预备知识：线性代数1、线性方程组2、逆矩阵3、特征值与特征向量东华大学
验MATLAB数学实1、线性方程组? a11 x1 ? a12 x2 ??? a1n xn ? b1 ? a x ? a x ??? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ?? ? ?am1 x1 ? am2 x2 ??? amn xn ? bm ?记为 A x = b 其中A =(aij)m×n x = (x1, …,xn)’, b = (b1, …, bm)’东华大学
验 MATLAB数学实Ax = 0 为齐次的线性方程组对于线性方程组 Ax = b：?若秩(A) ? 秩(A,b)，则无解；?若秩(A) = 秩(A,b) = n, 存在唯一解；?若秩(A) = 秩(A,b) & n, 存在无穷多解；通解是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系与 Ax=b 的一个特解之和。东华大学
验 MATLAB数学实2、逆矩阵?定义：方阵A称为可逆的，如果存在方阵B，使A B = B A = E，记 B = A-1方阵A可逆的充分必要条件:?A??0 ?求逆矩阵方法： ? A-1 =A*/|A| 这里A*为A的伴随矩阵 ? （A E） 行变换 （E A-1）东华大学
验 MATLAB数学实3、特征值与特征向量?对于方阵A，若存在数?和非零向量x使Ax=?x，则称?为A的一个特征值，x为A 的一个对应于特征值?的特征向量。 ?特征值计算归结为: 特征多项式|A - ?E|=0的求根。对应于特征值? 的特征向量是齐次线性方程组(A - ?E)x = 0的 所有非零解。东华大学
验 MATLAB数学实3.2 矩阵代数的MATLAB函数1、矩阵运算符2、特殊矩阵的生成 3、矩阵处理4、行列式、逆矩阵和特征值东华大学
验MATLAB数学实1、矩阵运算符A’ A+B与A-B k*A或A*k A.^k k+A与k-A 左除A\B 右除B/A矩阵共轭转置,非共轭转置用A.’ 加与减 数乘矩阵 k.*A或A.*k 矩阵乘方 数与矩阵加减k*ones(size(A))+A 为AX=B的解 为XA=B的解东华大学 验 MATLAB数学实A’与A.’的区别：&& a=[1+2i 2 3;4 5 6];a.'ans = && a=[1+2i 2 3;4 5 6];a' ans = 1.0000 - 2.0 2.0 5.01.0000 + 2.02.0 5.0东华大学
验MATLAB数学实2、特殊矩阵的生成zeros(m,n) 生成m行n列的零矩阵;ones(m,n) 生成m行n列的元素全为1的阵;eye(n)生成n阶单位矩阵;rand(m,n) 生成m行n列[0,1]上均匀分布随机 数矩阵东华大学
验 MATLAB数学实3、矩阵处理trace(A) 返回矩阵A的迹(对角线元素的和)diag(A)当A是矩阵,返回A的对角线元素构成的向量;diag(X)当X是向量,返回由X的元素构成的对角矩阵.tril(A)triu(A)提取矩阵A的下三角部分提取矩阵A的上三角部分flipud(A)fliplr(A)矩阵上下翻转矩阵左右翻转东华大学 验 MATLAB数学实4、行列式、逆矩阵和特征值rank(A) 返回A的秩；det(A)inv(A)返回方阵A的行列式的值；返回A的逆矩阵。[V, D]=eig(A)返回方阵A的特征值和特征向量。其中D为A的特征值构成的对角阵，每个特征值对 应的V的列为属于该特征值的一个特征向量。若东华大学
验 MATLAB数学实只有一个返回变量，则得到特征值构成的列向量。? 4 1 ?1? ? ? 求 ? 3 2 ? 6 ? 的行列式、逆、特征值、特征向量。 ?1 ? 5 3 ? ? ?解：&& a=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];det(a),inv(a),[v,d]=eig(a) ans = -94 ans = 0.3 0.0426 逆 0.3 -0.9 -0.2行列式的值 特征向量，已单位化v= 0.9 -0.3 -0.8 -0.8 0.6170 d= -3. 0 3.6760 0 特征值 0 0 8.3766 东华大学 MATLAB数学实验3.3 计算实验：线性方程组求解1、矩阵除法2、线性方程组的通解 3、方阵的相似对角化及应用东华大学
验MATLAB数学实1、矩阵除法(1) 当A为方阵，A\B与inv(A)*B基本一致； (2) 当A不是方阵，除法将自动检测： ? 若方程组无解,除法给出最小二乘意义上的 近似解，即使向量AX－B的长度达到最小； ? 若方程组有无穷多解，除法将给出一个具有 最多零元素的特解； ? 若为唯一解，除法将给出解。东华大学
