科目：初中数学
如图，正方形ABCD中，E点在BC上，AE平分∠BAC．若BE=cm，则△AEC面积为cm2．
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科目：初中数学
如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
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科目：初中数学
17、如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是．
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科目：初中数学
如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）若ED：DC=1：2，EF=12，试求DG的长．（2）观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的结论．
点击展开完整题目（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 四边形（正方形）
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1、（2013o昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线
AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点
M，N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中
其中正确的结论有（　　）
|考点|相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理； |
|正方形的性质
|分析|依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△|
|BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而|
|作出判断．
|解答|解：∵四边形ABCD是正方形，
|∴∠BAC=∠DAC=45°．
|∵在△APE和△AME中，
|∴△APE≌△AME，故①正确；
|∴PE=EM=PM，
|同理，FP=FN=NP．
|∵正方形ABCD中AC⊥BD，
|又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
|∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE
|∴四边形PEOF是矩形．
|∴PF=OE，
|∴PE+PF=OA，
|又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，
|∴PM+PN=AC，故②正确；
|∵四边形PEOF是矩形，
|∴PE=OF，
|在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，
|∴PE2+PF2=PO2，故③正确．
|∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；
|∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形 |
|∴PM=PN，
|又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
|∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．
|点评|本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△AP|
|M和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是|
2、(2013年临沂)如图，正方形ABCD中，AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,
C两点同时出发，以1cm/的速度沿BC,CD运动，到点C,D时停止运动，设运动时间为()
,△OE的面积为()，则()与()的函数关系可用图像表示为
解析：经过秒后，BE＝CF＝，CE＝DF＝8－，，
所以，，是以（4,8）为顶点，开口向上的抛物线，故选B。
3矩形、菱形、正方形·2013东营中考）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点
，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（
4）中正确的有（
12.B.解析：在正方形ABCD中，因为CE=DF，所以AF=DE，又因为AB=AD，所以，所以
AE=BF，，，因为，所以，即，所以AE⊥BF，因为四边
形DEOF，所以 四边形DEOF，故（1），（2），（4）正确.
4、（2013凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周
长为（　　）
A．14 B．15
C．16 D．17
考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析：根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出
AF=EF=EC=AC=4，求出即可．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，
点评：本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求
出AC的长．　
5、（2013o资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分
的面积是（　　）
|考点|勾股定理；正方形的性质．
|分析|由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用阴|
|影部分=正方形ABCD﹣△ABE求面积．
|解答|解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
|∴在R△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，
|∴阴影部分=正方形ABCD﹣△ABE=AB2﹣×AE×BE
|=100﹣×6×8
|点评|本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直 |
|角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．
6、（2013o雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，
连接AC交EF于，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤△CEF
=2△ABE．其中正确结论有（　　）个．
|考点|正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
|分析|通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的|
|性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=，BE=y，|
|由勾股定理就可以得出与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的 |
|面积公式分别表示出△CEF和2△ABE再通过比较大小就可以得出结论|
|解答|解：∵四边形ABCD是正方形，
|∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
|∵△AEF等边三角形，
|∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
|∴∠BAE+∠DAF=30°．
|在R△ABE和R△ADF中，
|R△ABE≌R△ADF（HL），
|∴BE=DF，①正确．
|∠BAE=∠DAF，
|∴∠DAF+∠DAF=30°，
|即∠DAF=15°②正确，
|∵BC=CD，
|∴BC﹣BE=CD﹣DF，
|及CE=CF，
|∵AE=AF，
|∴AC垂直平分EF．③正确．
|设EC=，由勾股定理，得
|EF=，C=，A=，
|∴BE=﹣=，
|∴BE+DF=﹣≠，④错误，
|∵△CEF=，
|△ABE==，
|∴2△ABE==△CEF，⑤正确．
|综上所述，正确的有4个，故选C．
|点评|本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用 |
|，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式 |
|的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
7、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积
分别为1，2，则1+2的值为（　　）
A．16 B．17
