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出门在外也不愁第 9章? 一般整数规划整数规划? 案例分析：加利福尼亚制造公司的例子其他一些应用 ? 0―1变量的一些其他描述方法:在伟恩德的例子中加入生产的 启动成本 ? 0―1变量的一些其他描述方法:包含互斥产品的伟恩德例子 ? 0―1变量的一些其他描述方法:加入二选一约束的伟恩德例子 ? 一些建模的例子：增加管理限制 ? 一些建模的例子：不
符合比例性要求 ? 一些建模的例子：航班的人员排程问题 ? 本章小节整数规划问题? 线性规划的一个重要的假设是决策变量可取非整数 的连续值。然而这一假设在很多情况下不能满足实 际问题的要求； ? 对决策变量有整数要求的数学规划问题称为整数规 划问题； ? 整数规划是数学规划的一个重要分枝，有广泛的应 用背景，如指派问题、背包问题、旅行推销商问题 都是整数规划问题； ? 整数规划又是最难求解的问题之一，至今还没有找 到有效算法。邮局排班问题例：邮局一年365天都要有人值班，每天需要的职 工数因业务忙闲而异，据统计邮局每天需要的人 数按周期变化，一周内每天需要的人数如下：一 17 二 13 三 15 四 19 五 14 六 16 日 11排班要符合每周连续工作五天，休息两天的 规定。如何排班可使用人最少。邮局排班模型解：设 xi 为第 i 天开始上班的人数： min: z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. x1 +x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17 +x5 + x6 + x7 ≥ 13 x1 + x2 +x6 + x7 ≥ 15 x1 + x2 + x3 +x7 ≥ 19 x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 14 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 16 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11 xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , 7 LP解： x = (1.3, 3.3, 2, 7.3, 0, 3.3, 5) z = 22.3 整数解：x = ( 4, 4, 2, 6, 0, 4, 3) z = 23固定费用问题例: 服装厂可生产西服、衬衫和羽绒服。生产不同服装要使用 不同设备，该厂可从租赁公司租用这些设备（每种设备可 租用多台）。服装厂每月可用人工工时为 3000小时，该厂 如何安排生产可使每月利润最大。市场需求、设备租金和 其它经济参数见下表：序 服装 市场 租金 生产 种类 需求 元 /台 成本 1 西服 150
羽绒服 350
销售 人工 设备 可用工 价格 工时 工时 时 /台 400 5 3 300 40 1 0.5 500 300 4 2 300服装厂生产模型解：令 yi 为租赁 i 类设备的数量; xi为各类服装的生产量, 具 体模型为： max 120x1+10x2+100x3-0y2-1000y3 s.t. 5x1+ 3x1 0.5x2 2x3 x1 x2 x3 xi , yi ≥ 0 i = 1, 2, 3 x 2 + 4 x3 - 300y1 -500y2 ≤ 3000 ≤ 0 ≤ 0 ≤ 150 ≤ 800 ≤ 350 - 300y3 ≤ 0TBA航空公司的问题y TBA 航空公司是一家使用小飞机经营短途航线的小型区 域性企业。该公司已经经营得不错，其管理层次决定拓展 它的经营领域。 y 管理层现在面临的基本问题是采购更多的小型飞机来开辟 一些新的短途航线，还是开始通过为一些跨地区航线购买 大型的飞机来进军全国市场，或双管齐下。 问题：每一种类型的飞机需要采购多少才能获得最大的年 总净利润？TBA航空公司问题的数据小型飞机 每架飞机的年利润 飞机的单位购价 最多购买数量 100万美元 500万美元 2 大型飞机 500万美元 5000万美元 没有限制 1亿美元 可获得的资金总额线性规划建模S = 购买小型机的数量 L = 购买大型机的数量 最大化利润 = S + 5L ($millions) 资金约束: 5S + 50L ≤ 100 (百万美元) 小型机约束: S ≤ 2 且 S ≥ 0, L ≥ 0.问题违背了线性规划可分性假设? 线性规划的可分性假设: 线性规划的决策变量可 以是在满足一定的函数约束与非负约束下，包括 分数在内的所有实数。因此，决策变量不一定是 整数。 ? TBA航空公司的问题中，决策变量都必须是整 数，因此该问题不符合线性规划的可分性假设。TBA航空公司问题的整数规划建模设 S = 购买小型机的数量 L = 购买大型机的数量 最大化 利润 = S + 5L (百万美元) 资金约束 ：5S + 50L ≤ 100 (百万美元) 小型机约束: S ≤ 2 且 S ≥ 0, L ≥ 0 S, L 均为整数.整数规划的图解法? 当整数规划问题中只含有两个决策变量时，其最优解 可通过应用图解法求得，只需要在原方法的最后一部 分作些改动。因此，与前面一样，首先作出LP放宽的 可行域，确定目标函数的斜率，而后以该斜率在可行 域内平移直线，增大目标函数值。 ? 但是，与线性规划不同的一点是，直线平移到可行域 内的最后一个整数解即停下来，而不是平移到可行域 的边缘。最后平移到的整数解即为最优整数解。整数规划的图解法Number of large 3 airplanes purchased 2 L (0, 2) = Optimal solution for the integer programming problem (P(2, 1.8) = Optimal solution for the LP relaxation (Profit = 11) Profit = 10 = + S5 L (2, 1) = Rounded solution (Profit = 7)101 2 3 S Number of small airplanes purchased电子表格模型Small Airplane Large Airplane Unit Profit ($millions) 1 5 Capital Capital Capital Per Unit Produced Spent Available 100 5 50 100 &= Total Profit ($millions) 10Capital ($millions)Small Airplane Large Airplane Units Produced 0 2 &= Maximum Small Airplane 2整数规划问题的类型? 