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数据抽象和问题求解：C++语言描述（第四版）
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作　者：（美）（Carrano, F.M.）著；, 译
ISBN：5出版时间：页数：706
包装：胶版纸开本：小16开字数：
《数据抽象和问题求解：C++语言描述（第四版）》简介：本书主要论述数据抽象和其他解决问题的工具，是计算机科学的第二门课。本书旨在使学生切实了解和掌握数据抽象、面向对象编程及其他主流的问题解决技术。本书分两部分。第I部分是问题解决技术，主要介绍了编程和软件工程的主要问题，分析了递归、数据抽象和链表。第II部分用ADT解决问题。这部分主要介绍了栈、队列、树、表、堆和优先队列的基本ADT，还讨论了数量阶分析和大O表示法，规范了以前讨论的算法效率。第II部分还包括平衡查找树（2-3树、2-3-4树、红-黑树和AVL树）和散列等高级主题，并用它们实现表。最后分析外部直接访问文件的数据存储。本书列举了大量实例，范围很广，既可用作初级数据结构教材，也可用作高级编程和问题解决教材。
《数据抽象和问题求解：C++语言描述（第四版）》作者简介：　　FrankM.Carrano：Syracuse大学博士毕业，现任RhodeIsland大学计算科学系教授。主要研究方向为数据投影象技术、教育软件及多媒体技术。编写过多部著作，如DataAbstractionandProblemSolvingwithJava：WallsandMirrors和IntermediateProblemSolvingandDataStructures：WallsandMirrors。译者，郭平，女，1962年生，硕士，教授，毕业于湖南大学。一直从事计算机网络与通信高级程序设计、网络系统安全方面的教学、科研和开发工作；取得多项科研、学术成果，在核心期刊、国际国内会议上发表论文30余篇。编著出版教材和译著5本，获军队科技进步奖励3项。主要研究领域：计算机网络系统设计、网络性能分析、Web应用系统。
《数据抽象和问题求解：C++语言描述（第四版）》目录：第1部分
问题解决技术第1章
编程原理与软件工程 31.1
问题求解与软件工程 31.1.1
问题求解的含义 31.1.2
软件的生命周期 41.1.3
优秀解决方案的含义 101.2
模块化设计 111.2.1
抽象与信息隐藏 111.2.2
面向对象的设计 131.2.3
自上而下的设计 141.2.4
一般设计原则 151.2.5
使用UML为面向对象的设计建模 151.2.6
面向对象方式的优点 171.3
关键编程问题 181.3.1
模块化 181.3.2
可修改 191.3.3
易用 211.3.4
防故障编程 211.3.5
风格 251.3.6
调试 301.4
小结 311.5
提示 321.6
自我测试题 321.7
练习题 331.8
编程问题 35第2章
递归：镜子 372.1
递归解决方案 372.1.1
递归值函数：n的阶乘 392.1.2
递归void函数：逆置字符串 432.2
计数 522.2.1
兔子繁殖(Fibonacci序列) 522.2.2
组织游行队伍 532.2.3
Spock的困惑 562.3
数组查找 572.3.1
查找数组的最大项 582.3.2
折半查找 592.3.3
查找数组中的第k个最小项 622.4
组织数据 642.5
递归与效率 692.6
小结 722.7
提示 722.8
自我测试题 732.9
练习题 732.10
编程问题 79第3章
数据抽象：墙 803.1
抽象数据类型 803.2
指定ADT 833.2.1
ADT列表 843.2.2
ADT有序表 883.2.3
设计ADT 893.2.4
公理 923.3
实现ADT 943.3.1
C++类 953.3.2
C++命名空间 1023.3.3
基于数组的ADT列表实现 1043.3.4
C++异常 1093.3.5
使用异常的ADT列表实现 1103.4
小结 1123.5
提示 1133.6
自我测试题 1133.7
练习题 1143.8
编程问题 116第4章
链表 1174.1
预备知识 1174.1.1
指针 1184.1.2
数组的动态分配 1234.1.3
基于指针的链表 1244.2
链表编程 1254.2.1
显示链表的内容 1264.2.2
从链表中删除指定的节点 1274.2.3
在链表的指定位置插入节点 1294.2.4
ADT列表的基于指针的实现 1334.2.5
比较基于数组的实现和基于引用的实现 1394.2.6
使用文件存储和恢复链表 1404.2.7
将链表传给函数 1434.2.8
递归地处理链表 1444.2.9
把对象作为链表的数据 1484.3
链表的各种变化 1484.3.1
循环链表 1484.3.2
虚拟头节点 1504.3.3
双向链表 1504.4
清单应用程序 1524.5
C++标准模板库 1564.5.1
容器 1574.5.2
迭代器 1574.5.3
标准模板库类list 1584.6
小结 1624.7
提示 1644.8
自我测试题 1654.9
练习题 1674.10
编程问题 169第5章
递归问题解决技术 1725.1
回溯 1725.1.1
八皇后问题 1725.1.2
使用STL类vector解决八皇后问题 1745.2
定义语言 1785.2.1
语法知识基础 1795.2.2
两种简单语言 1805.2.3
代数表达式 1825.3
递归和数学归纳法的关系 1895.3.1
factorial递归算法的正确性 1895.3.2
Hanoi塔的成本 1905.4
小结 1915.5