C．18 D．19
考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：计算题．
分析：由图可得，1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，
EC=；然后，分别算出1、2的面积，即可解答．
解答：解：如图，设正方形2的边长为，
根据等腰直角三角形的性质知，AC=，=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴2的面积为EC2==8；
∵1的边长为3，1的面积为3×3=9，
∴1+2=8+9=17．
点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了生的读图能力．　
8、（2013o咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，HMN都是正方
形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为
|考点|相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．
|分析|求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃 |
|上的概率；
|解答|解：设正方形的ABCD的边长为a，
|则BF=BC=，AN=NM=MC=a，
|∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，
|∴小鸟在花圃上的概率为=
|点评|本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边 |
|长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．
9、（2013台湾、30）如图，四边形ABCD、AEF均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点
不重合，并连接B．根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确？
A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2
C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4
考点：正方形的性质．
分析：根据正方形的每一个角都是直角求出∠BAD=∠EA=90°，然后根据同角的余角相等可
得∠1=∠2，根据直角三角形斜边大于直角边可得AE＞AB，从而得到A＞AB，再根据三角形
中长边所对的角大于短边所对的角求出∠3＞∠4．
解答：解：∵四边形ABCD、AEF均为正方形，
∴∠BAD=∠EA=90°，
∵∠BAD=∠1+∠DAE=90°，
∠EA=∠2+∠DAE=90°，
∴∠1=∠2，
在R△ABE中，AE＞AB，
∵四边形AEF是正方形，
∴∠3＞∠4．
点评：本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等
的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用．
10、（2013台湾、23）附图为正三角形ABC与正方形DEF的重迭情形，其中D、E两点分别
在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，F=6，则F点到AC的距离为何？（　　）
考点：正方形的性质；等边三角形的性质．
分析：过点B作BH⊥AC于H，交F于，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定
△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两
直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥F，从而求出AC∥DE∥F，再根据
等边三角形的边的与高的关系表示出H，然后根据平行线间的距离相等即可得解．
解答：解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交F于，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEF是正方形，F=6，
∴AC∥DE∥F，
∴H=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，
∴F点到AC的距离为6﹣6．
点评：本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质
，等边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但
难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．　
11、(2013年南京)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：
答案：本题答案不唯一，如((1)2=25；
解析：把缺口补回去，得到一个面积25的正方形，边长为＋1。
12、（2013o苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点
A、C分别在，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于
点P．则点P的坐标为　（2，4﹣2）　．
|考点|相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．37186|
|分析|根据正方形的对角线等于边长的倍求出OB，再求出BQ，然后求|
|出△BPQ和△OCQ相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP的长 |
|，再求出AP，即可得到点P的坐标．
|解答|解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
|∴OA=OC=2，OB=2，
|∵QO=OC，
|∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，
|∵正方形OABC的边AB∥OC，
|∴△BPQ∽△OCQ，
|解得BP=2﹣2，
|∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，
|∴点P的坐标为（2，4﹣2）．
|故答案为：（2，4﹣2）．
|点评|本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的[|
|pic]倍的性质，以及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角 |
|形的对应边成比例求出BP的长是解题的关键．
13、（2013o嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，
小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射
角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为　6　，小球P所经过的
路程为　6　．
|考点|正方形的性质；轴对称的性质．
|分析|根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三 |
|角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．再由勾股 |
|定理就可以求出小球经过的路径的总长度．
|解答|解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次 |
|碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的|
|三角形的相似可得第二次碰撞点为，在DA上，且D=DA，第三次碰 |
|撞点为H，在DC上，且DH=DC，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=BC |
|，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=AD，第六次回到E点，AE=AB． |
|由勾股定理可以得出EF=，F=，H=，HM=，M|
|N=，NE=，
|故小球经过的路程为：+++++=6[p|
|故答案为：6，6．
|点评|本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角 |
|形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理 |
|来确定小球经过的路程，是一道综合试题，属于难题．
14、（2013o钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动
点，则PB+PE的最小值是　10　．
|考点 |轴对称-最短路线问题；正方形的性质．3718684
|分析 |由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短|
