高等数学模拟试题(理工类考研辅导)70-第15页
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高等数学模拟试题(理工类考研辅导)70-15
曲线积分；(x2?y2)dx?(x2?y2)dy?___.；20.3计算下列对弧长的曲线积分：(1)(2)；xds，其中L为连接点O(0,0),A(1,0)；?(x?y?1)ds，其中L；是半圆周x?；上由点A(0,2)到点B(0,?2)之间的一段；弧；(3)；计算；?L；，其中L为由圆周x2?y2?a2，直线y?x及x；图形的边界.(4)；xds，其中C为
曲线积分?L(x2?y2)dx?(x2?y2)dy?___.20.3计算下列对弧长的曲线积分： (1)(2)?Lxds，其中L为连接点O(0,0),A(1,0),B(1,1)的三角形回路；?(x?y?1)ds，其中L是半圆周x?L上由点A(0,2)到点B(0,?2)之间的一段弧； (3)计算?L，其中L为由圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限中所围图形的边界. (4)?Cxds，其中C为对数螺线??aek?(k?0,a?0)在圆??a内的部分.20.4计算下列对坐标的曲线积分 (1)?L(x2?y2)dx?xydy,其中L是由O(0,0),A(0,1),B(1,1)三点联成的折线段，且按逆时针方向； (2)?(x?2y)dx?xdy,其中L是从点(0,1)沿曲线xL23?y?1(x?0)到点(1,0)；0?y?122(x?y)dy,x?(3)?其中L是从点O(0,0)沿曲线L：
到点B(0,2); L1?y?22?y,??(4)12y?x,其中是从沿抛物线到B(2,4)的曲线段. dx?(2y?lnx)dyA(1,1)L?Ly20.5计算曲线积分20.6计算?Lxdy?ydx,其中路径L为曲线y?sinx从B(2?,0)到O(0,0).??(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz,其中?为椭圆x2?y2?1，x?z?1,若从x(1,2)轴正向看去，?的方向是顺时针的. 20.7计算圆弧段. 20.8计算?(0,0)(ey?x)dx?(xey?2y)dy，其积分路径为过三点O(0,0),C(0,1),B(1,2)的???y[xy?ln(xdy，其中，L为曲线y?sinx(??x?2?)，按x增大的方向.20.9计算Lydx?x)dy，L是依次连接A(?1,0),B(2,1),E(1,0)的折线段.20.10计算一段.1?x2(x?y)dx?(x?y)dyy?e其中，是沿高斯曲线从点到A(0,1)B(1,)的C?Cexyxy20.11选取a,b使表达式[(x?y?1)e?ae]dx?[be?(x?y?1)e]dy为某一函数的全微分，并求出这个函数.20.12在过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分B级20.13计算I??(1?y)dx?(2x?y)dy的值最小.L3?Lyds，其中L为双纽线(x2?y2)2?a(x2?y2)(a?0).20.14计算曲线积分I?交的圆周(a?0). 20.15计算?2222其中，L为球面x?y?z?a与平面x?y相，?L(2ex?y)dx?2eydy,其中，L为从点(3,1)沿曲线(x?2)2?(y?1)2?1的上半圆周到点(1,1)，再沿曲线y?x到点(0,0)的一段曲线.20.16计算曲线积分I?曲线的正向. 20.17计算(x?y)dx?(x?y)dy，其中，L为任一不经过原点的简单封闭??Lx2?y2xdy?ydx??L4x2?y2,其中，L是以点(1,0)为中心，R为半径的圆周(R?1)，方向取逆时针方向. 20.18选取a,b使ax?yx?y?bdx?dy为函数u(x,y)的全微分，并求函数u(x,y). 2222x?yx?y20.19确定常数?，使在右半平面x?0上的向量A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).20.20计算曲线积分??Cydx?zdy?xdz，其中，C为圆周x2?y2?z2?a2,x?y?z?0，若从Ox轴的正向看去，这圆周是依逆时针方向进行的.二、参考答案或提示A 级20.1
（1）（B）；（2）（C）
（1）(2)e?2；（2）?4. 31?aa20.3 （1）(3?；（2）2(??4)；（3）2(e?1)?ae；（4. 24137（3）；（4）14?4ln2
??；23223411720.7
1??2.29e2e220.4 （1）1；（2）20.11 a??1,b?1,u(x,y)?(x?y)(e?e)?C
y?sinx(0?x??)B级20.13
4a?1?2xy????.提示：将L表为极坐标方程，且利用对称性. ??2?22220.14
2?a. 提示：被积函数满足2y?z?a. 20.15
