 2 y0 2 z0 ? ? 3 ? ?3切点满足曲面和平面方程? 3 x0 ? ?2 x0 ? 9 x0 ? 16 ? 0 , ? 2 2 2 2 ? 3 x0 ? ? x0 ? 9 x0 ? 16 ? 0? ? ? ?2.2 2 2 x ? y ? z ? 6 , x ? y ? z ? 0 在点 备用题. 求曲线M ( 1,C2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1 令? ( F , G) ? ( y, z )M则2 y 2z ? 1 1? 2 ( y ? z)MM? ?6 ;切向量 切线方程T ? ( ? 6, 0 , 6 )?x ? z ? 2 ? 0 即 ? y?2?0 ?法平面方程即? 6 ? ( x ? 1) ? 0 ? ( y ? 2) ? 6 ? ( z ? 1) ? 0 x?z ?0解法2. 方程组两边对 x 求导, 得?x z ? 1 1 z ? x dz dy ? ? , ? 解得 y z y ? z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,C2, 1) 处有: dy dz 切向量 T ? ? , ? 1, dx M dx M ?y ?x 1 ?1 x? y ? y z y?z 1 1? ? ? (1, 0 , ? 1) ?点 M (1,C2, 1) 处的切向量T ? (1, 0 , ? 1)切线方程即 法平面方程 1 ? ( x ? 1) ? 0 ? ( y ? 2) ? (?1) ? ( z ? 1) ? 0即x?z ?0备用题. 确定正数? 使曲面 x y z ? ? 与球面 在点 M ( x0 , y0 , z0 ) 相切. 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为n2 ? ( x0 , y0 , z0 )二曲面在点 M 相切, 故 n1 // n2 , 因此有 x0 y0 z0 x0 y0 z0 x0 y0 z0 ? ? 2 x0 y02 z02又点 M 在球面上,于是有a3 ? ? x0 y0 z0 ? 3 3证明 备用题. 设 f ( u ) 可微 , 曲面 切平面都通过原点.上任一点处的 则通过此提示: 在曲面上任意取一点点的切平面为?z z ? z0 ? ?x?z ( x ? x0 ) ? ?y MM( y ? y0 )证明原点坐标满足上述方程 .备用题1. 证明曲面 F ( x ? m y , z ? n y ) ? 0 的所有切平面恒 与定直线平行, 其中F (u, v)可微 . 证: 曲面上任一点的法向量n ? ( F1? , F1? ? (?m) ? F2? ? (?n) , F2? )取定直线的方向向量为 l ? ( m , 1 , n) 则 l ? n ? 0 , 故结论成立 .(定向量)? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3x ? 0 2. 求曲线 ? 在点(1,1,1) 的切线 ?2 x ? 3 y ? 5 z ? 4 ? 0 与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为n1 ? (2 x ? 3 , 2 y , 2 z ) (1,1,1) ? (?1, 2 , 2 )n 2 ? (2 , ? 3 , 5 )因此切线的方向向量为 l ? n1 ? n 2 ? (16 , 9 , ? 1) x ?1 y ?1 z ?1 ? ? 由此得切线:169?1法平面: 16( x ? 1) ? 9( y ? 1) ? ( z ? 1) ? 0即16 x ? 9 y ? z ? 24 ? 0第八节 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值 二、最值应用问题第九章三、条件极值一、 多元函数的极值定义: 若函数的某邻域内有则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值.z z zy y yx x x定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有存在? ( x0 , y0 ) ? 0 f x? ( x0 , y0 ) ? 0 , f y证: 取得极值 , 故 取得极值 取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .但驻点不一定是极值点. 例如,有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.定理2 (充分条件) 若函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且f x ( x0 , y0 ) ? 0 , f y ( x0 , y0 ) ? 0令 A ? f x x ( x0 , y0 ) , B ? f x y ( x0 , y0 ) , C ? f y y ( x0 , y0 )则: 1) 当AC ? B ? 0 时, 具有极值2) 当 AC ? B ? 0 时, 没有极值.22A&0 时取极大值;A&0 时取极小值.3) 当 AC ? B 2 ? 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (C3, 0) , (C3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数的极值.BCf x x ( x, y ) ? 6 x ? 6 , f x y ( x, y ) ? 0 , f y y ( x, y ) ? ?6 y ? 6A在点(1,0) 处AC ? B ? 12 ? 6 ? 0 , A ? 0 ,2为极小值;在点(1,2) 处AC ? B 2 ? 12 ? (?6) ? 0 ,在点(?3,0) 处不是极值; 不是极值;AC ? B ? ?12 ? 6 ? 0 ,在点(?3,2) 处2AC ? B ? ?12 ? (?6) ? 0 , A ? 0 ,为极大值.2f x x ( x, y ) ? 6 x ? 6 , f x y ( x, y ) ? 0 , f y y ( x, y ) ? ?6 y ? 6ABC例2.讨论函数是否取得极值.