会解答已知一个数的几分之几是多少求这个数的实际问题。
3. 理解比的意义，知道比与分数、除法的关系，并能类推出比的基本性质。能够正确地化简比和求比值。
.能运用比的知识解决有关的实际问题。
三、分数除法
（一）教学目标
1. 理解并掌握分数除法的计算方法，会进行分数除法计算。
2. 会解答已知一个数的几分之几是多少求这个数的实际问题。
3. 理解比的意义，知道比与分数、除法的关系，并能类推出比的基本性质。能够正确地化简比和求比值。
4. 能运用比的知识解决有关的实际问题。
（二）教材说明和教学建议
1. 本单元内容的结构及其地位作用。
本单元是在学生已经掌握了分数乘法的基础上，学习分数除法和比的初步知识。主要内容包括：分数除法的意义与计算；解决问题；比的意义与基本性质，求比值与化简比，及其比的应用。
本单元的内容和学生前面学习的很多知识具有比较直接的联系。如分数除法，除了与分数乘法的意义、计算及其应用有联系外，还与整数除法的意义，以及解方程的技能有关。而比的初步知识，则要用到分数和除法的一些基础知识。
通过本单元的学习，学生一方面基本上完成了分数加、减、乘、除的学习任务，比较系统地掌握了分数的四则运算；另一方面又开始了比的初步知识的系统学习，为后面学习百分数和比例提供了基础。两方面的收获，都将在进一步的学习中发挥重要的作用。
本单元由三小节组成，各小节内容的编排体系及其内在联系如下图所示。
从上面的图示，不难看出教材内容之间的内在联系。
就学习分数除法而言，首先要明确分数除法的运算意义，在此基础上探究并掌握它的计算方法，然后学习分数混合运算。
关于分数除法中的解决问题，主要有两种情况，一种是问题情境的数量关系与整数除法的实际问题相同，区别只是数据由整数变成了分数。教材安排在第1节里学习。另一种是问题情境的数量关系具有一定的特殊性，表现为已知一个数的几分之几是多少，要求这个数。这样的实际问题，与上一单元求一个数的几分之几是多少的实际问题，具有紧密的内在联系，即数量关系相同，区别在于已知数与未知数交换了位置。
类似地，比的初步知识，也大体上显现出由概念到性质、方法，再到应用的递进学习过程。
把“比”安排在本单元中教学，主要有两点好处：第一，比和分数有密切的联系，如两个数的比可以用分数形式来表示。加强比和分数的联系，有利于加深学生对分数意义的理解和对比的认识，也有利于提高学生灵活运用知识解决简单实际问题的能力。第二，提早教学比的概念，可以为后面教学圆周率、百分数、统计图表等做好准备。例如，学生有了比的概念，就容易理解百分数为什么又叫做百分比。在这一节教材中，有关比的应用，只讲按比例分配的计算问题。
2. 本单元教材的编排特点。
与原教材相比，本单元教材的编写有不少改进，主要体现在以下几方面。
（1）关注相关知识的类比，帮助学生理解所学知识。
本单元的教材，根据有关知识的内在联系，精心提供了一系列类比思维的素材，引导学生由此及彼，利用已有的知识，理解新学内容。
例如，在讨论分数除法意义时，由整数除法的实际问题引入，通过将整数（单位：克）改写成分数（单位：千克），导出分数除法，以帮助学生理解分数除法的运算意义与整数除法相同。
又如，引导学生联系比和除法、分数的关系，研究并得出比的基本性质。
再如，教学比的应用时，呈现了整数问题的解法和分数解法，帮助学生理解两种解法的内在联系，促进知识的融会贯通，提高应用知识的灵活性。
（2）借助操作与图示，引导学生探索并理解分数除法的计算方法。
分数除法计算方法的探索与理解，历来是教学的一个难点。教材根据小学生的思维特点，采用手脑并用、数形结合的策略，加以突破。
在教学分数除以整数时，例题设计了一个折纸活动，让学生通过动手操作，探索计算结果，并理解算理：把一个数平均分成几份，就是求这个数的几分之一。
在教学整数除以分数时，教材引导学生画出线段图，凭借图示，将新问题转化为已经解决的问题，进而得出计算方法。
（3）部分内容作了适当的精简或加强处理。
根据《标准》，本单元分数除法的计算不包括带分数，但注意在练习中适当穿插一些假分数。这样既保证了《标准》改革意图的落实，又能满足以后进一步学习时的计算需要。
此外，本单元教材专门设置了一道例题，以实际问题为载体，引出分数混合运算。同时也能使学生初步看到分数除法在解决一般实际问题中的应用，从而突破了原来只讨论分数除法典型应用题的局限，有利于增强学生的数学应用意识。
（4）调整了分数除法应用问题的编排，鼓励学生用方程解决问题。
本单元的第二节“解决问题”，专门讨论比较典型的分数除法实际问题。同时还将原来安排在分数、小数四则混合运算单元的两步计算的实际问题，移来一并学习。在解题方法的处理上，教材提倡抓住等量关系用方程解决问题。这样，由列出形如(a/b)x=c的方程，到列出形如x±(a/b)x=c的方程，思路统一，便于理解。而且衔接紧密，较为有效地降低了学习的难度，便于学生拾阶而上。
1. 充分利用教材，促进学习迁移。
如前介绍，本单元教材在揭示相关知识的内在联系，提供类比思维的材料方面，作了不少努力。教学时，应充分利用这些资源，激活学生已有的知识经验，引导他们展开类比思维，以促进学习的正向迁移。实际上，这也是本单元的课堂教学中，落实学生的主体地位，发挥教师主导作用的有效途径。
2. 加强直观教学，结合操作和图形语言，探索、理解计算方法。
为了引导学生参与探索分数除法计算方法的过程，并能有所发现，有所感悟，教材设计了折纸与画图的教学活动。教学时，教师要用好这些直观手段，给学生动手的机会和较充分的时间，让更多的学生真正在操作、观察的过程中，凭借直观，发现算法，感悟算理。而要提高这些教学活动的有效性，还需要教师给予适当的点拨，引导学生数形结合，边操作、边观察、边思考，并通过讨论、交流，在理解的基础上得出算法，进而掌握算法。
3. 抓住学习的关键，组织针对性练习。
我们知道，计算分数除法的关键步骤，是把除转化为乘；列方程解答分数除法问题的关键，则在于理解问题情境中的等量关系。因此，抓住这两个关键，组织开展针对性的专项练习，是提高学习成效的重要措施。教材中已经配备了一些这样的练习。教师还可从本班学生的实际出发，酌情加以增补，力求当堂巩固。
4. 本单元内容可用13课时进行教学。
1. 分数除法
（三）各小节的教材说明和教学建议
1. 分数除法（第28～36页）
这部分内容是在本册第二单元中分数乘法的基础上教学的。这是本单元教学的重点。教材由四道例题和两个练习组成。四道例题可以分成三段。
第一段通过例1，让学生理解分数除法的运算意义。
我们知道，分数除法的意义和整数除法的意义相同，都定义为乘法的逆运算。但由于分数乘法的含义有了扩展，分数除法作为它的逆运算，具体含义也自然有了扩展。因此教学分数除法的意义时，可以用“同数连加”的实际例子引出两道除法题来说明，也可以用“求一个数的几分之几是多少”的实际例子引出两道除法题来说明。考虑到后一类例子比较难理解一些，所以这里暂不出现，留到以后再进一步认识。教材选用学生容易理解的前一类实例，引出两个分数除法的问题，从而说明分数除法的意义。
第二段通过例2和例3，引导学生探索分数除法的计算方法。
如何推导分数除法的计算方法，有多种方法。例如：
方法一：利用商不变规律进行推导。以(8/9)÷(2/3)为例。可以提问：两数相除，当除数是什么数时计算最简便？（除数是1）有没有什么办法使除数化成1？（乘它的倒数）同时又要保持商不变，该怎么办？（利用商不变规律）即
方法二：利用等式的基本性质进行推导。仍以(8/9)÷(2/3)为例。设商为x，根据分数除法的意义，得方程(2/3)x=8/9，在方程两边同乘3/2，得
x=(8/9)×(3/2)
方法三：利用逆运算关系和分数的基本性质进行推导。给出题组。启发学生根据除法的意义“猜想”，分数乘法是分子相乘、分母相乘，那么分数除法作为乘法的逆运算，是否可以用分子除以分子、分母除以分母呢？于是算出前两题：
验证结果说明方法正确。但接着计算第三题就会发现这种算法的局限性。怎么办呢？可以启发学生观察第二题的特点：分母相同，分子不能整除也不要紧。有没有什么方法使分母相同呢？（通分）即