2e(1?e)?21(5??) 220.16 0,2?.提示：应考虑不包围原点和包围原点两种情况. 20.17 R?1时,0;R?1时,?. 20.18 a?1,b?0,u(x,y)?1yln(x2?y2)?arctan?C. 2x提示：求u(x,y)时，曲线积分的起点不可取（0，0）. 20.19
???1,u(x,y)??arctan2y?C. 2x20.20a.提示：利用斯托克斯公式，并利用对面积的曲面积分计算专题21 曲面积分一、模拟试题A级21.1单项选择题2222(1)设?为球面x?y?z?R，?1为上半球面z??2为?在第一卦限的部分，则下列等式成立的是（
）. （A）（C）???zdS?2??zdS;
（B）???zdS?4??zdS;??1??222xzdS?4xz??zdS?0 ????dS;
（D）??1?233?(2)设?是锥面z?（
）.被平面z?2所割下的有限部分，则??(xy?yz?z2)dS??（A）;
（D）.（3）设曲面?为下半球面Z?R?0)的外侧，V为?与xOy坐标面所围成的半球体的体积，Dxy为?在xOy坐标面上的投影区域，则下列计算中错误的是（
）. （A）I1?（C）I3?（B）(x?y?z)dS?RdS;I?(x?y?z)dxdy??R2????dxdy ???????Dxy22222(x?y?z)dxdydz?Rdxdydz?RV，其中?为?与xOy坐标面所????????围成的空间闭区域； （D）I4?22222(x?y?z)dxdy?2zdxdydz?(x?y)dxdy,其中?1是 ??????????1z?0(x2?y2?R2)取上侧的曲面.（4）设?为旋转抛物面z?x?y夹在z?1，z?4之间部分的外侧，则 22?z?（
）.4（A）(e?1)?;
（B）?(e?e)?;
（C）(e?e)?;
（D）(e?1)?. 21.2填空题(1)如果曲面?的方程形如y?y(x,z)，?在zOx坐标面上的投影区域为Dxy，函数y(x,z)在Dxz上具有连续偏导数，且f(x,y,z)在?上连续.在计算曲面积分面的面积元素dS?______,相应的计算公式（21.2）是44??f(x,y,z)dS时，曲???f(x,y,z)dS?______.?(2)如果曲面?的方程形如x?x(y,z)，?在yOz坐标面上的投影区域为Dyz，函数x(y,z)在Dyz上具有连续偏导数，且f(x,y,z)在?上连续.在计算曲面积分面的面积元素dS?______，相应的计算公式（21.3）是22??f(x,y,z)dS时，曲???f(x,y,z)dS?______.?2x?y?R(R?0,H?0),在计算曲面(3)设?是介于平面z?0及z?H之间的圆柱面：积分dS时，不能使用公式____，只能使用公式____或____，其计算结果222??x?y?z?是dS?____. 222??x?y?z?3332222222(4)向量场A?xi?yj?zk穿过由曲面x?y?(z?R)?R与x?y?z?0所围成的封闭曲面?之外侧的通量??______，利用高斯公式得：??______,其结果是??______. 21.3计算21.4计算22222为球面. x?y?z?azdS,??????(x?2?y2)dS，其中?是锥面z2?3(x2?y2)被平面z?0,z?3所截得的部分.21.5计算曲面积分??(z?2x??224xyz其中?为平面???1在第一卦限中的部分. y)dS，323421.6求抛物面z?2?(x?y)在xOy面上方部分的面积. 21.7计算??xyzdxdy，其中?为球面x??2?y2?z2?1(x?0,y?0)的外侧.21.8计算I?部分的外侧. 21.9计算22x?y?1被平面z?0及z?3所截得为柱面xdydz?ydzdx?zdxdy,???????xyzdydz?dzdx?dxdy,其中r??为球面 333rrrx2?y2?z2?a2的外侧.21.10计算一侧.21.11计算曲面积分I?2222x?y?z?1(y?0)朝y轴正向的,其中为半球面(1?z)(x?y)dxdy????1222.其中是旋转抛物面(z?x)dydz?zdxdyz?(x?y)介于???2?平面z?0及z?2之间部分的下侧.21.12设空间闭区域?是由曲面z?a?x?y与平面z?0围成，其中a为正常数.记?表面的外侧为?，?的体积为V，证明：222???x?2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy?V.B级21.13计算曲面积分I?的部分x?xaa21.14求曲线y?(e?ea)上由x?0至x?a的一段绕y轴旋转一周所得旋转曲面的面2???xyzdS，其中?为曲面z?x2?y2介于平面z?0及z?1之间积.21.15求锥面z?被柱面z2?2x所割下部分的曲面面积.22221.16求底圆半径相等的两个直交圆柱面x?y?R及x?z?R所围立体的表面积.222包含各类专业文献、文学作品欣赏、各类资格考试、中学教育、专业论文、生活休闲娱乐、高等教育、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、高等数学模拟试题(理工类考研辅导)70等内容。　
