谢邀。以下有大量图片，请珍惜流量。&br&&br&这个问题实在是太大了，展开讲三天也讲不完，因为数学+编程能做的有意思的事情实在是太多了。你随意找一个方向，左手捧一套高数右手捧一台电脑，一头扎下去，相信都能找到无数可以摆弄的事情。在此结合自己做过的项目给你讲讲高数的应用（省略全部数学细节）。&br&&br&&b&一、图形学&/b&&br&图形学的目标是创造一个真实的三维场景供你在里面漫游，它是所有三维游戏的基础。它的原理很简单，在一个空间里放上三角形、箱子、机器人或云，摆好摄像头，放置光源，然后计算摄像头应该看到什么，把结果显示在电脑屏幕上。不仅是静态的成像，动态的物理过程也可以实现，比如雾、碰撞、重力等等。&br&&br&辐射3截图&br&&img src=&/2d3bab880e51e4a2349f67a_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&720& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/2d3bab880e51e4a2349f67a_r.jpg&&&br&&b&1.1 三维漫游&/b&&br&你可以用OpenGL和C++轻松实现一个三维漫游程序（流畅性优先），然后不断往里面添加各种模型（球体、三角面片几何体、飞机）和属性（遮挡、抗锯齿、透明、玻璃、爆炸），最终把你的漫游程序变成一个精美的实时游戏。&br&&br&三维海战（图片来自百度图片）&br&&img src=&/26ae18ecc29f_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1054& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&/26ae18ecc29f_r.jpg&&&br&&b&1.2 光线追踪器&/b&&br&可以着重研究光线是如何照射和成像的（精美性优先），实现各种相机（双目、鱼眼、弱投影），材质（金属、玻璃），光源类型（点光源、方向光源、区域光源）以及光照模型（BRDF、路径追踪），最终你想画啥都能画得惟妙惟肖。光线追踪器的渲染速度很慢，程序要追踪海量光线的反射和折射分量，比如下方的钻石图案需要运行5分钟才能画完。虽然不能实时移动和旋转相机，但是渲染的结果极其逼真。&br&&br&用C++实现的玻璃材质&br&&img src=&/d000de4f3fff_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/d000de4f3fff_r.jpg&&&br&&br&用光线追踪器pov-ray画的钻石&br&&img src=&/82b5f5ac2b_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&405& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/82b5f5ac2b_r.jpg&&&br&&b&1.3 基于GPU的加速渲染&/b&&br&当然，你也可以兼顾渲染质量和动画帧速，这个时候就需要使用更强大的计算资源，可以并行计算的GPU是不二的选择。看看CUDA的代码，你可以做一个体渲染模块来实时观察CT图像，卖给医学图像处理公司（也许）能赚大钱。&br&&br&Volume rendering（图片来自网络）&br&&img src=&/004f7ece2beff2fed8377c_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&/004f7ece2beff2fed8377c_r.jpg&&&br&&b&二、图像处理&/b&&br&很多图像应用都需要对图像进行必要地预处理，如去噪、融合、分割、去雾、去模糊、视频去抖动等等，这个领域非常广泛，有大量模型和理论支撑。各位常用的Photoshop和美图秀秀里面成百上千的滤镜，可以说每一个背后都有一个数学模型。下面举一个例子。&br&&b&2.1 分割&/b&&br&有一种简单的分割算法叫Superpixel，它可以把一幅图像分割成好多个小块，保证每一个小块中颜色都差不多。当然，还有其他许多分割算法，Superpixel的好处是简单，并且很容易推广到三维空间。&br&&br&Superpixel分割（图片来自&a href=&http://ivrg.epfl.ch/supplementary_material/RK_SLICSuperpixels/index.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&这里&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&&img src=&/d2fd61d8d2c_b.jpg& data-rawwidth=&321& data-rawheight=&481& class=&content_image& width=&321&&&br&&br&&b&2.2 医学图像处理&/b&&br&经过分割后，图像被过度分割成了很多小块，这时就可以用模式识别的算法把属于同一类的小块们再合在一起。利用分割+分类的算法，可以把三维CT图像中的骨头全自动剔除。&br&&br&CT图像去骨的结果&br&&img src=&/0b9ff2b023c879c183ded_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&238& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&/0b9ff2b023c879c183ded_r.jpg&&&br&&br&&b&三、计算机视觉&/b&&br&计算机视觉的目标是&b&理解&/b&摄像机拍摄的图像，它的研究范围极其广泛，比如人脸识别、文字识别、目标追踪等等。