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w=pt=30乘=焦耳=18000kjw/30%=m乘（60乘10）乘4.6乘10的7次方m=0.0065千克质点动力学研究的是质点运动与力的关 系。本章学习的基本规律是牛顿定律以及由 此推出的三个质点运动定理：动量定理、 此推出的三个质点运动定理：动量定理、动 能定理和角动量定理。 能定理和角动量定理。重点学习这些基本规 律的应用。 律的应用。自然和自然规律隐藏在黑暗之中， 自然和自然规律隐藏在黑暗之中，上帝 让牛顿降生吧” 一切就有了光明； 说“让牛顿降生吧
”，一切就有了光明； 但是，光明并不久长，魔鬼又出现了， 但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，上 帝咆哮说： 让爱因斯坦降生吧” 帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”，就恢 复到现在这个样子。 复到现在这个样子。 三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，建 三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上， 立了动力学三大定律和万有引力定律。 立了动力学三大定律和万有引力定律。若没 有后者，就不能充分显示前者的光辉。 有后者，就不能充分显示前者的光辉。海王 星的发现，把牛顿力学推上荣耀的顶峰。 星的发现，把牛顿力学推上荣耀的顶峰。魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨， 魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，她 在更加坚实的基础上确立了自己的使用范围。 在更加坚实的基础上确立了自己的使用范围。 宇宙时代， 宇宙时代，给牛顿力学带来了又一个繁花似 锦的春天。 锦的春天。2.1 牛顿运动定律2.1.1 惯性定律和惯性参考系牛顿第一定律： 牛顿第一定律： 一个质点，如果没有受到其他物体的作用，就将保持其 静止或匀速直线运动状态。 或者说 一个自由粒子永远静止或作匀速直线运动。 牛顿第一定律 指明了任何物体都具有保持其原有运动 状态不变的特性――惯性 惯性，因此又称第一定律为惯性定 惯性 第一定律为惯性定 处于平衡时物体的运 律。实际上第一定律所描述的是力处于平衡 处于平衡 动规律。 它定性地阐明了力的涵义，力是改变物体运动状 力是改变物体运动状 态的原因。 态的原因。惯性系： 惯性系 满足牛顿第一定律的参照系 非惯性系： 非惯性系 牛顿第一定律不成立的参考系r a甲 A 乙 甲看A:满足第一定律 甲看 满足第一定律 乙看A:不满足第一定律 不满足第一定律甲是惯性系， 甲是惯性系， 乙是非惯性系一个参考系是不是惯性系,只能由实验确定。 一个参考系是不是惯性系 只能由实验确定。 只能由实验确定 天体运动的研究指出：以太阳中心为原点,以指向某些恒 星的直线为坐标轴,则所观察到的天文现象都与 牛顿定律和 万有引力定律推出的结论相符合,因此,这样的日心参考系是 日心参考系是 惯性系。 惯性系。 研究人造地球卫星和远程导弹的运动，地心参考系是近 地心参考系是近 似程度相当好的惯性系。 似程度相当好的惯性系。 在研究地球表面附近物体的运动时，地面系（或固定在 地面系（ 地面系 地面上的物体）就是近似程度相当好的惯性系。 地面上的物体）就是近似程度相当好的惯性系。Z地面系日心系oX 地心系Y2.1.2 力的概念引力：存在于任何两个物体间的吸引力。是长程力。 引力 电磁力：存在于静止电荷间的电性力及存在于运动电荷 电磁力 间的电性力和磁性力，总称为电磁力。也是长程力。 由于分子或原子都是由电荷组成的，它们之间的作用 力属于电磁力。 强相互作用力：强相互作用力存在于核子、介子、超子 强相互作用力 等粒子之间的一种相互作用力，作用范围约在10-15米量 级, 比库仑力大约102 量级。 弱相互作用力：粒子之间的另一种作用力，力程短、力 弱相互作用力 弱，约为强相互作用的10－13 量级.弱相互作用导致β衰 变。2.1.3 牛顿第二定律一般表述： 一般表述：物体受到外力作用时，所获得的加速度的大 小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，其方 向与合外力的方向相同。