求二阶导数y=cotx的导数/2
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时间：2015-01-17 06:29
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求一阶导数和二阶导数y = ln(x^2 + 1)- x^3 + 1/4 e (4x^2 )
Y=ln(X^2+1)-X^3+1/4[e^(4x^2)]
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y'=2x/(x²+1）-3x²+(1/4)*8x*e^(4x²)=2x/(x²+1)-3x²+2xe^(4x²）y''=[2(x²+1）-2x*2x]/(x²+1）² -9x+2e^(4x²）+2x*8x*e^(4x²）=（-2x²+2）/(x²+1)²-9x+(2+16x²）e^(4x²）
Y=ln(X^2+1)-X^3+1/4[e^(4x^2)]
我就是这个标准解下去的啊？！
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你这后面是（1/4）乘以e的4X²次方啊？还是1/4乘以e乘以4X²？还是1/（4e）的什么什么啊？表述不清后面我没发求导啊……一阶导数：Y‘=【1/（X²+1）】·2X-3X²+。。。。。。。。
Y=ln(X^2+1)-X^3+1/4[e^(4x^2)]
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出门在外也不愁求二阶导数y=√(a^2-x^2)的过程_百度知道
求二阶导数y=√(a^2-x^2)的过程
网题做错确答案：-a²/(a²-x²)√(a^2-x^2)
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解：直接求导相麻烦点妨曲线救：y=√(a^2-x^2)y^2=a^2-x^2x^2+y^2=a^2两边x求导2x+2y*y'=0于y'=-x/y再x求导：y''=-(y+xy')/y^2=-[y-x*(-x/y)]/y^2=-(x^2+y^2)/y^3=-a^2/y^3=-a²/(a²-x²)√(a^2-x^2)明白请追问
y = √(a²-x²)y' = (1/2)(-2x)/√(a²-x²) = -x/√(a²-x²)y& = -1/√(a²-x²) -x(-1/2)(-2x)/[(a²-x²)√(a²-x²)]= -1/√(a²-x²) -x²/[(a²-x²)√(a²-x²)]= [-(a²-x²) - x²]/[(a²-x²)√(a²-x²)]= -a²/[(a²-x²)√(a²-x²)]
y‘=(1/2)(-2x)/√(a^2-x^2)=-x/√(a^2-x^2)y''=-1/√(a^2-x^2)-x(x/√(a^2-x^2))/(a^2-x^2)=(-(a^2-x^2)-x^2)/(a^2-x^2)√(a^2-x^2)=-a²/(a²-x²)√(a^2-x^2)
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出门在外也不愁高二数学导数与应用_百度知道
高二数学导数与应用
期末考试要到了，数学考试包括导数，而且是重点。我几乎不懂，所以我想要导数的知识梳理和知识框架。越详细越好，最好有重点的找些例题！急用！！！
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设函数f(x)包含x0的某个区间上有定义，如果比值[f(x0+d)-f(x0)]/d 在d趋于0时（d≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f在x=x0处 的导数（derivative）或微商，记作f'(x0）。 与物理，几何，代数关系密切 在几何中可求切线 在代数中可求瞬时变化率 在物理中可求速度，加速度 亦名纪数、微商（微分中的概念），由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念。又称变化率。 如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时. 但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。 为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔， 设汽车所在位置s与时间t的关系为 s=f（t） 那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是 [f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。 这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （限“速” 指瞬时速度） 一般地，假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 +a)内有定义; 当自变量的增量Δx=x－x0，Δx→0时函数增量Δy=f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的（或变化率). “点动成线”
导数的几何意义若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数。 函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y=f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）&0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）&0，则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值（需要检验极值与任意解的大小）。编辑本段导数是微积分中的重要概念。 导数另一个定义：当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。
y=f(x)的导数有时也记作y'，即（如右图） ： 物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度 二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性。 以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。 注意：1.f'(x)&0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。 2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）求导数的方法 （1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率 ③ 取极限，得导数。 （2）几种常见函数的导数公式： ① C'=0(C为常数函数) ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数 ③ (sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|&1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|&1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =x^(-1)logae(a&0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。 关于三角求导“正正余负”（三角包含三角函数，也包含反三角函数 正指正弦、正切与正割 。） （3）导数的四则运算法则（和、差、积、商）： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 （4）复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。 （5）积分号下的求导法 d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)] 导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！导数公式及证明 这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：