观察商的分子、分母和被除数、除数的分子、分母之间的关系，（5×3）/(8×2)=15/16，就不难得出计算方法。
方法四：联系实际问题分析、推导。即教材所采用的方法，这里不再举例。
前三种方法的共同点是，推导过程无须现实情境的说理支撑，也不用直观图示，比较抽象，比较形式化，虽说多数学生能理解，但推导过程没有揭示分数除法计算过程的实际意义，对运用分数除法解决实际问题有些不利。所以，教材选用了方法四。
在分数除法中，不论哪种情况的计算方法，都可以归结为乘除数的倒数。但如果开始就举一个数除以分数的例子，计算方法的推导过程比较复杂，学生较难理解。所以教材安排两道例题分两步进行教学。先通过例2学习分数除以整数，再通过例3学习一个数除以分数。然后加以归纳，把分数除法的计算方法统一起来。
两道例题之间的逻辑联系是：
可见，例2是例3的基础，例3是例2的发展。设置两道例题，起到了分散难点，循序渐进的作用。
第三段通过例4，学习分数混合运算。
这一节的教学重点是一个数除以分数的计算方法。
1. 重视运算意义的教学。
由于运算意义既是建立计算法则的基础，又是判断在什么场合应用这种运算的依据，所以，明确运算意义就成了计算教学的首要环节。
因此，例1的教学必须引起重视。此外，在探索计算方法时，还应该注意提醒学生，根据分数除法的意义用乘法验证计算结果是否正确。这里的“验证”既是探索的必要步骤，也是巩固、加深对运算意义理解的需要。
2. 重视算法的探索过程。
计算教学，最省事的教法就是把计算方法和盘托出，直接告诉学生，然后进行大量的训练。这样教学，尽管也能让学生熟练掌握算法，但学生只知其然，不知其所以然。为了培养学生的学习能力和探究能力，促进学生的发展，我们应该舍得花时间让学生经历计算方法的探索过程。这也是课程改革理念在计算教学中的具体体现。
3. 注意数学思想方法的渗透。
在这部分教学内容中，有很多地方可以比较自然地渗透数形结合、转化等数学思想方法。
前者主要表现在探索计算方法时直观手段的运用上，无论是折纸实验，还是画线段图，实际上都是用图形语言揭示分数除法计算过程的几何意义。因此，教师应有意识地引导学生将“图”与“式”对照起来，进行分析和说理。从而在发挥直观形象思维对于抽象逻辑思维支持作用的同时，让学生逐渐感受数形结合的优势。
后者最典型的体现就是分数除法的计算方法，把除法转化为乘法计算。这对学生来说，是数学认识上的一次飞跃，原来泾渭分明的两种运算，居然可以转化、统一。如果再深入分析下去，则不难发现，计算方法推导的每一步，其实都是新、旧知识、方法的转化。也就是把一个新问题转化为已经解决了的问题，用已有的知识、方法生成新的知识、方法。教学中，应当让学生充分感受这种转化的美妙与魅力。
4. 适当加强口算练习。
由于分数四则计算的数据得到了简化，不出现带分数，且分子、分母都比较小，所以很多分数除法计算题都可以口算，特别是当分子、分母都不超过20时。
理论和实践都能告诉我们，口算练习不仅具有教学法上的优势，如练习密度大、效率高，便于当堂巩固，而且也是计算能力的重要组成部分。经常练习口算，对学生的知觉、思维和记忆的发展也很有帮助。因此，结合本节教学的进程，适当加强口算练习，不失为一种减负增效的教学措施。如果所教班级的学生基础较差，教师可以自制一些“折叠”口算卡，在学生初学阶段使用。如：
练习时先出示左半部分，待学生说出计算过程后，出示右半部分，让学生看着算式说出计算结果，以降低口算时思维与记忆的难度。同时，口算题数据的选择，也应逐步递进，由不能约分的到能约分的，由单向约分的到交错约分的。如：
具体内容的说明和教学建议
（1）教材采用了整数与分数对比，乘法与除法对比的方式，揭示出分数除法的意义与整数除法的意义相同。首先由整数乘法的实际例子“每盒水果糖重100 g，3盒有多重？”引入整数乘法，同时改编成用除法计算的问题，得出两个相应的除法算式。然后将其中的100 g改成1/10 kg，引出一个分数乘法算式和两个分数除法算式。使学生看到这些问题无论涉及整数还是分数，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
（2）例1下面的“做一做”，让学生根据已知的分数乘法算式，直接写出两个相应的除法算式的商，旨在通过练习，巩固对分数除法意义的认识。
（1）教学时，可以先复习一下整数除法的意义，还可以给出一个整数乘法算式让学生写出两个除法算式。然后出示插图和整数乘法的问题，让学生口头解答。接下去的教学安排，有多种选择。可以先改编成两道整数除法的问题，再把100 g、300 g 改写成1/10 kg、3/10 kg，分别引出三道分数乘、除法算式。也可以先将100 g改成110 kg，引出分数乘法问题。再让学生分别改成整数、分数的除法问题。改编时可以小组合作，也可以同桌分工，或者由学生看书，并将课本上三道整数问题，改成分数问题，写在课本上的空白处。
然后，引导学生通过乘法算式与除法算式的对照，整数题组与分数题组的对照，看出整数除法的两个实例与分数除法的两个实例，都是已知积与一个因数，求另一个因数。由此得出分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是乘法的逆运算。
（2）例1下面的“做一做”，可以让学生独立完成，把得数直接填写在课本上。
例2以折纸实验为载体，提出了两个问题。它们的共同点都是把一张纸的4/5平均分。它们的区别在于，第一个问题要求平均分成2份，算式是(4/5)÷2，被除数的分子能被除数整除，可以用被除数的分子直接除以除数。第二个问题要求平均分成3份，算式是(4/5)÷3，被除数的分子不能被除数整除，需要转化为乘13。例题这样设计的意图，一是让学生在折一折，涂一涂的过程中逐步发现分数除法的计算方法；二是诱导学生经历由特殊到一般的探索过程，从中悟出把一个数平均分成几份，就是求这个数的几分之一是多少。
在此基础上，教材提出问题：“根据上面的折纸实验和算式，你能发现什么规律？”旨在启发学生通过思考总结出一般的计算方法。
教学时,可以先针对探究的需要，进行一些(4/5)×(1/2) 之类的口算练习，然后出示例题的第一个问题，让学生拿出课前准备好的纸，自己试着折一折，涂一涂，算一算。让学生交流各自的折纸方法、计算过程及其算理。通常学生能够想到两种折纸方法和相应的算法。教师应引导学生数形结合，对照不同的折法，讲清楚两种计算方法的异同。它们都是把4/5 平均分成两份，求每份是多少。
用计算，每份就是2个1/5；
用计算，每份就是4/5的1/2。
还可以让学生比较两种算法，说说哪一种算法适用范围更广，为什么。以往的教学实践表明，会有学生想到当被除数的分子不能被除数整除时，比如把3/5平均分成2份，或者把4/5平均分成3份，这时用第二种方法计算比较简便。
有了这样的认识基础，就可以让学生独立解决例题的第二个问题。应当允许学生先折纸，再完成计算，或者先计算，再折纸加以验证。
学习基础较好的班级，或随机生成教学能力较强的教师，也可以将例题的两个问题一次提出，放手让学生自己尝试解决。这时，折纸可以是探究实验的工具，也可作为验证的手段。如有学生无须借助实验，直接依据算理得出计算结果，并根据分数除法的意义，用乘法验证，应给予肯定。
（1）例3研究一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。例题以比较小明、小红两位同学“谁走得快些”为题材，引出整数、分数除以分数的两个算式。实际上，这里的列式依据是“路程÷时间＝速度”的数量关系，与以前不同的只是路程、时间由整数换成了分数。由于学生对解决“谁走得快些”这类问题比较熟悉，所以由原来学习的整数除法算式，类推出分数除法算式不会感到困难。因而有利于集中精力投入计算方法的探索与理解。
这里是一个图片其中计算小明平均每小时走的路程“2÷(2/3)”是探索的重点。教材采用画线段图的直观方式展现推算的思路：