即r r F = ma牛顿自述： 牛顿自述： 运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力 所沿直线的方向上。r d r 宏观低速运动情况下，m不变 r F = (mv ) ma dt注意1. 上式是一个瞬时关系式，即等式两边的各物理量 都是同一时刻的物理量。v 2. F 是作用在质点上各力的矢量和。 v 3. 在一般情况下力 F是一个变力4、质量是物体惯性的量度，称为惯性质量。 5、牛顿第二定律只适用于质点的运动，适用于宏观低 速的惯性系。r 表述： 表述：当物体 A 给物体 B 一个作用力 F1 时，物体 B也必 r 定同时给物体 A 一个反作用力 F2 ；作用力与反作用力大小 相等，方向相反，而且作用在同一条直线上。 相等，方向相反，而且作用在同一条直线上。即讨论： 讨论：2.1.4 牛顿第三定律 牛顿第三定律v v F = F2 1指出了力的起源：力是物体间的相互作用。 力总是成对出现，同时产生，同时消失，没有主从之分。 成对出现，同时产生，同时消失，没有主从之分。 成对出现 （该性质只实用于接触力和“超距力”。） ） 作用力与反作用力大小相等 方向相反，分别作用 大小相等，方向相反 大小相等 方向相反 在两个不同 两个不同的物体上，而且属于同一性质的力。 两个不同 第三定律不涉及物体的运动，与参照系无关 参照系无关，无论 参照系无关 在惯性系还是非惯性系中均成立。2 2.2 力学中常见的力 .1、开普勒行星三定律 、开普勒行星三定律: 2行星 太阳（1）行星的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。 （2）行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。 （3）行星公转周期的平方与它们轨道半长径的立方成正比。 即T2 = 3 a恒量（恒量值决定于中心天体的质量 ）2、万有引力和重力 、万有引力： 万有引力：存在于任何两个物体之间的吸引力。 即m1m2 F =G 2 rG = 6.67259 ×1011 m3 kg 1 s 2 ) (地球内的物体 m 所受地球的引力 地球的引力为 地球的引力PF =G m′m r2rOm′ 为地球上以地心为圆心的半径为 r 的球的质量。重力： 重力：地球表面附近的物体因地球吸引而受到的力， 方向竖直向下。 忽略地球自转，则 其中m⊕ m W = G 2 = mg R3、弹性力 、m⊕ g = G 2 = 9
80665 m 2 s R物体受力形变时，有企图恢复原状的趋势，这种抵抗外 力而力图恢复原状的力称为弹性力。 常见三种表现形式： （1）压力：两个物体由于积压彼此 压力： 压力 发生形变，产生对对方的弹力，称为 压力或支持力，其方向与接触面垂直。 r r 如图所示，墙壁对细杆的压力 N1 和支持力 N 2 。r N1 r N2接触是产生弹性力的必要条件，而不是充分条件。 。例：如图所示，试 分析静止圆球所受 的力。 圆球和斜面虽有接触但球与 斜面之间无相互作用的弹力。v Nv G（2）拉力：绳或线对物体的拉 ）拉力： 力f ，其方向总是沿着绳而指向 绳要收缩的方向 ，如图1所示。 绳被拉紧时， 绳的内部各段 之间的相互作用力T称为张力。如 图2 所示，绳中P点的张力T为A和 B两部分之间的相互作用力 。 在绳中任取一段 l ，其质量 为 m ，如图3所示，根据牛顿第 二定律：P 图1fATTBl图2T1T2
T1 = maT2 图3可见：重绳加速运动时，绳中各处的张力不等。 可见：重绳加速运动时，绳中各处的张力不等。 忽略绳的质量时，各点的张力才会相等。（3）弹簧的弹力：又称弹性恢 ）弹簧的弹力： 复力。在弹性限度内，遵守胡 克定律：kFF = k x4、摩擦力 、oxx滑动摩擦力：当物体间发生相对滑动时，在接触面上出现 滑动摩擦力： 的阻止物体间相对滑动的力。 实验表明：f k = k NFf方向与相对滑动的方向相反。静摩擦力：当两个物体相对静止但有相对滑动趋势时，接 静摩擦力： 触面间产生的摩擦力。 实验表明，最大静摩擦力为f max =
s N说明： 说明： （1） 静摩擦力在达到最大值之前，其大小始终与外力相等， 而且随外力的变化而变化。 （2）擦系数