基本导数公式1.y=c(c为常数) y'=0 2幂函数。y=x^n, y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4.(1)y=logaX, y'=1/xlna (a&0且a不等于1,x&0) ；熟记y=lnx ,y'=1/x 5.y=(sinx ）y'=cosx 6.y=（cosx） y'=-sinx 7.y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8.y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9.y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10.y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11.y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12.y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3.y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。 所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4.y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x。 也可以进一步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。 这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7.y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8.y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9.y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10.y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11.y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12.y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。 对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y&0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率 上面说的分母趋于零，这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数，而不是零的话,那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。 x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了,但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它,但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值。应用1．函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想． 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)&0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)&0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减． 如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数． 注意：在某个区间内，f'(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。 (2)求函数单调区间的步骤（不要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言？1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定f(x)的定义域 ②求导数 ③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)&0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)&0时，f(x)在相应区间上是减函数．2．函数的极值 (1)函数的极值的判定 ①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点 ②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值。3．求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域 ②求导数 ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根 ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．4．函数的最值 (1)如果f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b)内的极值 ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．6,注意事项 （1）函数图像看增减，导数图像看正负。 （2）极大值不一定比极小值大。 （3）极值是局部的性质，最值是整体的性质 8.导数应用于求极限 洛必达法则 罗尔中值定理与其它微分中值定理高阶导数 高阶导数的求法 1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。 一般用来寻找解题方法。 2.高阶导数的运算法则：
高阶导数运算法则『注意：必须在各自的导数存在时应用（和差点导数）』 3.间接法： 利用已知的高阶导数公式， 通过四则运算， 变量代换等方法，『注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式』 求出阶导数。 常见高阶导数的公式：