纯整数规划问题 指的是所有的决策变量均为整数的线性 规划问题。 ? 混合整数规划问题 指的是只有部分决策变量要求为整 数，而可分性假设对其他变量是适用的（连续变量）。 ? 0－1变量 是指只能取0或1的变量。 ? 0－1整数规划 (BIP) 指那些要求整数的决策变量只能在0 或1两个值中取值的问题。这类问题也可以根据是否所有的决策变量均为0－1变量而划分为纯0－1整数 规划问题和混合0－1整数规划问题。整数规划与线性规划的关系x24.03.0max x1 + x2 s.t. x1 + 2x2 ≤ 8 2x1 - x2 ≤ 4 x1, x2 取整数2.01.001.02.03.04.0x1整数规划与线性规划的关系? 整数规划 = 相关的线性规划 + 整数约束 ? 整数规划是约束得更紧的问题, 它的可行域是其相关线性规划问题可行域的一个子集； ? 整数解的数目远少于线性规划的解，只要可行域有 界，整数解的数目有限；整数规划的求解难度远大于 线性规划。求解整数规划方法? 穷举法：方法简单，只可解小问题，计算量很 大；对0-1整数规划，计算量为2n，按指数增长； ? 凑整法：解的质量差，有时无法得到可行解 ? 分支定界: 计算效率高, 应用广泛; ? 割平面法: 有理论意义, 但计算效率较低； ? 启发算法: 效率高, 但不能保证找到最优解, 可解大 规模问题。穷举法方法简单，只可解小问题，计算量很大；对0-1整 数规划，计算量为2n，按指数增长：n 10 20 30 40 50 100 计算量 1.02×103 1.05×106 1.07×109 1.10×××1030 计算时间 1.02毫秒 1.05秒 18 分钟 13 天 36 年 4 亿亿年凑整法? 例：max: z = 3x1 + x2 s.t. 2x1 + x2 2x1 + 3x2 ≤5 =5x1, x2 为非负整数 ? 松弛问题解: x = (2.5, 0), 四舍五入得不到可行解; ? 整数最优解: x = (1, 1)凑整法? 例：max: x1 + 5x2 s.t. x1 + 10x2 ≤ 20 x1 ≤ 21.0x22.0x1, x2 为非负整数 ? 松弛问题解：x = (2, 1.8) z = 11 ? 四舍五入解：x = (2, 2.0) 不是可行 解； x = (2, 1.0) z = 7 ? 整数最优解：x = (0, 2.0) z = 1001.02.0x1分枝定界算法举例整数规划问题： max: z = x1 + x2 s.t. 6x1 + 2x2 ≤ 17 5x1 + 9x2 ≤ 44 x1, x2 为整数 按线性规划求解： x1= 1.477, x2= 4.068 z = 5.5450 1.0 2.0 3.0 4.0 2.0 1.0 6x1+2x2≤ 17x25.0 整数规划最优解 线性规划最优解 4.0 5x1+9x2≤ 44 目标函数线3.0x1SUB 1 max: x1 + x2 s.t. 6x1 + 2x2 ≤ zU = 5.545 17 zL = -∞ 5x1 + 9x2 ≤ 44 x1 ≤ 1 ≤ x1 1 SUB 3 SUB 1 x1, x2 ≥ 0 max: x1 + x2 s.t. 6x1 + 2x2 ≤ zU = 5.33 z1 = 5.333 17 zL = -∞ x1 = 1.000 x2 = 4.333 5x1 + 9x2 ≤ 44 x2 ≤ 4 ≤ x1 1 SUB 3 x2 ≤ 4 zU = 5.33 z3 = 5.0 x1,zx2 x1 = 1.0 L = 5.00 x2 = 4.0LP松弛 z0 = 5.545 x1 = 1.477 x2 = 4.068SUB 2 max x1 + x2 s.t. 6x1 + 2x2 ≤ 17 5x1 + 9x2 ≤ x1 ≥ 2 44 ≥ x1 SUB 2 2 x1, x2 z2 = 4.5 x1 = 2.0 x2 = 2.5 SUB 4 max x1 + x2 s.t. 6x1 + 2x2 ≤ 17 5x1 + 9x2 ≤ 44 x1 ≤1 x ≥x2 ≥ 5 SUB 4 infeasiblex25.0 整数最优解 线性规划最优解 4.0 5x1+9x2≤ 44 目标函数线3.02.0 1.0x1 ≤ 1 x1 ≥ 26x1+2x2≤ 1701.02.03.04.0x10－1规划的应用? 0－1变量只能在0或1间取值，因此很适用于是非决 策。 ? 例子： 是否应该开展某一特定的项目？ 是否应该做某一项固定投资？ 是否应该将设备放置在某一特定地点上？加利福尼亚制造公司的例子? 加利福尼亚制造公司是在整个加利福尼亚地区拥有多个工 厂和仓库的多元化的公司。但是在旧金山和洛杉机还没有 运作设施。 ? 首要的问题是在洛杉机还是旧金山，或者在两个城市都建 立工厂。 ? 管理层也在考虑至多建立一个新的仓库，但是仓库地点限 制在新建工厂的城市。 问题：加利福尼亚制造公司是在洛杉机还是在旧金山建立仓库?加利福尼亚制造公司问题的数据决策序列号 1 2 3 4 是非问题 在洛杉机建工厂？ 在旧金山建工厂？ 在洛杉机建仓库？ 在旧金山建仓库？ 