在此介绍这一领域几个重要的方向。&br&大家都知道图像是二维的，而真实世界是三维的，上面介绍的图形学的原理是预先建一个三维场景然后研究摄像头看到的图像是什么样子，计算机视觉的野心则大得多：给你几幅二维图像，还原三维场景是什么。&br&&b&3.1 一幅图像与测量&/b&&br&拿到一幅图像，可以获得平行关系，测量图像中不同物体的长度比值，在知乎也有不少朋友关心这个问题，感兴趣可以戳&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何根据一张 A 楼照 B 楼的照片判断出这张照片是 A 楼的几层？&/a&以及&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何测量一副图片中物体的实际尺寸？&/a&&br&&br&单目测量（图片来自文献&a href=&/link?url=aZeZDmCCoFstdo0m2-R_WlAm5yHFSSEjujoEmCFM_VaIJQpkdNcy3gXezlUxpUlb31wUZJWbWBh-ZcNs-YlTR4-UNRhEO4jQ4on2b29Zcpe& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Single view metrology&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&&img src=&/14b929d28065a6eda5a153e30ad1259e_b.jpg& data-rawwidth=&506& data-rawheight=&309& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&506& data-original=&/14b929d28065a6eda5a153e30ad1259e_r.jpg&&&br&&b&3.2 两幅图像与双目视觉&/b&&br&拿到两幅在不同位置拍摄的同一场景的图像，就可以恢复出场景，在知乎也有相关讨论：&a href=&/question//answer/& class=&internal&&使用两张角度不同的静态图像合成连贯的动画，难度有多大？&/a&&br&&br&&b&3.3 多幅图像与三维重建&/b&&br&计算机视觉在这二十年最激动人心的成果之一就是完成了从多幅图像序列重建三维场景的研究，从数学上和编程实现上解决了这一从二维重建三维的过程。试想你拿着摄像机在街上绕一圈，像CS地图那样的三维游戏场景就实时重建出来是多么激动人心啊。&br&&br&三维重建更具体的定义是：通过同一场景的多幅图像，恢复出每一幅图像拍摄时相机的位置和姿态，以及每一幅图像上的每一个点在三维空间中的位置。&br&&br&邻居家的一系列照片之一&br&&img src=&/06cbd89bbe6f2cbd6a7f9_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&400&&&br&恢复出的相机位姿和稀疏特征点位置&br&&img src=&/bef818cd22b_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/bef818cd22b_r.jpg&&&br&三维稠密重建（图片来自文献&a href=&/link?url=3QO48gipMX2C0-v0hl5OJq6V-PU9gpV8laxOczrXEaspkKWn1GWcJmxE0ALECjuN8q_2fcvO9P0P_NCfj5GNY1b90VHQ9OkQ0Xjy-6wpFD531urtrClQ8d3tBzQDnohGuF2FH1_5rxwh1I4DQMhHolViACwDRiY3j5dkZ4oT8H7& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Accurate, Dense, and Robust Multiview Stereopsis&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&br&&img src=&/0e5c0a34be457dc8f589e62e25b5b078_b.jpg& data-rawwidth=&1036& data-rawheight=&307& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1036& data-original=&/0e5c0a34be457dc8f589e62e25b5b078_r.jpg&&&br&&b&四、模式识别&/b&&br&模式识别研究输入和输出的关系，比如给你一系列病人的体征和谁有病谁没病，模式识别需要找一个模型建立体征和是否有病之间的函数关系。在图像处理、计算机视觉、医疗、生物、社会学中具有非常广泛的应用。在The Elements of Statistical Learning的第一章里提出了四个典型问题：&br&&ul&&li&垃圾邮件和正常邮件的区分&/li&&li&前列腺癌症确诊&/li&&li&数字手写字符识别&/li&&li&DNA序列和性状的关系&/li&&/ul&模式识别把这些具体问题背后共同的模式抽象出来，集中精力研究什么样的特征判别能力更强以及什么样的模型正确分类效率高。