及在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有解: 显然 (0,0) 是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值zo xy正可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值. 0 因此 为极小值.当 x 2 ? y 2 ? 0 时, z ? ( x 2 ? y 2 ) 2 ? z (0,0) ? 0二、最值应用问题依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值? 驻点 最值可疑点 ? ? 边界上的最值点特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,f ( P) 为极小(大) 值f ( P) 为最小(大)值例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m ,则水箱所用材料的面积为2 ? 2? x y ? 2 ? x y?令Ax ? 2( y ?Ay ? 2( x ?2)?0 x2 2)?0 y2得驻点 ( 3 2 , 3 2 )根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2高为 3 232? 2? 3 2 时, 水箱所用材料最省.例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面 积最大. 解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为? , 则断面面积 1 为 ( 24 ? 2 x ? 2 x cos ? ) ? x sin ? 2? 24 x sin ? ? 2 x sin ? ? x cos ? sin ? ( D : 0 ? x ? 12 , 0 ? ? ? ? ) 2x22? x24 ? 2 x24A ? 24 x sin ? ? 2 x 2 sin ? ? x 2 cos ? sin ? ( D : 0 ? x ? 12 , 0 ? ? ? ? ) 2令Ax ?24 sin ? ? 4 x sin ? ? 2 x sin ? cos ? ? 0 A? ? 24 x cos ? ? 2 x 2 cos ? ? x 2 (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 0解得:sin ? ? 0 , x ? 0 12 ? 2 x ? x cos ? ? 0 24 cos ? ? 2 x cos ? ? x(cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 0 ? ? ? ? 60? , x ? 8 (cm) 3由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.三、条件极值极值问题 无条件极值: 对自变量只有定义域限制条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,在条件 ? ( x, y ) ? 0 下, 求函数 z ? f ( x, y) 的极值转 化从条件 ? ( x, y ) ? 0中解出 y ? ? ( x)求一元函数 z ? f ( x,? ( x)) 的无条件极值问题方法2 拉格朗日乘数法. 例如,在条件 ? ( x, y ) ? 0 下, 求函数 z ? f ( x, y) 的极值 .如方法 1 所述 , 设 ? ( x, y ) ? 0 可确定隐函数 y ? ? ( x) , 则问题等价于一元函数 z ? f ( x,? ( x)) 的极值问题, 故 极值点必满足 dz dy ? fx ? f y ?0 dx dx ?x dy ?x 因 ? ? , 故有 f x ? f y ?0 dx ?y ?y 记?xfx?fy?y???极值点必满足f x ? ?? x ? 0 f y ? ?? y ? 0 ? ( x, y) ? 0引入辅助函数 F ? f ( x, y ) ? ? ? ( x, y)则极值点满足:辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 例如, 求函数 u ? f ( x, y, z ) 在条件 ? ( x, y, z ) ? 0 ,推广? ( x, y, z ) ? 0下的极值. 设 F ? f ( x, y, z ) ? ?1? ( x, y, z ) ? ?2? ( x, y, z )解方程组可得到条件极值的可疑点 .例5. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y , z 使在条件 x y z ? V0 下水箱表面积 S ? 2( x z ? y z ) ? x y 最小. 令 F ? 2( x z ? y z ) ? x y ? ? ( x y z ? V0 )zxy2z ? y ? ? y z ? 0解方程组2z ? x ? ? x z ? 02( x ? y) ? ? x y ? 0 x y z ? V0 ? 04 得唯一驻点 x ? y ? 2z ? 3 2V0 , ? ? 3 ? 2V0由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 利用对称性可知, x ? y ? z ? 3 V0V0 , 4zy2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?提示: F ? 2( x z ? y z ) ? 2 x y ? ? ( x y z ? V0 )长、宽、高尺寸相等 .思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0, y ? 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4 △ABC 面积 S△最大. A y解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y),DCB则o ? E ? ? i j k 1 3 ? 1 0 ? (0 , 0, x ? 3 y ? 10) 2 x ?1 y ? 3 01 ? x ? 