决策变量 x1 x2 x3 x4 净现值 8百万美元 5百万美元 6百万美元 4百万美元 所需资金 6百万美元 3百万美元 5百万美元 2百万美元可用资金：1000万美元加利福尼亚制造公司问题的0－1决策变量决策序列号 决策变量 可能的取值 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 0 or 1 0 or 1 0 or 1 0 or 1 取1的含义 在洛杉机建厂 在旧金山建厂 在洛杉机建仓库 在旧金山建仓库 取0的含义 不在洛杉机建厂 不在旧金山建厂 不在洛杉机建仓库 不在旧金山建仓库引入是非决策的0－1决策变量假设 x1 = 1 在洛杉机建厂; 0 不在洛杉机建厂 x2 = 1 在旧金山建厂.; 0 不在旧金山建厂 x3 = 1 在洛杉机建仓库; 0 不在洛杉机建仓库 x4 = 1 在旧金山建仓库; 0 不在旧金山建仓库 Maximize NPV = 8x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4 ($millions) 资金约束: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 ($millions) x 3 + x4 ≤ 1 x3 ≤ x1 x4 ≤ x2 且 x1, x2, x3, x4 是0－1变量. Max 1 Warehouse: Warehouse only if Factory:BIP电子表格模型California Manufacturing Co. Facility Location ProblemNPV ($million Warehouse Factory LA 6 8 SF 4 5Capital Required ($millions) LA Warehouse 5 Factory 6SF 2 3Capital Spent 9 Total Warehouses 0&=Capital Available 10 Maximum Warehouses 1Build? Warehouse FactoryLA 0 &= 1SF 0 &= 1&=敏感性分析Capital Available Warehouse Warehouse ($millions) in LA? in SF? 0 0 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 0 10 0 0 11 0 1 12 0 1 13 0 1 14 1 0 15 1 0 Factory in LA? 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Factory in SF? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Total NPV ($millions) 13 9 9 9 9 13 13 17 17 17 19 19管理结论? 前面提供了如果管理层最初按照其暂定的决定为这些投资提供1000万美 元资金的情况下的计划。 ? 用这些资金, 最好的计划是在洛杉机和旧金山都建立工厂，而不建仓库。 ? 这个计划的一个优点是它只是用了900万美元，为目前其他正在投资的项 目提供了100万。 ? 如果可用资金的数量降到900万美元以下，公司会遭受重大损失.（总现 值将从1300万美元降低到900万美元） ? 增加100万美元的可用资金（从1000万美元上升到1100万美元）将会带来 总净现值高达400万美元的增长（从1300万美元增长到1700万美元）。 ? 有这些多余的资金, 最好的计划是在两个城市都建立工厂，在旧金山建立 一个仓库。其他一些应用? 投资分析 y 我们是否应该做一个固定的投资额？ ? 选址问题 y 是否一个特定的地点可以被选作新设施的坐落地？ ? 设计一个制造和分销网络 y 是否应当维持特定工厂的运营？ y 是否应当选择特定的地点开设新的工厂？ y 是否应当维持特定配送中心的运营？ y 是否应当选择特定的地点开设新的配送中心？? 货物配送 y 是否应当为一辆卡车选择特定的路线? 特定的卡车规格? 特定的出发时间？ ? 相关活动的排程 y 一个特定的活动是否应该在特定的时间开始? ? 安排资产出售 y 在一个特定时间段里是否应该持有一种特定的资产? ? 航空业中的应用: y 是否应该指派特定类型的飞机飞特定的航班? y 是否应当将特定序列的航班指派给一个空勤人员?有A、B、C 三种资源可用来生产甲、乙、丙三种产品。资源 量、单位产品利润和单位产品资源消耗量见下表所示。由于不 同产品的生产组织不同，因而涉及的固定费用不同，组织三种 产品生产的固定费用也见下表。现在要求制定一个生产计划， 使总收益最大，试建立数学模型。甲 乙 丙 资源量A B C单件利润 固定费用2 2 1 4 1004 3 2 5 1508 4 3 6 200500 300 100解设xj是第j种产品的产量 令 yj =1 0 生产第j种产品（即 xj & 0 )； 不生产第j种产品（即 xj = 0 )。max z = 4 x1 + 5 x 2 + 6 x3 ? 100 y1 ? 150 y 2 ? 200 y 3 2 x1 + 4 x 2 + 8 x3 ≤ 500 2 x1 + 3 x 2 + 4 x3 ≤ 300 x1 + 2 x 2 + 3 x3 ≤ 100 x1 ≤ M 1 y1 x2 ≤ M 2 y 2 x3 ≤ M 3 y 3 x j ≥ 0且为整数， j = 1, 2,3 y j = 0或1, j = 1, 2,3其中常数Mj为的xj上界，可取M1=100 ，M2=50， M3=100/3在伟恩德的例子中加入生产的启动成本现在假设将原来的问题作如下变形: 1. 对于每一种产品，在开始生产之前都需要为安装生产设 备支出一次性的准备成本。门的一次性准备成本为700 元，窗的一次性准备成本为1300元。 2. 一个生产批次在一个星期后即终止，因此原模型的D、 W值分别表示门、窗的生产总量，而不是每周的生产 率。因此，必须将门、窗的数量限制在整数范围内。