提示 1925.6
自我测试题 1925.7
练习题 1925.8
编程问题 195第2部分
使用抽象数据类型
解决问题第6章
抽象数据类型 2016.2
ADT栈的简单应用 2066.2.1
检查括号匹配 2066.2.2
识别语言中的字符串 2086.3
ADT栈的实现 2096.3.1
ADT栈的基本数组的实现 2096.3.2
ADT栈的基于指针的实现 2136.3.3
使用ADT列表的实现 2176.3.4
各种实现方式的比较 2216.3.5
标准模板库类stack 2216.4
应用：代数表达式 2236.4.1
计算后缀表达式 2236.4.2
中缀表达式与后缀表达式的等价转换 2246.5
应用：查找问题 2276.5.1
使用栈的非递归解决方案 2286.5.2
递归解决方案 2346.6
栈和递归的关系 2366.7
小结 2386.8
提示 2386.9
自我测试题 2386.10
练习题 2396.11
编程问题 242第7章
队列 2477.1
ADT队列 2477.2
ADT队列的简单应用 2497.2.1
读取字符串 2497.2.2
识别回文 2507.3
实现ADT队列 2517.3.1
基于指针的实现 2517.3.2
基于数组的实现 2567.3.3
使用ADT列表的实现 2617.3.4
标准模板库类queue 2637.3.5
实现的比较 2667.4
基于位置的ADT总览 2667.5
模拟应用 2677.6
小结 2757.7
提示 2757.8
自我测试题 2757.9
练习题 2767.10
编程问题 278第8章
类关系 2828.1
继承 2828.1.1
公有、私有和受保护的继承 2878.1.2
is-a、has-a和As-a关系 2888.2
虚函数和后期绑定 2908.3
友元 2978.4
ADT列表和有序表 2998.5
类模板 3048.6
重载运算符 3108.7
迭代器 3138.8
小结 3188.9
提示 3198.10
自我测试题 3198.11
练习题 3198.12
编程问题 323第9章
算法效率和排序 3259.1
确定算法效率 3259.1.1
算法的执行时间 3269.1.2
算法增率 3279.1.3
数量阶分析和大O表示法 3289.1.4
正确分析问题 3319.1.5
查找算法的效率 3329.2
排序算法及其效率 3339.2.1
选择排序 3339.2.2
起泡排序 3369.2.3
插入排序 3379.2.4
归并排序 3399.2.5
快速排序 3449.2.6
基数排序 3529.2.7
各种排序算法的比较 3549.2.8
标准模板库排序算法 3559.3
小结 3599.4
提示 3609.5
自我测试题 3609.6
练习题 3619.7
编程问题 363第10章
树 36610.1
术语 36610.2
ADT二叉树 37210.2.1
二叉树的遍历 37510.2.2
二叉树的表示 37810.2.3
ADT二叉树的基于指针的实现 38110.3
ADT二叉查找树 39310.3.1
ADT二叉查找树操作的算法 39710.3.2
ADT二叉查找树的基于指针的实现 40810.3.3
二叉查找树操作的效率 41610.3.4
树排序 41910.3.5
将二叉查找树保存到文件 41910.3.6
STL查找算法 42210.4
一般树 42410.5
小结 42610.6
提示 42610.7
自我测试题 42710.8
练习题 42810.9
编程问题 433第11章
表和优先队列 43511.1
ADT表 43511.1.1
选择实现 43911.1.2
ADT表的基于数组的有序实现 44411.1.3
ADT表的二叉查找树实现 44811.2
ADT优先队列：ADT表的变体 45111.2.1
堆 45411.2.2
ADT优先队列的堆实现 46211.2.3
堆排序 46411.3
STL中的表和优先队列 46611.3.1
STL关联容器 46611.3.2
STL的priority_queue类和堆算法 47411.3
小结 47711.4
提示 47811.5
自我测试题 47811.6
练习题 47911.7
编程问题 481第12章
表的高级实现 48312.1
平衡查找树 48312.1.1
2-3树 48412.1.2
2-3-4树 49912.1.3
红-黑树 50412.1.4
AVL树 50612.2
散列 51012.2.1
散列函数 51312.2.2
解决冲突 51512.2.3
散列的效率 52112.2.4
如何确立散列函数 52312.2.5
表遍历：散列的低效操作 52512.2.6
使用STL实现HashMap类 52512.3
按多种形式组织数据 52812.4
小结 53112.5
提示 53212.6
自我测试题 53212.7
练习题 53312.8
编程问题 535第13章
图 53613.1
术语 53613.2
将图作为ADT 53813.2.1
实现图 53913.2.2
使用STL实现Graph类 54113.3
图的遍历 54413.3.1
深度优先查找 54513.3.2
广度优先查找 54613.3.3
使用STL实现BFS类 54813.4
图的应用 55013.4.1
拓扑排序 55013.4.2
生成树 55213.4.3
最小生成树 55513.4.4
最短路径 55613.4.5
回路 56013.4.6
一些复杂问题 56313.5
小结 56313.6
提示 56413.7
自我测试题 56413.8
练习题 56513.9
编程问题 567第14章
外部方法 56914.1
了解外部存储 56914.2
排序外部文件的数据 57114.3