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8.3.1 对面积的曲面积分|
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曲线积分与曲面积分(已改)-2
Ⅲ、提高题型：；（）对多个不同面积的曲面积分计算（自学）；xyzds，?由坐标面及x?y?z?1所围成的四；解：P.157.例2（；xyzds=；）120；（）利用第一类曲面积分解决的物理问题（自学）；25．（8?）已知曲面?:x2?y2?z2?1(；（2）求曲面关于z轴的转动惯量Iz.；z?2z；解：（1?；??xuds??；xdxdy；3?2(x?y
Ⅲ、提高题型：（）对多个不同面积的曲面积分计算（自学）。 24．（7?）计算xyzds，?由坐标面及x?y?z?1所围成的四面体边界。?解：P.157.例2（xyzds=?） 120（）利用第一类曲面积分解决的物理问题（自学）。25．（8?）已知曲面?:x2?y2?z2?1(z?0)上任一点处的密度u?求（1）曲面的质心坐标。（2）求曲面关于z轴的转动惯量Iz.z?2z2，解：（1???xuds???xdxdy3?2(x?y)?0
?dxdy3?2(x2?y2)22??uds??Dxy??yuds???ydxdy3?2(x2?y2)?0dxdy3?2(x2?y2)Dxy????uds??DxyDxy?????zuds????(x2?y2)dxdy?2(x2?y2)dxdy?2(x2?y2)??uds??Dxy?4?2ln(5?26)16(3?2) Dxy??（2）Iz?2222??(x?y)?uds=??(x?y)??Dxydxdy3?(x?y)22 ??4?20d??1?23??2 d??2?(?72?23) 3（二）第二类曲面积分 D 对坐标的曲面积分 Ⅰ、内容要求：（）了解第二类曲面积分的概念与性质。 （）学会第二类曲面积分的基本计算。（）记忆高斯公式，学会用高斯公式计算简单的第二类曲面积分。?（）了解通量与散度的概念，记忆向量场A的散度公式，学会计算散度。Ⅱ、基本题型： （）??P(x,y,z)dxdy型的计算。?22??(x?y)dxdy，其中?是z??26．（7?）12(x?y2)介于平面z?0及z?2之间的部分2的下侧。22解：Dxy?(x,y)x?y?4????(x?2?y)dxdy??2Dxy??(x2?y)dxdy???22? d???3d???8? 227．（7?）计算曲面积分222，其中是球面x?y?z?1外侧在xyzdxdy????x?0,y?0,z?0的部分。?解：??xyzdxdy??Dxy222d??cos?sin????d??xy?x?ydxdy?????22100115??（）A?{P,Q,R}的散度divA计算。??xy228．（7?）设A?{e,cos(xy),cos(xz)}，计算divA.??P?Q?R???yexy?xsin(xy)?2xzsin(xz2). 解：divA??x?y?zⅢ、综合题型 D 利用高斯公式计算针对闭曲面上的第二类曲面积分。 29．（7?）侧。 解：xdydz?ydzdx?zdxdy，?为坐标面及x?a,y?a,z?a所围立体的表面外?xdydz?ydzdx?zdxdy=???(???P?Q?R??)dv?3???dv?3a3 ?x?y?z?30．（7?）利用高斯公式计算曲面积分(x?y)dxdy?(y?z)xdydz，其中?为柱面?x2?y2?1及平面z?0,z?3所围成的空间闭区域?的整个边界的外侧。解：(x?y)dxdy?(y?z)xdydz=???(??2?0?P?Q?R??)dv????(y?z)dxdydz ?x?y?z?139d???d??(?sin??z)dz???002??31．（7?）2222333，其中为球面的外侧。 x?y?z?axdydz?ydzdx?zdxdy??解：333xdydz?ydzdx?zdxdy=???(??2??P?Q?R??)dv
?x?y?z=3? d??d??r2?r2sin?dr? ?a125?a 5Ⅳ、提高题型：（）一般第二类曲面积分的计算（自学）。 32．（7?）222，其中是柱面x?y?1介于z?0和z?3之间那部(z?x)dydz?zdxdy????分的外侧。 解：xdydz?ydzdx?zdxdy=???(???P?Q?R??)dv?3???dv?3a3 ?x?y?z? （）利用高斯公式解决的综合题（自学）。33．（7?）求向量A?{2x?3z,?(xz?y),y2?2z}穿过曲面?流向外侧的通量，?是以点?(3,?1,2)为球心，半径为R?3的球面。解：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy=???(???P?Q?R??)dv?3???dv?108? ?x?y?z??u?v,?n?n34．（7?）设u(x,y,z),v(x,y,z)是两个定义在闭区域?上的具有二阶导数的函数，?2?2?2依次表示u(x,y,z),v(x,y,z)沿?的外法线方向的方向导数，符号??称???x2?y2?z2为Laplace算子，证明：???(u?v?v?y)dxdydz?(u???v?u?v)ds，其中?是空间闭区?n?n域?的整个边界曲面，该公式叫做格林第二公式。证明：由P.171.例3的结论知：?u?v?u?v?u?v?2v?2v?2v?v?)dxdydz ?+?+