已知2/3小时走了2 km，可以先求出1/3小时走了多少千米，算式是2×1/2；
再求1小时即3个1/3小时走了多少千米，算式是 2×(1/2)×3 。
由于数据简单，便于口算，整个推算过程处在学生思维能力的最近发展区内，加上线段图的直观效果，因此降低了学生探究算法、理解算理的难度。
找到了整数除以分数的计算方法，就可以依此类推，再来解决分数除以分数的计算，即通过(5/6)÷(5/12)，求出小红平均每小时走的路程。
最后教材以小精灵提问的方式，引导学生总结分数除法的一般方法，并启发学生用自己的方式加以表示。
（2）第31页上的“做一做”，是为例2和例3配备的巩固练习。第1题是针对计算方法的关键步骤设计的填空练习，第2题则要求学生独立写出完整的计算过程，两题都由四道小题组成。两题的前两小题是配合例2的练习，后两小题是配合例3的练习。
（1）教学例3前，可以先安排准备题，如：
小明2小时走了6 km ，平均每小时走多少千米？
通过练习，使学生回忆起路程、时间与速度之间的数量关系，为利用这一关系列出分数除法算式做好准备。
还可以针对算法推导过程的两个关键点，设计填空题，如：
2/3小时有（）个1/3小时，1小时有（）个1/3小时。
通过练习，为推导做好铺垫。
教学例3时，可以让学生自己列出两个算式。如果有学生提出，比较谁走得快些，也可以求出他们每分钟走了多少千米，或者都转化为2小时走了多少千米，等等。教师可以加以引导，比较大小有多种方法，为了研究分数除法，我们就采用求出每小时走多少千米的方法。
然后先探究2÷(2/3)的计算方法。不妨让学生说说自己的想法：怎样计算？怎样画图表示。如果学生独立画线段图有困难，教师可以作出示范：先画一条线段表示1小时走的路程，平均分成3份，再由学生把已知条件和问题标注在线段图上。
借助线段图引导学生思考，已知2/3小时走了2 km，可以先算什么？启发学生明确计算思路：
第一步先算1/3小时走了多少千米。
第二步再算3个1/3小时即1小时走了多少千米。
接下去，就可以让学生自己尝试计算。可以用综合算式，也允许分步列式。通过交流汇报，教师有选择地加以板书，展现推算的全过程：
板书约分时，不妨停下，让学生说说原被除数2约分得到的1，有什么具体含义（1/3小时走1 km），是线段图上的哪一段。然后观察、比较画有横线的算式，用自己的语言叙述整数除以分数的计算方法。
教师应注意引导学生说清楚，除法转化为什么？怎样转化？教师可以指出，找到了计算方法，以后计算时，虚线框内的过程不必再写。
在此基础上，分数除以分数的计算，即例3的第二个算式(5/6)÷(5/12)，可以放手让学生自己试一试。
最后，让学生思考课本中小精灵提出的问题：“通过例2和例3的计算，你发现了什么？你会用自己的方式表示你发现的规律吗？”学生用语言叙述，用字母或其他符号表示，只要正确，都应当肯定。还可以让学生说说除法转化为乘法的要点：
①被除数不变。
②除号变乘号。
③除数变成它的倒数。
强调这些要点，对于基础较差的学生会有帮助。
（2）第31页上的“做一做”，可以让学生独立完成，先完成第1题，订正时，请学生把每个算式完整地读一读，然后再完成第2题，要求写出计算过程。
4. 关于练习八中一些习题的说明和教学建议。
第1题与第2题都是巩固分数除法意义的练习。可以安排在教学例1后练习。
其中第1题要求学生根据已知的分数乘法算式，写出两道分数除法算式。
第2题有四组乘除法算式，每组都是一乘、一除。要求学生看清左右两题之间的关系，再写出得数。两题的关系是，左边乘法算式的积，是右边除法算式的被除数，除数则是乘法算式中的一个因数。因此，学生如感困难，可以提醒他们先算出乘法算式的积，再找出两题之间的关系。
第3题是分数除以整数的实际问题。不妨引导学生计算后把4/5 m化成小数，用小数除法加以验证，即0.8 m丝带剪成同样长的8段，每段长0.1 m，使学生看到分数除法与小数除法的联系，并增强对分数除以整数计算方法的确信感。
第4题与第5题分别为整数除以分数、分数除以分数的计算练习。第4题可以把得数直接写在课本上，第5题可在练习本上写出计算过程。
第6题要求学生不计算，判断哪几题的商大于、小于被除数。练习时可以小组讨论，或者同桌议一议。交流时，除了说出判断结果以外，还可让学生说说是怎样想的，并总结规律。即对于大于0的数来说：
一个数除以小于1的数，大于1的数，商大于被除数；
一个数除以1，商等于被除数；
一个数除以大于1的数，商小于被除数。
实际上，在学习小数除法时，学生已接触到这一规律。
也可以先让学生把几道题算出来，再提出问题，引导学生观察分析，得出上述结论。
可以结合分数除法的具体含义来说明理由。例如，(6/7)÷3，可以想把6/7平均分成3份，每份是2/7，比被除数小。9÷(3/4)，可以联想9里面有9个1，那么9里面有几个3/4呢，3/4比1小，所以商就大于9。另外，也可以结合计算方法来说明理由。例如，(6/7)÷3＝(6/7)×(1/3)，也就是求一个数的三分之一是多少，一个数的三分之一比这个数小，所以(6/7)÷3的商比6/7小。
第7～9题是分数除法计算的实际问题。三个问题的共同点，都是计算一个量里面包含多少个另一个量。区别是第7题的两个量，单位相同，第8、9题的两个量，需要统一单位。
（1）例4以小红剪彩带做纸花送同学为题材，通过解决问题，引出涉及分数除法的混合运算，使学生看到已经掌握的混合运算顺序，同样适用于分数运算。
（2）例4下面的“做一做”安排了两道题。第1道是计算题，有6小题，以分数乘除混合运算为主，也有分数加、减法与分数除法的混合运算。第2道是需要用到分数乘除混合运算解决的实际问题。
（1）教学例4时，可以先复习以前学过的四则混合运算顺序。出示例题后，可以让学生先说出已知条件与问题，再说说自己解决这个问题的思路。可以从问题入手想：要求小红还剩几朵花，根据题意，应先求小红一共做了几朵花。也可以从条件出发思考：根据彩带长8 m，每朵花用2/3 m彩带，可以先算出一共做了多少朵花。列出综合算式后，让学生说说运算顺序，再进行计算。
（2）“做一做”所安排的练习，可以由学生独立完成。第1题的练习可以先完成第一行的三小题，加以交流、校对，再继续完成。学生交流各自的计算过程时，教师应引导学生比较计算分数连除或连乘除的两种算法。通常，部分学生自发想到的是分步计算，也会有学生想到先把除转化为乘，再一起约分。如：
通过比较，使学生看到这样计算比分步计算更简便。
6. 关于练习九中一些习题的说明和教学建议。
第1题，是分数混合运算的计算练习。前三题为分数连乘除的两步计算，可以在统一成乘法之后，三个分数一起约分。后两题为三步计算，并含有两级运算。如能选择比较合理的算法，也只要两步就能完成计算。如最后一小题，第一步同时计算两个小括号内的运算，第二步计算乘法。
第2～4题，是解决实际问题的练习。通常允许学生分步列式解答。但从加强中小学数学教学的衔接着眼，应提倡列综合算式。
第2题可以先求每层有多高，再求6楼的楼板到地面的高度。学生最常见的错误是42÷15×6，即疏忽了6楼楼板到地面的高度实际上只有5层楼的高度。本题也可以先算5层楼是15层的几分之几，再求高度，即归结为求42 m的1/3是多少。
第3题，可以先求每小时录入了这篇论文的几分之几，再求8小时可录入这篇论文的几分之几。如果学生列成8÷3×1/3，即先求8小时是3小时的几倍，再求8小时录入几分之几，也是对的。
第4题可以先求一共能装多少袋，综合算式是240÷(1/4)×(3/4)。也可以先求装完的34有多少千克，综合算式是240×(3/4)÷(1/4)。
第5题是单纯的计算练习，有一步计算，也有两步、三步计算。最后一小题可以按运算顺序算，也可以依据乘法分配律进行简便运算。即
第6题，是以解方程形式出现的分数乘除法计算练习。通过练习，既巩固了分数乘除法的计算技能，又复习了解方程。其中最后一小题可以在方程两边先乘4，再乘3/2，也可以一次同乘4与3/2的积。
第7～9题都是解决问题。
第7题中的“60瓦”与计算无关。第7、8两题都只要一步计算。第9题需要两步计算，但情节内容学生更为熟悉。