外部表 57714.3.1
确定外部文件的索引 57914.3.2
外部散列 58214.3.3
B-树 58414.3.4
遍历 59014.3.5
多索引 59314.4
小结 59414.5
提示 59414.6
自我测试题 59514.7
练习题 59514.8
编程问题 597附录A
C++基础 599附录B
ASCII字符代码 653附录C
C++头文件和标准函数 655附录D
数学归纳法 659附录E
标准模板库 663术语表 673自我测试题答案 690
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20.燃煤产生的烟气中的氮氧化物NOx（主要为NO、NO2）易形成污染，必须经脱除达标后才能排放。（1）用表示NO形成硝酸型酸雨的反应
。（2）能作脱除剂的物质很多，下列说法正确的是
a. 用 H2O作脱除剂，不利于吸收含氮烟气中的NO
b. 用 Na2SO3作脱除剂，O2会降低Na2SO3的利用率
c. 用CO作脱除剂，会使烟气中NO2的浓度增加 （3）尿素[CO(NH2)2]在一定条件下能有效将NOx转化为N2。Ⅰ．已知可通过下列方法合成尿素：
2NH3(g) + CO2(g)
H2NCOONH4(s)
ΔH = - 159.5 kJ/mol
H2NCOONH4(s)
CO(NH2)2(s) + H2O(l)
ΔH = + 28.5 kJ/mol
① 尿素释放出NH3的热是
。② 写出有利于尿素释放NH3的条件并说明理由
。Ⅱ．CO(NH2)2与某种烟气（主要为N2、NO和O2）中的NO的物质的量比值分别为1:2、2:1、3:1时，NO脱除率随温度变化的曲线如下：
① 曲线a 对应CO(NH2)2 与NO的物质的量比值是
。② 曲线a、b、c中，800℃～900℃区间内发生主要反应的是____。③ 900℃～1200℃ 区间内脱除率下降，NO浓度上升。发生的主要反应是_____。④ 曲线a中， NO的起始浓度为6×10-4 mg/m3，从A点到B点经过0.8 s，该时间段内NO的脱除速率为____ mg/(m3·s) 。
④题目错了，是曲线a中，NO的起始浓度为6×10-4 mg
/ m3，900℃时从反应开始到M点经过10s， NO的脱除效率为_______mg ·m-3·s-1。
答案还是5×10-4mg/(m3·s)
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或如图所示，长L的均匀长杆AB，质量为m，A端用光滑转轴与竖直墙壁相连，另一端B与一根轻质细绳相连，绳的另一端通过一个光滑小定滑轮与一个放置在杆上的、质量也是m的物体C相连接，物体和杆都处于静止状态，且BC=，DC⊥AB．&已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．试求：（1）物体受到的摩擦力f．（2）绳子的拉力T．
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科目：高中物理
题型：解答题
如图所示，长L的均匀长杆AB，质量为m，A端用光滑转轴与竖直墙壁相连，另一端B与一根轻质细绳相连，绳的另一端通过一个光滑小定滑轮与一个放置在杆上的、质量也是m的物体C相连接，物体和杆都处于静止状态，且BC=，DC⊥AB． 已知重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．试求：（1）物体受到的摩擦力f．（2）绳子的拉力T．
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科目：高中物理
一根轻绳长L=1.6 m,一端系在固定支架上，另一端悬挂一个质量为M=1 kg 的沙箱A，沙箱处于静止。质量为m=10 g的子弹B以水平速度v0=500 m/s射入沙箱，其后以水平速度v=100 m/s从沙箱穿出（子弹与沙箱相互作用时间极短）。g取10 m/s2。求：(1)子弹射出沙箱瞬间，沙箱的速度u的大小;(2)沙箱和子弹作为一个系统共同损失的机械能E损;(3)沙箱摆动后能上升的最大高度h;(4)沙箱从最高点返回到最低点时，绳对箱的拉力F的大小。
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科目：高中物理
题型：阅读理解
第三部分 运动学第一讲　基本知识介绍一．&基本概念1．&&质点2．&&参照物3．&&参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点）4．绝对运动，相对运动，牵连运动：v绝=v相+v牵&二．运动的描述1．位置：r=r(t)&2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)3．速度：v=limΔt→0Δr/Δt.在大学教材中表述为：v=dr/dt,&表示r对t&求导数5．以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移的二阶导数。可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。（a对t的导数叫“急动度”。）6．由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较好三．等加速运动v(t)=v0+at&&&&&&&&& &r(t)=r0+v0t+1/2 at2&&一道经典的物理问题：二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v0沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？