取决于接触面的材料和表面的粗糙程度。 一般情况下，s ≥ k 数，并且近似相等。 。在通常计算中，均可视为常以自行车前后轮为例，说明摩擦力的方向。 v F F F Ａ v后轮r fr fB前轮2 . 1、动力学的两大类问题 、 3（1）已知运动求力：2.3 牛顿第二定律的应用r r r dr dv r r r r r r = r (t ) → v (t ) = → F = ma → a (t ) = dt dt （2）已知力求运动： r r r r r r r F = ma → v = ∫ adt → r = ∫ vdt = r ( t )物体受力的几种情况： F =k 力是常数 力是位置的函数 力是时间的函数 力是速度的函数 如：F = F ( x) F = F (t ) F = F (v)F = kx F = A cos ω t F = kv弹性力 策动力 阻尼力2、解题步骤：（1）隔离物体 将所研究的物体从周围的物体中隔离出来，单独画出 它的受力图。 （2）受力分析 按重力、弹力、摩擦力的顺序分析物体的受力情况，画 出受力图。 （3）选取坐标系 根据物体的运动情况，选取适当的坐标系。若不知 轨道，取直角坐标系；若已知运动轨道，可取自然坐标 系；若物体作有心运动，取极坐标系。（4）列方程，求解（对二维运动） 直角坐标系：dv y dvx , Fy = ma y = m Fx = max = m dt dt自然坐标系：dv v Fτ = maτ = m , Fn = man = m dt ρ极坐标系：22
Fr = mar = m
d 2θ dr dθ
Fθ = maθ = m
dt例2-1：计算一小球在水中竖直沉降的速度 ，已知 小球质量为m，水对小球的浮力为B， 小球质量为 ，水对小球的浮力为 ，水对小球运动 r r 阻力为 式中K是一常量 是一常量。 的阻力为 Ｒ ＝ Ｋ v， 式中 是一常量 － 受力分析如图所示： 解 ：受力分析如图所示： v Ｂ 根据牛顿第二定律，有 v G－B－R＝ｍa － － ＝ｄ mｇ － － v B Kv 即： ＝ ＝ a ｄ t m mｇ － B 令：Ｔ ＝ v K ｄ v Ｋ 分离变量得： 分离变量得：Ｒr axＧv＝ ｄ t v－ m Ｔ v初始条件：t=0 积分得： 积分得：v时v=0tdv K ∫ vT
v = ∫ m d t 0 0vT
v K ln = t vT mvT
v = vT 1 e m
当t →∞ v = vTm 时 ｖ ＝0 . 632ｖT K（收尾速度） 收尾速度）ｔ＝ tｔ&& &&m 时可认为 v ＝ vT K例2-2：升降机内有一固定光滑斜面，倾角为α，如 ：升降机内有一固定光滑斜面，倾角为α r 图所示。 上升时，质量为m的 图所示。当升降机以匀加速 a0 上升时，质量为 的 r 物体A沿斜面滑下 沿斜面滑下， 对地面的加速度。 物体 沿斜面滑下，求A对地面的加速度。 对地面的加速度 a0 r＇ 设A相对于斜面的加速度为 a 解： v r r r N Y a = a′ + a0 A对地的加速度为 rax＝ ′＝ ′ cosα ax a ay＝ ′ + a ＝ ０ a′ sinα ay ０ amga'αX根据牛顿第二定律，有 N sin α＝ma′ cosα N cosα－mｇ ＝m(a －a′ sin α ) ０ 得：r ar a′r a0( a a′＝ g＋ ０)sinα( ０ ax＝ g＋a ) sin α cosαay＝a cos２α－g sin２α ０恒定， 例2-3：一桶水绕竖直对称轴转动，角速度 ω 恒定， ：一桶水绕竖直对称轴转动， 转动稳定后，桶内水面为一凹面， 转动稳定后，桶内水面为一凹面，试确定水面的形 状。 解：如图所示 Y v N F mω 2 x θ = = tan θ v mg mg F 由水面构成的曲面满足： v mg X dytan θ = dx因此有ωdxdy=ω2xg积分得：y=ω22gx2水面为一旋转抛物面2 2.4.1 动量定理 . 41、动量 （描述质点运动状态，矢量）大小：mv 方向：速度的方向 单位：kg
m/s 2、冲量 量纲：MLT－12.4 质点的动量定理r r P = mvr （力的作用对时间的积累，矢量） I量纲：MLT－1方向：速度变化的方向 单位：Ns （1） 常力的冲量r r I = Ft（2） 变力的冲量r Ft1 1r F t2 2r Ir Fti ir F tn nr r 注意： 注意：冲量 I的方向和瞬时力 F 的方向不同! 的方向不同当力连续变化时3、质点的动量定理 根据牛顿第二定律： 得，动量定理的微分式 动量定理的微分式 动量定理的积分式r Fdt = dp = d ( mv )r r dp F= r dt r∫t1t2t1r r p2 r r r Fdt = ∫ r dp = p2
