y=(1-e^(1/x))/(x+e^1/x)垂直渐近线线有几条，请分别解答
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时间：2014-11-06 15:57
y=(1-e^(1/x))/(x+e^1/x)渐近线有几条，请分别解答_百度知道
y=(1-e^(1/x))/(x+e^1/x)渐近线有几条，请分别解答
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-1等价于-e^1/x/e^1/x
答案是-1，但您可以告诉我解答的具体过程吗？
e^1/x用泰勒公式展开，分子整理后变成-1/x，分母整理后变成x+1+1/x。通分后得到-1/x^2+x+1。由于x趋近于0+。故答案是-1
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1、水平渐近线：lim(x→+∞)(1+x)/(1-e^(-x))=∞
lim(x→-∞)(1+x)/(1-e^(-x))=洛=lim(x→-∞)1/(e^(-x))=0所以水平渐近线为x=0;2、铅直渐近线：去分母为0，1-e^(-x)=0，x=0，所以铅直渐近线为y=0;3、斜渐近线：lim(x→+∞)y/x=lim(x→+∞)(1+x)/(x*(1-e^(-x)))=lim(x→+∞)(1+x)/x*lim(x→+∞)1/(1-e^(-x))=1*1=1lim(x→+∞)(y-1*x)=lim(x→+∞)(1+x-x+x*e^(-x))/(1-e^(-x))=lim(x→+∞)(e^x+x)/(e^x-1)=1所以斜渐近线y=x+1lim(x→-∞)y/x=lim(x→-∞)(1+x)/(x*(1-e^(-x)))=lim(x→-∞)(1+x)/x*lim(x→-∞)1/(1-e^(-x))=1*0=0lim(x→-∞)(y-0*x)=lim(x→-∞)(1+x)/(1-e^(-x))=洛=lim(x→-∞)(1)/(e^(-x))=0所以斜渐近线不存在综上三点，共有三条渐近线。
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1y=e^x/(1+x)lim(x→0)e^x/(1+x)=1水平渐近线y=12x^2+x+1=0(x+1/2)^2+3/4=0(x+1/2)^2&=0没有实根
渐近线的相关知识
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出门在外也不愁高等数学复习题(答案)_省心范文网
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考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)高 等 数 学一,填空题1.曲线 y =∫xx 0sin t dt 的全长=_________.2.设 f (x ) 在 x = 0 点的某邻域内连续,且 f (0) = 1 ,∫ ∫ 则 limdt0 x →0tf (u )du0sin x 22x 02=__________.3.设 f ( x ) =∫e t dt + 1 , y = f (x) 的反函数是 y =
(x) ,则 ′(1) =___________.4.设二阶常系数线性微分方程 y ′′ + αy ′ + βy = γe
x 的一个特解 为 y = e + (1 + x )exx,则此方程的通解为___________.5.设函数 f (x ) 在 x = 0 点的某个邻域内连续,且 limf ( x) = 2 ,则曲线 x →0 e x
1y = f (x) 在 x = 0 处的法线方程为_________.6.曲线
sin t π 在 t = 处的曲率半径 R=___________. 2
y 2 的上侧.7.∫∫ z dxdy =___________,其中 ∑ 为 z =∑18.若函数 y = f ( x ) 处处二阶可导,且点 ( p, f ( p )) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点, 则 lim limf ( p + k + h)
f ( p + k )
f ( p + h) + f ( p )
= _________. k →0 h→ 0 kh
y 2z 9.设 z = f ( xy, ) ,且 f 有二阶连续偏导数,则 = _________________. x xy欢迎访问文都网校:netschool. 1 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 10.点 (1, 1, 0) 到直线x y z 3 = = 的距离为___________. 1 2 12 211.若函数 f ( x, y ) 在 D : x + y ≤ 4 上连续,且xy∫∫ f ( x, y)dxdy = f ( x, y)
2 ,则 f ( x, y) =__________.D12.级数 ∑ 2 + cos n x 的收敛区间为__________.n n n =1∞()13.∫ ∫dy011 ye
x dx =__________.214.已知曲线的方程为 f ( x) =∫x 1(1 | t |) dt ,则曲线 y = f (x) 与 x 轴围成的平面图形的面积为__________. 15. ∑1 = ___________. n 1 n =1 n
3∞二,选择题1.若 f (x) 在 x0 点处取得极大值,则下面结论正确的是 (A) f ′( x0 ) = 0 ,且 f ′′( x 0 ) & 0 (B) f ′( x0 ) = 0 ,且 f ′′( x0 ) & 0 (C) f ′( x0 ) = 0 ,且 x & 0 时 f ′( x ) & 0 , x & 0 时 f ′( x ) & 0 (D) f (x ) 在 x0 点处有可能不可导 2 . 设 f (x ) 在 x0 点 的 某 个 邻 域 内 存 在 ( n + 1) 阶 连 续 导 数 , 且 ( )f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) =
= f ( n ) ( x0 ) = 0 , f ( n+1) ( x0 ) & 0 ,则(A)当 n 为奇数时, ( x 0 , f ( x 0 )) 必是曲线 y = f (x ) 的拐点 (B)当 n 为偶数时, ( x 0 , f ( x 0 )) 必是曲线 y = f (x ) 的拐点 (C)当 n 为奇数时, f (x ) 在 x0 点处必不取得极值 (D)当 n 为偶数时, f (x ) 在 x0 点处必取得极值()2 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)1
x cos + a sin x 3.设 f ( x ) =
x bx + c (A) a = b , c = 0 (C) a = b , c 任意x&0 x≥0,且 f (x ) 在 x = 0 处可导,则 ( )(B) a = b , c = 0 (D) a = b , c 任意x 0∫ ( x
t )dt ,则 4.设 f (x ) 是 (
∞, + ∞ ) 内连续的正值函数, ( x ) = ∫ f (t )dtx 0( (A)
∞, 0) 内单调增加,在 (0, + ∞) 内单调减少 (B)
∞, + 0) 内单调减少,在 (0, + ∞) 内单调增加 (C)
∞, + ∞ ) 内单调增加 (D)
∞, + ∞ ) 内单调减少 5.曲线 y = x
2 arctan x 的渐近线有 (A)一条 6.若级数 ∑∞ n)( (D)四条 ()(B)二条(C)三条∞ 3 a n 收敛,则 ∑ (1) n na n 是 n n =1 2 n =1)(A)绝对收敛的 (B)发散的(B)条件收敛的 (D)收敛与否与 a n 有关7. f (x) 是具有一阶连续导数的非负任意函数, 设 且 与 4x 等价的无穷小量,则 f ′(0) =2∫f ( x) 0f (t )dt 是当 x → 0 时( )(A)0(B)1(C)2(D)1 2)8 . 已 知 曲 线 y = f ( x) 过 原 点 , 且 在 原 点 处 的 法 线 垂 直 于 直 线y
3 x = 1, y = y ( x) 是微分方程 y ′′
2 y = 0 的解,则 y ( x) = ((A) ex e2x(B) e2x ex3欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) (C) e
ex 2 x(D) ex → x02 x ex9.若函数 y = f (x ) 满足 lim 的微分 dy 是f ( x) = 1 ,则当 x → x0 时,该函数在 x = x0 处 x
x0( (B)与 x 等价的无穷小 (D)比 x 低阶的无穷小 )(A)与 x 同阶不等价的无穷小 (C)比 x 高阶的无穷小10.设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数,它在一个周期内的表达式为x + 1 f ( x) =
x0 ≤ x ≤1 1& x ≤ 2,则 f ( x ) 的付立叶级数a0 ∞ + ∑ (a n cos nπx + bn sin nπx) 在 x = 3 处收敛于 2 n =1(A)1 (B)( (D)0 ()3 2(C)211.设 f ( x ) 在 [ a, b] 上单调增加且连续,则下列说法正确的是 (A)必
唯一一点 ξ ∈ [ a, b] ,使 (B)必
唯一一点 ξ ∈ ( a, b) ,使 (C)不可能存在 ξ ∈ ( a, b) ,使)∫bb a b af ( x)dx = f (ξ )(b
a ) f ( x)dx = f (ξ )(b
a )∫∫af ( x)dx = f (ξ )(b
a )b a(D)至少
两点 ξ 1, 2 ∈ ( a, b) ,使∫f ( x)dx = f (ξ i )(b
a )(i = 1, 2)12. y1 , y 2 , y3 是微分方程 y ′′ + py ′ + qy = f (x ) 的三个线性无关的解, 1 , c2 设 c 为任意常数,则 y = c1 y1 + c2 y2 + (1
c2 ) y3 (A)是此方程的解,但不一定是它的通解 (C)是此方程的特解 13.下列说法不正确的是 (A)若 u n ≥ 0 ,且 ∑ u n 收敛则 limn =1 ∞()(B)不是此方程的解 (D)是此方程的通解 ( )u n+1 &1 n→∞ u n4 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (B)若 lim nu n = 1 ,则 ∑ u n 必发散n→∞∞n =1(C)若 lim n u n =2 n→∞ ∞ 2 ∞∞ 1 ,则 ∑ u n 必收敛 n =1 2 2 ∞(D)若 ∑ u n , ∑ v n 都收敛,则 ∑ u n v n 必绝对收敛n =1 n =1 n =114. I =∫L( x + y )dx
y )dy ,L 为 | x | + | y |= 1 的顺时针方向,则 I = x2 + y2( ) (B) 2π (C)
2π (D) π (x →0(A)015.下列说法正确的是)(A)若 f ( x ) 和 g ( x ) 在 x = 0 点的某邻域无界,则 lim f ( x ) g ( x) = ∞ (B)若 f (x ) 在 x = 0 点的某邻域内有界, g (x ) 在 x = 0 的某邻域无界,则f ( x)
g ( x) 在 x = 0 点的某邻域一定无界(C)若 f (x ) 和 g (x ) 都在 x = 0 点的某邻域有界,则 f ( x ) + g ( x ) 在 x = 0 点 的某邻域一定有界 (D)若 f ( x ), g ( x) 在 x = 0 点的某邻域内都有界,则必有 lim f ( x ) g ( x ) = 0x →0三,解答题1,求极限 (1) lim . +x→0x x
(sin x) x sin 2 x
ln(1 + tan x)x 0∫ t | cos t | dt (2) lim .x→ +∞x2欢迎访问文都网校:netschool. 5 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) x tf (t ) dt
a ∫x≠0 x=0,其中 f (x ) 在 x = 0 的某邻域内连续,在x = 0 处可导,且 f (0) = 0 .(1)确定 a 的值,使