（注：结论是这一区域为一抛物线，此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线。此抛物线为在大炮上方h=v2/2g处，以v0平抛物体的轨迹。）&练习题：一盏灯挂在离地板高l2,天花板下面l1处。灯泡爆裂，所有碎片以同样大小的速度v&朝各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的，即切向速度不变，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。）四．刚体的平动和定轴转动1．&我们讲过的圆周运动是平动而不是转动&& 2．&&角位移φ=φ（t）,&角速度ω=dφ/dt ,&角加速度ε=dω/dt&3．&&有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量4．&&同一刚体上两点的相对速度和相对加速度&两点的相对距离不变，相对运动轨迹为圆弧，VA=VB+VAB,在AB连线上投影：[VA]AB=[VB]AB,aA=aB+aAB,aAB=,anAB+,aτAB,&,aτAB垂直于AB,,anAB=VAB2/AB&例：A，B，C三质点速度分别VA&，VB&&，VC&&&&&&求G的速度。五．课后习题：一只木筏离开河岸，初速度为V，方向垂直于岸边，航行路线如图。经过时间T木筏划到路线上标有符号处。河水速度恒定U用作图法找到在2T，3T，4T时刻木筏在航线上的确切位置。五、处理问题的一般方法（1）用微元法求解相关速度问题例1：如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D，BC段水平，当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求当跨过B的两段绳子的夹角为α时，A的运动速度。（vA＝）（2）抛体运动问题的一般处理方法平抛运动斜抛运动常见的处理方法（1）将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动（2）将沿斜面和垂直于斜面方向作为x、y轴，分别分解初速度和加速度后用运动学公式解题（3）将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个分运动，用矢量合成法则求解例2：在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时的速度为V0，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？（α=、&x=）第二讲 运动的合成与分解、相对运动（一）知识点点拨力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运动规律力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三角形等运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用位移的合成分解&B.速度的合成分解&C.加速度的合成分解参考系的转换：动参考系，静参考系相对运动：动点相对于动参考系的运动绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参考系）的运动牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动（5）位移合成定理：SA对地=SA对B+SB对地速度合成定理：V绝对=V相对+V牵连加速度合成定理：a绝对=a相对+a牵连（二）典型例题（1）火车在雨中以30m/s的速度向南行驶，雨滴被风吹向南方，在地球上静止的观察者测得雨滴的径迹与竖直方向成21。角，而坐在火车里乘客看到雨滴的径迹恰好竖直方向。求解雨滴相对于地的运动。提示：矢量关系入图答案：83.7m/s（2）某人手拿一只停表，上了一次固定楼梯，又以不同方式上了两趟自动扶梯，为什么他可以根据测得的数据来计算自动扶梯的台阶数？提示：V人对梯=n1/t1& & & V梯对地=n/t2& & & V人对地=n/t3V人对地= V人对梯+ V梯对地答案：n=t2t3n1/（t2-t3）t1(3)某人驾船从河岸A处出发横渡，如果使船头保持跟河岸垂直的方向航行，则经10min后到达正对岸下游120m的C处，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。提示：120=V水*600& & & & D=V船*600&答案：200m（4）一船在河的正中航行，河宽l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m的下游形成瀑布，为了使小船靠岸时，不至于被冲进瀑布中，船对水的最小速度为多少？提示：如图船航行答案：1.58m/s（三）同步练习1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1=30°，另一次安装成倾角为β2=15°。问汽车两次速度之比为多少时，司机都是看见冰雹都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）2、模型飞机以相对空气v=39km/h的速度绕一个边长2km的等边三角形飞行，设风速u = 21km/h&，方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同，试求：飞机绕三角形一周需多少时间？3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片（俯视）。