新东方在线线性代数讲义01（这个来自一个考研的学姐）
新东方在线线性代数讲义
第一讲&& 基本概念
线性方程组& 矩阵与向量&
初等变换和阶梯形矩阵& 线性方程组的矩阵消元法
第二讲& &行列式
完全展开式& 化零降阶法&
其它性质& 克莱姆法则
第三讲& &矩阵
乘法& 乘积矩阵的列向量和行向量&
矩阵分解& 矩阵方程& 逆矩阵&
第四讲& &向量组
线性表示& 向量组的线性相关性&
向量组的极大无关组和秩& 矩阵的秩
第五讲&& 方程组
解的性质& 解的情况的判别& 基础解系和通解
特征向量与特征值& 相似与对角化
特征向量与特征值—概念,计算与应用& 相似&
对角化—判断与实现
附录一&&& 内积正交矩阵
施密特正交化 实对称矩阵的对角化
第七讲&& 二次型
二次型及其矩阵& 可逆线性变量替换&
实对称矩阵的合同& 标准化和规范化&
惯性指数& 正定二次型与正定矩阵
附录二& 向量空间及其子空间
附录三& 两个线性方程组的解集的关系
附录四& 06,07年考题
1．线性方程组的基本概念
线性方程组的一般形式为:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
…& …& …& …
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,
其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.
线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,
…,kn)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.
对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.
b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.
n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.
2.矩阵和向量
&& (1)基本概念
矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.
由m&n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m&n型矩阵.例如
2 -1& 0& 1&
3& 3 -1& 8
是一个4&5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵
a11 a12 …
a1n&&&&&&&&&&&&
a11 a12 …
A=& a21 a22 …
a21 a22 …
&&&&&&&&&&…&
am1 am2 &…
amn&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
am1 am2 &…
为其系数矩阵和增广矩阵.
增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.
一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.
两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.
由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.
书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,¼
,an的向量可表示成
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(a1,a2,¼
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1&n矩阵,右边是n&1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)
一个m&n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量,
称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为a1,
a2,¼
,an时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(a1,
a2,¼ ,an).
矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量a和b相等(记作a=b),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.
(2) 线性运算和转置
线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.
加(减)法:两个m&n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m&n矩阵,记作
(A-B),法则为对应元素相加(减).
一个m&n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m&n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.
这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:
① 加法交换律:
② 加法结合律:
(A+B)+C=A+(B+C).
③ 加乘分配律:
c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.
④ 数乘结合律: c(d)A=(cd)A.
⑤ cA=0&U c=0 或A=0.
转置:把一个m&n的矩阵A行和列互换,得到的n&m的矩阵称为A的转置,记作A
有以下规律:
① (AT)T=
(A+B)T=AT+BT.
(cA)T=cAT.
转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当a是列向量时,
a T表示行向量,
当a是行向量时,a T表示列向量.
向量组的线性组合:设a1,
a2,…,as是一组n维向量,
c1,c2,…,cs是一组数,则称
c1a1+c2a2+…+csas
a2,…,as的(以c1,c2,…,cs为系数的)线性组合.
n维向量组的线性组合也是n维向量.
n阶矩阵与几个特殊矩阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.
把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)
下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.
对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).
数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.
上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.
下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.
对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.
(反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j
,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)
矩阵的初等变换和阶梯形矩阵
矩阵有以下三种初等行变换:
① 交换两行的位置.
② 用一个非0的常数乘某一行的各元素.
③ 把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)
类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.
初等行变换与初等列变换统称初等变换.
阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:
① 如果它有零行,则都出现在下面.
② 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.
简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:
③台角位置的元素为1.
④并且其正上方的元素都为0.
每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.
请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.
2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.
4. 线性方程组的矩阵消元法
线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).
线性方程组的同解变换有三种:
① 交换两个方程的上下位置.
② 用一个非0的常数乘某个方程.
③ 把某个方程的倍数加到另一个方程上.
以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.
线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.
对非齐次线性方程组步骤如下:
(1)写出方程组的增广矩阵(A|b),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|g).
(2)用(B|g)判别解的情况:
如果最下面的非零行为(0,0, ¼,0|d),则无解,否则有解.
有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r&n时无穷多解.
(推论:当方程的个数m&n时,不可能唯一解.)
(3)有唯一解时求解的初等变换法:
去掉(B|g)的零行,得到一个n&(n+1)矩阵(B0|g0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|h),则h就是解.
对齐次线性方程组:
(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.
(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r&n时有非零解(求解方法在第五章讲).
(推论:当方程的个数m&n时,有非零解.)
1.设A是n阶矩阵,则
(A) A是上三角矩阵ÞA是阶梯形矩阵.
(B) A是上三角矩阵&UA是阶梯形矩阵.
(C) A是上三角矩阵&UA是阶梯形矩阵.