p1 p1即r r t2 r p2 r r r I = ∫ Fdt = ∫ r dp = p2
p1 p1上式表明，质点所受的合外力在一段时间内的冲量，等 于这段时间内质点动量的增量。可 见力对时间的积累作用导致物体动量的变化。因此，冲量 的方向与动量增量的方向一致。如果力的方向不变，冲量的 方向才与力的方向一致。显然，当质点所受的合外力为零时， 动量守恒，它意味着质点作匀速直线运动。 动量定理的分量式： 动量定理的分量式： （对于二维运动）I x = ∫ Fx dt = p2 x
p1xt1t2I y = ∫ Fy dt = p2 y
p1 yt1t2意： 意：动量为量， 量，冲量为量。 量。2.4.2 动量定理的应用冲力的特点：作用时间极短，作用 力极大而且变化很快，如图所示。 因此，动量定理主要解决打击、碰 撞一类问题 ，这里重点强调其矢量 性。FFＯ ｔ１ｔ ｔ２平均冲力： 根据动量定理，质点动量的改变主要是由 碰撞过程中的冲量来决定。为了估计冲力的大小，引入 平均冲力的概念。r F=1 t 2
t1∫t2t1r Fdt解题步骤：1）确定研究对象（质点） 2）进行受力分析 3）应用动量定理列方程：采用几何法，利用（1）式求 解；或采用解析法，利用（2）式求解。例2.4.1、质量为 、质量为2.5g的乒乓 的乒乓 球以10 的速率飞来， 球以 m/s 的速率飞来，被 板推挡后， 板推挡后，又以 20 m/s 的速 率飞出。 率飞出。设两速度在垂直于 板面的同一平面内， 板面的同一平面内，且它们 与板面法线的夹角分别为 ：（ ） 45o 和30o，求：（1）乒乓 球得到的冲量；（ ） 球得到的冲量；（2）若撞 ；（ 击时间为0.01s，求板施于球 ， 击时间为 的平均冲力的大小和方向。 的平均冲力的大小和方向。v1 v2 30o 45o n解：取挡板和球为研究对象，由 取挡板和球为研究对象， 于作用时间很短，忽略重力影响。 于作用时间很短，忽略重力影响。 设挡板对球的冲力为 则有： 则有： 取坐标系，将上式投影， 取坐标系，将上式投影，有：O y v2 30o 45o x v1 nα为I与x方向的夹角。 方向的夹角。 与 方向的夹角 此题也可用矢量法解， 此题也可用矢量法解， 作矢量图用余弦定理 和正弦定理，可得： 和正弦定理，可得：mv1 mv1Ftmv2
例2.4.2：煤与传送带的连续碰撞 ：如图所示，煤由传送带 A落到B，已知煤下落的高度 为 h ，两传送带的速率均 为 v ，A带水平，B带与水 平夹角θ ， 单位时间内煤的 输送量为 m0 。 求煤对B带 的作用力。 解：建立直角坐标系，采 用矢量式求解。xyvm0θA hB取极短时间 t 内落到B带上的煤为m可视为质点， 应用质点的动量定量。方法 一 ：对由平抛到碰撞整个过程应用动量定理r r r r mg (t + t ) j + Nt = mv
mv0 r r r = m(v cosθ i
v sin θ j )
mvi r r = m[v(cosθ
v sin θ j ]其中，t = 2h / g , m0 = m / t 。忽略二阶无穷小量， 解得，煤受到得作用力为r r v ( cosθ
N = m0 B带受到的作用力为(r 2 gh + v sin θ j
)r r N ′ = Nr = m0 v (1
cos θ ) i + (r 2 gh + v sin θ j
)r r r r (mgj + N )t = mv
mv0 则有 r r r r = m(v cosθ i
v sin θ j )
m(vi + 2 gh j ) r r = m[v(cosθ
(v sin θ + 2 gh ) j ] 其中，t = 2h / g , m0 = m / t 。忽略二阶无穷小量，解得，煤受到得作用力为方法二： 方法二：只对碰撞过程应用动量定理r r N = m0 v ( cosθ
B带受到的作用力为(r 2 gh + v sin θ j
)r r N ′ = Nr = m0 v (1
cos θ ) i + (r 2 gh + v sin θ j