第10*题要求学生按照指定的程序计算，再通过比较，有所发现并作出解释。如果计算准确，就能发现得数等于原来的数，其原因是2/3、3/4的倒数与1/2的积正好是1。也就是除以2/3、3/4再乘上1/2，实际效果相当于除以或乘上1
2. 解决问题（第37~42页）
这部分内容是在本册第二单元中，学生已经学习了运用分数乘法解决一些实际问题的基础上进行教学的。这是本单元教学的难点。
教材通过两道例题，引导学生运用所学的分数除法，解决一些日常生活中的实际问题。
这些问题过去用算术方法解，较难理解，学生往往难于判断究竟把哪个数量作为单位“1”，特别是遇到应当把较小的数量看作单位“1”时，更容易出错。就是找对了看作单位“1”的数量，还要把数量关系归结为“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”。其中的“几分之几”，可能是已知的，也可能需要计算得到，比较复杂。于是依赖死记结语、诀窍，教学费时多，学习效果差。
现在采用方程解，化难为易，思路比较统一。可以直接根据数量之间的相等关系和分数乘法的意义列出方程。这里，将第二单元第2节中例1、例3两道例题的算式，与本节两道例题的方程加以对比：
第二单元第2节的例1 2 500×2/5＝1 000
例3 75＋75×(4/5)＝135
第三单元第2节的例1 (4/5)x=28
例2 x+(1/4)x=25
容易看出，它们具有紧密的联系，区别主要是看作单位“1”的数量原来是已知的，现在是未知的。
正是为了化解难点，促进学习迁移和知识的融会贯通，本节教材提倡用方程解。这对加强中小学数学教学的衔接，也是十分有利的。
1. 正确处理解决问题方法的多样化与优化的关系。
本节教材出现的一些实际问题，一般都有几种解法。这些解法大致上可以分为两类，一类是用算术方法解，另一类是用方程解。对于一个实际问题来说，用算术方法解决或用方程解决，又可能存在一些变式。教材从相关知识的内在联系和小学生的思维特点，以及中小学教学衔接等方面考虑，选择了相对较为优化的解题方法。教师应当在充分理解教材编写意图的基础上用好教材。由于小学生目前尚未接触到比较复杂的，用算术方法很难解决的实际问题，所以对方程解法的优越性认识不足。一些学生觉得用方程解需要写设句，比较麻烦，因此喜欢用算术解法。对此，教师一方面应肯定学生自己想到的正确解法，另一方面又要因势利导，从进一步学习的需要与方程解法的特点等角度，使学生初步了解学习列方程解决问题的重要性。从而提高学习用方程解决问题的自觉性和积极性。
2. 适当加强列方程的思维训练。
列方程的基础，一是学会找等量关系，二是会写代数式。教学时，可以根据学生的实际情况，适当地组织这方面的专项训练。例如，根据条件或线段图说出等量关系的训练：
（1）根据“白兔只数比灰兔只数多2/5”，把下面的等量关系说完整。
灰兔只数×25=___________
____________=白兔只数
（2）看下面的线段图说出等量关系。
学生看图可以说出“童话书的1/3是故事书比童话书多的本数”，“童话书加上故事书比童话书多的本数等于故事书的本数”等。教学实践表明，这样的练习简便易行，收效比较明显。
具体内容的说明和教学建议
（1）例1以人体生理常识为内容载体，引导学生找出等量关系，列方程解答比较简单的分数除法实际问题。用算术方法解这些实际问题，需要逆向思考，即从“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的角度去理解数量关系和算理。用方程解，只要根据分数乘法的意义，顺向思考，就能找到等量关系并列出方程。所以，教材只给出了用方程解的全过程。
例题的设计，首先由插图中的医生讲述生理常识：成人体内的水分约占体重的2/3；儿童体内的水分约占体重的4/5。然后由插图中的小明讲出两个已知条件：我体内有28 kg的水分；我的体重是爸爸的7/15。进而分别提出求小明、爸爸体重的两个问题。相关的等量关系是
小明体重×4/5=小明体内水分的质量
爸爸的体重×7/15=小明的体重
可见“成人体内的水分约占体重的2/3”是一个多余条件，需要学生通过审题、分析加以识别。由于在现实生活中，解决问题所需的条件，往往需要我们从各种信息里筛选出来，所以像例1这样有多余条件的问题情境，比较接近真实情况，有利于培养学生的信息识别能力。
为了帮助学生分析、理解数量关系，教材分别画出了线段图。其中小明体重与小明体内水分的质量，是部分与整体之间的关系，可以在一条线段上表示，也比较容易理解；爸爸的体重与小明的体重，是两个相对独立的数量之间的关系，理解难度稍大些，需要画出两条线段加以表示。从中不难看出，教材在一道例题里设置两个问题，并非简单重复，而是由易到难地揭示这类数量关系的两种情况。用同一个问题情境把它们串联起来，比较自然，便于教学的展开与学生的理解。
（2）第38页的“做一做”，安排了一道与例1相仿的习题，同样包含涉及数量关系两种情况的两个问题，情节内容为学校图书馆的两种藏书，学生比较熟悉，也比较容易理解。
（1）教学例1前，可以先复习求一个数的几分之几是多少的实际问题。用文字叙述或用线段图表示条件与问题都可以。前者如：
爸爸体重75 kg，小明的体重是爸爸的7/15。
①小明的体重是多少千克？
②小明体内水份的质量占小明体重的4/5，小明体内有多少千克水份？
让学生的注意力集中于说出数量关系与列出算式：
爸爸的体重×7/15=小明的体重75×(7/15)=35（kg）
小明的体重×4/5=小明体内水份质量 35×(4/5)=28（kg）
为学习例1做好准备。
（2）教学例1时，可以分两步出示所有的条件和第一个问题。第一步，先让学生说说是否知道人体内水份的含量，然后出示例1插图中医生的话，并让学生说说这两句话告诉我们哪些数量关系，使学生明白有关儿童体内水份与体重的关系，与复习题②中的数量关系相同。
第二步再出示小明的话和第一个问题。让学生思考：
①要求小明的体重，应该选用“我体内有28 kg水份”与“我的体重是爸爸的7/15”这两个条件中的哪一个？为什么？（如用第二个，则还需要知道爸爸的体重，但这是未知数。）
②已知小明体内有水份28 kg，要求小明的体重，需要用到医生说的哪个数量关系，或者这样提问：医生说的哪个数量关系与小明的体重和小明体内水份的质量有关。学生作出正确选择后，还可以让他们把有关的条件和问题连起来完整地读一遍。
当然，也可以完整地出示例1的所有条件和第一个问题，让学生读题后说出自己对题意的理解和对已知条件的选择。
接下去，可以让学生选用自己喜欢的方式表示数量关系。如画线段图或其他示意图，写等量关系等等，并列出方程。如有学生直接写出除法算式，也应允许。然后组织学生对例题与复习题进行比较，使学生看到“小明的体重×4/5=小明体内水份质量”是例题与复习题的共同点，两题的区别，只是已知数与未知数交换了位置。通过比较，使学生看到列方程解，思路统一，便于理解。教师还可以指出：一些更复杂的问题，用方程解比较简便，所以中学一般不再用算术解法。
教学时，一方面要让学生看到列方程解决问题的优势，另一方面，又要让学生了解掌握方程解法的重要意义，以提高学生学习列方程解决问题的积极性。
教学例1第（2）个问题时，可以提问：
①要求爸爸体重，需要哪两个条件？
②“我的体重是爸爸的715”是把谁的体重看作单位“1”？平均分成了多少份。
在此基础上，让学生把下面的线段图画完整。
教师可以通过提问：为什么上一题的线段图，只画一条，这一题要画两条？使学生知道它们的区别。然后，让学生自己写出等量关系式，列出方程并完成解答。
如果学生的学习能力较强，也可以完整地出示例1的两个问题，让学生围绕以下几个问题进行小组讨论。
①解决第一个问题需要哪两个条件？解决第二个问题呢？
②第一个问题怎样画线段图表示已知条件与问题的关系？第二个问题呢？
③第一个问题的等量关系是什么？第二个问题呢？
④怎样根据等量关系列方程？
⑤比较例1与复习题，你发现了什么？