两列车沿直轨道分别以速度v1=50km/h和v2=70km/h行驶，行驶方向如箭头所示，求风速。4、细杆AB长L&，两端分别约束在x&、&y轴上运动，（1）试求杆上与A点相距aL（0＜&a&＜1)的P点运动轨迹；（2）如果vA为已知，试求P点的x&、&y向分速度vPx和vPy对杆方位角θ的函数。（四）同步练习提示与答案1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案为：3。2、提示：三角形各边的方向为飞机合速度的方向（而非机头的指向）；第二段和第三段大小相同。参见右图，显然：v2&=&&+ u2&－&2v合ucos120°可解出&v合&= 24km/h&。答案：0.2hour（或12min.）。3、提示：方法与练习一类似。答案为：34、提示：（1）写成参数方程后消参数θ。（2）解法有讲究：以A端为参照，&则杆上各点只绕A转动。但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有v牵&= vAcosθ，v转&= vA，可知B端相对A的转动线速度为：v转&+ vAsinθ=&&。P点的线速度必为&&= v相&所以&vPx&= v相cosθ+ vAx&，vPy&= vAy&－&v相sinθ答案：（1）&+&&= 1&，为椭圆；（2）vPx&= avActgθ&，vPy&=（1&－&a）vA
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第一部分 &力＆物体的平衡第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法表达：&+&&=&&。名词：为“和矢量”。法则：平行四边形法则。如图1所示。和矢量大小：c =&&，其中α为和的夹角。和矢量方向：在、之间，和夹角β= arcsin2、减法表达：&=&－&。名词：为“被减数矢量”，为“减数矢量”，为“差矢量”。法则：三角形法则。如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。差矢量大小：a =&&，其中θ为和的夹角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R&，周期为T&，求它在T内和在T内的平均加速度大小。解说：如图3所示，A到B点对应T的过程，A到C点对应T的过程。这三点的速度矢量分别设为、和。根据加速度的定义&=&得：=&，=&由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量&=&－&，=&－&，根据三角形法则，它们在图3中的大小、方向已绘出（的“三角形”已被拉伸成一条直线）。本题只关心各矢量的大小，显然：&=&&=&&=&&，且：&=&=&&，&= 2=&所以：=&&=&&=&&，=&&=&&=&&。（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。⑴ 叉乘表达：×&=&名词：称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。叉积的大小：c = absinα，其中α为和的夹角。意义：的大小对应由和作成的平行四边形的面积。叉积的方向：垂直和确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图4所示。显然，×≠×，但有：×=&－×⑵ 点乘表达：·&= c名词：c称“矢量的点积”，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c = abcosα，其中α为和的夹角。二、共点力的合成1、平行四边形法则与矢量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要——正交分解第二讲 物体的平衡一、共点力平衡1、特征：质心无加速度。2、条件：Σ&= 0 ，或&&= 0 ，&= 0例题：如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。答案：距棒的左端L/4处。（学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗？解：将各处的支持力归纳成一个N ，则长方体受三个力（G 、f 、N）必共点，由此推知，N不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图6所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时，N就过重心了）。答：不会。二、转动平衡1、特征：物体无转动加速度。2、条件：Σ= 0 ，或ΣM+&=ΣM-&如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。3、非共点力的合成大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。第三讲 习题课1、如图7所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小。解说：法一，平行四边形动态处理。对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N1进行平移，使它们构成一个三角形，如图8的左图和中图所示。由于G的大小和方向均不变，而N1的方向不可变，当β增大导致N2的方向改变时，N2的变化和N1的方向变化如图8的右图所示。