)2 2.5.1 功和功率 . 力对空间的积累效果用力做的功来表示。 5 1、 功：作用于质点的力在质点位移方 、 r F . 向上的分量与该位移大小的乘积。 1）恒力沿直线做功 1 θ r r r A = F r cosθ = F
r r2）变力沿曲线做功2.5 质点的动能定理和机械能守恒r Frr Fr r 位移无限小时元功 dA = F
dr总功为A = ∫rr rBrAr r F
drAr drB功的单位：J量纲：ML2T－2（3）合力的功r r r 若物体同时受到 F1 , F2 , K Fn 的作用，总功为：v v v v B v v A = ∫ F
dr = ∫ ( F + F2 ++ Fn ) dr 1 A A B v B v v Bv v v = ∫ F
dr ++ ∫ F
dr 1 2 nB= A + A2 ++ An 1结论AAA合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。 对该物体所做功的代数和。注意：1、功是过程量，一般来说，与路径有关。 2、功是标量，但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。（4）用不同坐标系计算功r r r r r r 平面直角坐标系： 平面直角坐标系： F = Fx i + Fy j , dr = dxi + dyj于是，有Fx dx + Fy dy x1, y1 r r r r r 平面自然坐标系： 平面自然坐标系： F = F τ + F n , dr = dsτ τ n则有A=∫x2, y2A = ∫ Fτ dss1s22、功率：单位时间内力所做的功。 、功率：r r dr r r dA N= =F = F v dt dt3、功的计算举例 、 （1）重力的功 ）重力的功（恒力沿曲线做功） 如图所示，质量为 点只在重力的作用下由 达 b 点。 因为yy1am 的质 a 点到y2r mgr dr bFx = 0 , Fy = mgy2 y2oy1x所以，重力做功为A = ∫ Fy dy = ∫ mgdyy1= mgy1
mgy2结果表明 重力做功与路径无关，只与始末位置有关。（2）弹力的功 ）弹力的功（变力沿直线做功） 如图所示，o 点为平衡 位置，质点在弹力作用下 由 x1 处到达 x2 处。根据 胡克定律，弹力为Fox2Fx = F = kx弹力的功为x1 x x2xA = ∫ Fx dx = ∫ kxdxx1 x1x21 2 1 2 = kx1
kx2 2 2结果表明 弹力做功也与路径无关，只与始末位置有关。（3）万有引力的功： （变力沿曲线做功） ）万有引力的功： 如图所示,设太阳的质量为 m1， 固定不动。行星质量为 m2 ，绕太阳 由 a 点转到 b 点。 行星受到的万有引力为brbdr dr引力的元功为Gm1m2 F= 2 rm1r Frar rv Fθr drm2r r r dA = F
dr = F dr cos (π
θ ) Gm1m2 = dr 2 ra行星由 a 到A=∫r2r1 Gm1m2
r b ，引力所做的总功为引力做功也与路径无关，只与始末位置有关。 结果表明 （4）摩擦力的功： ）摩擦力的功： 如图所示，质量为 m 的物体在粗糙的水平面上沿半径 为 R 圆周运行一周，摩擦系数为
。r r dA = f
mgRdθ 2π 总功为 A =
mgR ∫ dθ =
2π R 0结果表明 摩擦力做功与路径有关。f =
mg 摩擦力为 摩擦力的元功为dθr dro Rr f21、保守力：若力所做的功与中间路径无关，只与始末位置有 、保守力： 关，或者说，力沿闭合路径所做的功等于零。这种力称为保 . 守力。即 r r ∫ F保
dr = 0 5 重力、弹力、万有引力为保守力。 . 做功与路径有关的力称为非保守力或耗散力。摩擦力 为非保守力。 2 2、势能 （又称位能）： 、 又称位能）：由物体的位置状态决定的能量。、势能 （又称位能）： 用 E p1 和 E p 2 分别表示始末位置的势能，根据保守力 做功的特点 ，则有2.5.2 保守力、势能 保守力、A保＝E p1
E p上式表明，保守力所做的功等于质点相应的势能的减少量。注 意 势能是相对量，要确定某一位置的势能，必须选取势能 为零的参考点。在理论上，零势能点的选取是任意的。在实 际应用中，一般取法为： 重力势能：取地面为零势能面，则有E p = mgy（可正、可负） 为零势能点，则有 （ 为正 ）势能：取1 2 E p = kx 2力势能：取为零势能点。则有 （ 为负 ）Gm1m2 Ep =