&br&&br&&b&五、综合应用&/b&&br&当你掌握的知识和技能足够多了，就可以做一些需要很多环节的大项目，随便举几个例子：&br&&ol&&li&在你家门口摆一台摄像机，自动识别和记录身高在1米7到1米8之间、身材姣好、长发、爱笑的女生的一举一动。一旦记录到一个符合要求的女生，将她加入数据库，以后单独更新，不同女生之间不能搞混。&/li&&li&买一个机器人（带轱辘能自由移动并且安有摄像头的电脑），让它自己漫游探测环境，建立三维地图，搞清楚自己在哪，这也是计算机视觉中的一个已经理论上完美解决的重要问题：即时定位与地图构建 (Simultaneous localization and mapping, SLAM)。&/li&&li&做一架飞机，它的功能是无论谁在追它都尽量甩掉；做一枚导弹，它的功能是尽量追上飞机，或者在附近爆炸；再做一个酷炫的供军区司令观赏的三维场景显示环境，把一些飞机和导弹放进去追着打去吧。&/li&&br&&/ol&&b&六、如何入手&/b&&br&&b&6.1 看优秀教材&/b&&br&首先，学好高等数学、概率统计和线性代数（矩阵论）足矣，其他数学知识可以在具体学习模型的过程中掌握。&br&然后，看一些优秀的外文教材译文版，比如：&br&&ul&&li&图形学：OpenGL超级宝典(第5版)、交互式计算机图形学:基于OpenGL着色器的自顶向下方法(第6版)&/li&&li&光线追踪器：光跟踪算法技术（Ray Tracing from the Ground Up）&/li&&li&图像处理：数字图像处理(第3版， 冈萨雷斯著)，图像处理、分析与机器视觉(第3版)&/li&&li&计算机视觉：计算机视觉中的多视图几何（Multiple View Geometry in Computer Vision），计算机视觉：算法与应用（Computer Vision: Algorithms and Applications）&/li&&li&模式识别与机器视觉：模式分类（第二版），模式识别（第四版），The Elements of Statistical Learning, Pattern Recognition and Machine Learning&/li&&/ul&&b&6.2 看文献&/b&&br&&b&6.3 看代码&/b&&br&OpenGL、OpenCV、CUDA都有相应的文档和代码实例，也可以在网上找附有代码的教材，研究代码，模仿先人的代码。首先练习基本的函数，然后依照兴趣实现几个非常简单的应用。自己找一个问题，实现一个最简单的解决方案，然后不断精进代码、尝试新的模型，最后就精通了这个领域。
谢邀。以下有大量图片，请珍惜流量。这个问题实在是太大了，展开讲三天也讲不完，因为数学+编程能做的有意思的事情实在是太多了。你随意找一个方向，左手捧一套高数右手捧一台电脑，一头扎下去，相信都能找到无数可以摆弄的事情。在此结合自己做过的项目给…
当年为了准备考研，把高数和概率论的所有知识点写成了一首诗&br&&br&高数&br&&br&未定极限太狡猾&br&分层使用洛必达&br&想打架，挑老大&br&可导可微互等价&br&他们都比连续大&br&&br&函数为零介值定&br&导数为零罗尔行&br&罗平理，罗歪理&br&歪歪自比是柯西&br&金柯拉证差差比&br&&br&正反函数连续上&br&最后只剩原变量&br&一步不行接着上&br&&br&函数分段左右算&br&数列极限洛必连&br&加先加，减先减&br&余加余弦减正弦&br&&br&最值看三点&br&端点驻点非导点&br&微分方程贱&br&变换求导函数反&br&单减趋零乘有界&br&单调有界乘收敛&br&&br&小二秃结婚&br&对象李宇春&br&第一换元凑微分&br&第二换元去掉根&br&&br&山单反，劳加役减&br&积分后，一减余弦&br&幂乘老A，对除老A&br&一加幂成积&br&高阶可略去&br&&br&&br&概率论&br&&br&期差比你大，小于方方下&br&期差比标差，小于等于叉&br&极限为正态，二项也正态&br&N分之爱
一小于概&br&伯努利
换概率&br&辛钦上
换期望&br&&br&正态方和卡方出&br&卡方相除变F&br&一正N卡t分布&br&&br&维数要减一，拒绝否定域&br&方差有卡方，均值用 U T&br&&br&&br&&br&不过我那专业学的不是高数，而是更可怕的《数学分析》
当年为了准备考研，把高数和概率论的所有知识点写成了一首诗高数未定极限太狡猾分层使用洛必达想打架，挑老大可导可微互等价他们都比连续大函数为零介值定导数为零罗尔行罗平理，罗歪理歪歪自比是柯西金柯拉证差差比正反函数连续上最后只剩原变量一步不行接…
看来只有考试季节才有人关注这个答案啊，学弟学妹们，觉得有点用就点个赞呗！&br&&br&～～～～～～&br&&br&5天要通过考试肯定没问题，毕竟只需要60分就可以了，而且还有些是送分题。以下亲身体会有点长，7天从不认识积分符号到90分。有点乱大家凑活看吧。&br&&br&上大学事不好好学习整天玩魔兽，以至于每学期都有挂科，结果高数下到最后高挂，毕业前最后一次考试，我开学到学校后辅导员通知10天后高数清考，当时的第一反应，作弊！因为我曾经试图去看看高数书，结果字全认识，意思却完全领悟不了，所以我就在书皮内写了三个字“一千年”，意思我一千年也不可能看懂。所以我就只能作弊了，我有两个方案一个是替考一个是搞定老师。但是结果很悲催，替考的人选由于各种原因无法按时考试，然后去找老师结果吃了个闭门羹。最后只剩下一个星期了，心想拼了。我们老师出了名的严格，试卷是20个计算题，没有选择填空题。所以只有自己单干，考场上别人基本帮不上忙。我们学校考试出奇的严格，发现作弊基本上就是开除学籍。本来要帮我替考的哥们觉得过意不去，就帮我找了个准备考研的给我辅导。