一般伟恩德问题的图解法W Production rate for windows 8 Optimal solution 6 (2, 6)4Feasible RegionP = 3,600 = 300+ D 500 W204 6 2 Production rate for doors810 D在第一种变形下的伟恩德问题的净利润净利润 (美元) 产量 0 1 2 3 4 5 6 门 0×300－0＝0 1×300－700＝ － 400 2×300－700＝ － 100 3×300－700＝ 200 4×300－700＝ 500 不可行 不可行 窗 0×500－0＝0 1×500 － 1300 ＝ － 800 2×500 － 1300 ＝ － 300 3×500 － 1300 ＝ 200 4×500 － 1300 ＝ 700 5×500 － 1300 ＝ 0 － 1300 ＝ 1700加入生产成本的伟恩德问题的可行解W 8 Production quantity for windows 6 (0, 6) gives P = ) gives P = -100 + 1700 = 16004 (4, 3) gives P = 500 + 20 = 700 2 (0, 0) givesP = 0 0 (4, 0) gives P = 500 6 2 4 Production quantity for doors 8 D数学表达假设 D = 生产门的数量， W = 生产窗的数量, y1 = 1 生产门; y1 = 0 不生产门 y2 = 1 生产窗; y2 = 0 不生产窗 Maximize P = 300D + 500W - 700y1 -1300y2 Original Constraints: Plant 1: D ≤ 4 Plant 2: 2W ≤ 12 Plant 3: 3D + 2W ≤ 18 Auxiliary variables must =1 if produce any: Doors: Windows: and D ≤ 99y1 W ≤ 99y2D ≥ 0, W ≥ 0, y1 and y2 are binary.电子表格模型Unit Profit Setup Cost Doors $300 $700 Windows $500 $1,300Plant 1 Plant 2 Plant 3Hours Hours Hours Used Per Unit Produced Used Available 1 0 0 &= 4 0 2 12 &= 12 3 2 12 &= 18 Doors 0 &= 0 0 Windows 6 &= 99 1Units Produced Only If Setup Setup?Production Profit $3,000 - Total Setup Cost $1,300 Total Profit $1,700多抉择问题 r组约束条件中，要求至少有 q 组约束得到满足， 而其他 r-q 组约束可以满足，也可以不满足 （1）ak1x1 + ak 2 x2 +L+ aknxn ≤ bk k = 1,L, r引入0-1变量yk，及一个充分大的常数Mk，则ak1 x1 + ak 2 x2 + L+ akn xn ≤ bk + yk Mk k = 1,L, r∑yk≤ r ?qyk= 0 对应的约束为起作用约束（2）ak1 x1 + ak 2 x2 + L+ akn xn ≥ bk k = 1,L, r引入0 -1变量 yk，及一个充分大的常数 Mk ，则ak1 x1 + ak 2 x2 +L+ aknxn ≥ bk ? yk Mk k = 1,L, r∑yk≤ r ?qyk= 0 对应的约束为起作用约束 要求一个约束起作用时ak1 x1 + ak 2 x2 +L+ aknxn ≥ bk ? yk Mk k = 1,L, r∑yk= r ?1若整数规划中，变量满足0 ≤ xl ≤ 2 k , 则xl = yk 2k + yk?1 2k?1 +L+ y1 21 + y0其中y0 、y1 、… 、yk 取 0 或 1 离散值的变量 设 xj 只能取值{a1，a2， … ，ak}，则可表示为∑a yi =1 iki= xj∑yi =1ki=1y i = 0或1包含互斥产品的伟恩德例子 （变形2）假设仅对最初的伟恩德作如下的变动： 两种新产品门与窗具有相同的用户，是相互竞争 的。因此，管理层决定不同时生产两种产品，而是只 能选择其中的一种，这样：或者 D = 0 , 或者W = 0, 或者两者均为0包含互斥产品的伟恩德问题的可行解W 8 Production rate for windows 6 (0, 6) gives P = 3,000 P = 300 D + 500 W Either D = 0 or W= 042 (0, 0) gives P=0 0 (4, 0) gives P = 1,200 8 D6 2 4 Production rate for doors数学表达假设 D = 生产门的数量， W = 生产窗的数量, y1 = 1 生产门; y1 = 0 不生产门 y2 = 1 生产窗; y2 = 0 不生产窗 Maximize P = 300D + 500W Original Constraints: Plant 1: D ≤ 4 Plant 2: 2W ≤ 12 Plant 3: 3D + 2W ≤ 18 Auxiliary variables must =1 if produce any: Doors: Windows: D ≤ 99y1 W ≤ 99y2Mutually Exclusive: y1 + y2 ≤ 1 and D ≥ 0, W ≥ 0, y1 and y2 are binary.电子表格模型Wyndor Glass Co. with Mutually Exclusive ProducUnit Profit Doors $300 Windows $500 Hours Used 0 12 12 Hours Available &= 4 &= 12 &= 18Plant 1 Plant 2 Plant 3Hours Used Per Unit Produced 1 0 0 2 3 2 Doors 0 &= 0 0 Windows 6 &= 99 1Units Produced Only If Produce Produce?Total Maximum Produced To Produce 1 &= 1加入二选一约束的伟恩德例子现在假设仅对最初的伟恩德例子作如下的变动: ? 公司最近新建了一个与工厂3类似的新厂（工厂4）, 因此新厂也可以生产两种新产品。 ? 但是，为了管理上的原因，管理层决定只能在一个 厂内生产新产品，同时要选取能获得产品组合最大 利润的那一工厂。