（3）第38页上的“做一做”可以由学生独立完成。交流时，可以让学生重点讲一讲两题的等量关系，以及画线段图时，要注意什么？
例2以学校兴趣小组为题材，引出稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题。用算术方法解决这样的实际问题，不仅需要逆向思考，还要把“比一个数多它的几分之几”，转化为“是一个数的几分之几”，比较抽象，思维难度大。用方程解，可以列成形如的方程，也可以列成形如的方程，前者仍然要经历从“多几分之几”到“是几分之几”的转化，实际上是方程的形式，算术的思路。后者只要根据一个数加上增加部分等于增加后的数，就能列出方程。这样的等量关系，学生容易理解。因此，教材选择最简捷的思路，给出解题的全过程。
为了帮助学生思考，教材提示“先画线段图看看”，并给出了完整的图示，为学生分析、理解等量关系提供直观支柱。然后由图得出等量关系，并据此列方程解答。
（1）教学例2前，可以安排一些基础练习，为教学例题做好准备。可供选择的基础练习有：
①与例2相对应的分数乘法实际问题。如：
学校合唱队有男生20人，女生比男生多1/5，合唱队有女生多少人？
②写出代数式的练习。如：
学校舞蹈队有男生x人，女生比男生多14，女生比男生多（ ）人，女生有（ ）人。
这些基础练习的情节内容，也可以改为例2的内容。即将上面的男女生人数改为航模小组人数和美术小组人数，以进一步降低新授学习的难度。但这样一来，暗示的成分多了，学习例2时的探索空间就会相应缩小。所以，教师应当根据学生的实际情况，酌情安排必要的铺垫。如果学生基础较好，跳过复习环节，直接出示例题也是可以的。
（2）教学例2时，可以让学生看着例题的插图，把题目完整地读一遍，再说说知道了什么，要求什么。这里要特别注意引导学生说清楚“美术小组的人数比航模小组多1/4”的含义，是把航模小组的人数看作单位“1”，两组比较，美术小组的人数多，多的人数相当于航模小组4等份中的1份。
然后让学生自己试着画图表示两个小组的人数关系。学生可以自己选用条形、线段或其他图形表示人数。如果他们都采用线段图，就不必再介绍其他图示方式，因为用线段图表示比较简便。
由学生或由教师板演画图过程时，要注意突出以下图示要点。
①先画表示航模小组的线段，因为它是比较的标准，把它平均分成4段。
②再画表示美术小组的线段，它由两部分组成，一部分与航模小组同样多，另一部分相当于航模小组的1/4。
③把条件和问题简单明了地标注在图上，图中的未知数，也可以用x表示。
这样的画图过程，就能比较自然地成为数形结合的过程，以及分析、理解数量关系的过程。
由图得出数量关系时，学生如果有不同的表达方式，教师可以指出：根据已知条件直接得出
航模小组的人数＋美术小组比航模小组多的人数＝美术小组的人数
航模小组的人数×(1＋1/4)＝美术小组的人数
便于思考，也更容易理解。
接下去，可以让学生自己列方程解答，然后看书校对解题过程，并完成课本上的填空。
（3）教学例2后，可以有针对性地适当补充一些巩固练习。例如：
①根据方程x+(1/5)x=60自编实际问题的口头练习。
②根据条件列方程的题组练习。
学校举行美术展览，x幅作品中有2/5是国画，2/9是水彩画。分别用下面的条件列出求作品总数的方程。
a. 已知国画有72幅，求作品总数的方程是____________
b. 已知水彩画有40幅，求作品总数的方程是____________
c. 已知国画和水彩画共有112幅，求作品总数的方程是____________
d. 已知国画比水彩画多32幅，求作品总数的方程是____________
③防止混淆的对比练习。
张大爷养的鸡比鸭多3/5。
a. 鸭有500只，鸡有多少只？
b. 鸡有800只，鸭有多少只？
c. 鸡比鸭多300只，鸭有多少只？
教师可以根据本班学生的实际情况选用或自行设计。
3. 关于练习十中一些习题的说明和教学建议。
第1～3题是配合例1的练习题。其中第2题的条件里，鲜牛奶的容积“约250 ml”是多余条件。
第4题讨论在体积相等的前提下，冰与水的质量关系，比较抽象，可以让学生画线段图分析。得出等量关系：
体积相等时，水的质量－冰比水少的质量＝冰的质量
学生常常会作出错误的推理：当体积相等时，
因为冰的质量比水的质量少1/10，
所以水的质量比冰的质量多1/10。
对此，教师可画图帮助学生理解：体积相等的水与冰，质量不同，水与冰的质量差对于水的质量来说，相当于水的1/10，对于冰的质量来说，相当于冰的1/9。
第5题是分数计算的巩固练习，以分数除法为主，教学时，不必集中一次完成，可以分散安排，每天练习几题。
第6～9题将有关分数的实际问题加以混合编排。其中第6题是求两数和的3/5是多少，第9题的第（1）题要先根据第三栏的信息求出获奖作品总数48件，再求一等奖、二等奖的作品数。即求一个数的几分之几是多少，第（2）题可以用获奖作品件数除以作品总数，这些问题适合用算术方法解。第8题则适合用方程解。第7题可以两种方法结合，先列方程求出下半年的产量，再列算式求全年的产量。
第10题为解方程的练习，所涉及的运算都是分数乘、除法。因此既练了解方程，又巩固了分数乘、除法的计算。
第11题有两个问题。求“平均每车运走这批大米的几分之几”，只要用(2/5)÷4就行了。求“剩下的大米还要几车才能运完”，可以利用前一个问题的得数计算，即(1-2/5)÷(1/10)；也可以设一共要运x车，由(2/5)x=4，解得x=10，再用10-4算出答案。
第12～14题是配合例1、例2的综合练习，都适合列方程解。
练习十的最后安排了一道找规律的思考练习。两个数列都由分数组成。这样的练习，学生比较感兴趣，可以让学生独立观察，寻找规律，然后交流。参考答案如下：
（1） 4/5，2/5，1/5，(1/10),1/20,(1/40),(1/80)。前一个数除以2等于后一个数。
（2） 1/2，3/4，9/8，27/16,(81/32),(243/64)。前一个分数乘3/2，就是后一个分数。
3. 比和比的应用（第43～51页）
这部分内容是在学生已经理解了除法的意义与基本性质、分数的意义与基本性质，以及分数与除法的关系等知识，掌握了分数乘、除法的计算方法，会解答分数乘法实际问题的基础上进行教学的。内容包括比的意义和比的基本性质。
这些内容过去是安排在小学最后阶段进行教学。由于比与分数有密切联系，把比的最基础知识提前安排在分数除法单元中教学，既能加强知识间的内在联系，又可以为以后学习比例知识，以及其他方面的知识打下较好的基础。
传统的算术教材在讲比的意义时，只强调比的一种情况，即两个同类量的倍数关系。但在实际应用中，经常要用到比的另一种情况，即不同类量的比，所以现在的小学数学教材，既讲同类量的比，又讲不同类量的比。这样，小学生进入中学后就便于理解物理等学科中经常出现的不同类量的比。如路程和时间的比，质量和体积的比等。当然，不同类的量相比，有关联的才行。这时，比的结果产生了新的量，例如，路程和时间的比就形成速度，质量和体积的比就形成密度。
本节教材分成三段。
（1）教学比的意义。
教材选取我国第一艘载人飞船的有关内容作为引入比的载体，通过这一富有时代性的情节内容，引出同类量的比、非同类量的比。在此基础上概括比的意义，介绍比的读、写及其各部分名称，然后引导学生思考比与除法、分数的联系。
（2）教学比的基本性质。
教材联系比和除法、分数关系，通过“想一想”启发学生找出比中有什么样的规律？然后概括比的基本性质。接着，应用这个性质，通过例1学习比的化简。例1有两道题。第（1）题，化简整数比。常用的方法是前、后项同时除以它们的最大公约数。第（2）题，化简分数、小数比。常用的方法是前、后项同时乘上分母的最小公倍数，或者把前、后项的小数点向右移动相同位数，把分数比、小数比转化为整数比再化简。此外，还有其他一些化简方法，由于化简的目的都是化成最简单的整数比，即前后项都是整数，公约数只有1。所以，转化为整数比的方法，思路比较统一，也容易理解和掌握。
