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高等数学--常微分方程.ppt45页
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常微分方程
常微分方程
微分方程的基本概念
可分离变量的微分方程
一阶线性微分方程
1利用函数关系可以对客观事物作定量分析.
但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观
规律,不能直接找出所需要的函数关系,
含有未知函数的导数或微分的关系式,
关系式称为微分方程.对它进行研究确定出未知
函数的过程就是解微分方程. 牛顿和莱布尼茨
确定的微积分运算的互逆性,实际上就解决了最yf x
简单的微分方程 求解问题.
微分方程的基本概念
例 几何问题 平面上一条曲线,任意一点切线的斜率等于
这点的纵坐标, 求这曲线的方程
解 设所求曲线为
可以验证 yce 满足这个方程, 其中C为任意常数.
3 例自由落体运动一个物体在没有空气阻力的情况下,
从某一高处放手下落时的速度与下落时间成正比,求该物
体下落距离与时间的函数关系.
解 设所求函数为
其中k为常数,
含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.
txdtxdx0 一阶
未知函数是一元函数的方程为
常微分方程;
偏微分方程.
未知函数是多元函数的方程为
方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶.
nF x, y, y , ?, y 0,
一般的n阶微分方程为
n n ?1或已解出最高阶导数
x, y, y , ?, y .
5代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为
微分方程的解.
微分方程的解的分类
微分方程的解中含有任意常数,且任意
常数的个数与微分方程的阶数相同.
yx1如方程 特解2x, yxC
s?0.2tC tC?0.4,
s?0.2t20t.
确定了通解中任意常数以后的解.
6用来确定任意常
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常微分方程
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　　《常微分方程》是普通高等教育&十五&国家级规划教材。全书分为六章，各章内容分别为：初等积分法，线性方程，常系数线性方程，一般理论，定性理论初步，一阶偏微分方程等。在各章节之后都配备了一定数量的习题。《常微分方程》可作为高等学校数学学科各专业常微分方程课程的教材，也可供其他理科专业选用。对于其他希望了解常微分方程这门学科的读者，它也可作为一本入门的参考书。
第一章 初等积分法
1 例子与概念
2 典型方程的解法
2.1 变量可分离方程
2.2 齐次方程
2. 3 可化为齐次方程的方程
2.4 一阶线性方程
2.5 伯努利方程
2.6 恰当方程
3 解题的灵活性
3.1 引进适当变换
3.2 交换x与y的地位
3.3 改变方程形式
3.4 寻找积分因子
4 一阶隐方程，高阶方程与里卡蒂方程
4.1 一阶隐方程
4.2 高阶方程的几种可积类型
4.3 里卡蒂方程
第二章 线性方程
2 解的存在性与唯一性
3 （lh）的通解的结构
4 （nh）的通解的结构
5 边值问题和周期解
6 高阶线性方程
6.1 通解的结构
6.2 边值问题和周期解
7 线性微分方程的一些求解方法
7.1 适当的变换
7.2 幂级数解法
8 线性方程的复值解
第三章 常系数线性方程
1 常系数齐次线性方程的解法
2 常系数齐次线性方程组的解法
2.1 矩阵指数函数eat
2.2 基本解矩阵的结构
2.3 待定系数法
3 算子解法与拉氏变换法
3.1 算子解法
3. 2 拉氏变换法
第四章 一般理论
2 皮卡存在与唯一性定理
2.1 皮卡定理
2.2 唯一性条件的推广
2.3 解的整体唯一性
2.4 不唯一的情形，奇解
3 佩亚诺存在定理
3.1 欧拉折线
3.2 阿尔采拉-阿斯科利引理
3.3 佩亚诺定理的证明
4 柯西存在与唯一性定理
4.1 优级数与优函数
4.2 柯西定理及其证明
5 解的延展与解的整体存在性
5.1 解的延展
5.2 解的整体存在性
6 解对初值与参数的连续性
7 解对初值与参数的可微性
8 对于n阶方程的推论
9 解非线性方程的连续性方法
9.1 古典牛顿法
9.2 一般的连续性方法
第五章 定性理论
1 解的稳定性
1.1 李雅普诺夫稳定性
1.2 按第一近似决定稳定性
1.3 李雅普诺夫第二方法
2 一般定性理论的概念
2.1 相空间，轨线，动力系统
2.2 奇点，闭轨，极限集
3 平面动力系统
3.2 极限环
4 结构稳定性，分支与浑沌
4.1 结构稳定性与分支现象
4.2 动力系统的浑沌
5 首次积分
6 守恒系统
第六章 一阶偏微分方程
2 一阶齐次线性偏微分方程
3 一阶拟线性偏微分方程
4 广义解的概念
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&& DSolve[(1 + x^2) y''[x] == 2*x*y'[x], y[x], x]&& DSolve[{(1 + x^2) y''[x] == 2*x*y'[x], y[0] == 1, y'[0] == 3}, y[x], x]
Jie = DSolve[{(1 + x^2) y''[x] == 2*x*y'[x], y[0] == 1, y'[0] == 3},&y[x], x]Plot[y[x] /. Jie, {x, -2, 2}]
高阶线性微分方程
& DSolve[y''[x] - 5*y'[x] + 6*y[x] == x Exp[2 x], y[x], x]
DSolve[y''[x] + y[x] + Sin[2*x] == 0, y[x], x] ;Simplify[%]DSolve[{y''[x] + y[x] + Sin[2*x] == 0, y[Pi] == 1, y'[Pi] == 1},&y[x], x];Simplify[%]
解曲线：DSolve[{y''[x] + y[x] + Sin[2*x] == 0, y[Pi] == 1, y'[Pi] == 1}, y[x],x]; Simplify[%]Plot[y[x] /. Jie, {x, -5, 5}]
&& DSolve[x^3*y'''[x] + x^2*y''[x] - 4*x*y'[x] == 3*x^2, y[x], x]
&复数解? Maple给出以下实数解：
返回《用Mathematica做微积分》
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高阶微分方程
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