r小结1、只要有保守力，就可引入相应的势能。 2、计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一点的势 能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到 零势能点时保守力所做的功。 3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考点。两 点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单 值函数。 4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。2.5.3 动能定理和机械能守恒定律2 1、动能定理 、 r r d ( mv ) .由牛顿第二定律， F = dt r 两边标乘 dr ，得 r 5 r r d ( mv ) r r r 1
d ( mv ) = d
.则有 dt 2
= dE （称为动能定理的微分形式）
222k两边积分得动能定理得积分形式1 2 1 2 A = mv2
mv1 或 A = Ek 2
Ek1 2 2 上式表明：作用于质点的合力所做的功等于质点 上式表明： 的动能的增量。 的动能的增量。2、功能原理 、若质点所受的力为保守力和非保守力，则 其中 则有A = A保 + A非 = Ek 2
Ek1A保 = E p1
E p 2A非 = Ek 2
E p 2 )定义机械能： 即= ( Ek 2 + E p 2 )
( Ek 1 + E p1 )E = E p + Ek A非 = E2
E1质点在运动过程中，非保守力作的功等于其机 质点在运动过程中， 械能的增量。称为功能原理。 功能原理 械能的增量。称为功能原理。3、机械能守恒定律如果 A非 = 0 ，则有Ek 1 + E p1 = Ek 2 + E p 2 = E说明（常量）此式表明，仅有保守力做功时质点的机械能守恒。 此式表明，仅有保守力做功时质点的机械能守恒。势能是由质点的位置决定的能，动能是由运动状态决定 的能，二者都是状态量。力在做功的过程中，质点的状态 发生变化，所以功是一个过程量。质点的动能定理只适用 于惯性参考系。 势能、动能和功的单位相同均为 J （焦耳），量纲都是L MT22。例 2.5.1 作用在质点上的力为 在下列情况下求质点从 处该力作的功： 处该力作的功： 1. 质点的运动轨道为抛物线 2. 质点的运动轨道为直线 Y 处运动到OX解：两种情况下所做的功分别为Y做功与路径有关 O X例2.5.2 保守力作用下质点的圆周运动如图所示，质量为 m 小珠，穿在半径为 R 的固定于竖 直平 面内的光滑圆圈上，并可滑动。一条自然长为 R ， 劲度 系数为 k = mg R 的弹性轻绳一端固定于 A 点，另一端系住 小珠。今使小珠从 B 点以速率 v0 = Rg 开始运动，当运动到 弹性绳为自然长时，求：（1）小珠的速率；（2）小珠与圆轨 B 道间的相互作用力。 解： （1）小珠运动过程中仅有 1 保守力做功，机械能守恒。 取 B 点为零势能点，则有O1 2 1 2 1 2 mv0 + kR = mv
mgR (1 + cos θ ) 2 2 2 2 0 其中 v0 = Rg , k = mg R , θ = 60解得小珠在 C 点的速率R AθCNv = 5 gRmg（2）设轨道对小珠的作用力 N 方向如图所示，根据牛顿 第二定律，沿轨道法线方向有其中v
mg cos θ = m R 0 2 θ = 60 , v = 5 gR22则在 c 点轨道对小珠的作用力为v 11 N = mg cos θ
mg R 2负号说明作用力 N 的方向沿半径指向圆心。2 2.6.1 质点对定点的角动量定理及守恒定律 . 1、力矩： 是反映力对物体转动的作用效果。 、力矩： r 6 M 力矩定义为 受力质点相对于固定 r r .点O 的位置矢量 r 与力 F 的矢 r 量积 。即 r 1 o02.6 质点的角动量定理和角动量守恒r Fθr⊥力矩的大小： 力矩的大小： M = Fr sin θ = Fr⊥ 式中r ⊥ 是固定点到力的作用线的垂直距离，称为力臂。 单位： N