(x ) 在 x = 0 处可导; (2)对确定的 a 值,
′(x ) 在 x = 0 处是否连续?3,设函数 θ (x ) 在 (
∞, + ∞ ) 内连续, f ( x ) = sin[θ ( x )] , f ′( x ) = cos[θ ( x )] , 当 时,求 θ ′( x0 ) .4,设函数 F (u , v) 有二阶连续偏导数,6 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 证明由方程 F
= 0 所确定的函数满足下列两个方程: ,
z0 ,z z ( x
x0 ) + ( y
z 0 x y2z 2z
25,设 f ′(x ) 是 f (x ) 的导函数,证明: 其中1 d 2u 1 d 2 v = . u dx 2 v dx 2u = [ f ′( x)]1 / 2v = f ( x)[ f ′( x)]1 / 26,求下列积分 (1) .∫2 x arctan x dx (1 + x 2 ) 2(2) .∫π /30sin 2 x 1+ esin2dx x(3) .∫+∞0e
x sin xdx欢迎访问文都网校:netschool. 7 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)7,设 f (x ) 在 [
nπ , nπ ] ( n ∈ N ) 上连续, 且 f ( x) = cos x +4sin 3 x + 1 + cos 4 x∫nπ
nπf ( x) | sin x | dx ,求 f (x)8,设 n, k 为正整数,且 1 ≤ k ≤ n2
(1)证明: ln1 + π≤ n
n (2)求 limn →∞∫k π n k 1 π nsin nx ln(1 + x)dx ≤2
n ∫π0sin nx ln(1 + x)dx9,计算下列重积分8 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (1) .∫∫D sin x sin y max( x, y )dxdy2D:0≤ x ≤π 0 ≤ y ≤π(2) .∫∫∫ ( x y = 2z + y 2 )dv ,其中
x = 0绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2 , z = 8 所围立体.10,已知f (t )在(∞, ∞)内连续,且满足f (t ) = 3∫∫∫ f ( 1
x 2 + y 2 + z 2 )dv + t 3 ,
: x 2 + y 2 + z 2 ≤ t 2 求 f
4π 11,计算∫2/2 0e
x dx2∫xxe
y dy +2∫1e
x dx22/2∫1 x 2
y dy .2欢迎访问文都网校:netschool. 9 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)12,设 c 是对称于坐标轴的光滑闭曲线, 计算∫ (xc3y + e y )dx + ( xy 3 + xe y
2 y )dy .13,设 x & 1 时,函数 f (x ) 连续可微,且 f (0) = 何闭曲线 c ,恒有6 ,在半平面 x & 1 上的任 5∫ [ y
5 yec2 xf ( x)]dx + e 2 x f ( x)dy = 0 ,求 f (x) .14,求下列曲线积分10 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (1)
L∫ x ∫Γ2
2 + 其中 L 2 2 2
x + y 2 + ( x
1) 2 + y 2 dy ,
是不经过点 (0, 0) 和 (1, 0) 的任意正向简单闭曲线. (2)( y
z )dx + ( z
x)dy + ( x
y )dz ,其中 Γ 为椭圆x 2 + y 2 = 1, x + z = 1 ,若从 z 轴正向看去, Γ 为逆时针方向.15,计算曲面积分 (1) .∫∫ ( x∑22 2 + y 2 )dzdx + ( z
1)dxdy , 其中 ∑ 为锥面 z = x + y ( z ≤ 1) 在第一卦限部分的下侧x 2 + y 2 , z ≥ x 2 + y 2
(2) . f ( x
z )ds ,其中 f ( x, y, z ) =
0 , 其它 x 2 + y 2 + z 2 =1 ∫∫欢迎访问文都网校:netschool. 11 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 16,判断级数 ∑ sin(π n + a ) ( a ≠ 0) 的敛散性. 若收敛,是绝对收敛还是2 2 n =1 ∞条件收敛?17 , (1)设 F ( x, y ) =f ( y
x) y2 及 F (1, y ) =
y + 5 . 任取 x0 & 0 ,作 2x 2n→∞x1 = F ( x0 , 2 x0 ) , x2 = F ( x1, 2 x1 ) ,…, xn +1 = F ( xn , 2 xn ) ,证明 lim xn 存在并求其值. (2)证明级数 ∑ ( xn +1
xn ) 与 ∑
n =1 n =1 xn +1 ∞∞ 1112 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 18,设 a 0 , a1 ,
为等差数列 ( a0 ≠ 0) (1)求幂级数 ∑ an x 的收敛半径;n =0 ∞ ∞ n(2)求级数 ∑an 的和. n n =0 219,设 f ( y ) 满足方程f ′( y ) y′ + 2 xf ( y )
x = 02( f ′( y ) ≠ 0)求 lim f [ y ( x)] .x → ∞20, (1)设曲线 C : y = f ( x ) 上任何一点 M 的切线与 OX 轴交点 T 间的线段1 1 MT 等于 OX 轴上线段 OT ,且曲线过点
,求曲线的方程. 2 2(2)求∫∫ ( xD2+ y 2 )dxdy ,其中 D 为由(1)中 C 所围成的平面区域.欢迎访问文都网校:netschool. 13 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)21,设有一匀质(密度为
)材料的旋转体支柱其顶面所受的压力为 p ,顶半 径为 a 高为 h ,若任一水平截面上的压强均相等. (1)求该支柱的轴截面的边界(非直线)曲线的一个方程; (2)求此旋转支柱的外表面的方程; (3)求该柱体的体积.22,设函数 f (x ) 是以 2π 为周期的偶函数, 且 f ( x ) 二阶可导,求方程f ′( x) + 2 f ( x)
3∫x 0f (t
x)dt = sin x 1 cos x 的解. 214 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 23,质量为 M 长为 L 的均匀细杆吸引着其延长线上距其较近端为 a 处一质量 为 m 的质点. (1)求杆和质点间的相互引力; (2)计算当质点在杆的延长线上从距离为 a 处移动到 2a 处引力所作的功.24,设 f (x ) 在 [0, 1] 上连续,在 (0, 1) 内可导, 且 f (1) = 2
∫3/ 4 1/ 4e x f ( x)dx ∫3/ 4 1/ 4f ( x)dx
证明:方程 f ( x ) + (1
x ) f ′( x ) = 0 在 (0, 1) 内至少有两个实根.欢迎访问文都网校:netschool. 15 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 25,设 f (x ) 在 [ a, b] 上可微,且当 x ∈ (a, b) 时 f ′( x) ≤ M ,证明:对任意n ≥ 1 (n ∈ N ) 有∫b aba n f ( x)dx
n k =1∑ f a + k (b
n 26,已知 f (x ) 在 ( ∞, + ∞) 上有三阶连续导数,并且当 h ≠ 0 时,f ( x + h)
= f ′ x +
h 2 证明:必存在常数 a, b, c ,使 f ( x ) = ax 2 + bx + c .16 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 27,设 f (x ) 在区间 [ a, b] 上具有二阶导数且′ ′ f (a ) = f (b) = 0, f + (a)
(b) & 0 ,证明:必 ξ ∈ ( a, b), η ∈ ( a, b) 使 f (ξ ) = 0, f ′′(η ) = 0 .28,设 f (x ) 是 [0, 1] 上单调减少的函数,证明对于 0 & α & β ≤ 1 ,有∫α0f ( x)dx &α β∫βαf ( x)dx .欢迎访问文都网校:netschool. 17 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)线 性 代 数一,填空题1 1
,则 A 50 = ___________. 0 0 1
2.设三阶方阵 A, B 满足 A (E
B) = E ,且 AB
中 E 为三阶单位矩阵,则 | A | =_________. 3.设 A, B 均为三阶矩阵, E 是三阶单位矩阵,已知1 0 1
AB = 2 A + B , B =
E) 1 = _________. 1 0 1
4. α 1 = (1, 1, 1) , 2 = (1, 2, 3) , 3 = (1, 3, t ) , t = _______时, 1 , α 2 , α 3 设 α α 当 α 线性相关. 1 2
,B 为三阶非零矩阵,且 AB = O ,则 t = ________. 5.设 A =
6. α 1 = (1 + a, 1, 1), α 2 = (1, 1 + a, 1), α 3 = (1, 1, 1 + a ) , β = (0, a, a 2 ) 可 设 若 由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示且表示法不唯一,则 a = ______.18 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 7.设 A 是三阶矩阵,已知 | A + iE |= 0 (i = 1, 2, 3) , E 是三阶单位矩阵,则 秩 ( A + 4E) = ________.1 2 3
8.已知矩阵 A =
可对角化,则 a = ______. 0 0 0
9.二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x1 + ax 2 + x 3 + 2( x1 x 2
ax1 x3 ) 的正,负惯2 2 2性指数都是 1,则 a = _______. 10.已知二次曲面 x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2byz + 2 xz = 1 经正交变换( x, y, z ) T = Q( x ′, y ′, z ′) T 化为椭圆柱面方程 ( y ′) 2 + 2( z ′) 2 = 1 ,则常数 a 和b 应满足的条件是_________.二,选择题1.若 A 为 n 阶矩阵且满足 AA T = E ( E 为 n 阶单位矩阵) | A |= 1 ,则 ,| A + E |=(A)1 (B)
1 (C)0()(D)以上都不对T2.设 A 是三阶矩阵,如果对任意一个三维列向量 β = (b1 , b2 , b3 ) ,都有Aβ = 0 ,则(A) A = E (B) A = aE (C) A = O 3.设 A 是三阶矩阵, P 为三阶初等矩阵,则 (A)秩 ( PA ) & 秩 ( A ) (C)秩 ( PA ) = 秩 ( A ) (A)秩 ( A ) + 秩 (B ) = n (C)秩 ( A ) + 秩 (B ) ≥ n 5 . 若 向 量 组 ε 1 = (1, 0, 0) , ε2()(D) A 是可逆矩阵 ( )(B)秩 ( PA ) & 秩 ( A ) (D)秩 (PA ) = 3 ( ) (B)秩 ( A ) + 秩 (B ) ≤ n (D)秩 ( A ) + 秩 (B ) = 04.设 A, B 都是 n 阶矩阵,且 AB = O ,则= (0, 1, 0) , ε 3 = (0, 0, 1) 能 由 向 量 组α 1 = (a1 , a 2 , a 3 ), α 2 = (b1 , b2 , b3 ), α 3 = (c1 ,c 2 , c3 ) 线性表示,则向量组 α 1 , α 2 , α 3 的秩为欢迎访问文都网校:netschool.