我们就针对我的情况制定了个计划，因为我连积分符号都不知道。前三天是看书，要把上下册的绿皮同济版高等数学看完，后四天就拼命做题。上下册一共有700页左右，当时也没有多想，看吧。第一天把上册看完了，基本是高中的知识，所以很快，多少有点自信了。第二天就买了很多士力架和水打算通宵看书，在图书馆里刻苦，遇到看不明白的就问，有时候实在理解不了就先记下，把需要背的公式也写到一张纸上。书后面的练习题也试着能做了，加上有人给通俗的讲解，就这样磕磕绊绊的在3天内把书是看完了，基本上能知道二重积分、多重积分、无穷级数是怎么回事了，心里也有点底儿了。剩下的四天我先是把书再次浏览了一遍，之前死活接受不了的地方全都明白了。然后就是把老师发的复习题和往年的考试题全做了一遍，整整4天没干过别的事，一直在做题，把做错的和不会的反复练习。我一共用光了三根油笔和十个作业本。那些天晚上做梦都是在想数学公式，最夸张的我还在梦里做一道无穷级数的计算题，我梦醒了发现我还做对了！这会我已经相当的有自信了，在七天内把高等数学搞定了。最后考试是90分（满分100），辅导员竟然觉得我是作弊了，唉！&br&&br&总结一下：首先要有信心，一定要先把书先完整的看一遍，即使是在某个问题上实在无法理解也不要紧，继续看。等第二遍读到这的时候就有种恍然大悟的感觉。配合着做做老师给的题就没问题了。
看来只有考试季节才有人关注这个答案啊，学弟学妹们，觉得有点用就点个赞呗！～～～～～～5天要通过考试肯定没问题，毕竟只需要60分就可以了，而且还有些是送分题。以下亲身体会有点长，7天从不认识积分符号到90分。有点乱大家凑活看吧。上大学事不好好学习…
&p&强烈推荐 Gilbert Strang的线性代数。他是MIT的数学教授，常年负责教授线性代数等基础科目。&/p&&p&他这门课还有视频： &a href=&http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Linear Algebra&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&/p&&p&（作为脑残粉，我在10年前还参与发起了这门课视频的字幕听打项目。。。）&/p&&br&&p&不厚道地贴一个盗版教科书下载链接（扫描版）：&/p&&p&&a href=&http://libgen.in/get.php?md5=4ff07cef3c8fecf066cde79e& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Introduction to Linear Algebra, 4th Edition&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&
强烈推荐 Gilbert Strang的线性代数。他是MIT的数学教授，常年负责教授线性代数等基础科目。他这门课还有视频： 。（作为脑残粉，我在10年前还参与发起了这门课视频的字幕听打项目。。。）不厚道地贴一个盗版教科书下载链接（扫描版）：
卧槽，你不学怎么毕业啊？
卧槽，你不学怎么毕业啊？
谢邀。&br&&br&&ul&&li&&b&第一天&/b&&br&&/li&&/ul&&br&题主在课堂上学习了定积分。老师告诉他，定积分的几何意义是曲边梯形的面积。&br&&br&&img src=&/d448e4e7b69ebd1aad19e93_b.jpg& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&220& class=&content_image& width=&220&&&br&题主很失望：定积分就只能算个面积？而且还只是这种特殊的形状。他把这个疑问告诉了他的好朋友数学君，数学君笑着说：「明天旅行的时候跟你讲吧！」。带着这个问题和对旅行的憧憬，题主进入了梦乡。&br&&br&&ul&&li&&b&第二天&/b&&br&&/li&&/ul&&br&题主兴高采烈地和几个哥们坐上了大巴车，几个小时之后，他们到了目的地。这时数学君问题主：「你知道我们的汽车行驶了多远吗？」&br&&br&「知道啊，我记得西安到青海是XX公里……」「不对！那是直线距离。我问你怎么计算汽车行驶的路程。」「……不知道。」&br&&br&「哈哈，当然是定积分了。」数学君得意地说，「不妨设我们是A时刻出发，B时刻到达，A到B之间汽车每一时刻的速度记为一个函数&img src=&/equation?tex=v%28t%29& alt=&v(t)& eeimg=&1&&,这个函数在A到B上的定积分就是路程啊!」&br&&br&「原来定积分还可以算路程！」题主惊讶地说。&br&&br&下了车，题主拉着旅行箱跟着大部队往宾馆走去，这时数学君又说话了：&br&&br&「你知道你拉箱子做多少功吗？」&br&&br&「看我晚饭吃多少呗。晚饭吃得多，说明我做的功多。」题主疲惫地说。&br&&br&「你这孩子！」数学君气乐了。「你在每个位置拉箱子都有一个力&img src=&/equation?tex=F%28x%29& alt=&F(x)& eeimg=&1&&,这个力和底面还有一个夹角&img src=&/equation?tex=%5Ctheta+%28x%29& alt=&\theta (x)& eeimg=&1&&。我们假设车站到宾馆近似为直线，车站的位置为a，宾馆的位置为b，那么你做的功就是&img src=&/equation?tex=F%5Ccdot+cos%28%5Ctheta+%29& alt=&F\cdot cos(\theta )& eeimg=&1&&在a到b上的定积分。」&br&&br&「哦哦。」题主附和了两声，就沉沉的睡去了，因为他确实做了不少功。