(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.
2.下列命题中哪几个成立?
(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.
(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.
如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.
如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.
(5) 如果&&
是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.
第二讲 行列式
一.概念复习
1. 形式和意义
形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
an1 an2 … ann
如果行列式的列向量组为a1,
,an,则此行列式可表示为|a1,
a2, … ,an|.
意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.
请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.
当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)
每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.
行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.
2. 定义(完全展开式)
2阶和3阶行列式的计算公式:
a11a22-a12a21 .
a11 a12 a13
a11a22a33+
a12a23a31+
a13a21a32-a13a22a31-
a11a23a32-a12a21a33.
a31 a32 a33
一般地,一个n阶行列式
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
an1 an2 … ann
的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:
这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2…jn构成1,2,
…,n的一个全排列(称为一个n元排列),共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项.
所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定t(j1j2…jn)为全排列j1j2…jn的逆序数(意义见下面),则项所乘的是
全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.
逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:
& , t(+2+3+2+0+0=10.
至此我们可以写出n阶行列式的值:
a11 a12 … a1n
a21 a22 …
an1 an2 …
这里 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式.
用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.
2. 化零降阶法
把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij的余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式.
定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.
命题& 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.
化零降阶法&
用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.
化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.
3.其它性质
行列式还有以下性质:
① 把行列式转置值不变,即|AT|=|A|
② 某一行(列)的公因子可提出.
于是, |cA|=cn|A|.
对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量a=b+g
,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量a换为b或g
所得到的行列式.例如
|a,b1+b2,g
|+|a,b2,g |.
④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.
⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.
⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.
⑦ 如果A与B都是方阵(不必同阶),则
范德蒙行列式：形如
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
… &… &…& …
a1n-i a2n-i
的行列式(或其转置).它由a1,a2
,a3,…,an所决定,它的值等于
因此范德蒙行列式不等于0&U a1,a2
,a3,…,an两两不同.&&&
对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.
4.克莱姆法则
克莱姆法则& 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n
(即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为
(D1/D, D2/D,¼,Dn/D),
这里D是系数行列式的值, Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.
说明与改进:
按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够.
法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.
实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|b)作初等行变换,使得A变为单位矩阵:
(A|b)&(E|h),
&&& 用在齐次方程组上
:如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|¹0.
二. 典型例题
1.利用性质计算元素有规律的行列式
例1 ①&&
②&&&
③& 1+a 1& 1&
&&&&&&&&&&&&
a&&&&&&&&&
1+x& 1&& 1
3& 3 3+a 3&&
&&&&&&&&&&&&
a&&&&&&&&&&
1+x&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
a& 0& b& c
b& c& a& 0
0& -1& 1-a&
0&& . (96四)
-1& 1-a& a&
测试概念与性质的题
&&&&&&x3-3&
1& -3& 2x+2
多项式f(x)=&
1&& ，求f(x)的次数和最高次项的系数.
&&&&&&&&&&&&
x-3& a& -1&
f(x)=&& 5&
的x4和x3的系数.
设4阶矩阵A=(a, g1,
,g3),B=(b,
,g3),|A| =2,
|B|=3 ,求|A+B|
&&&&&&&&a&&
已知行列式&& x&
-1& -y& z+1&
的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.
&&&&&&&&&&&&
1& -z& x+3&
&&&&&&&&&&&
y-2 x+1& 0& z+3
例10& 求行列式&
0&& 的第四行各元素的余子式的和.(01)
&&&&&&&&&&&&&&&&
2& 2& 2& 2
&&&&&&&&&&&&&&&&
0 -7& 0& 0
&&&&&&&&&&&&&&&&
5& 3 -2& 2
3.几个n阶行列式
两类爪形行列式及其值:
&a2& a3 …
an&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&b1
c2& 0 … &0
&&0&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&…&
…& …& …&
&&&&&&&&&&&&&&&&
0& 0& 0 …
只用对第1行展开(M1i都可直接求出).&&&&&&
&a1& a2 …
0 …& 0 &&0
…& …& …
&… 0 &&cn
提示: 只用对第1行展开(M1i都可直接求出).&
另一个常见的n阶行列式:
例13& 证明
a+b& b&& 0
a& a+b& b …&
…& …& …&
= (当a¹b时).
0&& 0 … a+b&
提示:把第j列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.
4.关于克莱姆法则的题
设有方程组
x1+x2+x3=a+b+c,
ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,
bcx1+acx2+abx3=3abc.
(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.
(2)在此情况求解.
例1& &#a)(2-a)4.②
x3(x+4).& ③ a3(a+10).
例2&& 1875.
x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.
例4& (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
1-a+a2-a3+a4-a5.
例7& 1,-10.
例9& x=0,y=3,z=-1.
x1=a,x2=b,x3=c..
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