3 y ? 10 2x2 2 x y 设拉格朗日函数 F ? ( x ? 3 y ? 10) 2 ? ? (1 ? ? ) 9 4 2? 2( x ? 3 y ? 10) ? x?0 9 解方程组 6( x ? 3 y ? 10) ? 2? y ? 0 4 x2 y2 1? ? ?0 9 4 3 4 ,y? , 对应面积 S ? 1.646 得驻点 x ? 5 5 而 SD ? 2 , SE ? 3.5 , 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则x ? y ? z ? 2? ,x?0, y ?0, z ?0它们所对应的三个三角形面积分别为2 S3 ? 1 R sin z 2设拉氏函数 F ? sin x ? sin y ? sin z ? ? ( x ? y ? z ? 2? )cos x ? ? ? 0 2? cos y ? ? ? 0 x ? y ? z ? , 得 解方程组 3 cos z ? ? ? 0 x ? y ? z ? 2? ? 0故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 2 R 2? 3 3 2 S max ? ? 3 sin ? R . 2 3 4xz y2. 求平面上以 a , b , c , d 为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?ad??b提示:1 1 目标函数 : S ? ab sin ? ? c d sin ? 2 2 (0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? )c约束条件 : a 2 ?b 2 ? 2ab cos ? ? c 2 ? d 2 ? 2cd cos ? 答案: ? ? ? ? ? , 即四边形内接于圆时面积最大 .3.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.x2 y2 z 2 解: 设 F ( x, y, z ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 1, 切点为 a b c 则切平面的法向量为 2 x0 2 y0 2 z0 ? ? n ? ( Fx , Fy , Fz ) , 2 , 2 ? 2 M ?? ? a b c ? 切平面方程即x0 y0 z0 x ? 2 y ? 2 z ?1 2 a b ca2 x0 2?b2 y0 2?c2 z0 2?1a2 b2 c2 , , 切平面在三坐标轴上的截距为 x0 y 0 z 0a2 2 b2 2 c2 2 问题归结为求 s ? ? ? ?? ? ?? ? x y z 2 2 2 x y z 在条件 2 ? 2 ? 2 ? 1 下的条件极值问题 . a b c 设拉格朗日函数 a2 F ?? x2 2 2 2 2 b c x y z 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? 2 ? 2 ?1 ? y z ? a ? b c ( x ? 0 , y ? 0 , z ? 0)令 x a2 a2 ? 2 ? 2? 2 ? 0 Fx ? ?2? x x a b2 b2 y ? 2 ? 2? 2 ? 0 Fy ? ?2? y y b唯一驻点c2 c2 z ? 2 ? 2? 2 ? 0 Fz ? ?2? z z c由实际意义可知为所求切点 .4求旋转抛物面与平面之间的最短距离. 则P 解：设 为抛物面 z ? x 2 ? y 2 上任一点， 到平面 x ? y ? 2 z ? 2 ? 0 的距离为 问题归结为 目标函数: ( x ? y ? 2 z ? 2) 2 (min)约束条件: x 2 ? y 2 ? z ? 0 作拉氏函数F ( x, y, z ) ? ( x ? y ? 2 z ? 2) 2 ? ? ( z ? x 2 ? y 2 )F ( x, y, z ) ? ( x ? y ? 2 z ? 2) 2 ? ? ( z ? x 2 ? y 2 )? ? 2( x ? y ? 2 z ? 2) ? 2? x ? 0 Fx令? ? 2( x ? y ? 2 z ? 2) ? 2? y ? 0 FyFz? ? 2( x ? y ? 2 z ? 2)(?2) ? ? ? 0z ? x2 ? y21 1 1 解此方程组得唯一驻点 x ? , y ? , z ? . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故?7 4 65第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示: 设切点为则切平面为1 a 2b 2 c 2 所指四面体围体积 V ? 6 x0 y0 z0 V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大, 故取拉格朗日函数 x2 y2 z 2 F ? x y z ? ? ( 2 ? 2 ? 2 ? 1) a b c 用拉格朗日乘数法可求出a b c 解得： x0 ? , y0 ? , z0 ? , 3 3 3 3 ? ? ? 3abc 4 a b c ?所 求 点 为 ( , , ), 极 值 为 3abc 3 3 32 2 x y z x ? y ? 1 6.求平面 和柱面 ? ? ?1 3 4 5的交线上与xOy平面距离最短的点.2 2 由题意得，就是要在的 x ? y ? 1条件下 解:x y 使Z ? 5(1 ? ? )有最小值 3 4 x y 令f ? 5(1 ? ? ) ? ? (1 ? x 2 ? y 2 ) 3 4 由f x ? f y ? f ? ? 0得 ： ? 5 ? ? 3 ? 2 ?x ? 0 ? ? 5 ? 2 ?y ? 0 ?? ? 4 ?1 ? x 2 ? y 2 ? 0 ? ?25 4 3 ?? ? ? , x ? , y ? 24 5 5 35 ?Z ? 12 4 3 35 ?为( , , )与 面xoy最 短 点 5 5 12 第九章：多元函数微分学2012(方向导数在前)―汇集和整理大量word文档,专业文献,应用文书,考试资料,教学教材,办公文档,教程攻略,文档搜索下载下载,拥有海量中文文档库,关注高价值的实用信息,我们一直在努力,争取提供更多下载资源。}