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华中师大《复变函数》综合测试题及答案.doc53页
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《复变函数》综合测试题及答案
一、选择题(单选题)
1、(容易)复数的幅角主值为(
(B)(C) (D)
2、(中等)复数的模为( )
3、(容易)设,则的指数表示为( )
4、(中等)若是方程的一个非零复数根,则( )
5、(容易)函数在平面上(
(B)连续且可导(C)连续但处处不可导
(D)以上答案都不对
6、(容易)满足的点所组成的点集为( )
7、(容易)函数在区域内解析的充要条件是()
(A)都在内连续 (B)在内
(C)都在内存在,且
(D)都在内连续,且
8、(容易)的值为(
(A)当时为;当时为(B) (C)(D)
9、(容易)(
10、(容易)在复平面上解析且有界,则在平面上为( )
(A)(B)常数 (C)(D)
11、(容易)复级数收敛的必要条件是(
(A)对一切,(B)存在一列自然数,使得
12、(容易)幂级数的收敛半径为(
13、(容易)为的()
(A)极点 (B)非孤立奇点
(C)本性奇点
(D)3阶零点
14、(容易)设,则是的( )
(A)1阶极点
(B)2阶极点 (C)可去奇点 (D)本性奇点
15、(容易)是函数的可去奇点,则()
16、(容易)若复数,则的幅角主值为(
(B)(C) (D)
17、(中等)复数的模为()
18、(容易)设,则的指数表示为(
19、(中等)若,则(
20、(中等)函数在平面上()
(B)连续且可导(C)连续但处处不可导
(D)以上答案都不对
21、(容易)下列哪些点集是区域(B
22、(中等)若,且在区域内满足,则()
(A)在内解析(B)在内不解析(C)在内可微
(D)在内不一定可微
23、(容易)的值为(
(B) (C)(D)
24、(容易)(
25、(中等)若区域内解析函数满足,则在区域内为(
(A)(B)常数 (C)不一定为常数(D)
26、若复级数收敛,则(
(A)对一切,(B)存在一列自然数,使
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第四章 解析函数的幂级数表示
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91复变函数论习题集-3
C）f(a)?f?(a)?????f(n?1)(；14.求幂级数1?z?z?z????的收敛半径R；n??；Cn；Cn?1；）?；n11D；RR；n??；15.在圆K:z?a?R内的解析函数f(z)?A；?C(z?a)；,则Cn?__________；n!f(?)d?1f(?)d?；B）；2?i??(??a)n?12?i??(??a)n；(其中?:z?a?r
C）f(a)?f?(a)?????f(n?1)(a)?0,fn(a)?0
D）f(a)?f(n?1)(a)?0,fn(a)?014.求幂级数1?z?z?z????的收敛半径R为:______________ A）Cn不明确,无法求
B）R?limn??249CnCn?1C）?n11
D?RRn??15.在圆K:z?a?R内的解析函数f(z)?A）?C(z?a)n?n,则Cn?__________n!f(?)d?1f(?)d?B）2?i??(??a)n?12?i??(??a)n?1(n?1)!f(?)d?1f(?)d?C）
D） nn????2?i(??a)2?i(??a)(其中?:z?a?r,0?r?R)二、多项选择题1.一个幂级数在其收敛圆周上可能____________________A）处处发散
B）既有收敛点,又有发散点
C）处处收敛 D）处处绝对收敛
E）和函数没有奇点2.设在区域D内解析函数f1(z)及f2(z)在D内______________________相等,则f1(z)和f2(z)在D内恒等.A）一个点列{zn}上
B）某一子区域上
C）某一小段弧上 D）某一个线段
E）一个收敛于a的点列{zn}(zn?a)3.设f(z)在z?2内解析,且不恒等于常数,则f(z)在点______________不能达到最大值.B）1
DE）1??zn4.幂级数?2在闭圆z?1上_________________n?1nA）1?A）收敛
B）条件收敛
C）绝对收敛 D）一致收敛
E）对有些点收敛,有些点发散 5.函数f(z)?z(e?1)有零点:_________________A）z?0是级零点
B）z?0是三级零点
C）z?2?i是一级零点 D）z?2?i是二级零点
E）z?2?i是三级零点 二、填充题： 1．如果幂级数2．（Warstsereis
(2)2z?c(z?a)nn?0?n在某点z1(?a)收敛，则它必在圆________内_______收敛.定理）设(1)fn(z)n(n?1,2,?)_____________??fn?1?(z)_____________f(z)；f(z)??fn(z)n?1则(1)f(z) __________________________,