( )19 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) (A)1 (B)2 (C)3 )成立 (D)不确定6.设 A 是 n 阶矩阵,若 | A |= 0 ,则((A) A 中必有一行向量是其余向量的线性组合 (B) A 中任一行向量是其余向量的线性组合 (C) A 中必有两行元素对应成比例 (D) A 中必有一行元素全为零 7.设有向量组α 1 , α 2 , , α s β 1 , β 2 , , β t α 1 , , α s , β 1 , , β t它们的秩分别为 r1 , r2 ,r3 ,则 (A) max(r1 , r2 ) ≤ r3 ≤ r1 + r2 (C) max(r1 , r2 ) ≤ r1 + r2 ≤ r3(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) ( )(B) max(r1 , r2 ) ≥ r3 ≥ r1 + r2 (D) r1 ≤ r2 ≤ r3 ( ) (B)方程组 Ax = b 有无穷多解8.设 A 为 4 × 5 矩阵,且 A 行向量组线性无关,则 (A) A 的列向量组线性无关(C)方程组 Ax = b 的增广矩阵 A 的任意 4 个列向量构成的向量组线性无关 (D) A 的任意 4 个列向量所构成的向量组线性无关 9 . 设 α 1 , α 2 , α 3 是 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = b 的 三 个 解 向 量 , 且 秩( A) = 3 ,α 1 = (1, 2, 3, 4) T ,α 2 +α 3 = (0, 1, 2, 3) T ,C 为任意常数,则线性方程组 Ax = b 的通解是 (A) (1, 2, 3, 4) + C (1, 1, 1, 1)T T T( (B) (1, 2, 3, 4) + C (0, 1, 2, 3)T)(C) (1, 2, 3, 4) T + C ( 2, 3, 4, 5) T 10.设 A =
(D) (1, 2, 3, 4) T + C (3, 4, 5, 6) T ( )1 2
,则下列矩阵与 A 不相似的是 3 (B)
0 320 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (C)
1 2三,解答题1,设有 s + 1 个向量:α 1 , α 2 ,
, α s , β ,且β = α 1 + α 2 +
+ α s ( s & 1 ) , 证明: (1)若α 1 , α 2 ,
, α s 线性无关,则β
α s 也线性无关; (2)若α 1 , α 2 ,
, α s 线性相关,则β
α s 也线性相关.2 , 已 知 向 量 α 1 = (3a, 2a
1) , α 2 = (2a + 1, 2a
1, 3a ) ,α 3 = (a + 1, a
2, 2a ) , β = (a, a + 1, 1) ,试求 a 的值,使(1)β 不能由α 1 , α 2 , α 3 线性表示; (2)β 可唯一地由α 1 , α 2 , α 3 线性表示,并求出其表示式; (3)β 可由α 1 , α 2 , α 3 线性表示,但表示法不唯一. 并求出其表示式.欢迎访问文都网校:netschool. 21 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 3,设 n 阶矩阵 A 的 n 个列向量为α i = ( a1i , a 2 i ,
, a ni )T(i = 1, 2,
, n) ,n 阶矩阵 B 的 n 个列向量为 α 1 + α 2 , α 2 + α 3 ,
, α n 1 + α n , α n + α 1 ,试问当秩(A ) = n 时,齐次线性方程组 Bx = 0 是否有非零解?并证明你的结论.4,设α 0 , α 1 ,
, α n r 为 Ax = b (b ≠ 0) 的 n
r + 1 个线性无关的解向量, A 的秩为 r ,证明α 1
α 0 , α 2
α 0 , , α n 1
α 0 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的 基础解系.(1 + λ ) x1 + x 2 +
x1 + (1 + λ ) x 2 +
5,设齐次线性方程组为
x1 + x 2 +
+ (1 + λ ) x n = 0 讨论 (1) λ 为何值时,方程组仅有零解. (2) λ 为何值时,方程组有非零解,并求其通解.22 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)6,已知线性方程组 x1 + x 2 + x3 + x 4 = 0
x 2 + 2 x3 + 2 x 4 = 1
2 x 4 = b 3x1 + 2 x 2 + x3 + ax 4 = 1 当 a, b 为何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?并在有解时求方程组的全 部解.7,已知 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是四阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是四维列向量,若 方程组 Ax = β 的通解是 (1, 2, 2, 1) T + k (1,
2, 4, 0) T , B = (α 3 , α 2 , α 1 , β
α 4 ) 求方程组 Bx = α 1
α 2 的通解.欢迎访问文都网校:netschool. 23 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)证明: Ax = b 若 8, n 元非齐次线性方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 的秩为 r . 设 有解, 则它有 n
r + 1 个线性无关的解向量, Ax = b 的任一解均可由这 n
r + 1 且 个解向量线性表示.1 ρ ρ
ρ 2 ρ 9, 设 n 阶矩阵 = a
(1)求 A 的特征值与特征向量; (2)求可逆阵 P ,使 P 1 AP 为对角阵.(0 & ρ & 1, a ≠ 0)24 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) a b c
10,已知 A =
相似,求 a, b, c 及可逆阵
P ,使 P 1 AP = B . 1 1
11,已知 A =
(1) a 取何值时, A 可对角化? (2) a 取何值时, A 不可对角化?欢迎访问文都网校:netschool. 25 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 12,已知三元二次型 x Ax 经正交变换化为 2 y1
y 3 ,又知 A α = α ,T2 2 2*其中α = (1, 1,
1) . 求此二次型的表达式.T13,设 A, B 为两个 n 阶矩阵,且 A 的 n 个特征值两两互异,若 A 的特征向量 恒为 B 的特征向量,则 AB = BA .26 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)概 率 统 计一,填空题1.已知 P ( A) = 0.8, P ( A
B ) = 0.1 ,则 P ( AB ) = _______. 2.设 f ( x ) = k e x 2 +4 x 4(∞ & x & +∞) ,为某随机变量的概率密度函数,则 k = ______. 3.设 X ~ N (1, 22 ), Y ~ N (0, 1) ,且 X 与 Y 相互独立,则 Z = X
Y + 1 的 概率分布为______. 4.设随机变量 X , Y 的联合密度函数为 f ( x, y ) =
6e 2 x 3 y
0 x & 0, y & 0 其它则P{ X & Y } = _________.e
若0 & x & y 其它5. 已知随机变量 X 和 Y 的联合密度函数为 f ( x, y ) =
变量 Y 的边缘密度函数为__________., 则关于6 . 若 X 1 , X 2 ,
, X n 相 互 独 立 同 分 布 N (
, 22 ) 则 根 据 切 比 雪 夫 不 等 式p{| X
|≥ 2} ≤ ______.7.设 D ( X ) = 1,D(Y ) = 4, ρ XY = 0.3 ,则 cov( X , Y ) = _______.X pX0 1 28.设随机变量 X 的分布律为9c
5c27欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 则 c = _______. 9.设总体 X ~ N ( 1 , 2) ,Y ~ N (
2 , 2) 且 X , Y 相互独立,从总体 X , Y 中抽 出样本容量分别为 m, n 的简单随机样本,其样本方差依次为 S1 , S 2 ,则统 计量 V =2 21 2 [(m
1) S12 + (n
1) S 2 ] ,服从_____分布,其自由度为______. 210.设总体 X ~ N (
, (1 / 2) 2 ) ,从总体中抽取样本容量为 16 的样本,计算得X = 10,____.S 2 = 0.16 ,则总体参数
的置信度 1
α = 0.95 的置信区间为(附: (1.65) = 0.95 , (1.96) = 0.975 ,0.05 (15) = 1.7531 , 0.025 (15) = 2.1315 ) Φ Φ t t 11.设 X 1 , X 2 ,
, X n 是总体 N (
, σ 2 ) 的随机样本, σ =总体参数 σ 的无偏估计量,则 k = _______. 12.设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) =
其分布函数 F (x ) ________.1 n 1 ∑ X i +1
X i 是 k i =1axe 2 x 0x≥0 ,则 x&013.设 X , Y 相互独立同分布 N (
, σ 2 ) , ξ = X + Y , η = X
Y ,则ρξη = ______.14.设 X 1 , X 2 ,
, X 100 是独立同服从于参数为 1 的泊松分布的随机变量, X 是其算术平均值,则由中心极限定理 P{ X ≤ 1.196} =________. 15.一个仪器由两个部件组成,其总长度 Z 为此二部件长度 X , Y 的和, X , Y 的分布律分别为X pX8 0.29 0.510 0. 3Y pY6 0.37 0.728 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 则 E (Z ) = _________.二,选择题1.若 A , B 是任意两个事件, 则下列命题正确的是 (A)若 P ( A) = P ( B ) ,则 A = B (C)若 A
B = A ,则 AB = φ ( ) (B)若 AB = A ,则 AB =
(D)若 A + B = A ,则 B = φ ( )2.若对任意两个事件 A 和 B ,若 P ( AB ) = 0 ,则 (A) AB = φ (C) P ( A) P ( B ) = 0 (B) A B = φ (D) P ( A
B ) = P ( A)3.下列论断:①连续型随机变量的密度函数是连续函数;②连续型随机变量的 分布函数的值域为 [0, 1] ;③连续型随机变量取值为 0 的概率为 0;④两连续 型随机变量之和是连续型的 其中正确的是 (A)①② (B)②③ (C)②③④ 4.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布,则 (A) X + Y 一定服从正态分布 (B) ( X , Y ) 服从二维正态分布 (C) X 与 Y 不相关则 X , Y 相互独立 (D)若 X 与 Y 相互独立,则 X