显然，随着β增大，N1单调减小，而N2的大小先减小后增大，当N2垂直N1时，N2取极小值，且N2min&= Gsinα。法二，函数法。看图8的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：&=&&，即：N2&=&&，β在0到180°之间取值，N2的极值讨论是很容易的。答案：当β= 90°时，甲板的弹力最小。2、把一个重为G的物体用一个水平推力F压在竖直的足够高的墙壁上，F随时间t的变化规律如图9所示，则在t = 0开始物体所受的摩擦力f的变化图线是图10中的哪一个？解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点。静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。水平方向合力为零，得：支持力N持续增大。物体在运动时，滑动摩擦力f = μN ，必持续增大。但物体在静止后静摩擦力f′≡ G ，与N没有关系。对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。据物理常识，加速时，f ＜ G ，而在减速时f ＞ G 。答案：B 。3、如图11所示，一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k ，自由长度为L（L＜2R），一端固定在大圆环的顶点A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ。解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：①分割成直角三角形（或本来就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。分析小球受力→矢量平移，如图12所示，其中F表示弹簧弹力，N表示大环的支持力。（学生活动）思考：支持力N可不可以沿图12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形ΔAOB是相似的，所以：& & & & & & & & & & & & & & & & & &⑴由胡克定律：F = k（- R） & & & & & & & &⑵几何关系：= 2Rcosθ & & & & & & & & & & ⑶解以上三式即可。答案：arccos&。（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数k′较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？答：变小；不变。（学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图13所示的A位置开始缓慢拉至B位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力T和球面支持力N怎样变化？解：和上题完全相同。答：T变小，N不变。4、如图14所示，一个半径为R的非均质圆球，其重心不在球心O点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接触，已知A到B的圆心角也为30°。试求球体的重心C到球心O的距离。解说：练习三力共点的应用。根据在平面上的平衡，可知重心C在OA连线上。根据在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。答案：R 。（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为a 、厚为b的砖块码在倾角为θ的斜面上，最多能码多少块？解：三力共点知识应用。答：&。4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m1和m2&，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图15所示。则m1&: m2??为多少？解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图16所示。首先注意，图16中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为α。而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为F 。对左边的矢量三角形用正弦定理，有：&=&& & & & &①同理，对右边的矢量三角形，有：&=&& & & & & & & & & & & & & & & &②解①②两式即可。答案：1 ：&。（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？答：有——将模型看成用轻杆连成的两小球，而将O点看成转轴，两球的重力对O的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。应用：若原题中绳长不等，而是l1&：l2&= 3 ：2 ，其它条件不变，m1与m2的比值又将是多少？解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程），而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。答：2 ：3&。5、如图17所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。