(2) ________________________________.3. f(z)在区域D内解析的充要条件为__________________________即泰勒级数. 4. (Taylor定理)设f(z)在区域D内解析, a?D,只要圆K:z?a?R含于D,则f(z)在K内可展成幂级数f(z)??cn(z?a)n其中cn=_______(________)n?0?且_______________.5. Ln(1?z)的各支的展式为lnk(1?z)=____________(__________________).?16. 设??cnzn, 则 21?z?zn?0(1)系数递推式: cn=______________; c7_________________;(2)收敛半径R____________, 收敛圆为_________和函数奇点为______________.7.不恒为零的解析函数f(z)以a为m级零点的充要条件为__________________________,其中______________________________8.设(1)函数f1(z)和f2(z)在区域D内解析,(2) D内有__________________在其上f1(z)和f2(z)等值,则f1(z)和f2(z)在D内恒等.9.设f(z)在D内解析,则f(z)在____________________________最大值除非f(z)在D内_______________________________,(________________)10. ?四、计算题：1展开为z的幂级数，并求展式成立的范围 2(1?z)2． 将函数sinz按z?1的幂展开，并指明收敛的范围1． 将函数f(z)?3． 求幂级数?Zn?1?2n?z2?z4?z8???z2n??的收敛半径4． 求函数f(z)?z2(cosz?1)的零点及其级别z5． 求e在闭圆z?z0?1上的最大值五、证明题
综合题： 1．设f(z)??az(a?0)的收敛半径R?0，且M?f(z(p?R)试证：在圆nn n?1zp?z?a0a0?M?内f(z)无零点2．设z?R内解析的函数f(z)有泰勒展式：f(z)??aznn?0?n.试证:当0?r?R1时,2??2? f(re)d???anr2ni?n?02?23.试证:当0?z?1时,17z?e2?1?z 444.设f(z)是一个整函数,且假定存在一贯正整数n,以及两个正数R与M,使当z?R时,f(z)?Mz,试证明: f(z)是一个至多n次的多项式或一常数. 5.写出eln(1?z)的幂级数展式至含z项为止,其中ln(1?z) z5nz?0?0 一单项选择题: 1. 函数第五章
复习题sinz在0?z???的罗朗展式的罗朗系数C?2,C2分别为z111A)3!,B)0, C) 3!,0D) 0,?3!3!3!1?cosz2.z?0为函数f(z)?2z的z(e?1)A)零点B)一级极点C)二级极点D) 三级极点 3.z?? 为函数f(z)?11sinz的A)可去奇点B)m级极点C)本性奇点D)非孤立奇点5.f(z)在z?1内解析且f(z)?1(z?1),f(0)?0,则在z?1内恒有f(z),且f?(0)1 A),B) ,?C) ?,?D) ?,?6.解析函数f(z)的孤立奇点a的去心邻域K??a?的罗朗级数为
A)?????n????C(z?a)n?n?n的主要部分?C(z?a)nn?1nB)?C(z?a)nn?0nC)?C(z?a)nn?1nD)?C(z?a)nn?0 7.z?a分别为f(z),g(z)的m级与n级极点(m?n),则z?a是f(z)?g(z)的
级极点.A)m?nB)m?nC)min(m,n)D)max(m,n) 8.f(z)的孤立奇点a为本性奇点的充要条件是 A)limf(z)?0B)limf(z)C)limf(z)?b(??)D)limf(z)??z?az?az?az?a9.若z?0是f(z)的三级极点,则?是f()的A)三级极点B)三级零点C)可去奇点D)本性奇点10.设z?0是不恒为另的函数f(z)的孤立奇点,且有趋于0的无穷点列使f(zn)?0则1zz?0是f(z)的A)零点B)可去奇点C)极点D)本性奇点11.?是函数f(z)?tanz的
A)极点B) 非孤立奇点C) 本性奇点D) 可去奇点12.函数f(z)? 在z?1的去心邻域内不能展成罗朗级数.11tan(z?1)1B) secC)D) z?1z?1(z?1)zz?113.整函数f(z)的孤立奇点个数
个A)sinA)只有一个B)至少一个C)没有D)无法确定 14.亚纯函数的孤立奇点只能是A) 可去奇点B)极点C) 本性奇点D) 非孤立奇点 15. f(z)在无穷远点去心邻域内的罗朗展式:f(z)?A)n????bzn?n的主要部分为n??1?bzn??nB)?bznn?0??nC)?bznn?1?nD)?bznn?0?n 二、多项选择题:1可以在区域
展开罗朗级数(z?1)(z?2)A)z?1 B)1?z?2 C)2?z??? D)0?z?1?1
E)0?z?2?1 2.z?0是函数f(z)?