Y 服从正态分布 5. 设随机变量 X , 相互独立, Y 其概率分布相应为 X ~
1 则 (A) P{ X = Y } = 0 (C) P{ X = Y } = (B) P{ X = Y } = 1 (D) P{ X ≠ Y } =( (D)①②④ () )0
21 0 1, ~ 1 Y
2)1 21 429欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 6.对于随机变量 X 1 , X 2 ,
, X n ,下列说法不正确的是 (A)若 X i , X j (i, j = 1, 2,
, n, i ≠ j ) 两两不相关,则 ( )D( X 1 + X 2 +
+ X n ) = D( X 1 ) + D( X 2 ) +
+ D ( X n )(B)若 X 1 , X 2 ,
, X n 相互独立,则D( X 1 + X 2 +
+ X n ) = D( X 1 ) + D( X 2 ) +
+ D( X n )(C)若 X 1 , X 2 ,
, X n 相互独立同分布 N (
, σ ) , X 是其算术平均值,2则 D( X ) =σ2n(D)若 D ( X 1 + X 2 +
+ X n ) = D ( X 1 ) + D ( X 2 ) +
+ D ( X n ) , 则 X 1 , X 2 ,
, X n 两两不相关 7.若 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) ,则 (A) X 和 Y 相互独立 (C) D ( XY ) = D ( X ) D (Y ) (B) X 与 Y 不相关 (D) D ( X + Y ) = D ( X ) + D (Y )2()8.设总体 X ~ N (
, σ 2 ) ,其中 σ = 4 , X 1 , X 2 ,
, X n 为来自总体 X 的样 本,样本均值为 X ,样本方差为 S ,则下列各式中不是统计量的是2 2()(A) X(B) S(C)X σ(D)(n
1) S 2σ29.设随机变量 X 1 , X 2 ,
相互独立,则辛钦大数定律成立只须X 1 , X 2 , , X n , (A)有相同的数学期望30 欢迎访问文都网校:netschool. () 考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (B)服从于同一离散型分布 (C)服从于同一连续随机变量 (D)服从于同一指数分布 10.在假设检验中,下列说法错误的是 (A) H 1 真时拒绝 H 1 称为犯第二类错误 (B) H 1 不真时接受 H 1 称为犯第一类错误 (C)设 P{拒绝H 0 | H 0 真} = α , P{接受H 0 | H 0 不真} = β ,则 α 变大时 β 变小 (D) α , β 的意义同(C) ,当样本容量一定时, α 变大时则 β 变小.()三,解答题1,一架长机和两架僚机一同飞往某地进行轰炸. 要到达目的地上空,非有无 线电导航不可, 而只有长机有此设备. 一旦到达目的地上空, 各机将独立进行轰炸, 每机炸毁目标的概率为 0.3. 在到达目的地上空之前必须经过敌方高射炮阵地上 空,此时每一飞机被击落的概率为 0.2. 求目标被炸毁的概率.2,设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, F (x) 是其分布函数. 证明随机 变量 F ( X ) 在区间 (0, 1) 上服从于均匀分布.欢迎访问文都网校:netschool. 31 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)3,设随机变量 X 和 Y 有相同的概率分布
0.2 0.6 0.2 P{ XY = 0} = 1求(1) X , Y 的联合分布律和边缘分布律; (2) P{ X = Y } .4,设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) =
(1)求 (2)求 f X (x) 和 fY ( y ) ; (3)问 X , Y 是否相互独立.cx 2 y
0x2 ≤ y ≤ 1 其它32 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 5, 设打靶时子弹着点 A( X , Y ) 的坐标 X 和 Y 相互独立, 且都服从 N (0, 1) . 规 定 点 A 落 在 区 域 D1 = {( x, y ) | x + y ≤ 1} 得2 22分 ; 点 A 落 在D2 = {( x, y ) | 1 & x 2 + y 2 ≤ 4} | 得 1 分,点 A 落在 D3 = {( x, y ) | x 2 + y 2 & 4} 得 0分. 以 Z 记打靶的得分,试写出 X , Y 的联合概率密度函数并求 Z 的分布律.1 ( x + y)
( x + y )e 6,设 ( X , Y ) 的联合密度函数 f ( x, y ) =
0 引入随机变量 Z = x&0 y&0 其它 1
0X ≥Y X &Y(2)求 Z 的分布律和分布函数(1)求条件概率密度 f X |Y ( x | y ) ;欢迎访问文都网校:netschool. 33 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 7,设二维正态随机变量 ( X , Y ) 不相关且都服从于参数
= 2, σ = 2 的正态2 2分布, Z =| X
Y | (2)求 E ( Z ), D ( Z ) 求: (1) Z 的概率密度函数;8, 电信公司将 n 个人的电话资费单分寄给 n 个人, 但信封上的收信人的地址是 随意的填写的,以 Z 表示收到自己资费单的人数,求 E ( Z ), D ( Z ) .9, 某宽带网站有两台重要设备, 其中任意一台设备发生故障都要引起网络故障, 假设两台设备的无故障工作时间都服从于指数分布,且平均无故障工作时间都为 5000(小时) ,试求网络无故障工作时间的数学期望.34 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)10,设一批共 100 件产品,其中一等品为 70 件,二等品 20 件,三等品 10 件, 现从中任抽取一件,记 X k = 1 若抽到k等品 0 否则(k = 1, 2, 3)求: (1)随机变量 X 1 , X 2 的联合分布; (2) ρ X1 X 2 . 1 ( x a) /θ
e 11,设总体 X 的概率密度函数为 f ( x ) = θ
0 x&a 其它其中 a, θ (a, θ & 0) 为未知参数, X 1 , X 2 ,
, X n 为从总体中抽取的样本容 设 量为 n 的样本. 求: (1) θ 与 a 的最大似然估计; (2) θ 与 a 的矩估计.欢迎访问文都网校:netschool. 35 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)12, 设总体 X ~ N (
, σ ) (σ22& 0) , 从总体 X 分别抽出样本容量为 n1 , n 2 的两个独立样本,样本均值分别为 X 1 和 X 2 . (1)当常数 a, b 满足什么条件时,才能使 Y = aX 1 + bX 2 是未知参数
的无 偏估计; (2)当 Y 为无偏估计时确定 a, b 使 D (Y ) 最小.13,已知总体 X ~ N (
, σ 2 ) ,其中
是未知参数, X 1 , X 2 ,
, X 16 为来自 总 体 X 的 样 本 , X 为 样 本 均 值 , 如 果 对 检 验 , H 0 :
= 0 , 取 拒 绝 域D : {| X
|& k} ,求 k (α = 0.05) .36 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)高 等 数 学 参考答案 答案详解 参考答案详解一,填空题1. 答案】 4 【答案】+ 【提示】 利用 ds = 1 y ( x) 提示】'2dx2. 答案】 【答案】1 2【详解】 利用 Hospital 法则 详解】∫ dt ∫ f (u)dulimx →0 0 0xtsin x2f (0) 1 = lim 0 = lim 0 = = x → 0 (sin x 2 )′ x → 0 2xcosx 2 2 2∫ f (u)dux∫ f (u)dux3. 答案】 【答案】1 2【提示】 利用反函数求导法则. y = f ′(x) ,
′(x) = 提示】 4. 答案】 y = c1e + c 2 e 【答案】x x1 . f ′(x)+ xe x【详解】 将特解代入原方程得: α = 0, β = 1, γ = 2 详解】 所以,原方程为: y′′
y = 2e x , 进而求得通解为y = c1e x + c 2 e
x + xe x .欢迎访问文都网校:netschool. 37 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)5. 答案】 y =
【答案】x 2【详解】 由 lim 详解】f (x) = 2
f ′(0) = 2 x →0 e x
1 1 . 2所以,y=f(x)在 x=0 的切线方向为 2 ,法线方向为
6. 答案】 2 2 【答案】 【详解】 利用 详解】1 =| Ry′′ (1 + y′ )3 2 2| ,dy dy ( )t dy dt sin t d2 y 1 将 = = ; 2 = dx =
代入, dx dx dx 1
cos t dx (1
cos t) 2 dt dt就得到 R =|y′′(1 + y′ ) |= 2 2 . y′′3 2 27. 答案】 2πR 【答案】 【详解】 利用极坐标 x=r cos θ cos
,y=r sin θ cos
, z= r sin
详解】π2 1 1 r ∫∫ zdxdy = ∫∫ R 2
y2 dxdy=4∫ d ∫ R 2
r 2 dr=2π R ∑ ∑ 0 0 R8. 答案】 0 【答案】 详解】 【详解】 运用导数和拐点的定义.f (p + k + h)
f (p + k) f (p + k)
f (p) f ′(p + k)
)= h →0 kh kh k f ′(p + k)
f ′(p) lim = f ′′(p) = 0 k →0 k lim(38 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)9. 答案】 f 1 + xyf 11
【答案】y 1 f 2
3 f 22 2 x x【详解】 运用链式法则,即符合函数求导公式. 详解】y z y z=f(xy, ) = yf1
2 f 2 x x x 2 z 1 y = f1 + xyf11
3 f 22 xy x x10. 答案】 【答案】11(1, 0) B= 1, , (0, 3) 则 AB = {1, 1, 3} AB
{1, 2,1} = 0 0, , 【详解】 令 A= 详解】 所以, AB 垂直该直线,点 A(1,1,0)到该直线的最短距离为|AB| =11. 答案】 8πxy + 2 【答案】11 .∫∫ f(x,y)dxdy=a【详解】 详解】Dxya=f(x,y)-2
f(x,y)=axy+2 ∫∫ f(x,y)dxdy= ∫∫ (axy+2)dxdyD D a= ∫∫ axydxdy+ ∫∫ 2dxdy=a ∫∫ xydxdy+8π = 8πD D Df (x, y) = 8π xy+212. 答案】 [
【答案】1 1 , ] 2 2n【提示】 lim 提示】 13. 答案】 【答案】n →∞2n + cos n = 2,所以收敛区间为 [ 1 1 , ] 2 21 (1