|可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利 |
|用勾股定理求出即可．
|解答 |解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
|∵四边形ABCD是正方形，
|∴B、D关于AC对称，
|∴PB=PD，
|∴PB+PE=PD+PE=DE．
|∵BE=2，AE=3BE，
|∴AE=6，AB=8，
|∴DE==10，
|故PB+PE的最小值是10．
|故答案为：10．
|点评 |本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是 |
|利用两点之间，线段最短的性质得出．
15、（2013o包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺
时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=　135　度．
|考点|勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．3718684
|分析|首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根|
|据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，进而得出答案．
|解答|解：连接EE′，
|∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， |
|∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，
|∴EE′=2，∠BE′E=45°，
|∵E′E2+E′C2=8+1=9，
|∴E′E2+E′C2=EC2，
|∴△EE′C是直角三角形，
|∴∠EE′C=90°，
|∴∠BE′C=135°．
|故答案为：135．
|点评|此题主要考查了勾股定理以及逆定理，根据已知得出△EE′C是直角三|
|角形是解题关键．
16、（2013o
德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，
下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是　①②④　（把你认为正确的都填上）．
|考点|正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
|分析|根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关|
|系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的|
|知识可以判断③的正确，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判|
|断④的正误．
|解答|解：∵四边形ABCD是正方形，
|∴AB=AD，
|∵△AEF是等边三角形，
|∴AE=AF，
|∵在R△ABE和R△ADF中，
|∴R△ABE≌R△ADF（HL），
|∴BE=DF，
|∵BC=DC，
|∴BC﹣BE=CD﹣DF，
|∴CE=CF，
|∴①说法正确；
|∵CE=CF，
|∴△ECF是等腰直角三角形，
|∴∠CEF=45°，
|∵∠AEF=60°，
|∴∠AEB=75°，
|∴②说法正确；
|如图，连接AC，交EF于点，
|∴AC⊥EF，且AC平分EF，
|∵∠CAD≠∠DAF，
|∴DF≠F，
|∴BE+DF≠EF，
|∴③说法错误；
|∴CE=CF=，
|设正方形的边长为a，
|在R△ADF中，
|a2+（a﹣）2=4，
|则a2=2+，
|正方形ABCD=2+，
|④说法正确，
|故答案为①②④．
|点评|本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握 |
|全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有 |
|一点麻烦．
17、（2013o烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFB也是正方形，
以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为　4π　．
|考点|正方形的性质；整式的混合运算．
|分析|设正方形EFB的边长为a，表示出CE、A，然后根据阴影部分的面积|
|=扇形ABC+正方形EFB+△CEF﹣△AF，列式计算即可得解．
|解答|解：设正方形EFB的边长为a，则CE=4﹣a，A=4+a，
|阴影部分的面积=扇形ABC+正方形EFB+△CEF﹣△AF
|=+a2+a（4﹣a）﹣a（4+a）
|=4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2
|故答案为：4π．
|点评|本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，扇形的面积计算，引 |
|入小正方形的边长这一中间量是解题的关键．
18、（2013四川南充，14，3分）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC,AE
=1，连接BE，则anE=_____________.
19、(2013年武汉)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交
BD于，连接BE交A于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是
20、（绵阳市2013年）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，
M、N、分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼
出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若△OM的面积为1，则“飞机”的面积为
［解析］连接AC，四边形ABCD是正方形，
AC⊥BD，E、F分别BC、CD的中
点，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰直角三角形，直线AC是△EFC底边上的高所在直
线，根据等腰三角形“三线合一”，AC必过EF的中点，点A、O、和C在同一条直线上，O
C=OB=OD，OC⊥OB，F是△DCO的中位线，O=C= OC,
M、N分别是OB、OD的中点，OM=BM=
OB，ON=DN=
OD，O=OM=BM=ON=DN=
BD，等腰直角三角形OM的面积为1，OMoO=OM2=1，OM=,BD=4
OM=4,2AD2=
BD2=32,AD=4,图2中飞机面积图1中多边形ABEFD的面积，飞机面积=正方形ABCD面积-
三角形CEF面积=16-2=14。
21、(2013年南京) 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分
(ABC，P是BD上一点，过点P作PM(AD，PN(CD，垂
足分别为M、N。
(1) 求证：(ADB=(CDB；
(2) 若(ADC=90(，求证：四边形MPND是正方形。
证明：(1) ∵BD平分(ABC，∴(ABD=(CBD。又∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD ( △CBD。∴(ADB=(CDB。
(2) ∵PM(AD，PN(CD，∴(PMD=(PND=90(。
又∵(ADC=90(，∴四边形MPND是矩形。
∵(ADB=(CDB，PM(AD，PN(CD，∴PM=PN。
∴四边形MPND是正方形。
22、（2013o鄂州）如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点．
（1）求证：△ADE≌△ABF．
（2）求△AEF的面积．
|考点|正方形的性质；全等三角形的判定与性质．3718684
|分析|（1）由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E|
|、F分别为DC、BC中点，得出DE=BF，进而证明出两三角形全等；
|（2）首先求出DE和CE的长度，再根据△AEF=正方形ABCD﹣△|
|ADE﹣△ABF﹣△CEF得出结果．
|解答|（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
|∴AB=AD，∠=90°，DC=CB，
|∵E、F为DC、BC中点，
|∴DE=DC，BF=BC，
|∴DE=BF，
|∵在△ADE和△ABF中，
|∴△ADE≌△ABF（A）；
|（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，
|且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2，
|∴△AEF=正方形ABCD﹣△ADE﹣△ABF﹣△CEF
|=4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2
|点评|本题主要考查正方形的性质和全等三角形的证明，解答本题的关键 |