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出门在外也不愁导数常见的运用？请举例！_百度知道
导数常见的运用？请举例！
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应用1．函数单调性 (1)利用导数符号判断函数增减性 利用导数符号判断函数增减性导数几何意义研究曲线变化规律应用充体现数形结合思想． 般某区间(ab)内f'(x)&0函数y=f(x)区间内单调递增；f'(x)&0函数y=f(x)区间内单调递减． 某区间内恒f'(x)=0则f(x)数函数． 注意：某区间内f'(x)&0f(x)区间增函数充条件必要条件f(x)=x3R内增函数x=0f'(x)=0说已知f(x)增函数解题必须写f'(x)≥0 (2)求函数单调区间步骤（1.定义基础求2.复合函数单调性) ①确定f(x)定义域 ②求导数 ③由（或）解相应x范围．f'(x)&0f(x)相应区间增函数；f'(x)&0f(x)相应区间减函数．2．函数极值 (1)函数极值判定 ①两侧符号相同则f(x)极值点 ②附近左右侧符号同极值或极值3．求函数极值步骤 ①确定函数定义域 ②求导数 ③定义域内求所驻点与导数存点即求程及所实根 ④检查驻点左右符号左右负f(x)根处取极值；左负右f(x)根处取极值．4．函数值 (1)f(x)[a,b]值（或值）(ab)内点处取显值（或值）同极值（或极值）f(x)(ab)内所极值（或极值）（或）值能[ab]端点a或b处取极值与值两同概念． (2)求f(x)[ab]值与值步骤 ①求f(x)(ab)内极值 ②f(x)各极值与f(a)f(b)比较其值值．5．优化问题 经遇求利润、用料省、效率高等问题些问题称优化问题优化问题称值问题．解决些问题具非现实意义．些问题通转化数函数问题进转化求函数（）值问题．定义 设函数y=f(x)点x0某邻域N(x0,δ)内定义自变量xx0处增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))函数y=f(x)相应增量△y=f(x0+△x)-f(x0). △x→0函数增量△y与自变量增量△x比极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存则称极限值f(x)x0处导数或变化率.通记f'(x0)或f'(x)|x=x0.函数导性与导函数 般假设元函数 y=f(x ) 点x0某邻域N(x0δ)内定义自变量取增量Δx=x-x0函数相应增量 △y=f(x0+△x)-f(x0)若函数增量△y与自变量增量△x比△x→0极限存且限说函数f(x)x0点导并极限称fx0点导数或变化率 点线：若函数f区间I 每点都导便I定义域新函数记作 f(x)' 或y'称f导函数简称导数.导数几何意义 函数y=f（x）x0点导数f'（x0）几何意义：表示函数曲线P0[x
导数几何意义0f（x0）] 点切线斜率（导数几何意义该函数曲线点切线斜率）.导数科应用 导数与物理几何代数关系密切.几何求切线；代数求瞬变化率；物理求速度加速度. 导数亦名纪数、微商（微概念）由速度变化问题曲线切线问题（矢量速度向）抽象数概念.称变化率. 辆汽车<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0a007a内走 600千米平均速度60千米/.实际行驶程快慢变化都60千米/.较反映汽车行驶程快慢变化情况缩短间间隔设汽车所位置s与间t关系 s=f（t） 汽车由刻t0变t1段间内平均速度 [f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] t1与t0接近汽车行驶快慢变化平均速度能较反映汽车t0
t1段间内运变化情况 . 自t1→t0极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作汽车刻t0瞬速度通所说速度.实际由平均速度类比瞬速度程 （我驾驶限速 指瞬速度）编辑本段导数微积重要概念 导数另定义：x=x0f'(x0)确定数x变化f'(x)便x函数我称f(x)导函数（derivative function）简称导数）.
y=f(x)导数记作y'即（右图） ： 物理、几何、经济等科些重要概念都用导数表示导数表示运物体瞬速度加速度（匀速直线加速度运例 位移关于间阶导数瞬速度 二阶导数加速度）、表示曲线点斜率（矢量速度向）、表示经济边际弹性 说经典导数定义认反映局部欧氏空间函数变化研究更般流形向量丛截面（比切向量场）变化导数概念推广所谓联络联络研究范围几何问题微几何与物理重要基础概念 注意：1.f'(x)&0f(x)减函数充必要条件充要条件 2．导数零点定极值点函数值函数没增减性即没极值点导数零（导数零点称驻点驻点两侧导数符号相反则该点极值点否则般驻点y=x^3f‘(0)=0x=0左右导数符号该点般驻点）编辑本段求导数 (1)利用定义求函数y=f(x)x0处导数步骤： ① 求函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率
③ 取极限导数 (2)几种见函数导数公式： ① C'=0(C数函数) ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X导数 ③ (sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|&1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|&1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x (a^x)' = （a^x）lna （ln自数） (Inx)' = 1/x（ln自数） (logax)' =x^(-1) /lna(a&0且a等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 补充面公式代数进能代函数新导数往往忽略点造歧义要加注意关于三角求导余负（三角包含三角函数包含反三角函数指弦、切与割） (3)导数四则运算则(、差、积、商)： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 4．复合函数导数： 复合函数自变量导数等于已知函数间变量导数乘间变量自变量导数--称链式则 5．积号求导 d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)] 导数微积重要支柱牛顿及莱布尼茨做卓越贡献编辑本段导数公式及证明 列举五类基本初等函数导数及推导程（初等函数由运算）：