这里，教材安排了练习十一，主要练习怎样根据要求写出比，怎样求比值，怎样化简比。
（3）教学比的应用。
在小学数学中，比的应用主要有两个内容，即比例尺和按比例分配。由于比例尺与比例的联系更多一些，且《标准》把比例尺归入空间与图形领域的图形与位置这部分内容中，因此留在后面教学，这里只教学怎样解答按比例分配的实际问题。
所谓按比例分配就是把一个数量按照一定的比进行分配。它是“平均分”问题的发展。例如，把12张画片分给甲、乙两个小朋友，如果按1∶1分，习惯上称平均分。如果按2∶1分，就是通常所说的按比分配。显然，平均分是按比分配的特例。按比例分配还有按正比例和反比例分配两种，由于按反比例分配的实际应用并不广泛，而且可以转化为按正比例分配来解答，因此教材只教学按正比例分配。
按比例分配问题有不同解法，主要有三种：一是把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答；二是把比化为分数，用分数乘法来解答；三是用比例知识来解答。较早的算术课本通常采用第三种方法，按比例分配的名称由此而来。现在的小学数学教材，一般以第二种方法为主，因为学生在理解了比和分数的关系，并掌握分数乘法实际应用的基础上，比较容易接受这种方法，而且也有利于加强知识间的联系。考虑到学生尚未学习比例，且教材避开了比例方法，所以教学中不必出现“按比例分配”这一名称。
教材通过例2，以清洁剂浓缩液的稀释为例，提出问题，引导学生把一个数量按照已知的比分成两部分。进而通过“做一做”的第2题，教学把一个数量按照已知的比分成三部分的问题。
1. 联系相关知识，促进学生自主学习。
在这部分内容中，因为比与除法、分数有着密切的联系，所以，比的很多基础知识与除法、分数的相关知识，具有明显的、可供利用的内在联系。比如，比的后项不能为0与除数分母不能为0，比的基本性质与商不变性质和分数的基本性质，求比值与求商，化简比与约分，按比例分配与求一个数的几分之几是多少等等。因此，教学这部分内容时，应当充分利用原有的学习基础，引导学生联系相关的已学知识，进行类比和推理，尽可能让学生自主学习，通过自己的思考，推出新结论，解决新问题。
2. 让学生感悟相关知识的联系与区别，使新旧知识融会贯通。
在本节内容的学习过程中，新旧知识的联系，不仅有利于生成新知识，也能加深对旧知识的理解，使新旧知识融会贯通。为此，教学时应当采用适当的方式，让学生看清并理解相关知识的联系，知道它们的区别。同时也应注意，揭示知识的联系与区别，要考虑学生的理解水平，不宜求全、深究。因为在小学阶段，很多知识不可能，也没有必要讲深讲透。
具体内容的说明和教学建议
1. 比的意义。
（1）为了帮助学生理解比的意义，教材精心选择了中国人民引以为豪的内容作为载体，这一内容既富有教育意义，又能比较自然地引出比的两种应用情况。教材先介绍飞船里的两面长方形小旗，给出真实数据，引导学生讨论长与宽的倍数关系，得到长度相除的两个算式，由此引出同类量的比。然后再介绍飞船的运行路程与时间，让学生用除法表示飞船进入轨道后的速度，由此引出非同类量的比。进而通过这两种情况的实例，概括比的意义。接着以这几个比为例，说明比的读、写及比的各部分名称，并由比值计算的实例，引出“比值通常用分数表示”，然后根据分数与除法的关系，具体说明比也可以写成分数形式。最后，由小精灵提出问题，启发学生思考：“比的前项、后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后项可以是0吗？”
（2）“做一做”，安排了两道练习。一道是根据条件和要求写出比并求比值的练习，用以巩固比的概念；另一道是求未知的前项或后项的练习，旨在通过求比的未知项，从另一侧面理解比与除法的关系。
（1）教学比的意义前，可以先复习一些除法的应用，如：
①某班统计会骑车的人数，男生有18人，女生有12人。会骑自行车的男生人数是女生人数的多少倍？女生人数是男生人数的几分之几？
②路程÷时间＝（ ）
总价÷数量＝（ ）
教学比的意义时，可以先扼要介绍中国首次载人航天成功的大致情况，然后出示航天员杨利伟在“神舟五号”飞船里展示联合国旗和我国国旗的照片，引出两面旗，给出它们的长和宽，让学生用算式表示长和宽的关系。
15÷10＝1.5，表示长是宽的多少倍；
10÷15＝2/3，表示宽是长的几分之几。
由此引出：长和宽之间的倍数关系，除了用除法表示之外，还有一种表示方法，即说成“长和宽的比是15比10；或宽和长的比是10比15”。教师还可以说明，不论长和宽的比，还是宽和长的比，都是两个长度的比，相比的两个量是同类的量。
接着，出示“神舟五号”进入运行轨道后的运行数据：平均90分钟绕地球一周，大约运行42252 km。让学生用算式表示飞船的速度。由此引出：表示路程和时间的关系也还有一种形式，就是用路程和时间的比来表示,如“神舟五号”运行路程和时间的比是42252比90。然后通过提问：路程和时间，是不是同类的量？使学生知道两个不同类量的关系也可以用比表示。教师还可以指出，两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个不同类量的比可以表示一个新的量。如“路程比时间”又表示速度。
进一步就可以概括出比的意义，着重说明这些例子都是通过两数相除来表示两个数量之间的关系，它们都可以用比来表示，所以“两个数相除又叫作两个数的比”。
然后，可以让学生看书自学。通过交流，搞清楚以下几点：
①几比几怎样写、怎样读？（可以写成比的形式，也可以写成分数形式，但仍读作几比几）
②比的各部分名称是什么？
③怎样求比值？
④比值可以怎样表示？（通常用最简分数表示，能除尽时也可以用小数表示，能整除时就用整数表示）
⑤比和比值有什么联系与区别？这个问题是个难点，可以组织学生讨论。两者的联系在于，比值是比的前项除以后项所得的商，它通常用分数表示，而比也可以写成分数。它们的区别主要是，比值是一个数，有时可以用小数甚至整数表示，而比表示两个数的关系，不能用一个小数或一个整数表示。
这个问题也可以让学生举例说明：什么情况下比和比值的表示形式完全相同，什么情况下它们的表示形式有区别？
前者如：8∶3＝8/3，8/3既可以看作比，又可以看作比值。
后者如：8∶4＝2，2是比值。
8∶4＝2/1，2/1是比。
接下去，再让学生思考回答课本上小精灵提出的两个问题。关于比和除法、分数的联系，教师可以将学生的回答整理成下表：
或者用字母表示三者之间的内在关系，即
a∶b＝a÷b＝a/b（b≠0）
关于比和除法、分数的区别，学生只要知道除法是一种运算，分数是一种数，而比表示两个数的关系就行了。
至于为什么比的后项不能是0，一般学生都能回答。事实上，在用字母表示比和除法、分数的关系时，就能捎带解决这个问题。
（2）“做一做”可以让学生把答案填写在书上。因为还没有学比的基本性质和化简比，所以第1题中练习本的本数之比写成6∶8就可以了，这里不要求化成最简单的整数比，花的钱数之比也是如此。交流、校对答案之后，还可以让学生说说，为什么两人买练习本的本数之比和所花钱数之比，它们的比值相等。这是因为单价相同，买的本数越多，花的钱数也越多，所以本数的倍数关系与总价的倍数关系相同。
如果有学生写出的比，前后项互换了位置，可以通过质疑，使学生明白：交换了比的前、后项，比的具体含义就变了，由小敏是小亮的几分之几，变成了小亮是小敏的几倍。（实际上得到了一个新的比，叫做原来的比的反比，这个概念不必教给学生。）
第2题则可以让学生说说，未知的前项或后项是怎样求的。
2. 比的基本性质。
（1）教材首先让学生回忆商不变性质和分数的基本性质，然后启发学生思考：“在比中有什么样的规律？”进而按照将比与除法、分数类比的思路，举出例子，并先利用比和除法的关系对实例加以研究，再让学生自己根据比和分数的关系加以研究。在此基础上，概括出比的基本性质。