|是熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理，此题难度不 |
23、（2013o毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且D
E=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　A　 点，按顺时针方向旋转　90　 度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
|考点：|旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
|专题：|证明题．
|分析：|（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“A”易 |
|证得△ADE≌△ABF；
|（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90° |
|，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时 |
|针方向旋转90 度得到；
|（3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋 |
|转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后 |
|根据直角三角形的面积公式计算即可．
|解答：|（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
|∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
|而F是DCB的延长线上的点，
|∴∠ABF=90°，
|在△ADE和△ABF中
|∴△ADE≌△ABF（A）；
|（2）解：∵△ADE≌△ABF，
|∴∠BAF=∠DAE，
|而∠DAE+∠EBF=90°，
|∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，
|∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； |
|故答案为A、90；
|（3）解：∵BC=8，
|在R△ADE中，DE=6，AD=8，
|∴AE==10，
|∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到， |
|∴AE=AF，∠EAF=90°，
|∴△AEF的面积=AE2=×100=50（平方单位）．
|点评：|本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心 |
|的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考 |
|查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
24、（2013o黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥
CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．
|考点|正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
|专题|证明题．
|分析|过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，根据题干条件证 |
|明出AP=MF，PM=ME，进而证明△APM≌△FME，即可证明出AM=EF．
|解答|证明：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，
|∵四边形ABCD是正方形，
|∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，
|∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
|∵在△APM和△FME中，
|∴△APM≌△FME（A），
|∴AM=EF．
|点评|本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握 |
|全等三角形的判定定理以及矩形的性质等知识，此题正确作出辅助 |
|线很易解答．
25、（2013鞍山）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=B
（1）求证：CE=CF；
（2）若点在AD上，且∠CE=45°，则E=BE+D成立吗？为什么？
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题；探究型．
分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠CE=45°所以可得∠
CE=∠CF，故可证得△EC≌△FC，即E=F=D+DF．又因为DF=BE，所以可证出E=BE+D成
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（A）．
∴CE=CF．（3分）
（2）解：E=BE+D成立．（4分）
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，（5分）
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，（6分）
又∠CE=45°，∴∠CF=∠CE=45°．
∵CE=CF，∠CE=∠CF，C=C，
∴△EC≌△FC（A）．
∴E=F．（7分）
∴E=DF+D=BE+D．（8分）
点评：本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想
，在第二问中也是考查了通过全等找出和E相等的线段，从而证出关系是不是成立．　
26、（2013o铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接
DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
|考点|矩形的判定；正方形的判定．3718684
|分析|（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进|
|而理由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
|（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的|
|判定得出即可．
|解答|（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
|∴四边形AEBD是平行四边形，
|∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
|∴AD⊥BC，
|∴∠ADB=90°，
|∴平行四边形AEBD是矩形；
|（2）当∠BAC=90°时，
|理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
|∴AD=BD=CD，
|∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
|∴矩形AEBD是正方形．
|点评|此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的 |
|性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．
27、（2013o包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个
动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作F⊥BC于点，求证：C=B．
|考点|相似形综合题．3718684
|分析|（1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同|
|高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
|（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在|
|直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；
|（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FC是等腰直角三|
|角形，易证△EF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得|
|解答|（1）解：∵=，
|∵四边形ABCD是正方形，
|∴AD∥BC，AD=BC，
|∴△CEF∽△ADF，
|（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
|又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
|∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FC|
|D+∠CDF，
|∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
|在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，
|∴AF=OA．
|（3）证明：连接OE．
|∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．
|∴点O是BD的中点．
|又∵点E是BC的中点，
|∴OE是△BCD的中位线，
|∴OE∥CD，OE=CD，
|∴△OFE∽△CFD．
|又∵F⊥BC，CD⊥BC，
|∴F∥CD，
|∴△EF∽△ECD，
|在直角△FC中，∵∠CF=45°．
|又∵CD=BC，
|点评|本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与 |
|性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．
28、（2013o曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点
A作A∥CF交DE于点．
（1）求证：△DCF≌△AD．
（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求inα的值．
|考点|正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
|分析|（1）根据正方形的性质求出AD=DC，∠ADC=90°，根据垂直的定义求 |
|出∠CFD=∠CF=90°，再根据两直线平行，内错角相等求出∠AD=∠CF=|
|90°，从而得到∠AD=∠CFD，再根据同角的余角相等求出∠AD=∠DCF，|
|然后利用“角角边”证明△DCF和△AD全等即可；
|（2）设正方形ABCD的边长为2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求|
|出DE，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边求出∠AD的正弦，即为α|
|解答|（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，
|∵CF⊥DE，
|∴∠CFD=∠CF=90°，
|∵A∥CF，
|∴∠AD=∠CF=90°，
|∴∠AD=∠CFD，
|又∵∠AD+∠CDE=∠ADC=90°，
|∠DCF+∠CDE=90°，
|∴∠AD=∠DCF，
|∵在△DCF和△AD中，
|∴△DCF≌△AD（AA）；
|（2）设正方形ABCD的边长为2a，
|∵点E是AB的中点，
|∴AE=×2a=a，
|在R△ADE中，DE===a，
|∴in∠AD===，
|∵∠AD=∠DCF=α，
|∴inα=．
|点评|本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函 |
|数，同角的余角相等的性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握各图 |
|形的性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．
29、（2013o天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的格中，点A、B、C均落
在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　6　；
（Ⅱ）若四边形DEF是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的格中，
用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）　取格点P，连接P
C，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与
AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点，F，则四边形DEF即为所求
|考点|作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．3718684
|专题|计算题．
|分析|（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；
|（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接P|
|C，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过 |
|点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线， |
|与CB相交得点，F，则四边形DEF即为所求
|解答|解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；
|（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q |
|，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，
|与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点，F，|
|则四边形DEF即为所求．
|故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，|
|与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相|
|交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点，F，则四边|
|形DEF即为所求
|点评|此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质， |
|作出正确的图形是解本题的关键．
30、（2013o绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点
D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条
线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
|考点|四边形综合题．
|分析|（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用A即可证明△BAD≌△CAF， |
|从而证得CF=BD，据此即可证得；
|（2）同（1）相同，利用A即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，|
|即可得到CF﹣CD=BC；
|（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的 |
|性质即可求得DF的长，则OC即可求得．
|解答|证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
|∴∠ACB=∠ABC=45°，
|∴AB=AC，
|∵四边形ADEF是正方形，
|∴AD=AF，∠DAF=90°，
|∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，
|∴∠BAD=∠CAF，
|则在△BAD和△CAF中，
|∴△BAD≌△CAF（A），
|∴BD=CF，
|∵BD+CD=BC，
|∴CF+CD=BC；
|（2）CF﹣CD=BC；
|（3）①CD﹣CF=BC
|②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
|∴∠ACB=∠ABC=45°，
|∴AB=AC，
|∵四边形ADEF是正方形，
|∴AD=AF，∠DAF=90°，
|∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，
|∴∠BAD=∠CAF，
|∵在△BAD和△CAF中，
|∴△BAD≌△CAF（A），
|∴∠ACF=∠ABD，
|∵∠ABC=45°，
|∴∠ABD=135°，
|∴∠ACF=∠ABD=135°，
|∴∠FCD=90°，
|∴△FCD是直角三角形．
|∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．
|∴DF=AD=4，O为DF中点．
|∴OC=DF=2．
|点评|本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三 |
|角形全等是关键．
31、（2013济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．
MP与NQ是否相等？并说明理由．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠
ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；
（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．
解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF（AA），