&br&&br&&ul&&li&&b&第三天&/b&&br&&/li&&/ul&&br&大部队早早地出发，去参观青海湖。这时有一个年龄比较小的孩子问了一句：「哥哥姐姐们，你们知道青海湖有多大啊？」&br&&br&「4500多平方千米。」一个学地质的学生脱口而出。&br&&br&「好厉害！」小孩和几个女生都发出了惊呼，这时一个戴眼镜的男生又发问了：「那是你知道。我问你，随便在地上画一个湖的图形，你会算它的面积吗？」&br&&br&「我会算，定积分！」题主抢着说道。&br&&br&「定积分算的是曲边梯形的面积，我这样的图形你怎么算？」男生很快随手画了一个不是曲边梯形的图形。&br&&br&&img src=&/1ee351e5dbb_b.jpg& data-rawwidth=&387& data-rawheight=&344& class=&content_image& width=&387&&&br&「这个这个这个这个这个……」题主结巴了。好在这时，数学君走出来替题主解围了。&br&&br&「这个当然可以用定积分做，只是不是一般直角坐标系的定积分，而是极坐标系的定积分。」数学君耐心地解释道，「我们建立一个极坐标系，极点就是这个红色的点，极轴就是极点向右的这条射线。这样这个图形与原点连线和极轴的夹角范围就是&img src=&/equation?tex=%5B0%2C2%5Cpi%29& alt=&[0,2\pi)& eeimg=&1&&,而每个角度对应的图形上的点到极点的距离就是&img src=&/equation?tex=r%28%5Ctheta+%29& alt=&r(\theta )& eeimg=&1&&……」&br&&br&「我知道了！」题主做出一副恍然大悟的样子，「开始的角度是0，结束的角度是&img src=&/equation?tex=2%5Cpi& alt=&2\pi& eeimg=&1&&,所以这个面积就是&img src=&/equation?tex=r%28%5Ctheta+%29& alt=&r(\theta )& eeimg=&1&&在这个区间上的定积分，对不对？」&br&&br&「对你大爷。」一个瘦高的男生走了出来，「这是利用极坐标计算面积，要对&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7Br%5E%7B2%7D%5Cleft%28+%5Ctheta++%5Cright%29%7D%7B2%7D+& alt=&\frac{r^{2}\left( \theta
\right)}{2} & eeimg=&1&&在整个角度范围内积分才行。」&br&&br&「soga」题主为自己又长了姿势而高兴。&br&&br&&ul&&li&&b&第四天&/b&&br&&/li&&/ul&&br&旅行结束了，五一假期也结束了。回来的路上，题主问数学君：「定积分确实不止可以算面积，它好像还可以干很多事。可是它到底能解决什么问题呢？」&br&&br&数学君想了一下说：「你记着定积分的定义是什么吗？」「曲边梯形的面积……啊不是。老师好像说了个四部曲：分割、取点、求和和取极限。」&br&&br&「对，定积分就是无限细分和无限求和。把区间等分为n份，认为每一个小区间都是不变的，这样每一个区间内的面积就可以看成一个矩形了。用矩形的面积和来近似曲边梯形，再让最大区间长度的极限为0，就可以准确地计算面积了。」&br&&br&「说来说去还是算面积啊？」题主扣着鼻子问。&br&&br&「这是从函数图像上说的面积，但事实未必是面积。比如说你画一个速度和时间的图像，那么所谓的面积就是路程；你画一个力和位置的图像，如果力和运动方向一致的话，面积就是做的功；你画一个线密度和位置的图像，面积就是质量……」&br&&br&「好厉害啊！可是如何知道定积分表达的意义呢？」赞叹之余，题主又抛出了一个问题。&br&&br&「刚才说的又忘了。」数学君无奈地说，「定积分其实就是无限细分和无限求和，它求的还是一个乘积。比如说初中时候学的，匀速直线运动的路程等于时间乘速度，那么速度与时间的函数对时间做积分，本质上是把时间分成非常多的区间，认为每一段上都是匀速直线运动，然后套公式，最后把每一段的路程加起来。其他你能想到的乘积有关的公式，定积分都有类似的意义。」&br&&br&「我懂了！」题主的思路也打开了，「比如说我喜欢小芳。我每时每刻对她的好如果用一个函数表示，那么我喜欢她以来对她的好的总和就是这个函数在这段时间上的定积分，对吧？」&br&&br&「对。」虽然对这个例子有些无语，但是数学君还是点了点头。&br&&br&「还有我被胖虎打，他对我的伤害和时间的关系用一个函数表示，那么他对我的伤害就是这个函数在打我的时候的定积分……」&br&&br&「停停停！」数学君怕他举出更奇葩的例子，赶紧转移话题：「你好像知道二重积分可以算体积，那我问你三重积分算啥？」「算质量啊！」「哦？那为啥二重积分不能算质量？」&br&&br&「也可以算，」题主说，「如果你把函数值看成高度，就是面积；看成面密度，就是质量。」&br&&br&「挺聪明啊，你都回答俩问题了！」数学君赞道，「可是三重积分就只能看成密度，不能看成高度吗？」「别逗了，空间满共三维，到哪还有个高度？」&br&&br&「2333333」数学君笑惨了，「三维是我们生存的空间，对于数学来说，几维空间都是可以的，三重积分完全可以得到一个『四维体』的体积。」&br&&br&「原来如此。」题主瞪大了眼睛。「看来积分很厉害啊，数学也很奇妙。」&br&&br&「是啊，」数学君开始总结了，「数学是抽象的，不受我们所在空间的局限。而积分的意义无论是在工程实践还是在纯数学领域都有非常大的作用，要讲的话三天三夜也讲不了十分之一。总之你只要知道，积分的意义远远远远远远远不止算面积那么简单就是了。你跟我说了我可以耐心地跟你讲，你要放到知乎上去问估计会被鄙视的。」&br&&br&「是是是，我知道了。」题主赶紧说。&br&&br&完&br&&br&——————————————————————————&br&那么，题主，你知道了吗？&br&&br&（非数学专业，不严谨指出欢迎指出，轻喷。）