在第三种变形情况下的伟恩德问题的数据单位产品的生产时间（小时） 工厂 1 2 3 4 单位利润 门 1 0 3 2 $300 窗 0 2 2 4 $500 每周可获得的生产时间（小时） 4 12 18 28选择工厂3或者工厂4的图解法(a) Choose Plant 3 W 8 (2, 6) gives P = 3,600 6 6 (4, 5) gives P = 3,700 W 8 (b) Choose Plant 44 Feasible region 24 Feasible region 2024 D024 D数学表达假设 D = 生产门的数量, W = 生产窗的数量, y = 1 用工厂4; y = 0 用工厂3 Maximize P = 300D + 500W Plant 1: Plant 2: Plant 3: Plant 4: D≤4 2W ≤ 12 3D + 2W ≤ 18 + 99y 2D + 4W ≤ 28 + 99(1 C y)且 D ≥ 0, W ≥ 0, y are binary.电子表格模型Unit Profit Doors $300 Windows $500 Modified Hours Hours Available Available 4 4 12 12 117 18 28 28Plant 1 Plant 2 Plant 3 Plant 4Hours Hours Used Per Unit Produced Used 1 0 4 0 2 10 3 2 22 2 4 28 Doors 4 Windows 5 1&= &= &= &=Units ProducedTotal Profit $3,700Which Plant to Use? (0=Plant 3, 1=Plant 4)固特公司的产品计划固特产品公司的研发部最近开发出了三种新产 品。这些产品都可以在两个工厂中生产，为了管理 的方便和防止新生产线的过度多元化，公司的管理 层增加了如下的约束：在三种新产品中，最多只能 选择两种进行生产；两个工厂中必须选出一个专门 生产新产品。GOOD产品公司数据单位产品的生产时间（小时） 产品1 工厂1 工厂2 单位利润 可销出的数量 3 4 5 7 产品 2 4 6 7 5 产品3 2 2 3 9 每周可获得的生产时间（小时） 30 40 ($thousands) (每周数量)数学表达假设 xi = 单位星期所生产的单位产品 i 的数量( i = 1, 2, 3), yi = 1 生产产品 yi = 0 不生产 (i = 1, 2, 3), y4 = 1 采用工厂2; y4 = 0 采用工厂1 Maximize Profit = 5x1 + 7x2 + 3x3 ($thousands) 辅助变量 =1 如果产品有最大的销量: Product 1: Product 2: Product 3: x1 ≤ 7y1 x2 ≤ 5y2 x3 ≤ 9y3Either plant 1 (y4 = 0) or plant 2 (y4 = 1): Plant 1: 3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 30 + 99y4 Plant 2: 4x1 + 6x2 + 2x3 ≤ 40 + 99(1 C y4) y1 + y2 + y3 ≤2 and xi ≥ 0 (i = 1, 2, 3), yi are binary (i = 1, 2, 3, 4).电子表格模型Good Products Co. with Managerial RestrictionsProduct 1 Product 2 Product 3 Unit Profit ($thousands) 5 7 3 Hours Used 34.5 40 Modified Hours Available 129 40Plant 1 Plant 2Hours Used Per Unit Produced 3 4 2 4 6 2 Product 1 Product 2 Product 3 5.5 0 9 &= &= &= 7 0 9 7 5 9 1 0 1&= &=Units Produced Only If Produce Maximum Sales Produce?Total Maximum Produced To Produce 2 &= 2 Total Profit ($thousands) 54.5Which Plant to Use? (0=Plant 1, 1=Plant 2)1集合覆盖问题举例? 例：某城市有6个区, 规划建消防站, 任何区发生火警时消防 车要在15分钟内赶到, 各区间消防车行驶的时间见下表, 求设 置消防站最少的方案。 地区1 2 3 4 5 6 1 0 10 16 28 27 20 2 10 0 24 32 17 10 3 16 24 0 12 27 21 4 28 32 12 0 15 25 5 27 17 27 15 0 14 6 20 10 21 25 14 0集合覆盖问题举例? 解：整数规划问题为： ? ? ? ? ? ? ? ? x2 min: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x2 x1 + x2 x3 + x4 x3 + x4 + x5 ≥1 + x6 ≥ 1 ≥1 ≥1x4 + x5 + x6 ≥ 1 + x5 + x6 ≥ 1 xi = 0 或 1 i = 1, ..., 6? 最优解 x2= x4= 1, 在地区2, 4设消防站。Supersuds 公司的营销计划Supersuds 公司正在制定下一年的新产品营销计 划，并准备在全国电视网上购买5个广告片，以促销 3种产品。每个广告只针对一种产品，每种产品最多 可以有三个广告，最少可以不做广告。 问题: 如何将这5个广告分配给三种产品?