（2）解：MP与NQ相等．
理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，
则与（1）的情况完全相同．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条
边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相
等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．　
32、（2013o常德）如图，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆，∠ADE=90°，延长ED到
C使DC=AD，以AD，DC为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE交AC于点H．求证：
（1）AC是⊙O的切线．
（2）HC=2AH．
|考点|切线的判定；等腰直角三角形；正方形的性质．
|专题|证明题．
|分析|（1）根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径，再根据等腰直角|
|三角形得到∠EAD=45°，根据正方形得到∠DAC=45°，则∠EAC=90°，然 |
|后根据切线的判定定理即可得到结论；
|（2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，则AH：CH=AB：ED，根据等腰直角三角 |
|形和正方形的性质易得EC=2AB，则AH：CH=1：2．
|解答|证明：（1）∵∠ADE=90°，
|∴AE为⊙O的直径，
|∵△ADE为等腰直角三角形，
|∴∠EAD=45°，
|∵四边形ABCD为正方形，
|∴∠DAC=45°，
|∴∠EAC=45°+45°=90°，
|∴AC⊥AE，
|∴AC是⊙O的切线；
|（2）∵四边形ABCD为正方形，
|∴AB∥CD，
|∴△ABH∽△CEH，
|∴AH：CH=AB：ED，
|∵△ADE为等腰直角三角形，
|∴AD=ED，
|而AD=AB=DC，
|∴EC=2AB，
|∴AH：CH=1：2，
|即HC=2AH．
|点评|本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的 |
|切线．也考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角形 |
|相似的判定与性质．
33、（2013o衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分
别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．
|考点|正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股 |
|定理；相似三角形的判定与性质．3718684
|分析|（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△B|
|CF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
|（2）设AP=，则PD=4﹣，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列|
|出关于的一元二次函数，求出DM的最大值．
|解答|解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
|又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
|∴∠ABE=∠BCF，
|∵在△ABE和△BCF中，
|∴△ABE≌△BCF（AA），
|∴AE=BF，
|∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
|（2）设AP=，则PD=4﹣，
|由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
|∴△PDM∽△BAP，
|∴DM==﹣2，
|当=2时，DM有最大值为1．
|点评|本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握 |
|全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度 |
|，是一道不错的中考试题．
34、（2013o衡阳附加题不算分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31m．现要求：在
一边长为30m的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些
装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求
？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；
（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要
求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字
来说明你的理由．
|考点|作图—应用与设计作图．
|专题|作图题．
|分析|（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角|
|线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等 |
|通过计算看是否适合；
|（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个 |
|矩形的对角线能辐射的最大直径为31，看能否把三个装置放在三个 |
|长方形的对角线的交点处．
|解答|解：（1）如图1，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转|
|发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，
|此时，每个小正方形的对角线长为 ，每个转发装置都能完全 |
|覆盖一个小正方形区域，
|故安装4个这种装置可以达到预设的要求；
|（2）（画图正确给1分）
|将原正方形分割成如图2中的3个矩形，
|使得BE=OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，
|则AE=，，
|即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求．
|点评|考查应用与设计作图；解决本题的关键是先利用常见图形得到合适 |
|的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相 |
|类似的解．
35、（2013o呼和浩特）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠
AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，
（1）的值为　　；
（2）求证：AE=EP；
（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若
不存在，请说明理由．
|考点|正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．371|
|分析|（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证 |
|得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；
|（2）在BA边上截取B=NE，连接E，根据角角之间的关系得到∠AE=|
|∠ECP，由AB=CB，B=BE，得A=EC，结合∠AE=∠CEP，证明△AE≌△ECP|
|，于是结论得出；
|（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条 |
|件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可 |
|解答|（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
|∴∠B=∠D，
|∵∠AEP=90°，
|∴∠BAE=∠FEC，
|在R△ABE中，AE==，
|∵in∠BAE==in∠FEC=，
|（2）证明：在BA边上截取B=NE，连接E，
|∵∠B=90°，B=BE，
|∴∠BE=45°，
|∴∠AE=135°，
|∵CP平分外角，
|∴∠DCP=45°，
|∴∠ECP=135°，
|∴∠AE=∠ECP，
|∵AB=CB，B=BE，
|∴AB﹣B=BC﹣BE，
|即：A=EC，
|易得∠AE=∠CEP，
|∵在△AE和△ECP中，
|∴△AE≌△ECP（AA），
|∴AE=EP；
|（3）答：存在．
|证明：作DM⊥AE于AB交于点M，
|则有：DM∥EP，连接ME、DP，
|∵在△ADM与△BAE中，
|∴△ADM≌△BAE（AA），
|∴MD=AE，
|∵AE=EP，
|∴MD=EP，
|∴四边形DMEP为平行四边形．