e 1 ) 2【提示】 利用变换积分次序. 提示】 欢迎访问文都网校:netschool. 39 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)14. 答案】1 + 【答案】2 2 3x 0 xx2 1 +x+ , 详解】 【详解】 f (x) = ∫ (1 | t |)dt = ∫ (1 + t)dt + ∫ (1-t)dt =
2 2 1 1 0令 f(x)=0,得 x1 =1- 21+ 2x2 = 1+ 2 ,f (x)dx = 1 + 2 2 . 3f(x)与 x 轴所围面积=∫1- 215. 答案】 3ln 【答案】2 3【详解】 设 s = 详解】∑ n3n =1∞1n 1,∞ 1 1 s=∑ n 3 n =1 n3 x ∞∞ 1 1 s(x) = ∑ x n 3 n =1 n x对其先求导,再积分得出n-1 ∫ ∑ x dx = ∫ 0 n =11 dx =
x) 1-x 0令 x=1 1 2 ,则 s=
ln 3 3 3,s= 3ln2 3二.选择题1. 答案】 D 【答案】 提示】 【提示】 极大值点不一定可导,故选 D 2. 答案】 B 【答案】 【详解】 当 n 为偶数时,可设 n=2 则 f ′(x 0 ) = f ′′(x 0 ) ,而 f ′′′(x 0 ) & 0 ,则 详解】 ( x 0 , f (x 0 ) )必为拐点,可用排除法. 3. 答案】 B 【答案】 详解】 【详解】 可导必连续.f(x)在 x=0 处可导,从而一定在 x=0 处连续,所以,x → 0+′ lim f (x) = lim f (x) ,即得 c=0 又 f -′(0) = f + (0) ,x →040 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 所以 lim +f (x)
f (0) f (x)
f (0) = lim 得 x →0 x →0 x x 1 x 2 cos +asinx bx x lim = a lim = b
a=b + x →0 x →0 x x4. 答案】 C 【答案】 【提示】 若 f(x)可导, f ′(x) & 0 , f(x)递增; f ′(x) & 0 则 f(x)递减. 提示】 5. 答案】 B 【答案】 【详解】 lim 详解】y = 1 , lim y
x = π , lim y
x = π , x→∞ x x →∞ x →∞ 所以它有两条斜渐近线 :y=x- π 与 y = x + π6. 答案】 A 【答案】 【详解】 详解】∑ | (1)n na n | = ∑ n | a n | = ∑ nn =1 n =1 n =1∞∞∞2n 3n | a n | ,由阿贝尔判别法, 3n 2n原级数绝对收敛. 7. 答案】 C 【答案】f (x )∫【详解】 利用洛必达法则. lim 详解】x →0 0f (t)dt 4x2= limf (f (x))f ′(x) =1 x →0 8x答案 C 正确. 8. 答案】 B 【答案】 【详解】 f ′(0)=3 又 f(0)=0 ,解得微分方程的通解为: y=c1e 详解】2x+ c2 e
x ,所以c1 + c 2 = 0 , 2c1 -c 2 = 3利用联立方程组的方法. 9. 答案】 B 【答案】c1 =1 c2 = 1 即 y=e 2x -e
x ,【详解】 运用微分的定义及已给的极限式.因为 dy = f ′(x)dx , 详解】 所以 limx→x0f (x) dy = lim f ′(x) = 1 而 lim = lim f ′(x) = 1 x→ x 0 x → x 0 dx x→x0 x-x 0答案为 B.欢迎访问文都网校:netschool. 41 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 10. 答案】 【答案】 11. 答案】 【答案】 提示】 【提示】 12. 答案】 【答案】 B B 由积分中值定理即可. D【详解】 可将 y 代入原微分方程,正好满足,所以它是解,又含有 c1 ,c 2 两个独 详解】 立的任意常数,所以是通解. 13. 答案】 A 【答案】 提示】 【提示】 A 颠倒了逻辑次序,将充分条件当作了必要条件. 14. 答案】 B 【答案】 提示】 【提示】 利用格林公式.答案为 B. 15. 答案】 C 【答案】 详解】 因为 f(x)g(x)在 x=0 的某邻域有界, 必存在 M&0 , 【详解】利用局部有界的定义. 使|f(x)| &M ,|g(x)| &M ,所以|f(x)+g(x)|&|f(x)|+|g(x)|&2M. 答案为 C.三.解答题1. 详解】 (1)反复利用洛必达法则 【详解】 原式=x x
(sin x) x x x lnx
(sin x) x ln sin x
(sin x) x lim = lim = lim 2 x → 0+ sin xln(1+tanx) x → 0+ x → 0+ sin 2 x 1 x3 1+tanx 1 + x 2=1 6(2)运用洛必达法则∫ t|cost|dtlim0xx →∞x2= limxcosx 1 = x →∞ 2x π2. 详解】 (1)
(x) 在 x=0 处可导时,则
(x) 一定在 x=0 处连续. 【详解】42 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)x所以, lim
(0)x →0lim
(x) = lim 0x →0 x →0∫ tf(t)dtx2= limx →0xf (x) f (0) = =0 2x 2得到:
(0) = 0 即 a=0 (2)利用导数的基本定义x
f(x) 2x 3 ∫ tf(t)dt +
3 f (0) x xx≠0且x=0f(x) f(x) 2 1 lim
′(x) = lim(2x ∫ tf(t)dt + ) = 2 lim x 3 ∫ tf(t)dt + lim = f ′(0)
f ′(0) = f ′(0) x →0 x→0 x →0 x→0 x x 3 3 0 03而
′(0) =1 f ′(0) 3所以
′(x) 在 x=0 处连续.3. 详解】 运用求导的链式法则. 【详解】f ′(x 0 ) = cos(θ (x 0 ))θ ′(x 0 )所以 θ (x 0 ) = 1 . 4. 详解】 对方程 F( 【详解】, f ′(x 0 ) = cos(θ (x 0 )) ,x-x 0 y-y 0 , )=0 两边分别对 x 求导,得到: z-z 0 z-z 0 x-x 0 y-y 0 -1
( z-z + (z-z ) 2 z x )-Fv (z-z ) 2 z x =0
1 z +F′ ( 1
y-y 0 z )=0
u (z-z 0 ) 2 y v z-z 0 (z-z 0 ) 2 y 联立解出 z x ,z y ,代入即可得出 (x-x 0 )z x + (y-y 0 )z y = z
z 0 , 同理,对上述方程再进行二次求导,即得二式. 5. 详解】 运用复合函数求导的链式法则即可. 【详解】 欢迎访问文都网校:netschool. 43 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)1 23
1 f ′(x) 2 f ′′(x) 2u = f ′(x), u′ = 3 5
1 1 3 u ′′ =
f ′(x) 2 f ′′′(x) +
f ′(x) 2 f ′′2 (x) 2 2 2所以u ′′ 1 3 =
f ′(x) 1 f ′′′(x) + f ′(x) 2 f ′′2 (x) u 2 4 1 2 1 3 1 ′ = f ′(x) 2 +f(x)
( )f ′(x) 2 f ′′(x) v 2v = f (x)f ′(x)v′′ =而1 1 5 3
1 1 3 f ′(x) 2 f ′′(x)
[f ′(x) 2 f ′′(x) + f (x)( )f ′(x) 2 f ′′2 (x) + f (x)f ′(x) 2 f ′′′(x)] 2 2 2v′′ 1 -1 1 1 3 1 1 = f (x)f ′′(x)
f ′′(x) + f ′(x) 2 f -1 (x)f ′′2 (x)
f ′(x)1 f ′′′(x) = u ′′ v 2 2 f(x) 4 2 u6. 详解】 (1) 【详解】 被积函数可看作由 原式=2x 和 arctan x 两部分组成,用分部积分法. (1+x 2 ) 2∫ arctan xd( 1 + x ∫ (1 + x112)=arctanx 1 arctanx 1 +∫ d arctan x=
+∫ dx 2 2 2 1+ x 1+ x 1+ x (1 + x 2 ) 2利用换元 , 令 x= tan t2 2)dx= ∫ cos 2 tdt= ∫1+cos2t t sin2t arctanx x dt= + +c= + +c 2 2 4 2 2(1+x 2 )(2) 利用两次换元法, 注意积分上下限的变化. 思考被积函数中 sin2x 和 可以看出:1 1+esin x2,sin 2 x =(3)1
cos 2x cos 2x sin 2x = ( )′ ,再利用换元法 t=cos2x ,本题即可解出. 2 244 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)A A Ax x A x A A x ∫ e sinxdx=-e sinx|0
∫ e cosxdx=-e sin A + (-e cos A + 1)
∫ e sinxdx 0 A 0 0=&∫e0x1 sinxdx = (-e
A cos A + 1) 2π7. 详解】 奇函数在对称区间上的积分为 0 .设 【详解】∫π f (x) | sin x | dx = Asin 3 x 则 f (x) = cos x + + A ,在对该式两边积分 1 + cos 4 x4 A=4n sin 3 x 4n 4 =& f(x)= f (x) = cos x + + 4 5(1-4n) 1 + cos x 5(1-4n)k 1 k π ≤ x ≤ π 时,有 n n8. 详解】 (1)对于人意的自然数 n 与 k ,当 【详解】 k 1
≤ ln(1 + x ) ≤ ln1 + π
n 从而 k 1
∫ sin nx dx ≤ n
k 1πn k π n kπk π nk π nk 1 π n∫ sin nx ln(1 + x )dx ≤ ln1 + n π
∫ sin nx dx
k 1 π nk k π n1 1 2 而 ∫ sin nx dx = sin ∫1)π x dx = n ∫ sin xdx = n ,故 n (k
k 1 0nππ2
ln1 + π≤ n
n 由此推出 (2)k π nk 1 π n∫ sin nx ln(1 + x )dx ≤ n ln1 + n π
2k 欢迎访问文都网校:netschool. 45 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)2 n
≤ ∫ sin nx ln(1 + x )dx ≤ ∑ ln1 + π
0又由于π1 n
1 lim ∑ ln1 + π
= lim ∑ ln1 + π
= ∫ ln(1 + x )dx n→∞ n n
n→∞ n k =1
π 0 k =1= 由夹逼准则π1π[(1 + x ) ln(1 + x )
x ]π 0π=1π2[(1 + π ) ln(1 + π )
π ]n→∞lim ∫ sin nx ln(1 + x )dx =0π[(1 + π ) ln(1 + π )
π ]9. 详解】 (1)将区域 D 分成两部分 D1 和 D 2 .则原式等于: 【详解】∫∫ sinxsiny
xdxdy + ∫∫ sinxsiny
ydxdy = ∫ ∫ sin x sin y
xdydx + ∫ ∫ sin x sin y
ydydx =D1 D2 0 0 0 0π xπ y5π 2x 2 + y2 (2)利用球坐标计算.旋转曲面的方程为 z = , 22π因此原式=∫ dθ ∫ rdr ∫ r dz 或 ∫ dz ∫∫2 0 0 2 2 x 2 + y 2 ≤ 2z488(x 2 + y 2 )dxdyz10. 详解】 令 【详解】 f(t)的表达式.∫∫∫ f(x 2 + y 2 + z 2 )dz = A 代入到等式中得到 A 的值.从而得到将 t=134π代入即可.11. 详解】 将累次积分化为二重积分,考虑在积分区域上利用换元法. 【详解】原式=∫ dx ∫ e0 -x2 2x (x 2 + y 2 )dy +∫ dx ∫2 211-x 2e