???u(2?2?2)dxdydz?u????(?x?x?y?y?z?z?n?x?y?z????u?v?u?v?u?v?2u?2u?2u?u?)dxdydz ?+?+
???v(2?2?2)dxdydz?vds????(?x?z?z?x?y?y?n?x?y?z???两式相减可得：???(u?v?v?y)dxdydz?(u???v?u?v)ds ?n?n（三）斯托克斯公式，环流量与旋度（自学）1、 内容要求：（）了解斯托克斯公式。（自学）（）了解环流量与旋度，知道旋度公式。（自学） 题略
测试题 一、选择题（7×4分）1.
设L的方程为x2?y2?a2，则(xL2?y2)nds?---------------------------------（ B
）（A）2?a2n
（B）2?a2n?1
（C）?a2n?2
（D）2?a2n?2x2y2??1，其周长为a，则(x3?y3?1)ds?------------（ B
） 2. 若L是封闭曲线L4323（A） 0
（D） a3. 设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D上具有一阶连续偏导数，则曲线积分?Pdx?Qdy在D域内与路径无关的充要条件是-----------------------------------------（ C
）L（A）?Q?P?Q?P?Q?P?Q?P??????
?x?y?y?x?x?y?y?x224. 设L为取正向的圆周x?y?4，则曲线积分12(xy?2y)dx?(x?y)dy L2之值是------------------------------------------------------------------------------------------------（ D
） （A）?8?
（D）8? 5. 设?为球面：x?y?z?R，则曲面积分232222222(x?y?z)ds?----------（ C
） ???（A） 4?R
（D） 8?R2226. 设?是球面x?y?z?1的外侧在x?0,y?0,z?0的部分，?在xoy面上的投影44区域为D，则曲面积分??f(z)dxdy可化为如下的二重积分形式---------------------（ A
）?（A）???Df(??x2?y2)dxdy
（B）???f(?x2?y2)dxdyD（C）??f(?D?x2?y2)dxdy
（D）??f(D?x2?y2)dxdy7. 设空间闭区域??{(x,y,z)|x|?1,|y|?1,|z|?1}，?是?的整个边界曲面的外侧，用高斯公式计算xdydz?ydzdx?zdxdy得------------------------------------------------（ C
（D）24二、填空题（3×4分）1. 设曲线L由直线|x|?|y|?1所组成，则曲线积分(|x|?|y|)ds?
4L2??2222. 2. 设某空间向量A?{x,y,z}，则divA?
2(x?y?z)3. 3. 若曲线积分?(1,1)(0,0)(x3?kxy)dx?(x2?2y4)dy与路径无关，则k? 2三、计算题（4×7分） 1. 求I?解：I?2. 求??Lxdx，其中L为曲线x?y2从点(0,0)到(1,1)的一段。 xdx??10Ly2ydy??2y2dy? 212 3?(x?y)dx?(x?y)dy，其中L为折线段y?1?|1?x|上从点(0,0)到点(2,0)的L一段。 解：P?x?y,Q?x?y ?Q?P??1 ?x?y故该曲线积分与路径无关。?L(x?y)dx?(x?y)dy??xdx? 2122x?2 2021另解：?L(x?y)dx?(x?y)dy??2xdx??2dx?(2x?2)?(?1)dx???2 13. 设?为锥面z?x2?y2被平面z?1所截部分，求??zds.???z?x2?y2?x2?y2?1 解：??z?1???zds??Dxy??x2?y2?zx?zydxdy2?122?Dxy??2x2?y2dxdy?2? d?????d?? 22? 3224. 设?为半球面z??x?y的上侧，求??(1?z)dxdy.?包含各类专业文献、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、专业论文、文学作品欣赏、高等教育、生活休闲娱乐、70第十章
曲线积分与曲面积分(已改)等内容。　
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曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
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