超级苏兹公司问题的数据利润(百万美元) 电视广告片数 0 1 2 3 产品1 0 1 3 3 产品2 0 0 2 3 产品3 0 -1 2 4数学规划假设 yij = 1 分配给产品 i 的广告数为 0 otherwise (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) Maximize Profit = y11 + 3y12 + 3y13 + 2y22 + 3y23 C y31 + 2y32 + 4y33 Mutually Exclusive: Product 1: Product 2: Product 3: Total available spots: y11 + 2y12 + 3y13 + y21 + 2y22 + 3y23 + y31 + 2y32 + 3y33 ≤ 5 且 yij 是0，1变量 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). y11 + y12 + y13 ≤ 1 y21 + y22 + y23 ≤ 1 y31 + y32 + y33 ≤ 1电子表格模型Supersuds Corp. Marketing PlanProfit ($millions) Product 1 Product 2 Product 3 Number 1 1 0 -1 of 2 3 2 2 Spots 3 3 3 4Solution Product 1 Product 2 Product 3 Total Number 1 0 0 0 Profit of 2 1 0 0 ($millions) Spots 3 0 0 1 7 Total 1 0 1 &= &= &= Max Of One 1 1 1 Total Required Spots Spots Number of Spots 2 0 3 5 = 5东方公司是一家生产番茄酱的公司，番茄酱将 先运至分配中心，再由分配中心运送至分销店 。该 公司有五个工厂、三个分配中心、四家分销店 ，这 些工厂和分配中心的年固定成本如表1所示。从各工 厂至分配中心的运费与各工厂的生产能力如表图所 示。假定各分配中心的库存政策为“零库存”，即分 配中心将从工厂得到的产品均分配给分销店 ，不留 作库存。公司要设计一种番茄酱分配系统，在满足 需求的前提下，确定使用哪些工厂与分配中心进行 番茄酱的生产与分配，以使得总成本最小。生产能力 300工 厂 1 8000 工厂 2 500 700 中心 1需求量 分店 180 90 50 70 40 中心 2 60 80 80 中心 3 30 50 6040200200分店 2300300工厂 3600 500 600 500 700 600 500800分店 3150200工厂 4700分店 4250400工厂 5工厂与分配中心的年固定成本(单位:千元)工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 工厂5 中心1 中心2 中心33545404240402060工厂与分配中心的固定成本单位 工厂1 年固定成本
工厂2 工厂3 工厂4 工厂5分配中心1 分配中心2 分配中心3解: xij: 从工厂 i 运至分配中心 j 的产品数量； yij: 从分配中心 i 运至分销店 j的产品数量； Fi: 是否使用第 i个工厂的0-1整数变量; Di: 是否使用第 i个分配中心的0-1整数变量; 目标函数: 运输与固定成本最小 minf (x)=800 x11 +00 x13 + 700 x21 +500 x22 +700 x23 +800 x31 +600 x32 +500 x33 + 500 x41 +600 x42 +700 x43+700 x51 +600 x52 +500 x53 + 40y11 + 80y12 + 90y13 + 50y14 +70y21+40 y22 +60 y23+80 y24+80 y31+30 y32+50 y33 +60 y34 +000F2+ 000F4 +000D1 +000D3模型约束（1）工厂能力约束: x11 + x12 + x13 ≤ 300F 1 x21 + x22 + x2 3 ≤ 200F 2 x31 + x3 2+ x33 ≤ 300F 3 x41 + x42+ x43 ≤ 200F 4 x51 + x52 + x53 ≤ 400F 5模型约束（2）分配中心的“零库存” 约束: x11 + x21 + x31 + x41 + x51 = y11 + y12 + y13 + y14 x12 + x22 + x32 + x42 + x52 = y21 + y22 + y23 + y24 x13 + x23 + x33 + x43 + x53 = y31 + y32 + y33 + y34 （3）分配中心运出量约束: y11+ y12+ y13+ y14 ≤ 900D1 y21+ y22+ y23+ y24 ≤ 900D2 y31+ y32+ y33+ y34 ≤ 900D3模型约束（4）需求约束: y11 + y21 + y31 ≥ 200 y12 + y22 + y32 ≥ 300 y13 + y23 + y33 ≥ 150 y14 + y24 + y34 ≥ 250 （5）非负约束: xij ≥ 0, yij ≥ 0, Fi , Di为 0-1整数变量分配中心1 分配中心2 分配中心3 工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 工厂5分配中心1 分销店1 分销店2 分销店3 分销店4分配中心2 分配中心3800 700 800 500 700 600 600 700 5000 0 0 0 0 &= 0200 0 0 0 200 &= 900 1 200002.8E-14 300 150 250 700 &= 900 1 60000200 300 150 250&= &= &= &=200 300 150 250 900分 配 中 心 i是 否 使 用0 40000分配中心1 分配中心2 分配中心3 分销店1 分销店2 分销店3 分销店4工厂到分配中心成本 分配中心分销店成本 工厂的固定成本 分配中心的固定成本00 00总成本40 80 90 5070 40 60 8080 30 50 60700500分配中心1 分配中心2 分配中心3 工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 工厂5工 厂 i是 否 使 用工厂的固定成本0 0 0 0 0 0 = 00 200 0 1.3E-13 0 200 = 2000 0 300 0 400 700 = 7000 200 300 1.3E-13 400&= &= &= &= &=0 200 300 1.29E-13 400300 200 300 200 4000 1 1 6.5E-16 1