|点评|此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以 |
|及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的 |
|关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
36、（2013泰安）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（
0，﹣3），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=a+b的图象经过点C，一次函数y=
a+b的图象经过点A，
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，﹣3），再将C点坐标代入反比例
函数y=中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次
函数y=a+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；
（2）设P点的坐标为（，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于
的方程，解方程求出的值，再将的值代入y=﹣，即可求出P点的坐标．
解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），
∵四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（5，﹣3）．
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴﹣3=，解得=﹣15，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
∵一次函数y=a+b的图象经过点A，C，
∴一次函数的解析式为y=﹣+2；
（2）设P点的坐标为（，y）．
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴×OAo||=52，
∴×2||=25，
解得=±25．
当=25时，y=﹣=﹣；
当=﹣25时，y=﹣=．
∴P点的坐标为（25，﹣）或（﹣25，）．
点评：本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法
求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的
37、（2013o资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC
，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，
以cm/速度沿AC向点C运动，运动时间为（＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，之间的关系；若不能，请说明
|考点|四边形综合题
|分析|（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
|（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间=a，进而得|
|到CM=a=CD，所以该命题为真命题；
|②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．
|解答|（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
|∴∠ADF=∠DCN．
|在△ADF与△DNC中，
|∴△ADF≌△DNC（AA），
|∴DF=MN．
|（2）解：①该命题是真命题．
|理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD．
|∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
|∴AE=EC，则AE=AC=a，
|则CM=1o=a=CD，
|∴点M为边CD的三等分点．
|②能．理由如下：
|易证AFE∽△CDE，∴，即，得AF=．
|易证△MND∽△DFA，∴，即，得ND=．
|∴ND=CM=，AN=DM=a﹣．
|若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：
|（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，
|∴AF=DM，即=，得=0，不合题意．
|∴此种情形不存在；
|（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，
|∴=a，此时点F与点B重合；
|（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：
|易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣；
|又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=．
|∴=a，此时点F与点C重合．
|综上所述，当=a或=a时，△MNF能够成为等腰三角形．
|点评|本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方 |
|形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点|
|的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关|
|系；（3）运用分类讨论的数思想，避免漏解．
38、（2013杭州压轴题）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边
上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成
轴对称，设它们的面积和为1．
（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为2，CF=，．
①求y关于的函数解析式和自变量的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．
考点：四边形综合题．
分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论；
（2）本问关键是求出y与之间的函数解析式．
①首先分别用表示出1与2，然后计算出y与的函数解析式．这是一个二次函数，求出
其最大值；
②注意中心对称、轴对称的几何性质．
解答：（1）证明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；
而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，
则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．
（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CPF，则．
而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=AB=，
又∵P为对称中心，则AP=CP=，
如图，过点P作PH⊥AB于点H，P⊥BC于点，
P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理P=2．
△APE==×2×=，
∵阴影部分关于直线AC轴对称，
∴△APE与△APN也关于直线AC对称，
则四边形AEPN=2△APE=；
而2=2△PFC=2×=2，
∴1=正方形ABCD﹣四边形AEPN﹣2=16﹣﹣2，
∴y===+﹣1．
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，
∴2≤≤4．
令=a，则y=﹣8a2+8a﹣1，当a==，即=2时，y取得最大值．
而=2在的取值范围内，代入=2，则y最大=4﹣2﹣1=1．
∴y关于的函数解析式为：y=+﹣1（2≤≤4），y的最大值为1．
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，
而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，
则EB=BF，即AE=FC，
∴=，解得=，
代入=，得y=﹣2．
点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式
与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多
，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与的函数解析式，在计算几何图形面积时
涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．　
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（第12题图）
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