以球和杆为对象，研究其对转轴O的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f&，支持力为N&，重力为G&，力矩平衡方程为：f R + N（R + L）= G（R + L）& & & & & &①球和板已相对滑动，故：f = μN & & & &②解①②可得：f =&再看木板的平衡，F = f 。同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦f′=&&= F′。答案：&。第四讲 摩擦角及其它一、摩擦角1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用R表示，亦称接触反力。2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用φm表示。此时，要么物体已经滑动，必有：φm&= arctgμ（μ为动摩擦因素），称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：φms&= arctgμs（μs为静摩擦因素），称静摩擦角。通常处理为φm&=&φms&。3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。二、隔离法与整体法1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法。在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义。三、应用1、物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象。法一，正交分解。（学生分析受力→列方程→得结果。）法二，用摩擦角解题。引进全反力R&，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图18中的左图和中间图（注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变），φm指摩擦角。再将两图重叠成图18的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φm&= 15°。最后，μ= tgφm&。答案：0.268 。（学生活动）思考：如果F的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小F值是多少？解：见图18，右图中虚线的长度即Fmin&，所以，Fmin&= Gsinφm&。答：Gsin15°（其中G为物体的重量）。2、如图19所示，质量m = 5kg的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止。已知斜面的质量M = 10kg ，倾角为30°，重力加速度g = 10m/s2&，求地面对斜面体的摩擦力大小。解说：本题旨在显示整体法的解题的优越性。法一，隔离法。简要介绍……法二，整体法。注意，滑块和斜面随有相对运动，但从平衡的角度看，它们是完全等价的，可以看成一个整体。做整体的受力分析时，内力不加考虑。受力分析比较简单，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。答案：26.0N 。（学生活动）地面给斜面体的支持力是多少？解：略。答：135N 。应用：如图20所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。解说：这是一道难度较大的静力学题，可以动用一切可能的工具解题。法一：隔离法。由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素μ= tgθ对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy&，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N表示正压力和弹力，f表示摩擦力），如图21所示。对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——Fx&= f + mgsinθFy&+ mgcosθ= N且 f = μN = Ntgθ综合以上三式得到：Fx&= Fytgθ+ 2mgsinθ & & & & & & & ①对斜面体，只看水平方向平衡就行了——P = fcosθ+ Nsinθ即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ代入μ值，化简得：Fy&= mgcosθ & & &②②代入①可得：Fx&= 3mgsinθ最后由F =解F的大小，由tgα=&解F的方向（设α为F和斜面的夹角）。答案：大小为F = mg，方向和斜面夹角α= arctg()指向斜面内部。法二：引入摩擦角和整体法观念。仍然沿用“法一”中关于F的方向设置（见图21中的α角）。先看整体的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P & & & & & & & & & & & & & & & & & ⑴再隔离滑块，分析受力时引进全反力R和摩擦角φ，由于简化后只有三个力（R、mg和F），可以将矢量平移后构成一个三角形，如图22所示。在图22右边的矢量三角形中，有：&=&=&& &&&⑵注意：φ= arctgμ=&arctg(tgθ) = θ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &⑶解⑴⑵⑶式可得F和α的值。
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