(x2+ y2 )dy , 令 x = r cos θ , y = r sin θ ,- 1-x246 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)π得到原式=r ∫ dθ ∫ re dr =241π4(1
e1 )-π0412. 提示】 注意对称性的灵活运用.利用格林公式,将曲线积分化为曲面积分, 【提示】 再化为二重积分进行计算. 13. 详解】 利用格林公式, 令 P = y
5ye 2x f (x) , Q = e2x f (x) 【详解】Q P = 2e 2x f (x) + e2x f ′(x) , = 1
5e 2x f (x) x y Q P
= 3e2x f (x) + e 2x f ′(x)
1 x y取闭曲线 C 为以 x=1 为圆心, 半径为 1 的圆的圆周, x = 1 + rcosθ , y=rsinθ . 令 原式=x &1∫∫(Q P
)dxdy = x y2π2(1+ r cosθ ) f(1 + r cos θ )+e 2(1+ r cosθ ) f ′ (1 + r cos θ ) cos θ )dr ∫ dθ ∫ r(3e 0 0114. 详解】 (1)分三种情况计算: 闭曲线 L 内部不包含这两点;闭曲线内部包 【详解】 含这两点;闭曲线内部包含两点之一.再分别利用格林公式即可. (2)令 x = cos θ , y = sin θ ,则 z = 1
cos θ 所以,原式等于:2π∫ (sinθ + cosθ
2)dθ = 4π02 215. 详解】 (1)作辅助平面 z=1,然后利用高斯公式. 【详解】 (2) 曲面方程为 z = 1
y , 曲面在 x O y 平面上的投影区域 D 是 x 2 +y 2 ≤ 1 , 且 ds = 1 + z x 2 + z y 2 dxdy =1 1
x 2 -y 247欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)x 2 +y 2 则有: ∫∫ dxdy = 1
x 2 -y 2 D2π∫ d ∫0 x 2 +y 21r31 4 5 2 dr=( )π 2 1 r 3 6 (n → ∞)16. 详解】 【详解】 利用级数敛散性的一个必要条件: 若收敛, 则通项 a n → 02 2而 a n = sin(π n + a ) lim a n = lim sin(π n + a ) ≠ 0 ,所以,该级数发散.2 2 n →∞ n →∞17. 详解】(1) F (1, y ) = 【详解】 因 迭代公式为1 1 9 2 f ( y
1) + , f ( x ) = x 2 + 9 . 有 则 2 2 2x n +1 =1 9
① 2 xn 由于初值 x 0 & 0 ,显然有 x n ≥ 3 ( n ≥ 1 ) .由于2 9
x n = ≤0 2xn可知 {x n }n=1 构成单调减少而有下界的数列,从而极限 lim x n = α 存在.在迭代公∞n→∞式①内令 n → ∞ 取极限得α 2 = 9 α = 3 .(2)由(1)知级数∑ (xn =1 n∞n x n +1 ) 为正项级数,其部分和S n = ∑ ( x k
x k +1 ) = x1
lim S n = x1
3k =1 n→∞级数∞∑ ( x n
x n+1 ) 收 敛 , 从 而 ∑ ( x n+1
x n ) 也 收 敛 . 对 于 正 项 级 数n =1 n =1∞∞∑xn =1 1 n +11
有 xn 48 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)x
x n +1 x n
= n ≤ x n+1 x n x n x n +1 9由比较审敛法知:级数 18. 详解】 【详解】 (1)令 a1 = a 0 + d,a n = a 0 + nd . lim∑xn =1∞ 1 n +11
收敛. xn a + (n+1)d a n +1 = lim 0 =1 ,所以 r=1. n →∞ a a 0 + nd nn →∞(2)∞ a 0 + nd ∞ a 0 ∞ nd 1 n =∑ n + ∑ n = a 0 + d ∑ n = 2(a 0 + d) ∑ 2n n =0 2 n = 0 2 1 n =0 n =0 2 1 2 ∞令 f (x) =∑nx x ,则 ∫ f (x)dx = ∑ n = n x n =1 2 n =1 2 1 2∞n-1∞nx 2, f (x) =2 , f(1)=2 (2
x) 2所以∑2n =0∞nn=219. 详解】 设 f (y(x)) = G(x) 【详解】 则 G ′(x) + 2xG(x)
ex2=0G(x)= e ∫2xdx( ∫ e
x e x dx + c) = e x (x + c)2 22lim G(x) = 0x→∞20. 详解】 【详解】 (1)设 MT 所在的直线方程为 Y
y = y′′(X
x) ,所以 T 为 (y + x, 0) y′|MT|=|OT| 得x 2
y2 =2xy 解得: x 2 +y 2 = y y′欢迎访问文都网校:netschool. 49 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)πsin θ(2)2 2 ∫∫ x +y dxdy = ∫ dθ D 0∫0r 3dr =3 π 3221. 详解】以顶面圆心为原点,以旋转轴为 z 轴建立直角坐标系.设旋转面在 yoz 【详解】 面内位于 y & 0 的截线方程为y = y (z )则依题意有 ∫ πy 2 (t )dt π y 2 (z )0z=k即 ∫ y 2 dt =zhk 2 y 2,求导得微分方程ky ' =
y用分离变量法解得通解为y = Ce kz由于 z = 0 时, y = a ,定出 C = a ,故 y = ae z k.又由于p = πa 2得曲线的方程为k 2p k = 2 πa 2πa 2 2p zy = ae旋转面的方程为πa 2 x + y = ae2 22pz而旋转体的体积为50 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)h zV = π ∫ y dz = πa2 0h2∫e0hπa 2 pzdz =pπa 2 ep0xp = e
1 22. 详解】 原方程可化为 y′ + 2y
3∫ f (t)dt=sinx- cosx , 两边对 x 求导得到: 【详解】 2 01 1 y′′ + 2y′
3y=cosx+ sinx ,得其通解为 y = c1e3x +c2 e x - cosx 2 4 1 因为 f(x)为周期是 2π 的偶函数,所以 y = - cosx 423. 详解】 (1)由所学过的物理知识和质点间的相互引力为 【详解】L+aKMm a(L + a)(2)∫aKMm KMm 2(L+a) dx = ln (a + L + x)L L 2a+L24. 详解】 设 F(x) = (e x
1)f (x) ,则 F(0)=F(1)=0,由 Rolle 定理知 ζ ∈ (0,1) , 【详解】 使 F′(ζ ) = 0 即 ζ 是 f (x) + (1
e-x )f ′(x) = 0 的一个根.3 4因为 F(x)dx=0 所以,F(x)在 ( ,1 4∫1 3 ) 之间必有一个零点 η , F(η ) = 0 4 4F(x) 在 (0,η ),(η ,1) 上分别应用 Rolle 定理即得证.25. 详解】运用 Lagrange 微分中值定理. 【详解】 原式=|∑k =1 a+na+k(b-a) n∫f(x)dx
∑k =1 a+na+k(b-a) n∫f(a+(k-1)(b-a) n(k-1)(b-a) nk(b-a) )dx | n欢迎访问文都网校:netschool. 51 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)a+ k(b-a) n≤∑k =1 a+n∫|f(x)-f(a+(k-1)(b-a) n a+ k(b-a) nk(b-a) )|dx n∑ ∫k =1 a+nM(k-1)(b-a) nb-a b-a dx = M n n
= 0 ,由罗必达法则 226. 详解】由于 f ( x + h)
x + 【详解】h h 1 h
f ( x + h)
f ' ( x + h)
lim = lim 3 2 h→0 h→ 0 h 3hh 1 h
f & ( x + h)
hf ′′′ x +
= lim = f ′′′( x ) = 0 h→0 6h 24即 f ′′′( x ) = 0 .由此积分三次得f ( x ) = ax 2 + bx + c′ ′ 27. 详解】 反复运用 Rolle 定理,因为 f ′(x) 连续,不妨设 f + (a) & 0 , f
(b) & 0 【详解】所以 ξ 2 ∈ (a, a + ε ),η2 ∈ (b
ε , b) ,使 f (ξ 2 ) & 0 f (η2 ) & 0 ,由介值定理知ξ ∈ (ξ 2 ,η2 )
(a,b) ,使 f (ξ ) = 0f(x)在 [a, ξ ] 和 [ξ , b] 上分别满足 Rolle 定理. 又 从而, 分别 ξ1 ∈ (a, ξ ), ξ 3 ∈ (ξ , b) 使 f ′(ξ1 ) = 0 f ′(ξ 3 ) = 0 , f ′(x) 在 [ξ1 ,ξ3 ] 上满 足 Rolle 定理,所以, η ∈ (ξ1 ,ξ3 )
(a,b) ,使 f ′′(η ) = 052 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 28. 详解】 利用积分中值定理. 【详解】 由积分中值定理, f (x)dx = α f (ξ1 )α∫0ξ1 ∈ [0,α ] , ∫ f (x)dx = ( β
α )f (ξ 2 )αβξ 2 ∈ [α , β ]1 1 ∫ f (x)dx ≥ f (α ) ≥ β
α α f (x)dx ≥ β α f (x)dx ∫ ∫ α0结论成立.1αββ欢迎访问文都网校:netschool. 53 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)线 性 代 数 参考答案 答案详解 参考答案详解一,填空题 1 50 -100
0 1 【答案 答案】 0
【详解】 利用矩阵的初等行(列)变换. 详解】A 2 可看作对矩阵 A 的初等变换①第一列乘以 1 加到第二列②第一列乘以-2 加到第三列,得到 1 2 4
22. 答案】 8 【答案 答案】 详解】 【详解】 A(E-B)=E =& AE-AB=E 而 AB-2E=-E =& AB=E =& A=2E 且 A 为 3 阶阵 =& A= 23 =81 -0 0
1 3. 答案】 【答案 答案】
1 【 详 解 】 AB-B=2A (A-E)(B-2E)=2E =& 则 (A-E)B=2A-2E+2E =& (A-E)B=2(A-E)+2E =& -1 0 1
(A-E) (B-2E)=E 且 B-2E= 0 -1 0
54 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) -1 0 1
E) = 0 -1 0
14. 答案】 5 【答案 答案】1 1 1
详解】 【详解】 1 2 3
= 0 =& 1 3 t
t-5=0 =& t=55. 答案】 -3 【答案 答案】 详解】 【详解】 |AB|=|A||B|=0,因为 B 为任意矩阵,所以 |A|=0 6. 答案】 0 【答案 答案】|A|=t+3=0 则 t=-31
详解】 【详解】
= 0 =& a=0 或 a=3 ,当 a=0 时,表法唯一.