40000动态投资问题模型某电力公司预测明年用电需求将达到80亿度电，且在5 年内每年增加用电量20亿度。电力公司现有发电能力50 亿度，可供选择的新电站共有4个：发电量 (亿度) 电站1 电站2 电站3 电站4 建设投资 (百万元) 年运行费 (百万元)70 50 60 40200 160 180 14015 8 13 6请构造整数规划模型，在满足电力需求前提下使电力公 司五年内投入的建设投资和运行费用总和最小。动态投资问题模型? 解: yit: 第 t 年是否建第 i 个电站的0-1整数变量; ? 目标函数: 投资与运行费最小 ? ? ? ? ? min: ∑i {Ii ∑t yit + Ci ∑t ( 6 - t ) yit } = 200 (y11 + y12 + y13 + y14 + y15) + 15 (5y11 + 4y12 + 3y13 + 2y14 + y15) + 160 (y21 + y22 + y23 + y24 + y25) + 8 (5y21 + 4y22 + 3y23 + 2y24 + y25)….模型约束（1）发电量约束:70y11 + 50y21 +60 y31 + 40y41 ≥ 30 70(y11 +y12)+50(y21 +y21) +60( y31 + y31 ) +40(y41 +y42) ≥ 50 70(y11 +y12+ y13)+50(y21 +y21 + y23) +60( y31 + y31 + y33 ) +40(y41 +y42 + y43) ≥ 70 70(y11 +y12+ y13 + y14)+50(y21 +y21 + y23 + y24) +60( y31 + y31 + y33 + y34) +40(y41 +y42 + y43 + y44) ≥ 90 70(y11 +y12+ y13 + y14 + y15)+50(y21 +y21 + y23 + y24 + y25) +60( y31 + y31 + y33 + y34 + y35) +40(y41 +y42 + y43 + y44 + y45) ≥ 110模型约束? （3）电站只能建一次约束: ? ? ? ? ? ? ∑t yit ≤ 1 ?i y11+ y12+ y13+ y14+ y15 ≤ 1 y21+ y22+ y23+ y24+ y25 ≤ 1 y31+ y32+ y33+ y34+ y35 ≤ 1 y41+ y42+ y43+ y44+ y45 ≤ 1 yit 为0-1整数变量? （4）非负约束:动态投资问题模型? 解: yit: 第 t 年是否建第 i 个电站的0-1整数变量; ? xit: 第 t 年第 i 个电站的发电量;? 目标函数: 投资与运行费最小 ? ? ? ? ? min: ∑i {Ii ∑t yit + Ci ∑t ( 6 - t ) yit } = 200 (y11 + y12 + y13 + y14 + y15) + 15 (5y11 + 4y12 + 3y13 + 2y14 + y15) + 160 (y21 + y22 + y23 + y24 + y25) + 8 (5y21 + 4y22 + 3y23 + 2y24 + y25)….模型约束? （1）发电量约束: ? ? ? ? ? ? ∑i xit + 50 ≥ 80 + 20(t - 1) x11 + x21 + x31 + x41 ≥ 30 x12 + x22 + x32 + x42 ≥ 50 x13 + x23 + x33 + x43 ≥ 70 x14 + x24 + x34 + x44 ≥ 90 x15 + x25 + x35 + x45 ≥ 110 ?t模型约束? （2）发电能力限制约束: ? ? ? ? ? ? ? xit ≤ CAPi ∑tj =1 yij x11 ≤ 70 y11 x12 ≤ 70(y11 + y12) x13 ≤ 70 (y11 + y12 + y13) x14 ≤ 70 (y11 + y12 + y13 + y14) x15 ≤ 70 (y11 + y12 + y13 + y14 + y15) …… x21 ≤ 50y21; x22 ≤ 50(y21+ y22) ; ? i, t模型约束? （3）电站只能建一次约束: ? ? ? ? ? ∑t yit ≤ 1 ?iy11+ y12+ y13+ y14+ y15 ≤ 1 y21+ y22+ y23+ y24+ y25 ≤ 1 y31+ y32+ y33+ y34+ y35 ≤ 1 y41+ y42+ y43+ y44+ y45 ≤ 1? （4）非负约束: ? xit ≥ 0, yit 为0-1整数变量发电量 (亿度 )建设投资 (百万元 )年运行费 (百万元 ) 15 8 13 6 15 8 13 6 15 8 13 6 15 8 13 6 15 8 13 6 15 8 13 6电站 1 电站 2 电站 3 电站 470 50 60 40200 160 180 140第 1年 电站 1 电站 2 电站 3 电站 4 0 1 0 0 50 &= 30第 2年 0 0 0 0 50 &= 50第 3年 0 0 1 0 110 &= 70第 4年 0 0 0 0 110 &= 90第 5年 0 1.11E-16 0 0 110 &= 110 建设投资 340 79 419 0 1 1 0 &= &= &= &= 1 1 1 1运行费 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 总费用一房地产开发商面临一个五年开发规划问题：他目 前已经得到三个房地产开发项目的许可，然而由于资 金和建设力量的限制，必须确定一个最优的开发计 划。三个房地产开发项目的数据如下： 项目 建设所需全 建设需要时 每年所需建 建成后每年 部投资 间年 筑工人 租金收益 A 3000万元 1 150 150万元 B C 5000万元 9000万元 2 3 250 200 320万元 500万元1.每年可用于建设的资金不能超过5500万元； 2. 每年可以使用的建筑工人总数最多为400人； 3. 