谢邀。第一天题主在课堂上学习了定积分。老师告诉他，定积分的几何意义是曲边梯形的面积。题主很失望：定积分就只能算个面积？而且还只是这种特殊的形状。他把这个疑问告诉了他的好朋友数学君，数学君笑着说：「明天旅行的时候跟你讲吧！」。带着这个问题和…
&p&作为一个工科出身的人，我想强调的是，如果高数学的不好他将会错过进一步提高的机会。&br&
在理工科，很多表层的知识其实是用不着高数的，甚至用不着数学，只要掌握其中的一些规律，融会贯通就可以把这行干的很好。但是如果有更高的抱负，想要研究一些原理的时候，高数就会成为一个最大的瓶颈。你可能能理解一些很深奥的原理，但是由于数学底子不过关，你就不会掌握他们的推导过程和形成原因。知其然，而不知其所以然。&br&
==================时间的分割线==================&br&
这个答案写于一年前，当时的随口一句没想到会引起大家的共鸣。其实这个问题不光高数本身，也包括很多基础课程。很多文科生对于数学的学习就非常不理解，他们觉得我学个语文最起码能提高文学素养，学数学学那么深干什么，我生活中买菜也不可能用二次规划来算怎么买合算。&br&
其实这样就把问题看窄了。在念书阶段，很多知识都是打基础的，从我们的教育来看，我们很多人大学毕业以后可能都不能确定未来要干什么。以工科为例，虽然学的都是电气工程，但细分领域非常多。每一个细分领域对于基础学科掌握程度的要求都不一样，别看我们这个专业好像主要和物理打交道，如果干的是油务化验，那是需要化学知识的。所以现在学的知识，很多都是作为未来的储备，就像乔布斯说过的，苹果优秀的字体设计是和他当年学了一段时间书法是分不开的。所以对于数学等基础学科，你不能说短期看不到效果就否定它存在的意义。&br&
那么为什么要学好。以我之见，一个事情要么别做，要做就全力以赴的去最好它。数学在我们这个专业是非常有用的，包括很多其它工科专业，研究深了以后基本上都是数学。前期学的物理啊，化学啊都是为打个基础，基础打好了剩下的就是用数学的手段去分析了。数学是认识自然科学的一扇窗户，也是宇宙运行的基本规律。数学可以描绘出我们生活的宇宙的方方面面。科学家们通过数学去认识世界，也通过数学来了解世界。为什么会有死理性派的存在，就是因为数学学的多了，遇到生活中具体的问题都习惯于去建模来解决。常关注果壳的朋友应该深有体会，谈恋爱可以建模分析，超市排队付款也可以建模分析。通过运算来告诉我们怎么做最合理高效，这就是数学在生活中的应用。所以说不是买菜用不着数学，而是你没把数学学到买菜能用的那个深度。你在双十一抢购的包裹怎么才能即快又便宜的送到你手中，这个问题就是靠数学建模来分析的。它应该属于拓扑学的范畴。&/p&
作为一个工科出身的人，我想强调的是，如果高数学的不好他将会错过进一步提高的机会。
在理工科，很多表层的知识其实是用不着高数的，甚至用不着数学，只要掌握其中的一些规律，融会贯通就可以把这行干的很好。但是如果有更高的抱负，想要研究一些原理的时…
可以学习复分析，实分析，微分几何等高一级的课程
可以学习复分析，实分析，微分几何等高一级的课程
激励我学高数的往往不是求知欲，而是求生欲
激励我学高数的往往不是求知欲，而是求生欲
先讲个故事。&br&&blockquote&阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到乌龟的的起点时，乌龟已经又向前爬了一定的距离，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟这个新的起点时，乌龟又已经向前爬了一段距离，阿基里斯只能再追向那个更新的起点。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停的奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！ &br&&/blockquote&讲完了，没有感到震撼么？有没有什么奇怪的地方。只要把人物换一下，我们就会发现：&br&只要我领先他人一段别人就永远追不上我了，当得知这个真理后，我激动的心情久久不能平复。&br&当天下午，蓄谋已久的我抄起水果摊的大菠萝拔腿就跑，扭头一看，一脸黑线的店主手拿塑料袋站在我身后十米开外还没缓过神，哈哈哈，就算差两米你也追不上我，我正仰天长笑之际，突然眼前一黑。。&br&&br&好吧，这里引用了&b&芝诺悖论&/b&，为什么叫悖论，因为这很明显是不正确的，按照这个理论，警察也不用追小偷了。那问题出在哪里？&br&它把追上前的时间做了无限分割，但无穷个过程的和并不是无穷大。&br&回到小球问题，小球会停止，没有任何异议。跟楼上所说的理想条件，现实情况没有关系，就算是理想条件也是会停下来的。&br&题主的想法就是类似芝诺悖论，&b&把停止前的时间进行了无限的分割&/b&，这个没错，允许，但是由此就得出因为球一直在弹，所以时间就为无穷大，永远停不下来，这就错了。&br&因为每一次再弹起用时是一个收敛级数，趋向于定值的。所以时间是有限的。&br&&b&也就是说这些无穷个数字的和为有限的数，而不是想当然的无穷大。&/b&
先讲个故事。阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到乌龟的的起点时，乌龟已经又向前爬了一定的距离，于是，一个新的起点产…