验 MATLAB数学实例1、应用矩阵除法解下列方程组A=[1 2;3 -2]; ? x ? 2y ? 1 ? ? B=[1;4];x=A\B ％求得唯一解 3x ? 2 y ? 4 ? ?? x ? 2y ? z ? 1 ? ?3x ? 2 y ? z ? 4东华大学 ? A=[1 2 1;3 -2 1]; ? B=[1;4];x=A\B ％求得一特解MATLAB数学实 验? x ? 2y ? 1 ?3x ? 2 y ? 4 ? ?x ? y ? 2 ??A=[1 2;3 -2:1 -1]; ?B=[1;4;2];x=A \B 求得一最小二乘近似解? A=[1 2;-2 -4]; ?B=[1;-2];x=A\B 不能直接求解? x ? 2y ? 1 ? ?? 2 x ? 4 y ? ?2增加方程0x+0y=0东华大学 ? A=[1 2;-2 -4;0 0]; ?B=[1;-2;0];x=A\B 仍可求一近似特解MATLAB数学实 验2、线性方程组通解? x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 1 ? 例2、求 ? ? x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 1 ?2 x ? 2 x ? x ? x ? ?1 2 3 4 ? 1的通解解： 在无穷多解情况下可用三种方法求通解 ●用rref化为行最简形以后求解； ●用除法求出一个特解，再用null求得一个 齐次组的基础解系； ●用符号工具箱中的solve求解。东华大学
验 MATLAB数学实? a=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1]; b=[1;1;-1]; ?[rank(a),rank([a,b])] 秩相等且小于4， ans = 说明有无穷多解 2 2? rref([a,b]) ans = 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0％方法一（行最简形） 0 1 0通解：x1=x2; x3=x4+1;东华大学 验MATLAB数学实? x0=a\b, x=null(a)x0 = 0 0 1 0 x= -0.1 -0.0一个特解％方法二(基础解系)基础解系通解如下：? x1 ? ? ? 0.7071 ? ? 0 ? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? ? 0.7071 ? ? 0 ? ? 0? ? x ? ? k1 ? ? ? k 2 ? 0.7071 ? ? 1 ? ? 0 ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.7071 ? 0 ? ? ?x ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 4?0 0 0.1东华大学
验MATLAB数学实3、方阵的相似对角化及应用如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则 必存在正交矩阵P, 使得 P ?1 AP ? TT是A的特征值构成的对角矩阵，P的列向量是对应的n个正交特征向量若令[P,T]=eig(A)，则有 P ?1 AP ? TP：正交矩阵T：对角阵东华大学 验 MATLAB数学实?0 0 1? ? ? 例3、设 ? 4 / 1 2 / 1 4 / 1? ? A 用矩阵P将A相似 n 并求 ? 1 0 0 ? 对角化， lim A n ?? ? ?解：&& A=[1 0 0;1/4 1/2 1/4 ;0 0 1];[P,T]=eig(A)? P AP ? T ? A ? PTP ? A ? ( PTP )n?1?1?1 n? ( PTP ) ? ( PTP ) ? ? ? ( PTP ) ? PT Pn?1?1?1?1?1 ? ? ? ?1 n n ?1 ? lim A ? P(limT ) P ? P? 1 ? P ? 0? ? ?&& P*diag([1,1,0])*inv(P)东华大学
验 MATLAB数学实1、投入产出分析 设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为 部门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部 对部门i的需求，fj为部门j新创造的价值。那 么各经济部门总产出应满足下列关系式：消耗平衡方程组： x j ? x jn?ci ?1nij? fjj=1,2,…,n分配平衡方程组： xi ?东华大学 ?c xj ?1 ij验j对所有部门的消耗j? dii =1,2,…,n所有部门对i的消耗MATLAB数学实令 C =（cij）， X = (x1, …, xn)' , D = (d1, …, dn)’， F= (f1, …, fn)’ 则 X=CX+D；令 A = E－C，E为单位矩阵，则 AX = D A：列昂杰夫C：直接消耗矩阵? x1 ? B=C ? ? ? ?x2? ? ? ? ? ? xn ?（Leontief）矩阵B：各部门间的投入产出关系， 称为投入产出矩阵。Y = [1,1,…,1] B 表示各部门的总投入，称为投 入向量。 新创造价值向量：F=X CY '东华大学