的本性奇点.1.f(z)?A) eB)1z3.z?0是函数f(z)?
的本性奇点.111cosA)B)C)D)E) A)B)ctgzC)tanzD)E) z1?ezsinz?cosz14.设f(z)?sin存在着收敛于0的点列?zn?,使limf(zn)?zn?0zA?)B)0C)1D)2E)35.函数f(z)? 为整函数.az?bA)常数C0B)sinzC)az?bD)E)tanzcz?dsin三、填充题：1．在圆环H（）内解析的函数f(z)可展成双边幂级数1z1C) cos111?coszD)
2zsinzzf(z)?n????C(z?a)n?n，其中Cn? ，?为2．如果a为f(z)的可去奇点，则有：（1）
3．若z?a为f(z)之一本性奇点，且在z?a必为1的
f(z)4．（Weierstrass定理）如果a为f(z)的本性奇点，则任何常数A使得limf(zn)?Azn?a5．如果z??为f(z)的m级极点的充要条件是下列三条中任何一条成立 （1）
6．若f(z)为一整函数，则z??为f(z)的（1）可去奇点（2）m级极点（3）本性奇点的充要条件分别为：（1）
7．函数f(z)为有理数的充要条件为f(z)的
g(z)(m?n)，(m?n)，(m?n)19．函数f(z)?2的奇点有：z?
，(z?i)3z?为110．函数f(z)?z的奇点有：z?
，z?e?18．f(z)，g(z)分别以z?a为m级极点与n级极点，则z?a为为
四、计算题tanz的奇点 z12．求函数f(z)?在五种不同区域（1z?1（2）1?z?2（3）0?z??1(z?1)(z?2)1．求函数f(z)?（4）0?z?2?1（5）2?z??的罗朗展式1ez23．将f(z)?在圆环内展为罗朗级数，（只要含到z各项） 0?z?12zz(z?1)z2?2z?54将函数f(z)?在圆环0?z?1内展为罗朗级数(z?2)(z2?1)11?的奇点及其类别 5求函数f(z)?ze?1z五、证明题
综合题：1．试证：f(z)是单叶整函数的充要条件为：f(z)?az?b(a?0)2．试证：在扩充Z平面上只有一个一级极点的解析函数f(z)必有如下形式：az?bf(z)?，ad?bc?0cz?d3．f(z)，g(z)分别以z?a为m级极点与n级极点，试问a为f(z)?g(z)，f(z)?g(z)f(z)及的什么点/讨论之 g(z)4．求函数f(z)?e11?z在?点邻域(1?z???)的罗朗展式至含z为止55．设C是一条围线，区域D是C的外部（含点?），f(z)在D内解析且连续到C；又设limf(z)?C0??，则z???f(z)?f(?),z?D1f(?)?????C2?i??z?0?f(?),z?D 包含各类专业文献、生活休闲娱乐、中学教育、应用写作文书、行业资料、各类资格考试、幼儿教育、小学教育、91复变函数论习题集等内容。　
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