基本导数公式 1.函数（即数）y=c(c数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯导函数本身函数 4．数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a&0且a等于1,x&0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 便于记忆整理口诀： 零幂降倒数（e底直接倒数a底乘lna）指变（特别自数指数函数完全变般指数函数须乘lna）；变余余变切割（切函数相应割函数（切函数倒数）平）割乘切反式 推导程几见公式需要用： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]g(x）看作整变量g'(x)x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3． 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数）：y=f(x)反函数x=g(y）则y'=1/x' 证：1.显易见y=c条平行于x轴直线所处处切线都平行于x故斜率0用导数定义做：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0 2．推导暂且证根据导数定义推导能推广n任意实数般情况能证其整数Q主要应用导数定义与N差公式 y=e^x y'=e^xy=lnx y'=1/x两结能用复合函数求导给予证明 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 直接令Δx→0能导导函数必须设辅助函数β=a^Δx-1通换元进行计算由设辅助函数知道：Δx=loga(1+β) 所(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显Δx→0β趋向于0limβ→0(1+β)^1/β=e,所limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna 结代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/ΔxlimΔx→0Δy/Δx=a^xlna 知道a=ey=e^x y'=e^x 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x Δx→0Δx/x趋向于0x/Δx趋向于∞所limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所 limΔx→0Δy/Δx=logae/x 进步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 知道a=ey=lnx y'=1/x 进行y=x^n y'=nx^(n-1)推导y=x^n,所y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1) 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似导y=cosx y'=-sinx 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外双曲函数shx,chx,thx等及反双曲函数arshx,archx,arthx等其较复杂复合函数求导通查阅导数表运用公式与 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷求结 于y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna 更直接求导 y=x^n 由指数函数定义知y&0 等式两边取自数 ln y=n*ln x 等式两边x求导注意yyx复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理证 导数说白其实曲线点斜率函数值变化率 面说母趋于零要忘能趋于零所两者比能某数趋于某数零比值认穷,我所说导数存 x/x,若让X趋于零母趋于零比值1,所极限1. 建议先搞懂极限极限望及概念接近永远岸. 并且要认识导数比值
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太给力了，你的回答完美解决了我的问题！
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经遇求利润、用料省、效率高等问题些问题称优化问题优化问题称值问题．解决些问题具非现实意义．
导数的相关知识
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求一阶导数和二阶导数y = ln(x^2 + 1)- x^3 + 1/4 e (4x^2 )
Y=ln(X^2+1)-X^3+1/4[e^(4x^2)]
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y'=2x/(x²+1）-3x²+(1/4)*8x*e^(4x²)=2x/(x²+1)-3x²+2xe^(4x²）y''=[2(x²+1）-2x*2x]/(x²+1）² -9x+2e^(4x²）+2x*8x*e^(4x²）=（-2x²+2）/(x²+1)²-9x+(2+16x²）e^(4x²）
Y=ln(X^2+1)-X^3+1/4[e^(4x^2)]
我就是这个标准解下去的啊？！
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非常满意谢谢
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你这后面是（1/4）乘以e的4X²次方啊？还是1/4乘以e乘以4X²？还是1/（4e）的什么什么啊？表述不清后面我没发求导啊……一阶导数：Y‘=【1/（X²+1）】·2X-3X²+。。。。。。。。
Y=ln(X^2+1)-X^3+1/4[e^(4x^2)]
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出门在外也不愁求二阶导数y=√(a^2-x^2)的过程_百度知道
求二阶导数y=√(a^2-x^2)的过程
网题做错确答案：-a²/(a²-x²)√(a^2-x^2)
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解：直接求导相麻烦点妨曲线救：y=√(a^2-x^2)y^2=a^2-x^2x^2+y^2=a^2两边x求导2x+2y*y'=0于y'=-x/y再x求导：y''=-(y+xy')/y^2=-[y-x*(-x/y)]/y^2=-(x^2+y^2)/y^3=-a^2/y^3=-a²/(a²-x²)√(a^2-x^2)明白请追问
y = √(a²-x²)y' = (1/2)(-2x)/√(a²-x²) = -x/√(a²-x²)y& = -1/√(a²-x²) -x(-1/2)(-2x)/[(a²-x²)√(a²-x²)]= -1/√(a²-x²) -x²/[(a²-x²)√(a²-x²)]= [-(a²-x²) - x²]/[(a²-x²)√(a²-x²)]= -a²/[(a²-x²)√(a²-x²)]
y‘=(1/2)(-2x)/√(a^2-x^2)=-x/√(a^2-x^2)y''=-1/√(a^2-x^2)-x(x/√(a^2-x^2))/(a^2-x^2)=(-(a^2-x^2)-x^2)/(a^2-x^2)√(a^2-x^2)=-a²/(a²-x²)√(a^2-x^2)
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出门在外也不愁高二数学导数与应用_百度知道
高二数学导数与应用
期末考试要到了，数学考试包括导数，而且是重点。我几乎不懂，所以我想要导数的知识梳理和知识框架。越详细越好，最好有重点的找些例题！急用！！！