&p&既然题主是初三学生，还是先自学高中数学，高中物理，因为高数中很多问题会用物理知识来举例子，所以有点物理基础还是好一些。&/p&&br&&p&记住，任何一个阶段你试图学习的知识都要和你当前的能力相匹配。否则你将会彻底失去对一门学科的兴趣。&/p&
既然题主是初三学生，还是先自学高中数学，高中物理，因为高数中很多问题会用物理知识来举例子，所以有点物理基础还是好一些。记住，任何一个阶段你试图学习的知识都要和你当前的能力相匹配。否则你将会彻底失去对一门学科的兴趣。
&p&如果你是想考研取得好成绩，就老老实实刷考研辅导书。&/p&&p&如果你是想提高数学素养，请阅读数学专业的教材。&/p&&p&无论哪一种，知乎上已经有很多好答案。&/p&&p&总而言之，反对你读&提高素养&类的闲书。&/p&&br&&p&打个比方，你现在的心态就好比一个从来没和女生说过话的男生，感情受挫以后向人求种是一样的。的确，很多人小时候都是从闲书中启蒙数学思想，萌发对数学兴趣的，就像很多男生是从片里学习女性身体是一样的，但是片里的女优只是男性欲望外化的符号并不是真正的有思想有人格的女性，同样这些闲书大多并不是讲数学，只是满足你对数学的意淫。&/p&&p&沉浸在这种符合你意淫中的&数学&越多，你就越没有勇气面对那些难倒你的题目。&/p&&p&当然，有没有高质量的闲书呢，当然有，就像有很多很真实尺度也很大的爱情电影一样，但是你恐怕也只看那几分钟吧。&/p&
如果你是想考研取得好成绩，就老老实实刷考研辅导书。如果你是想提高数学素养，请阅读数学专业的教材。无论哪一种，知乎上已经有很多好答案。总而言之，反对你读"提高素养"类的闲书。打个比方，你现在的心态就好比一个从来没和女生说过话的男生，感情受挫以…
作为一个曾经准备过考研但现在已经保研的同学在这里给你叨咕几句，希望能帮助你。
&br&&br& 首先，我觉得态度很重要，至少你说很头痛这个出发点就不是很妥当。既然考研，你得明确你为什么考？考上了准备干什么？不要给我说只为了混个学位。很显然，研究生是你开始把你的理论知识应用到实践的一个阶段，而要想干的好，干的精，还要有创新，仅仅凭专业那点知识恐怕只能修修补补，不能从本质上作出什么突破。说到这你应该知道我的意思了吧！数学很重要，可以毫不夸张的说，数学是你一辈子的事。哪怕不考研，你也得把数学学好，那种严谨的思维，缜密的论证是你以后发展的根基。在数学上寻求工程的完美，恐怕是能让别人对你刮目相看。就以我为例，虽然保研了，按道理完全可以放松，或者去实验室和学长、导师们接触一下车辆方面的实质性东西，包括实验啊什么的。但我没把这个作为大四这一年的重心，反而我觉得这正好可以利用这一年的宽裕时间来好好复习一下数学，微积分，线性代数，概率，包括我们车辆专业没有学过的复变函数和离散数学，把这些最基本的东西给练熟了，在你的将来做课题过程中一定会起到画龙点睛的作用，当然，更具说服力这是显而易见的。周鸿祎说过道和术的区别。我把数学比作道，搞工程为术。道就那么些，恒久不变，但是精髓。项目工程，五花八门的，说有多少就有多少。唯有搞好最基本的数学这一关，才能从本质上解决问题，以不变应万变，从而有效的解决问题。反而如果数学不好，做出来的东西虽然能用，但良莠不齐，经不住时间的考核。这不和武侠中内功深厚的人永远占据上风一个道理么。
&br&&br& 再者，仔细想想历史上和当今这个社会中，但凡有成就的，有几个不是数学学的猛的！（也有物理猛的，但物理和数学从来不分家的）所以，从这个角度考虑，你若想成为一个NB的人，想要change the world，数学搞不好能行么？所以，这种诱惑也会让你对数学充满激情，越做越感到有成就感了。
&br&&br& 最后，你若能从这个高度去看待数学，恐怕李永乐的那几道数学题都不觉有点像纸老虎了吧？ &br&&br&学数学，要善待之，多思考，多练习，没什么头痛的。
&br&&br& 我觉得，你应该懂了。
作为一个曾经准备过考研但现在已经保研的同学在这里给你叨咕几句，希望能帮助你。 首先，我觉得态度很重要，至少你说很头痛这个出发点就不是很妥当。既然考研，你得明确你为什么考？考上了准备干什么？不要给我说只为了混个学位。很显然，研究生是你开始把…
（由于个人好恶，希望本答案内容不要往百度社区传播，但欢迎来自百度的网友阅读）&br&&br&虽然无穷大经常被当作一个数使用，但是它不是一个数。&br&数学里，虽然都有很大很大这层涵义，但&b&无穷大是个多义词，有很多意思，需要区别对待。&/b&&br&&br&&u&集合论中&/u&&br&自然数集合的元素个数被定义为无穷大。如果一个集合和自然数集之间有一一映射，那么定义这个集合和自然数集一样大。&b&如果一个集合包含和自然数集一样大的子集，那么定义这个集合无穷大。&/b&&br&这个意义上，&ul&&li&自然数集中加一个元素，比如 -1，和自然数集有一一映射（x-&x-1），所以一样大。&br&&/li&&li&自然数集 “加” 自然数集，理解为整数集合，存在一一映射，所以和自然数集一样大。&br&&/li&&li&自然数集 “乘” 自然数集，一般理解为卡氏积，是有理数集，也是和自然数集一样大。&br&&/li&&/ul&有没有比自然数集大的呢？实数集。这是一个无穷大的集合，但是和自然数集不存在一一映射。&br&所以说集合的无穷大是有区别的，数学上叫作不同的 “势”。和自然数集一样大的叫做&b&可数无穷大&/b&，否则叫做&b&不可数无穷大&/b&。可以认为前者小于后者。&br&&br&&u&序论中&/u&&br&&b&往自然数集合中加入一个元素，定义他比其他任何元素大，并称之为无穷大。&/b&&br&这种情况下，对无穷大的运算不一定有良好的定义，所以题目无法回答。&br&如果比较，无穷大作为一个唯一的元素，根据定义都是一样大的。&br&&br&&u&数学分析中&/u&&br&&b&无穷大表示极限不存在，即变化趋势没有边界。&/b&&br&不同趋势的变化极限可以都是无穷大，但彼此是不同的。&br&这时，单说无穷大是没有意义的，必须要说清楚是哪个数列的极限。&br&对无穷大的运算和比较，即对两个数列／函数的运算和比较，然后取极限。&br&数学和计算机科学中经常使用大O符号标记不同的无穷大。&br&&br&&u&几何中&/u&&br&平面单点紧化后，无穷远点是一个点，把平面投射到球面时该点对应于北极。&br&射影几何中，平行线相交于无穷远点，无穷远点构成一条直线。