验 MATLAB数学实3.4 建模实验：投入产出分析和基因遗传1、投入产出分析2、基因遗传东华大学
验MATLAB数学实例4 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一 条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费 及0.25元的运输费; 生产一元钱的电力，发电厂要支 付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费; 创收一 元钱的 运输费 , 铁路要 支付 0.55元的煤 费和 0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金额50000 元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对 地方铁路没有需求。问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界 需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创 造多少新价值?东华大学
验 MATLAB数学实解：这是一个投入产出分析问题。设x1为本周内煤 矿总产值，x2为电厂总产值, x3为铁路总产值, 则煤 煤 电力 铁路 0 0.25 0.25电力 0.65 0.05 0.05铁路 0.55 0.1 0外部需求? 0 0.65 0.55? ? ? 直接消耗矩阵C= ?0.25 0.05 010? . 东华大学 ?0.25验 MATLAB数学实 0 ? 0.05
? ?? x1 ? ? ? 各部门产出X = x ? 2? ? ? ? x3 ? 0 ? 50000? ? ? 外部需求 D = ? 25000? ? 0 ? ? ?则原方程为 X=CX+D? x1 ? (0 ? x1 ? 0.65x2 ? 0.55x3 ) ? 50000 ? . ? 即： x2 ? (0.25x1 ? 0.05x2 ? 010 x3 ) ? 25000 ? x ? (0.25x ? 0.05x ? 0 ? x ) ? 0 1 2 3 ? 3&& c=[0 0.65 0.55;0.25 0.05 0.1;0.25 0.05 0]; && D=[;0];A=(eye(3)-c); && X=A\D；vpa(X,6) 总产出向量 ans = [ 102087.] [ 56163.0] [ 28330.0]东华大学
验 MATLAB数学实2、基因遗传染色体遗传中，后代是从父母体的基因对中各继承一 个基因，形成自己的基因型。如果所考虑的遗传特征 是由两个基因A和a控制，那么就有三种基因型，概 率 AA Aa aa AAAA 1 0 0 合 AA-Aa AAaa 1/2 0 1/2 1 0 0 并 AaAa 1/4 1/2 1/4 Aaaa 0 1/2 1/2 Aaaa 0 0 1后 代上表给出父母基因型的所有可能组合使其后代形成每 种基因对的概率。东华大学
验 MATLAB数学实例5、设金鱼某种遗传病染色体的正常基因为A，不正 常基因为a, 那么AA，Aa，aa分别表示正常金鱼，隐性 患者，显性患者。设初始分布为90%正常金鱼，10%的 隐性患者，无显性患者。考虑下列两种配种方案对后 代该遗传病基因型分布的影响 方案一：同类基因结合，均可繁殖； 方案二：显性患者不允许繁殖，隐性患者必须与正 常金鱼结合繁殖东华大学
验MATLAB数学实解 设初始分布X(1)=(0.9 0.1 0)’,? x1( n ) ? ? (n) ? 第n代分布为X(n)= ? x 2 ? ? x (n) ? ? 3 ?? 1 1/ 4 0? ? ? A = ? 0 1/ 2 0? ? 0 1/ 4 1 ? ? ?? 1 1/ 2 0? ? ? B= ? 0 1 / 2 0 ? ? 0 0 0? ? ?则 X(n) = An-1X(1) X(n) = Bn-1X(1) 分别是 两种情况 下第n代的基因型分布东华大学
验 MATLAB数学实3.5 扩展实验：病态方程组和矩阵分解东华大学
验MATLAB数学实3.6 习题东华大学
验MATLAB数学实
高等数学实验第三章―汇集和整理大量word文档,专业文献,应用文书,考试资料,教学教材,办公文档,教程攻略,文档搜索下载下载,拥有海量中文文档库,关注高价值的实用信息,我们一直在努力,争取提供更多下载资源。高等数学实验答案_百度文库
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