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设函数f(x)包含x0的某个区间上有定义，如果比值[f(x0+d)-f(x0)]/d 在d趋于0时（d≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数f在x=x0处 的导数（derivative）或微商，记作f'(x0）。 与物理，几何，代数关系密切 在几何中可求切线 在代数中可求瞬时变化率 在物理中可求速度，加速度 亦名纪数、微商（微分中的概念），由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念。又称变化率。 如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时. 但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。 为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔， 设汽车所在位置s与时间t的关系为 s=f（t） 那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是 [f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。 这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （限“速” 指瞬时速度） 一般地，假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 +a)内有定义; 当自变量的增量Δx=x－x0，Δx→0时函数增量Δy=f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的（或变化率). “点动成线”
导数的几何意义若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数。 函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：设y=f(x )在（a，b）内可导。如果在（a，b）内，f'（x）&0,则f（x）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a，b）内，f'（x）&0，则f（x）在这个区间是单调减小的。所以，当f'（x）=0时，y=f(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值（需要检验极值与任意解的大小）。编辑本段导数是微积分中的重要概念。 导数另一个定义：当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。
y=f(x)的导数有时也记作y'，即（如右图） ： 物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度 二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性。 以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。 注意：1.f'(x)&0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。 2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）求导数的方法 （1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率 ③ 取极限，得导数。 （2）几种常见函数的导数公式： ① C'=0(C为常数函数) ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数 ③ (sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|&1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|&1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =x^(-1)logae(a&0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。 关于三角求导“正正余负”（三角包含三角函数，也包含反三角函数 正指正弦、正切与正割 。） （3）导数的四则运算法则（和、差、积、商）： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 （4）复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。 （5）积分号下的求导法 d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)] 导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！导数公式及证明 这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：
基本导数公式1.y=c(c为常数) y'=0 2幂函数。y=x^n, y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4.(1)y=logaX, y'=1/xlna (a&0且a不等于1,x&0) ；熟记y=lnx ,y'=1/x 5.y=(sinx ）y'=cosx 6.y=（cosx） y'=-sinx 7.y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8.y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9.y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10.y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11.y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12.y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3.y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。 所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4.y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x。 也可以进一步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。 这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7.y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8.y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9.y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10.y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11.y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12.y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4.y=u土v,y'=u'土v' 5.y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。 对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y&0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率 上面说的分母趋于零，这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数，而不是零的话,那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。 