所以 a=-3 7. 答案】 3 【答 详解】 【详解】 -1,-2,-3 为 A 的特征值,且 A 为 3 阶阵,所以,-4 肯定不是 A 的 特征值,从而|A+4E| ≠ 0 即 r(A+4E)=3. 8. 答案】 0 【答案 答案】 【提示】 | λ E
特征值为 λ = 1, λ = 0 (二重) 提示】 当 λ = 0 时要对应两个线形无关的特征向量,故 a = 0 . 9. 答案】 -2 【答案 答案】0
【详解】 将 f(x)化为规范二次型.二次型矩阵 A = 0 a-1 详解】 0
0 a-1 2-a 2
正负惯性指数都是 1,所以 a=-2 10. 答案】 a = b = 0 【答案 答案】 【详解】 设 A 为已知曲面的二次型矩阵,B 为椭圆柱面的二次型矩阵.由已知 详解】| λ E-A| =| λ E-B |欢迎访问文都网校:netschool. 55, 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) λ 3
3λ 2 + (2-a 2 + b 2 )λ + (a 2 + b 2
2ab) = λ 3
3λ 2 + 2λ由待定系数可得 a + b = 0 ,得到 a=0,b=0.2 2二,选择题1. 答案】 C 【答案 答案】T T 【 详 解 】 因 为 (A+E)A = E + A = (E + A) 所 以 | A + E||A|=|A+E| 又 因 为|A|=-1,所以|A+E|=0 2. 答案】 C 【答案 答案】1
提示】 【提示】 由线性无关的向量构成的矩阵可逆.分别取 β = 0 ,
可知 A 为零阵. 3. 答案】 C 【答案 答案】 提示】 【提示】 初等行列变换不改变矩阵的秩. 4. 答案】 B 【答案 答案】 详解】 【详解】 设 r(A)=r ,r(B)=s,由 AB=0 知 B 的每一列向量都是 AX=0 的解向量. ①当 r=n 时,AX=0 只有零解,故 B=0,而 r(A)=n 得到:r(A)+r(B)=n ②当 r& n 时,AX=0 的基础解系含有 n-r 个解,从而 B 的列向量组的秩 ≤ n-r. 故 r(A)+r(B) ≤ n 5. 答案】 C 【答案 答案】 【提示】 提示】ε1 , ε 2 , ε 3 与 α1 ,α 2 ,α 3 可互相线性表示,等价向量组具有相同的秩.6. 答案】 A 【答案 答案】 提示】 【提示】 |A|=0,则 A 中的行向量必线性相关,从而必有一行向量是其余行向量 的线性组合. 7. 答案】 A 【答案 答案】 【详解】 不妨设 r1 ≠ 0, r2 ≠ 0 ,设 α1 , α 2 α r1 ; β1 , β 2
β r2 ; γ 1 , γ 2 γ r3 分别是它 详解】 们的极大无关组. 显然, γ 1 , γ 2 γ r3 可由 α1 , α 2 α r1 ; β1 , β 2
β r2 线性表示,56 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 又因 γ 1 , γ 2 γ r3 线性无关,从而 r3 ≤ r1 + r2 且 α1 , α 2 α r1 ; β1 , β 2
β r2 可由 γ 1 , γ 2 γ r3 线性表示 , 则 max(r1 ,r2 ) ≤ r3 ≤ r1 +r2 8. 答案】 B 【答案 答案】 提示】 【提示】 r(A) =4 ,从而方程组有解. 9. 答案】 C 【答案 答案】 【提示】 提示】α 2 + α 3
2α1 为对应齐次线性方程组 AX=0 的解.所 AX=b 的通解为α1 + c(α 2 + α 3
2α1 ) .10. 答案】 C 【答案 答案】 提示】 【提示】 矩阵与它的相似矩阵有相同的行列式.答案为 C.三,解答题1. 详解】 (1)设 k1 ( β
α1 ) + k 2 ( β
+ k s ( β
α s ) = 0 【详解】 则 (k1 +k 2 + +k s )β
k1α1 -k 2α 2
k sα s =0 ,且 β = α1 + α 2 + +α s 得到:∑ k iα1 + ∑ k iα 2 + +∑ k iα s =0i ≠1 i≠2 i ≠ssss s ∑ k i = 0
s ∑ k i = 0 因为 α1 , 2 ,…. , α s 线性无关, α . 从而
s ∑ k i = 0
i ≠s即 β
α 2 ,……., β
α s 线性无关. (2)利用反证法 欢迎访问文都网校:netschool. , 可得到 k i =0 (i=1, …,s) 2,57 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 只需证明:若 β
α 2 ,……., β
α s 线性无关,则 α1 , α 2 ,…. α s 也线 ., 性无关即可.设 k1α1 + k 2α 2 +
+ k sα s = 00 … 1
α s ) = (α1 ,α 2 , ,α s )
| A | = (s
1)(1)s 1所以,若α1 , α 2 ,… .. , α s 也 线 性 相 关 , 则β
α 2 ,……., β
α s 也线性相关.2. 详解】 【详解】 ( 1 ) 若 β 不 能 由 α1 , α 2 , α 3 线 性 表 示 , 必 有 | α1 α 2 α 3 |= 0 得 3a 2a-1 4a-1
det 2a+1 2a-1 3a =0
a+1 a-2 2a
从而 (a + 1)(a
1) 2 =0 , a=1 或 a=-1 ,当 a=1 时, 不符合题意, 排除. 所以 a=-1 (2)若 β 可由 α1 , α 2 , α 3 唯一线性表示,则 | α1 α 2 α 3 |≠ 0a ≠ ±1(3)若 β 可由 α1 , α 2 , α 3 线性表示,但表示法不唯一,则 | α1 α 2 α 3 |= 0 得a= ± 1 ,经验证,a=-1 时不合题意.所以 a=1.3. 详解】 令 β1 = α1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3
β n = α n + α1 【详解】 性无关,得∑x βi =1 ini= 0 由αi 线x1 +x n =x1 +x 2 =
=x n-1 +x n = 0 1 0… 0 1
这个齐次线性方程组的系数行列式为 D=
= 1 + (1) n +1
58 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 讨论 (1)当 n 为奇数时, D = 2 ≠ 0 ,方程组只有零解. (2)当 n 为偶数时,D=0,方程组有非零解. 4. 详解】 显然, α1
α 0 , , α n-r
α 0 是 AX=0 的解. 【详解】 下证:其线性无关性. 设 k1 (α1
α 0 ) + k 2 (α 2
+ k n-r (α n-r
α 0 ) = 0 则 k1α1 + k 2α 2 +
+ k n-rα n-r
(k1 +k 2 + +k n-r )α 0 = 0 因为 α 0 , α1 , α 2
, α n-r 线性无关.所以, k1 =k 2 =
= k n-r = 0 秩(A)=r ,所以,基础解系所含向量为 n-r 个. 5. 详解】 【详解】 (1) λ ≠ 0 且 λ ≠ n 时,方程组仅有零解 (2)当 λ =
n ,或 λ = 0 时方程有非零解. 当 λ = 0 时,方程组等价于 x1 + x 2 +
+ x n = 0 故 通 解 为k1η 1 +
+ k n 1η n 1,其中η 1 = (1, 1, 0,
, 0) T,η 2 = (1, 0, 1,
, 0) T ,…,η n 1 = (1, 0,
, 1) T .当 λ = n 时1 1
0其基础解系为η = (1, 1,
, 1) T ,从而通解为 kη . 6. 详解】 把方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯形 【详解】1 1 0
0 0 1 A= → 0 1 a
0 a 1 0 b + 1
1 1(1)当 a
1 ≠ 0 ,即 a ≠ 1 时,方程组有唯一解,其唯一解为 欢迎访问文都网校:netschool. 59 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)x1 =ba+2 a
3 b +1 , x2 = , x3 = , x4 = 0 a 1 a 1 a 1(2)当 a = 1 且 b ≠ 1 时,秩 (A ) = 2 & 秩 ( A ) = 3 ,知方程组无解. (3)当 a = 1 且 b = 1 时,秩 (A ) = 秩 ( A ) = 2 ,方程组有无穷多解.1
0 将 A 进一步化为 A →
1 2 2 1 0 0 0 0
0 0 0 0 T T故全部解为 ( 1, 1, 0, 0) + k1 (1,
2, 1, 0) + k 2 (1,
2, 0, 1) 意数)( k1 , k 2 为任 β1
为 AX=0 的通解,
为 AX= β 的通解,令 β =
7. 详解】 【详解】
分别代入到 AX=0 ,AX= β 中得到 α1
2α 2 + 4α 3 = 0 ; 4
,从而得到 α
2α + 2α =
2α 2 + 2α 3 + α 4 = 1 2 3 4
β4 B = (α 3 , α 2 , α1 , β
= (α ,α ,α ,α ) 0 BX = (α 3 ,α 2 ,α1 ,α1
2α 2 + 2α 3 ) 1 2 3 4
0 x4 0 1 0 01 0 0 01 2 2 0
x4 60 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) =α1
α 20 0 推出
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 0
-1 = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 )
0 推 出 x1 =
x 4 ,x 2 = 2x 40
-1 x 3 = 1
x 4 ,令 x 4 =0 得到
为 BX= α1
α 2 的一个特解. 1
令 BX=0,易求出 BX=0 的基础解系为 k1 1
-1 所以 BX= α1
α 2 的基础解系为 k1
0 8. 详解】 由于方程组 AX=b 【详解】 (1) 的系数矩阵的秩为 r, 故对应的齐次线性方程组 的基础解系有 n-r 个解向量,设为 α1 , α 2 , , α n-r ,若 α 是非齐次线性方程组(1) 的一个解,那么(1)的 n-r+1 个解向量α ,α1 + α ,α 2 + α , ,α n-r + α 是线性无关的. β 是方程组 设 (1) 的任一解向量, β
α = γ 是对应齐次线性方程组的解. 则 从 而可由 α1 , α 2 , , α n-r 线性表示, β
α = c1α1 +c2α 2 +
+ c n-rα n-r 于是有β = α + c1α1 +c 2α 2 +
+ c n-rα n-r= α + c1 (α1 + α )+c 2 (α 2 + α ) +
+ c n-r (α n-r + α )
c n-rα欢迎访问文都网校:netschool. 61 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)= c1 (α1 + α )+c 2 (α 2 + α ) +
+ c n-r (α n-r + α ) + (1
c n-r )α即 β 可由 α , α1 + α , α 2 + α , , α n-r + α 线性表示. 9. 详解】 【详解】| λE
a2ρ a2ρ λ
(a 2 + a 2 (n
1) ρ )][λ
a 2 ρ )] n 1 ∴ λ1 = a 2 [1 + (n
1) ρ ] , λ 2 = a 2 (1
ρ )当 λ = a 2 (1
ρ ) 时 a2ρ
a2ρ 从而特征向量为 a2ρ
η 1 = (1, 1, 0,
, 0) T , η 2 = (1, 0, 1, 0,
, η n1 = (1, 0,
, 1) T2 当 λ = a [1 + ( n
1) ρ ] 时 a2
a2ρ a2ρ a2
a2ρ a 2 ρ
所以,η n = (1, 1,
, 1) 是其特征向量.T62 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)1 1
0 1 0 1 (2) P =
1 1 a 2 (1
2 a [1 + (n
n 10. 详解】 相似的矩阵有相同的特征多项式,再利用待定系数法,即可得到: 【 详解】 a=5,b=-2,c=21
且 A 的特征值为 λ = 1,λ = 2,λ = 1 ,当 λ = 1 时,求得特征向量为 α1 = 1 ,当
,当 λ = 1 时,求得特征向量为 α = 1