由于项目管理上的原因，每年只能允许1个项目开工 ，同时施工建设的项目不能超过2项；项目收益应在项目建成之后获得，即：若在第一年建 设项目A，项目一年建成，则收益在第二年开始获得。建设 时间超过一年的项目，其建设投资平均分摊在建设周期内， 开发商面临的其他限制为： 1.每年可用于建设的资金不能超过5500万元； 2. 每年可以使用的建筑工人总数最多为400人； 3. 由于项目管理上的原因，每年只能允许1个项目开工，同时 施工建设的项目不能超过2项； 请构造一个满足上述约束限制，并使五年内租金收益最大 的整数规划模型。项目 A B C建设所需 全部投资 3000万元 5000万元 9000万元 第 1年 2.22E-16 1 0 1 &= 1 第 1年 2.22E-16 1 0 1 &= 2建设需要 时间年 1 2 3 第 2年 1 0 0 1 &= 1 第 2年 1 1 0 2 &= 2每年所需 建成后每年 建筑工人 租金收益 150 150万元 250 320万元 200 500万元 第 3年 0 2.22E-16 0 2.22E-16 &= 1 第 3年 0 2.22E-16 0 2.22E-16 &= 2 第 4年 0 0 0 0 &= 1 第 4年 0 2.22E-16 0 2.22E-16 &= 2001.每年可用于建设的资金不能超过 5500万元； 2. 每年可以使用的建筑工人总数最多为 400人； 3. 由于项目管理上的原因，每年只能允许 1个项A B C1 1 0&= &= &= 投资1 1 1 第 1年 2500 &= 5500 第 1年 250 &= 400 第 2年 5500 &= 5500 第 2年 400 &= 4001410第 3年 第 4年 5.6E-13 5.6E-13 &= &=
第 3年 第 4年 5.6E-14 5.6E-14 &= &= 400 400A B C工人600 960 1000450 640 500300 320150西南航空公司的人员排程问题? 西南航空公司需要将其机组人员分配给其所有航班. ? 我们将重点把以旧金山为基地的三队机组人员分配 给11个航班. 问题: 怎样使所有的航班都分配到机组人员，并且三 队机组人员的总成本最小？西南航空公司的航线Seattle (SEA)San Francisco (SFO)Denver (DEN)Chicago ORD)Los Angeles (LAX)西南航空公司问题数据航 班 1.SFOCLAX 2.SFOCDEN 3.SFOCSEA 4.LAXCORD 5.LAXCSFO 6.ORDCDEN 7.ORDCSEA 8.DENCSFO 9.DENCORD 10.SEACSFO 11.SEACLAX 成本：千美元 2 3 4 6 7 2 2 5 7 8 2 4 4 2 2 4 4 2 9 4 9 4 8 2 3 3 3 3 5 2 5 2 9 1 1 1 1 2 3 4 3 3 4 2 3 4 1 1 1 2 5 6 7 1 1 1 3 2 5 5 8 9 10 1 1 1 3 11 12数学规划假设xj = 1 次序 j 指派给机组人员; 0 其他. (j = 1, 2, … , 12). Minimize Cost = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 6x4 + 7x5 + 5x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 + 9x10 + 8x11 + 9x12 (in $thousands) 约束 Flight 1 covered: Flight 2 covered: : Flight 11 covered: Three Crews: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 ≤ 3 且 xj 是0，1变量 (j = 1, 2, … , 12). x1 + x4 + x7 + x10 ≥ 1 x2 + x5 + x8 + x11 ≥ 1 : x6 + x9 + x10 + x11 + x12 ≥ 1电子表格模型B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 C 1 2 D 2 3 E 3 4 G H I J Flight Sequence 4 5 6 7 8 6 7 5 7 8 F K 9 9 L M N O P Q 10 11 12 9 8 9 Total 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Cost ($thousands) Includes Segment? SFO-LAX SFO-DEN SFO-SEA LAX-ORD LAX-SFO ORD-DEN ORD-SEA DEN-SFO DEN-ORD SEA-SFO SEA-LAX1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 1 01 0 0 1 0 1 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 11 0 0 1 0 0 1 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1 0 1 1 00 0 1 1 0 1 0 1 0 0 11 0 0 1 1 0 1 0 0 0 10 1 0 0 1 0 1 0 1 0 10 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1&= &= &= &= &= &= &= &= &= &= &=At Least One 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Number of Crews 3 18Fly Sequence?1 02 03 14 15 06 07 08 09 010 11 12 0 1 0Total Sequences 3 &=Total Cost ($thousands)
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