x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了,但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它,但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值。应用1．函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想． 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)&0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)&0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减． 如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数． 注意：在某个区间内，f'(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。 (2)求函数单调区间的步骤（不要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言？1.定义最基础求法2.复合函数单调性) ①确定f(x)的定义域 ②求导数 ③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)&0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)&0时，f(x)在相应区间上是减函数．2．函数的极值 (1)函数的极值的判定 ①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点 ②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值。3．求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域 ②求导数 ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根 ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．4．函数的最值 (1)如果f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b)内的极值 ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．6,注意事项 （1）函数图像看增减，导数图像看正负。 （2）极大值不一定比极小值大。 （3）极值是局部的性质，最值是整体的性质 8.导数应用于求极限 洛必达法则 罗尔中值定理与其它微分中值定理高阶导数 高阶导数的求法 1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。 一般用来寻找解题方法。 2.高阶导数的运算法则：
高阶导数运算法则『注意：必须在各自的导数存在时应用（和差点导数）』 3.间接法： 利用已知的高阶导数公式， 通过四则运算， 变量代换等方法，『注意：代换后函数要便于求，尽量靠拢已知公式』 求出阶导数。 常见高阶导数的公式：
常见高阶导数公式
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导数常见的运用？请举例！
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应用1．函数单调性 (1)利用导数符号判断函数增减性 利用导数符号判断函数增减性导数几何意义研究曲线变化规律应用充体现数形结合思想． 般某区间(ab)内f'(x)&0函数y=f(x)区间内单调递增；f'(x)&0函数y=f(x)区间内单调递减． 某区间内恒f'(x)=0则f(x)数函数． 注意：某区间内f'(x)&0f(x)区间增函数充条件必要条件f(x)=x3R内增函数x=0f'(x)=0说已知f(x)增函数解题必须写f'(x)≥0 (2)求函数单调区间步骤（1.定义基础求2.复合函数单调性) ①确定f(x)定义域 ②求导数 ③由（或）解相应x范围．f'(x)&0f(x)相应区间增函数；f'(x)&0f(x)相应区间减函数．2．函数极值 (1)函数极值判定 ①两侧符号相同则f(x)极值点 ②附近左右侧符号同极值或极值3．求函数极值步骤 ①确定函数定义域 ②求导数 ③定义域内求所驻点与导数存点即求程及所实根 ④检查驻点左右符号左右负f(x)根处取极值；左负右f(x)根处取极值．4．函数值 (1)f(x)[a,b]值（或值）(ab)内点处取显值（或值）同极值（或极值）f(x)(ab)内所极值（或极值）（或）值能[ab]端点a或b处取极值与值两同概念． (2)求f(x)[ab]值与值步骤 ①求f(x)(ab)内极值 ②f(x)各极值与f(a)f(b)比较其值值．5．优化问题 经遇求利润、用料省、效率高等问题些问题称优化问题优化问题称值问题．解决些问题具非现实意义．些问题通转化数函数问题进转化求函数（）值问题．定义 设函数y=f(x)点x0某邻域N(x0,δ)内定义自变量xx0处增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))函数y=f(x)相应增量△y=f(x0+△x)-f(x0). △x→0函数增量△y与自变量增量△x比极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存则称极限值f(x)x0处导数或变化率.通记f'(x0)或f'(x)|x=x0.函数导性与导函数 般假设元函数 y=f(x ) 点x0某邻域N(x0δ)内定义自变量取增量Δx=x-x0函数相应增量 △y=f(x0+△x)-f(x0)若函数增量△y与自变量增量△x比△x→0极限存且限说函数f(x)x0点导并极限称fx0点导数或变化率 点线：若函数f区间I 每点都导便I定义域新函数记作 f(x)' 或y'称f导函数简称导数.导数几何意义 函数y=f（x）x0点导数f'（x0）几何意义：表示函数曲线P0[x
导数几何意义0f（x0）] 点切线斜率（导数几何意义该函数曲线点切线斜率）.导数科应用 导数与物理几何代数关系密切.几何求切线；代数求瞬变化率；物理求速度加速度. 导数亦名纪数、微商（微概念）由速度变化问题曲线切线问题（矢量速度向）抽象数概念.称变化率. 辆汽车<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0a007a内走 600千米平均速度60千米/.实际行驶程快慢变化都60千米/.较反映汽车行驶程快慢变化情况缩短间间隔设汽车所位置s与间t关系 s=f（t） 汽车由刻t0变t1段间内平均速度 [f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] t1与t0接近汽车行驶快慢变化平均速度能较反映汽车t0
t1段间内运变化情况 . 自t1→t0极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作汽车刻t0瞬速度通所说速度.实际由平均速度类比瞬速度程 （我驾驶限速 指瞬速度）编辑本段导数微积重要概念 导数另定义：x=x0f'(x0)确定数x变化f'(x)便x函数我称f(x)导函数（derivative function）简称导数）.