（2）作为比的基本性质的直接运用，例1教学怎样根据比的基本性质化简比。例题由两道题组成。第（1）题仍采用“神州五号”的题材，但讨论的是两面一大一小的联合国旗。题目告诉两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简单的整数比。其中15∶10的化简给出了完整的过程并启发学生思考为什么这样化简；180∶120的化简则留空让学生自己完成。这里的两个答案相同，实际上渗透了两面旗按比例缩小的相似变换思想，同时也便于学生感悟化简的必要性，即能使数量关系更加简单明了。从中也可以看出，教材精心选取的这一内容载体，既有思想性和趣味性，又有数学内涵，而且数据真实，适合教学的需要。
第（2）题也有两个比，比中分别出现了分数和小数。教材同样提出了启发思考化简过程的问题，并留有空白让学生自己完成。
（3）第46页上的“做一做”，安排了化简比的练习。其中有整数比、小数比、分数比，还有一道小数和分数组成的比。通过练习，使学生接触到化简比的各种基本情况，以帮助学生初步掌握化简比的方法，并加深对比的基本性质的理解。
（1）教学时可以先让学生回忆以前学过的商不变性质和分数基本性质，并由学生自己举例说明。或者通过填空题帮助学生再现这些知识。如：
然后提出课本中的问题：联系比和除法、分数的关系想一想，在比中有什么相应的规律？可以先让学生说出个人的猜想，再自己举例验证，或者四人小组分工合作举例验证。通过交流,使学生看到各种角度（除法与比，分数与比）、各种方式（同乘，同除）的验证情况。
也可以先举例试探，再总结规律。如果学生独立试探有困难,教师可以先给出例子，并加以提示，如：
根据除法和比的关系来研究：
根据分数和比的关系来研究：
再由学生自己补充举例，然后总结、归纳。
还可以在复习后，给出“6∶8”和“3∶4”，让学生判断这两个比的比值是否相等，并说明理由。再启发学生依据除法中商不变的规律说明它们是相等的。
不论采用那种教学方法，总结、归纳规律时都应强调，同时乘上或除以相同的数，必须“0除外”，并请学生说明理由。
（2）教学例1前，可以先做一些分数除法与约分的口算练习。
出示例题时，教师可以简要说明课本插图是我国首飞航天员杨利伟（左二）在联合国总部向联合国秘书长安南（右）移交“神舟”五号所搭载的联合国旗（大的那一面）的照片。
然后让学生写出一小一大两面联合国旗长和宽的比，15∶10和180∶120。教师可以先设置一个悬念：这两个比，数据大小悬殊，很难看出它们之间有什么关系，让我们化简后再来看。再引导学生观察思考：这两个比，是不是最简单的整数比？或者说什么是最简单的整数比？学生只要搞清了最简单整数比的要求（前、后项的公约数只有1），就容易想到化简的方法及其依据。在此基础上，可以放手让学生自己尝试，有困难的可以看书，根据例题的提示完成填空。
然后进行交流。通常，会有学生想到把比写成分数形式再约分。特别是新授前复习了约分的口算后，就更容易想到这种方法。可以让学生比较各种化简过程。或者将不同的方法与书上例题的化简过程加以比较，使学生明白，书上虚线框内说明了化简的方法与过程，熟练以后可以不写出来。因此，直接同除以前、后项的最大公约数比较简便，它与写成分数形式约分的方法，实际上是一致的。
这里，有必要提醒学生注意两个比化简的结果，并让学生说说结果相同，说明了什么？初步体会两面旗大小不同，形状相同，从中进一步了解化简比的必要性。
（3）教学例1的第（2）题时，可以先让学生比较第（2）题与第（1）题的区别，看清第（1）题的两个比都是整数，第（2）题的两个比里有分数、小数。然后让学生独立探索，或者组织小组讨论，再交流各自是怎样化简的。也可以启发学生明确化简的基本思路：先化成整数比，再化成最简单的整数比，然后再尝试。
如果放手让学生独立探索，则可以在交流后再小结化简分数比、小数比的思路和方法。可能会有学生想到不同的方法。比如，用分数除法的方法计算：
对此，教师应给予肯定。因为比可以写成分数形式，所以3/4就是3∶4。如果没有学生想到这样的方法，教师就不必介绍了。因为这种方法只适合化简两个数组成的比，三个数组成的连比就不适用了。
（4）第46页的“做一做”共6小题，可以在完成例1的教学之后进行练习。也可以在完成例1的第（1）题后练习前两小题，学完例1的第（2）题后练习后四小题。最后，在校对、交流的基础上，可以引导学生对化简比的方法进行小结。
3. 关于练习十一中一些习题的说明和教学建议。
第1～3题是学习“比的意义”的练习题。
第1题创设了学校三个兴趣小组比较人数的问题情境，让学生按比较的要求写出人数比。练习时，可以提醒学生看清楚条件，根据要求写出比，前后项不能颠倒。
第2题，要求学生利用方格纸找出三面长方形红旗中哪面红旗的长宽之比是3∶2。可以让学生看图口答。
第3题是求比值的练习题。四小题的数据各异，有整数、小数、分数，也有小数与分数混合，通过练习，既巩固了比值的概念和求比值的方法，又练习了整数、小数、分数的除法。
第4题共3小题，要求把各比化成后项是100的比。练习时，可以先观察后项乘上或除以多少才是100，然后根据比的基本性质把前项也乘上或除以这个数。其中前两小题很容易观察找出这个数，第（3）小题稍难些，如有学生感到困难，教师可提示，先去掉相同的单位“万”，也就是同时除以10000，再观察寻找。本题可要求学生书写化简的过程，如：
275万∶250万=275∶250=（275÷2.5）∶（250÷2.5）=110: 100
第6题以比较身高为题材，通过对话形式引出质疑，启发学生思考：前后项是带有不同单位的比，应该怎样化简。可要求学生写出化简的过程：
150 cm∶1 m=150∶100=3∶2
第7*题供学有余力的学生选做。解答时可以这样想：十位上的数与个位上的数之比是2∶3，说明它们相差“1份”，由第二个已知条件可知，这两个数相差2。所以1份是2，2份是4，3份是6，这个两位数是46。
最后一题是思考题，解法多样。可以这样想：重叠部分占大长方形面积的1/6，说明大长方形面积含6个重叠部分；同理，小长方形面积含4个重叠部分，所以大、小长方形面积的比是6∶4=3∶2。学生比较容易想到画图依靠直观进行比较，如右图，教师可以肯定。
4. 比的应用。
（1）例2创设了一个日常生活中比较常见的稀释清洁剂浓缩液的问题情境。教材首先通过一段文字说明稀释瓶上用不同颜色条形标明的比的含义，使学生了解按比配制的实际意义。然后通过三个人物的对话插图，由阿姨说明稀释的配制要求，并提出问题，再由两个同学讨论算法，引导学生思考。这样的例题设计，较传统形式的应用题，更具可读性与启发性。例2介绍了两种解法。一种是先求出每份是多少，再求几份是多少。即转化为整数的除法、乘法来解决。另一种是转化为求一个数的几分之几是多少，用分数乘法来解决。例题的解答过程，作了一些留白处理。
（2）第49页上的“做一做”，安排了两道练习题。第1题与例2相仿，要求把303按51∶50分成两部分。第2题略有变化，一是把70棵树按要求分成三部分，二是要求“按3个班的人数分配”，已知的是三个班的人数，而不是三个班人数的比。由于情节内容贴近学校生活，题意明显，所以这些变化一般不会构成练习时的困难。
（1）教学例2前，可以先练习求一个数的几分之几是多少的实际问题。如六（1）班40名学生参加大扫除，其中3/8的同学打扫教室，5/8的同学打扫操场。
①打扫教室、操场的同学各有多少人？
②写出打扫教室、操场的人数比。
练习后可作出小结：在实际生活中，有时并不是把一个数量平均分配的，而是按一定的比来进行分配。由此引出课题“比的应用”。
教学例2时，首先引导学生弄清题意。可以让学生说说自己是怎样理解的，如什么是稀释液，怎样配制？通过同学或老师的补充，使大家明白家庭使用的清洁剂稀释液是用浓缩液和水配制而成。现在的要求是按浓缩液和水的体积之比1∶4配制500 ml的稀释液。
在理解题意的基础上，可以放手让学生试着解决问题。然后看看课本是怎样解决的。并把例题解答过程中留出的空白填补完整。
这里，还应引导学生对得数进行检验。完整的检验包含两个方面，一是把浓缩剂与水的体积相加，看是不是等于稀释液的总量500 ml，二是把两种液体的比化简，看是不是等于1∶4。