米 ) 量纲：L2 MT 2力矩的方向： 力矩的方向： 如图所示，力矩的方向垂直于 r r r r r 和 F 决定的平面，且 r 、F 和 M 服从右手螺旋法则。 在直角坐标系中： 在直角坐标系中： 则有rr Mr Fr rr r r r r r r r r = xi + yj + zk , F = Fx i + Fy j + Fz k .三个分量为：r r r r r r M = r × F = M xi + M y j + M z k r r r i j k = x Fx y Fy z FzM x = yFz
zFy M y = zFx
xFz M z = xFy
yFxr r 角动量定义为 质点相对于固定点o 的位置矢量 r 与动量 mv的矢量积。即2、角动量：描述质点转动状态的物理量 。 、角动量：r r r L0 = r × mvL = mvr sin α = mvr⊥ （又称动量矩） r r 垂直与于 r 和 mv 决定的平面，服从右r L角动量的大小 角动量的方向 手螺旋法则。如，质点做圆周运动。L = Rmv = mR 2ω 单位：kg
m /s2r Rr mv量纲：L2MT-13、角动量定理 、 由牛顿第二定律知，r 用 r 叉乘等式的两边得r r r dp d ( mv ) F= = dt dtr r r r d ( mv ) d r r r ×F = r × = ( r × mv ) dt dtr M0r d L0 = dt d ( rr × mvr )此式表明：质点所受得 此式表明： 合外力矩等于它的角动 量对时间的变化率。 量对时间的变化率。注 dt r dr r r d r = × ( mv ) + r × ( mv ) dt dt r r r d r = v × ( mv ) + r × ( mv ) dt r d r = r × ( mv ) dt4、角动量守恒定律： 角动量守恒定律： r r 若 M = 0 ， 则 L = 常矢量 。即 当质点所受的合外力矩为零时，该质点的 当质点所受的合外力矩为零时， 角动量保持不变。这一结论称为角动量守恒 角动量保持不变。 定律。 定律。如：行星绕着太阳转，引力的方向始终指向太阳，对太阳 力矩为零，行星对太阳的角动量守恒。它意味着行星绕太阳 转动的轨道平面不变。2、角动量定理 1、 . 若取 z 轴为转轴，则角动量定理在 z 轴上的投影式为： dL 6 M = dt .上式称为质点对 z 轴的角动量定理。 2、角动量守恒定律 2z z2.6.2 质点对定轴的角动量定理及守恒定律r 当 M z = o 时， Lz = 常量 。 （可以有 M ≠ 0 ）即 当质点对 z 轴的力矩为零时，它对 z 轴的角动量守恒。 注：角动量守恒定律和动量守恒定律一样，都是自然界 的 一条最基本的规律，在更广泛的情况下，不依赖于牛 顿定律。3、有心运动 、 有心力： 有心力：质点所受力的作用线始终通过某一定点，此点称为 力心，此力称为有心力。质点的运动称为有心运动。 如，行星绕着太阳转；电子绕着原子核转等。 有心运动的特点： 有心运动的特点： （1） 有心力矩为零，角动量守恒；（2）有心力为保守 力，机械能守恒。例2.6.1 质点做直线运动时的角动量和力矩 如图所示，求做自由落体运动的质点 m , t 时刻对固定 点 o 的力矩和角动量。已知初始时质点在水平位置，距离 o 点为 b 。 解： 质点对obo 点的力矩为 M = r cosθ mg = bmg 质点对 o 点的角动量为 L = r cos θ mv = bmv = bmgt由此看出，两者的关系为θrmgdL M= dt例2.6.2 质点在有心力作用下的运动 质量为 m小球系于弹性绳的一端，绳的另一 端固定于光滑水平面的一点O 。已知弹性绳的劲 度系数为 k ，小球在A处，绳为自然长度 l0 ，沿 着与绳垂直的方向用力击球，使球获得初速度 v0 ， 到达B处，绳伸长为 l 。求小球在 B 处的速度的 大小与绳间的夹角θ 。解：如图所示，质点在运动 的过程中，仅受有心力的作 用。因此，角动量守恒，机 械能守恒。则有vlθol0ABl0 mv0 = lmv sin θ 1 2 1 2 1 2 mv0 = mv + k ( l
l0 ) 2 2 2由上边两式解得2 0v0k 2 v = v
l0 ) m l0 v0 θ = arcsin lv
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