y=f(x)导数记作y'即（右图） ： 物理、几何、经济等科些重要概念都用导数表示导数表示运物体瞬速度加速度（匀速直线加速度运例 位移关于间阶导数瞬速度 二阶导数加速度）、表示曲线点斜率（矢量速度向）、表示经济边际弹性 说经典导数定义认反映局部欧氏空间函数变化研究更般流形向量丛截面（比切向量场）变化导数概念推广所谓联络联络研究范围几何问题微几何与物理重要基础概念 注意：1.f'(x)&0f(x)减函数充必要条件充要条件 2．导数零点定极值点函数值函数没增减性即没极值点导数零（导数零点称驻点驻点两侧导数符号相反则该点极值点否则般驻点y=x^3f‘(0)=0x=0左右导数符号该点般驻点）编辑本段求导数 (1)利用定义求函数y=f(x)x0处导数步骤： ① 求函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率
③ 取极限导数 (2)几种见函数导数公式： ① C'=0(C数函数) ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X导数 ③ (sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|&1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|&1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x (a^x)' = （a^x）lna （ln自数） (Inx)' = 1/x（ln自数） (logax)' =x^(-1) /lna(a&0且a等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 补充面公式代数进能代函数新导数往往忽略点造歧义要加注意关于三角求导余负（三角包含三角函数包含反三角函数指弦、切与割） (3)导数四则运算则(、差、积、商)： ①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 4．复合函数导数： 复合函数自变量导数等于已知函数间变量导数乘间变量自变量导数--称链式则 5．积号求导 d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)] 导数微积重要支柱牛顿及莱布尼茨做卓越贡献编辑本段导数公式及证明 列举五类基本初等函数导数及推导程（初等函数由运算）：
基本导数公式 1.函数（即数）y=c(c数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯导函数本身函数 4．数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a&0且a等于1,x&0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 便于记忆整理口诀： 零幂降倒数（e底直接倒数a底乘lna）指变（特别自数指数函数完全变般指数函数须乘lna）；变余余变切割（切函数相应割函数（切函数倒数）平）割乘切反式 推导程几见公式需要用： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]g(x）看作整变量g'(x)x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3． 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数）：y=f(x)反函数x=g(y）则y'=1/x' 证：1.显易见y=c条平行于x轴直线所处处切线都平行于x故斜率0用导数定义做：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0 2．推导暂且证根据导数定义推导能推广n任意实数般情况能证其整数Q主要应用导数定义与N差公式 y=e^x y'=e^xy=lnx y'=1/x两结能用复合函数求导给予证明 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 直接令Δx→0能导导函数必须设辅助函数β=a^Δx-1通换元进行计算由设辅助函数知道：Δx=loga(1+β) 所(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显Δx→0β趋向于0limβ→0(1+β)^1/β=e,所limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna 结代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/ΔxlimΔx→0Δy/Δx=a^xlna 知道a=ey=e^x y'=e^x 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x Δx→0Δx/x趋向于0x/Δx趋向于∞所limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所 limΔx→0Δy/Δx=logae/x 进步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 知道a=ey=lnx y'=1/x 进行y=x^n y'=nx^(n-1)推导y=x^n,所y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1) 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似导y=cosx y'=-sinx 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外双曲函数shx,chx,thx等及反双曲函数arshx,archx,arthx等其较复杂复合函数求导通查阅导数表运用公式与 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷求结 于y=x^n y'=nx^(n-1) y=a^x y'=a^xlna 更直接求导 y=x^n 由指数函数定义知y&0 等式两边取自数 ln y=n*ln x 等式两边x求导注意yyx复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理证 导数说白其实曲线点斜率函数值变化率 面说母趋于零要忘能趋于零所两者比能某数趋于某数零比值认穷,我所说导数存 x/x,若让X趋于零母趋于零比值1,所极限1. 建议先搞懂极限极限望及概念接近永远岸. 并且要认识导数比值
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太给力了，你的回答完美解决了我的问题！
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经遇求利润、用料省、效率高等问题些问题称优化问题优化问题称值问题．解决些问题具非现实意义．
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