小结时，应当通过交流使学生明确：把一个总数按一定的比来分配，可以把各部分数的比看作份数关系，先求出每一份；也可以把各部分数的比转化为总数的几分之几，直接求总数的几分之几是多少。前一种方法用整数除法、乘法解决问题，后一种方法用分数乘法解决问题。
（2）完成第49页上的“做一做”时，可以让学生独立思考解答，允许学生选用适合自己的解法。教师可以提醒学生对得数进行检验，做完后交流各自的解法与检验方式。
5. 关于练习十二中一些习题的说明和教学建议。
练习十二的第1～6题都是配合例2的练习题。
第1～4题是比较基本的问题，第5、6题则稍有变化和综合。
第1题涉及空气的成分。为了简化问题，题目只给出了空气中氧气和氮气的体积比。对此，如有学生提出疑问，如：空气中还有一氧化碳等。教师可做解释：空气是混合物，它的成分很复杂，但由于自然界各种变化的相互补偿，如植物的光合作用吸收二氧化碳，释放出氧气，使得空气中比较固定的成分是氧气和氮气，其他成分在这里就忽略不计了。
第2题的特点是用份数代替了比作为已知条件。
第3题则用每个橡皮艇上两种人员的人数代替比。学生如用整数乘除法分步列式，要注意56÷8得到的是橡皮艇的个数，而不是人数。
第4题中出现了由3个数组成的比2∶3∶5，叫做连比（不必对学生讲这个名词），读作2比3比5。练习时不必刻意去教、去讲，让学生读一读题目，说一说比中三个数的具体含义，学生就能自然而然地读和理解了。
第5题综合了长方体的棱的知识。根据题意，120 cm是长方体12条棱的总长。为了求长方体的长、宽、高，可以把12条棱平均分成4组，每组由相交于一个顶点的一条长、一条宽和一条高组成。即120÷4 得到一组长、宽、高的总和，再按比分。
第6题综合了分数乘法的问题，根据题意是800 m2菜地种了一些西红柿，剩下的面积按2∶1分，所以要先求出剩下的面积，再按比分。
第7*题可让学有余力的学生自己选做，试探解决。学生可能有多种解法。
如：假设甲数是20，则根据甲、乙两数的比2∶3推算出乙数是30，再根据乙、丙两数的比4∶5，推算出丙数是30÷4×5=37.5，然后写出甲、丙两数的比是20∶37.5=200∶375=8∶15。
又如：注意到前一个比中乙数是3，后一个比中乙数是4，3和4的最小公倍数是12。因此把前一个比改写成2∶3=8∶12，把后一个比改写成4∶5=12∶15。同样可得甲、丙两数的比是8∶15。教师可让个别想到这种解法的学生说说其中的算理。浅显地说，把乙数看作12份，作为标准，则甲数相当于这样的8份，丙数相当于这样的15份，这时的12份、8份、15份，每一份都是相等的。
第51页上的“你知道吗？”介绍了“黄金比”的小知识，可让学生自己阅读。感兴趣的学生还可以课外自己去收集有关的资料，与同学交流共享。
整理和复习
（第52～54页）
这部分内容是对分数除法这一单元所学知识，进行系统整理和复习。通过整理和复习，把前面分散学习的知识加以梳理，整出头绪，加以归纳，提出要点。因此，整理和复习的过程也是一个加深理解和巩固所学知识，提高知识运用能力的过程。
教材通过四个精心设计的问题，把本单元的主要内容归纳为概念、计算和应用三方面。第1题复习概念，包括分数除法的意义和比的意义，第2题复习分数除法的计算，第3题复习比的有关知识，第4题复习分数除法和比的应用。这四个问题，简明扼要，重点突出，而且非常清晰地沟通了有关内容间的联系。如一个数是另一个数的几分之几与两个数的比（第1题），分数的应用问题与比的应用问题（第4题）。这就为复习课教学提供了一个层次分明的整理思路和复习素材。
具体内容的说明和教学建议。
1. 复习概念。
第1题,复习本单元学习的主要概念。可以先让学生说一说分数除法的意义和比的意义，再完成第1题的填空。然后由学生说说四个算式的含义，教师可以加以板书：
使学生更清晰地感悟乘法与除法，分数与比之间的内在联系。
2. 复习计算。
第2题,复习分数除法的计算。可以先由学生说一说分数除法的计算方法，使学生明确，整数可以看成分母是1的分数，所以不管被除数、除数是整数（0除外）还是分数，都可以把除转化为乘，即除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。然后让学生完成第2题的三道计算，再说一说根据以往的计算经验，计算时还要注意什么。如除转化为乘以后再约分，能约分的尽量约分，等等。当然也可以先完成计算，再来总结。
第3题,复习比的化简。可以先让学生说出比和除法、分数的关系，化简比的依据，然后化简第3题的三个比。这里可以引导学生对常用的化简方法加以总结。
还可以让学生举例说明，求比值与化简比的区别。求比值用除法，结果是一个数；化简比根据比的基本性质，结果是一个比，可以写成分数，但不能写成小数或整数。例如：
18÷3=6/1或18∶3= 6∶1，写成18∶3=6，就不是化简比，而是求比值了。
3. 复习应用。
第4题复习运用分数除法与比解决实际问题。可以先让学生根据第（1）题用两条线段表示鸭、鹅的只数：
再列出三题的方程或算式，然后说出它们的数量关系加以比较：
（1）鸭的只数×2/5 =鹅的只数
（2）鸭的只数－鹅比鸭少的只数=鹅的只数
（3）鸭与鹅的总只数×5/7=鸭的只数
鸭与鹅的总只数×2/7=鹅的只数
使学生看清这三题都反映了鸭、鹅只数5∶2的关系，区别只是5∶2的表示方式有所不同，已知数与未知数有所交换。在此基础上，让学生用上面的数据编出其他的分数乘、除法问题。如：
①张大爷养了500只鸭，200只鹅。
a. 鸭的只数是鹅的多少倍?
b. 鹅的只数是鸭的几分之几?
c. 写出鸭与鹅的只数比。
d．写出鸭与总只数的比。
e. 写出鹅与总只数的比。
②张大爷养了500只鸭，鹅的只数是鸭的2/5，养了多少只鹅？
③张大爷养了500只鸭，鹅的只数比鸭少3/5，养了多少只鹅？
④张大爷养了200只鹅，鸭的只数是鹅的5/2，养了多少只鸭？
⑤张大爷养了200只鹅，鸭的只数比鹅多3/2，养了多少只鸭？
⑥张大爷养了500只鸭，鸭的只数是鹅的5/2，养了多少只鹅？
⑦张大爷养了500只鸭，鸭的只数比鹅多3/2，养了多少只鹅？
实际复习时，应适当控制编题数量，不要求全，否则基础较差的学生会适得其反。部分同学有兴趣，可以课后继续改编。
4. 关于练习十三中一些习题的说明和教学建议。
第1 题，要求学生运用本单元的一些基本概念作出判断。练习后，应让学生说出判断的理由。如：
第（1）题可以举出相反的例子来说明结论是错的。
第（2）题已知a÷b＝1/3，那么b÷a＝3a，所以是对的。
第（3）题3∶5是a与b的份数关系，每一份不一定是1，所以是错的。
第（4）题可以这样思考，走同样的路程，用的时间越短，速度越快，而不是相反，所以是错的。
事实上，从学校走到电影院，小明用了8分钟，每分钟走全程的18；小红用了10分钟，每分钟走全程的1/10，小明和小红的速度比是1/8∶1/10=5∶4 。这一速度比的正确答案，不是一般要求，可供学有余力的学生选做。
第2题,可以先计算出得数再连线，也可以通过观察直接连线。
第3题,应让学生选择适合自己的方法计算，然后通过交流了解其他算法。其中乘除和连除运算，可以统一转化为乘法，再一起约分。两个分数的和（差）与一个数相乘，可以用分配律计算。如：
第4题，可以把冰的体积看作单位“1”，设为x dm3，列方程得(10/11)x＝30。也可以把分数看成比，即水与冰的体积比是10∶11，已知10份是30 dm3，求11份，算式是30÷10×11。
第5题，同第4题类似。
第 6题，是分数乘除法的综合应用问题。可以分步列式，也可列出一个方程。如：设猫每分钟跳x次，依题意得方程16x=500×(2/25)。
第7题，是有关比的基础知识的综合练习。第（1）题综合了比与除法、分数的关系，以及它们的基本性质。第（2）题综合了求一个数是另一个数的几倍（或几分之几），以及两个数的比。第（3）题综合了质量单位的改写与比的
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