（由于个人好恶，希望本答案内容不要往百度社区传播，但欢迎来自百度的网友阅读）虽然无穷大经常被当作一个数使用，但是它不是一个数。数学里，虽然都有很大很大这层涵义，但无穷大是个多义词，有很多意思，需要区别对待。集合论中自然数集合的元素个数被定…
我们这些开高数课程的也是自学的。。。。
我们这些开高数课程的也是自学的。。。。
&p&题主问的是如何突破高考压轴题，不知道其它几个答案在扯什么。&/p&&p&多数情况下，做数学竞赛题对突破高考压轴题的作用远大于学大学数学。&/p&&p&你列的第一本书就很好，不过你现在看已经晚了，那本书我高一就看完了。&/p&
题主问的是如何突破高考压轴题，不知道其它几个答案在扯什么。多数情况下，做数学竞赛题对突破高考压轴题的作用远大于学大学数学。你列的第一本书就很好，不过你现在看已经晚了，那本书我高一就看完了。
那要看你想让她有什么用，若是觉得可有可无，她就真的没什么用，对你。
那要看你想让她有什么用，若是觉得可有可无，她就真的没什么用，对你。
把这些都看了，应该有不错的数学基础了，再学习正规的高数教材。&img data-rawheight=&207& data-rawwidth=&640& src=&/fcfe09006feaeff6c2b68ab_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/fcfe09006feaeff6c2b68ab_r.jpg&&&img data-rawheight=&213& data-rawwidth=&640& src=&/dd59dd62ec0ed32eb04aa0_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/dd59dd62ec0ed32eb04aa0_r.jpg&&&img data-rawheight=&437& data-rawwidth=&640& src=&/09ca59d7bbfdbab50ae0d9_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/09ca59d7bbfdbab50ae0d9_r.jpg&&&img data-rawheight=&847& data-rawwidth=&640& src=&/e3da31bbcb_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/e3da31bbcb_r.jpg&&&img data-rawheight=&333& data-rawwidth=&640& src=&/e0dc1710a4fbb6bb2c32_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/e0dc1710a4fbb6bb2c32_r.jpg&&&img data-rawheight=&198& data-rawwidth=&640& src=&/4ccad608f3fc36239f2ffd23cf0c3758_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/4ccad608f3fc36239f2ffd23cf0c3758_r.jpg&&
把这些都看了，应该有不错的数学基础了，再学习正规的高数教材。
处女答，我2011年考研，分数412，数学150，完全真实，这种也无需作假。虽然现在是很苦逼的上班族，工资不高，但仅说考研的话，当时那段时间可能是这辈子最高效的学习时光了。&br&单看数学：我是从大三暑假开始准备的，当时先是看&b&课本&/b&，把所有课后习题做一遍，大概看了整个暑假两个月的时间；&br&然后到开学就开始看有一本就跟&b&大全&/b&差不多，几百页吧，挺厚的，时间太长忘记名字了，好多人都买的那本，大概又花了两三个月的时间，真的是一题一题的嚼烂，我基本都不直接看解析，都是先做题目，然后对着解析，不会做的题目标记。先把所有题目做完看完一遍以后，再重新把自己标记不会的题目再重新过一遍，一本书看完遍，直到把一本书基本嚼烂。&br&再就是大概已经到十一月了吧，开始做&b&真题&/b&，每天下午一套真题，从来不拖，我基本两个小时一遍真题，然后对答案，看解析。做标记，当时自己有个本子，重要的东西都记在上面。&br&最后大全也看完了，真题也做完了，好像买了一本纯题目的，那套比较难，也不记得名字了，开始做那上面的题目，这个感觉印象特别浅，恍惚记得，用处好像不大。&br&考研之前，最重要的就是把真题反复看，看透看彻基本就差不多了。&br&考研中，贵在坚持，且不要买太多资料书，多看无益，关键是你所看的知识点都能灵活使用，所做的题目变着花样你也能看出来就是这么做的。&br&好了，第一次答题，写得很乱，已经过去四年多了，我现在都佩服当时我能坚持下来，希望你能坚持住，考上理想的学校。
处女答，我2011年考研，分数412，数学150，完全真实，这种也无需作假。虽然现在是很苦逼的上班族，工资不高，但仅说考研的话，当时那段时间可能是这辈子最高效的学习时光了。单看数学：我是从大三暑假开始准备的，当时先是看课本，把所有课后习题做一遍，大…}