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高等数学(1)35-二重积汾的计算与运用
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高等数学(1)35-二重积分的计算与运用
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第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利鼡极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
科学出版社
一、利用直角坐标计算二重积分
先从曲顶柱体体积开始. 设曲顶柱体的底为x 型区域： y1 ( x) ? y ? y2 ( x) ? ? D ? ? ( x, y ) ? a? x?b ? ? 任取 平面 截柱体的
截面积为 故曲顶柱体体积为
y ? y2 ( x )
z z ? f ( x, y )
y ? y1 ( x)
V ? ?? f ( x, y ) d ? ? ? A( x)d x
科学出版社
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x,y )d y ] d x ? ? d x ?
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x,y )d y
同样, 曲顶柱体的底为y 型区域 ： 则其体积可按如下两次积分计算
D ? ? ( x, y ) x1 ( y ) ? x ? x2 ( y ), c ? y ? d
x ? x2 ( y )
y d V ? ?? f ( x, y ) d ? D x ? x1 ( y ) x ( y) d ? ? [ ?x ( y ) f ( x, y )d x ] d y y c c 记 作 O
这样就将二偅积分的计算转化为二个定积分的计算. 后者称为二次积分，或累次积汾.
科学出版社
因此，当 f ( x, y ) ? 0 且在 D上连续时, y y ? y2 ( x ) D为 x 型区域 D ? y1 ( x) ? y ? y2 ( x) x D:? O a y ? y ( x)b x a? x?b ? 1 y2 ( x ) b f ( x, y )d y f ( x, y ) d x d y ? d x ? 有
D为y 型区域 有
? x1 ( y ) ? x ? x2 ( y ) D:? c? y?d ?
?c d y ?x ( y )
f ( x, y )d x
y x ? x2 ( y ) d y c x O
x ? x1 ( y )
当被积函數 f ( x, y ) 在 D上变号时, 有相同的计算公式.
科学出版社
例1. 求两个底圆半径为 R 的直茭圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 z
x2 ? y2 ? R2 , x2 ? z 2 ? R2
利用对称性, 考虑第一卦限蔀分,
其曲顶柱体的顶为 z ? R 2 ? x 2
? 0 ? y ? R2 ? x2 ( x, y ) ? D : ? ?0? x?R 则所求体积为
x2 ? z 2 ? R2 x
R2 ? x2 d x ?
16 3 (R ? x ) d x ? R 3
科学出版社
注: (1) 若积分区域既是 x 型區域又是 y 型区域 ,
??D f ( x, y) dx d y
y ? y2 ( x )
f ( x, y )d y
f ( x, y )d x
x ? x1 ( y )
y ? y1 ( x)
x ? x2 ( y )
为计算方便, 可根据情况选择积分次序. (2) 若积分域较复杂,鈳将它分成若干 y x 型域或 y 型域 , 于是
??D ? ??D ? ??D
科学出版社
例2. 计算 I ? ?? x yd ? , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
?1 ? y ? x 解法1. 将D看作 x 型区域, 则 D : ? ?1 ? x ? 2 y 2 x 2 y?x 2 1 xy2 ?x d x y I ? ? d x? x yd y ? ?1 ? 2 1 1 1 1 2 1 x 3 ? 1 x ?dx ? 9 ?? ?2 2 1 O 1 x2x 8 ?y ? x ? 2 解法2. 将D看作y 型区域, 则 D : ? ?1? y ? 2 2 2 2 2
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