, λ = 2 时,求得特征向量为 α 2 = 3
11. 详解】 A 的特征多项式 【详解】欢迎访问文都网校:netschool. 63 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)λ 1| λ E
2 a1aλ 1+ a1aλa1λa 2 = 0 2 λ 1 λ 1+ a 1 λ 1进而可得到= (λ + a
1)得 A 的特征值为 λ1 = 1
a, λ 2 = a, λ 3 = a + 1 .λ1 = 1
a 的特征向量为ξ 1 = (1, 0, 1) T λ 2 = a 的特征向量为ξ 2 = (1, 1
2a, 1) Tλ3 = a + 1 的特征向量为ξ 3 = (2
4a, a + 2) T则 若 λ1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 , 1
a ≠ a + 1, a ≠ a + 1, 即 a ≠ 1 / 2 且 a ≠ 0 时,A 有三个不同的特征值, A 可以对角化.若 a = 1 / 2 ,即 λ1 = λ 2 = 1 / 2 ,此时属于 λ1 = λ 2 = 1 / 2 的线性无关的特征向 量只有一个,故 A 不可对角化. 若 a = 0 ,即 λ1 = λ3 = 1 ,此时属于 λ1 = λ3 = 1 的线性无关的特征向量只有一 个,故 A 不可对角化. 12. 详解】由题设条件知三阶实对称矩阵 A 的特征值为 【详解】λ 1 = 2 ,λ 2 = λ 3 =
1由于 A = A A ,知 A* 对应于特征值 1 的特征向量是 A 对应于特征值 λ1 = 2 的* 1特征向量.故 α = (1 , 1 ,
1) 为 A 对应于特征值 λ1 = 2 的特征向量.而 A 对应于特T征值 λ2 = λ3 = 1 的特征向量与 α 正交,由x1 + x 2
x 3 = 0求 得 属 于 特 征 值 λ2 = λ3 = 1 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 为 α 2 = (1 , 0 , 1) ,Tα 3 = (0 , 1,)T .将这三个向量单位正交化得到 164 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 1
3 求的二次型为1 2 0 1 2 0
1 ,则 A = P 0
2 x 2 x 313. 证明】 【证明】 设 A 的属于不同特征值 λ1 , λ 2 ,
, λ n 的特征向量分别为α 1 , α 2 ,
, α n .由条 件 知 , α 1 , α 2 , , α n 也 是 B 的 特 征 向 量 . 因 为 λi ≠ λ j (i ≠ j ) , 所 以α 1 , α 2 ,
, α n 线性无关,即 B 有 n 个线性无关的特征向量,从而 B 也可对角化.令 P = (α 1 , α 2 ,
, α n ) ,则 P AP = diag{λ1 , λ 2 ,
, λ n }1P 1BP = diag{1 ,
n }从上式可知: α i = λiα i , Bα i =
iα i (i = 1, 2,
, n) , A 两端分别乘 B 与 A 得(BA)α i = λi Bα i = λi
iα i1( AB)α i =
i λ iα i ,从而有(BA)α i = ( AB)α i = λ i
iα i , BA[α 1 , α 2 ,
, α n ] = AB[α 1 , α 2 ,
, α n ] 在 故等式两端右乘 P= [α 1 , α 2 ,
, α n ] 1 即得 AB = BA .欢迎访问文都网校:netschool. 65 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)概 率 统 计 参考答案详解一,填空题1. 答案】 0.3 【答案】 【详解】 因为 详解】P( A) = P( A ∩ ( B ∪ B)) = P( AB) + P( AB) = P( AB) + ( A
B)所以 P ( AB ) = 0.7 2. 答案】 k = 【答案】P( AB) = 1
P( AB) = 0.31π【详解】 因为 详解】∫+∞∞f ( X ) = 1 ,所以 d ( x
2) = ∫ ke∞ +∞
y2 2 +∞ y d( ) = ∫ k π ∞ 2∫+∞∞ke ( x
y2 e dy = 1 2π2从而 k π = 1 3. 答案】 N (1, ( 5 ) 2 ) 【答案】k=1π【详解】 X , Y 相互独立,所以, Z 服从正态分布 详解】 由 E ( X
Y + 1) = EX
EY + 1 = 2
Y + 1) = DX
DY = 5得N (1, ( 5 ) 2 )66 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)4. 答案】 【答案】3 5【详解】 P { X & Y } = 详解】 5. 答案】
【答案】∫ ∫0+∞x06e2 x 3 y dydx = ∫ 2e 2 x (1
e 3 x )dx =0+∞3 5 ye
y y & 0 y≤0 0【详解】 f y ( y ) = 详解】 6. 答案】 0,1 【答案】∫y0 ye
y dx = ye y ( y & 0) ,所以 f y ( y ) =
0 y ≤ 0【详解】 X ~ N (
, 详解】 7. 答案】 0.6 【答案】X
2 1 ) ~ N (0, )
p( α N n2X
2( ≥ 1) ≤1π1)2 =1 n【详解】 cov( X , Y ) = ρ DX 详解】 8. 答案】 【答案】DY = 0.61 32 2 【详解】 9c
9c + 3 = 1 详解】推出 c1 = 9. 答案】 【答案】 【详解】 详解】3 (舍), 2c2 =1 3(当 c1 =3 时 2p2 & 0 , p3 & 0 )χ 2,m + n
1) s12 ~ χ 2 (m
1) 2(n-1)s 2 2 ~ χ 2 (n
1) =& 2V ~ χ 2 (m + n
2)10. 答案】 [9.755,10.245] 【答案】 【详解】 因为 V = 详解】10
x = = 8(10
) σ 0 / n 1/ 2 / 41
α = 0.9567欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 取 Φ (1.96) = 0.9758 10
≤ 0.97510
≤ 0.245 ∈ [9.755,10.245]11. 答案】 【答案】(n
1 2 )π2【详解】 xk +1
xk ~ N (0, σ ) 详解】E xk +1
xk = ∫+∞∞x1 2π 2σ2ex 4σ 2dx=2σπ 所以 E (σ ) =1 n 1 1 2 ∑ E xi+1
1) π σ = σ k i =1所以 K = 2( n
1) / π 12. 答案】
【答案】1-e 2 x
2 xe 2 x x ≥ 0 x&0 0【详解】 因为 详解】∫+∞∞f ( x)dx = 1
∫ axe 2 x dx = 1
a = 40+∞F ( x) = ∫x∞ x 4 xe 2 x dx x ≥ 0 1
2 xe 2 x x ≥ 0
= f ( x)dx =
∫0 x&0 0 0 x&0 13. 答案】 0 【答案】2 2 2 2 2 2 2 2 【详解】 E (ξη ) = E ( X
+ σ ) = 0 详解】Eξ Eη = E ( X + Y ) E ( X
) = 0ρξη = 014. 答案】 0.975 【答案】 【详解】 因为 E X = 1 详解】DX =1 1 = n 10068 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)
x2 所以 P X ≤ 1.196 = P
≤ 1.96 = ∫ e dx = 0.975 ∞ 2π
100 {}15. 答案】 15.8 【答案】 【详解】 因为 p14 = 0.2 × 0.3 = 0.06 详解】p15 = 0.2 × 0.7 + 0.5 × 0.3 = 0.29 p16 = 0.5 × 0.7 + 0.3 × 0.3 = 0.44 p17 = 0.3 × 0.7 = 0.21所以 E ( Z ) = 14 × 0.06 + 15 × 0.29 + 16 × 0.44 + 17 × 0.21 = 15.8二,选择题1. 答案】 C 【答案】 【详解】 A
B = AB 详解】 2. 答案】 D 【答案】 【详解】 P ( A) = P ( AB ∪ AB ) = P ( AB ) + P ( AB ) = P ( A
B ) + P ( AB ) 详解】 由 P ( AB ) = 0
P ( A) = P ( A
B ) 3. 答案】 B 【答案】 提示】 【提示】 ①中均匀函数,密度函数不连续. ④中均匀函数随机变量 ξ ∈ [a, b],η ∈ [c, d], b & c 则④错. 4. 答案】 D 【答案】 5. 答案】 C 【答案】 详解】 【详解】A = AB ∪ AB AB = P ( X = Y ) = P {( X = 0, Y = 0) ∪ ( X = 1, Y = 1)} = P ( X = 0, Y = 0) + P ( X = 1, Y = 1) =6. 答案】 D 【答案】 欢迎访问文都网校:netschool. 691 2 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 【提示】 D 中不一定两两不相交 提示】 7. 答案】 B 【答案】(XY)=EX
EY ,所以 cov( X , Y ) = 0 【详解】 因为 E 详解】故 D ( X + Y ) = DX + DY 8. 答案】 C 【答案】 9. 答案】 D 【答案】 提示】 【提示】 D 服从指数分布有 EX 存在 10. 答案】 C 【答案】 【提示】 C 确定样本容量才成立三,解答题1. 详解】 设 Ai 为 i 架飞机到达目标上空 B 为目标被炸毁 【详解】P( A0 )=0.2P( A1 ) = 0.8 × 0.2 × 0.2 = 0.0321 P ( A2 ) = C2 × 0.8 × 0.2 × 0.8 = 0.256 P ( A3 ) = (0.8)3 = 0.512P ( B | A0 ) = 0 P ( B | A1 ) = 0.3P( B | A2 ) = 1
P ( B | A2 ) = 1
0.7 2 = 0.51 P( B | A3 ) = 1
P( B | A3 ) = 1
0.73 = 0.657P( B) = ∑ P( B | Ai )P( Ai ) = 0.4765i =0 32. 详解】 当 y & 0 时 【详解】FY (y) = P(Y ≤ y) = P{F(x) ≤ y} = P(φ ) = 0当 0 ≤ y ≤ 1时FY (y) = P(Y ≤ y) = P{F(x) ≤ y} = P(x ≤ F1 (y)) = F[F1 (y)] = y当 y&1 时FY (y) = P(Y ≤ y) = P{F(x) ≤ y} = P() = 170 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)′ 综上所述, FY (y) = FY (y) = 3. 详解】 【详解】 (1) X Y -1 0 1 -1 0 0.2 0 0.2 01 0y ∈ [0,1] 其它1 0 0.2 0 0.2P j0.2 0.6 0.2 10.2 0.2 0.2 0.6PiP(XY=0)=1 P(XY ≠ 0)=0P1,1 = P1,1 = P1,1 = P1,1 = 0(2) P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.2∞ ∞4. 详解】 (1) 【详解】∞ ∞∫2 ∫ f (x, y)dxdy = 1
c ∫ x dx ∫ ydy = 1
c = 1 x21121 4 1 21 2
x (1-x ) -1 ≤ x ≤ 1 (2)f X (x) = ∫ f (x, y)dy =
x 2 4 = 8 ∞
0∞ y 21 7 5
∫ x 2 ydx
y 2 = 2 f Y (y) = ∫ f (x, y)dx =
0∞0 ≤ y ≤1其它(3) f(x,y) ≠ f X (x)f Y (y) 不独立1 x 5. 详解】 f(x,y) = e 【详解】 2π2+ y2 2,欢迎访问文都网校:netschool. 71 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)1 x P(Z=0)= ∫∫ e 2π x 2 + y2 & 42+ y2 2dxdy=e 2 1 21 x P(Z=1)= ∫∫ e 2π ≤ ax 2 + y 2 ≤ 42+ y2 2dxdy=e -e2 1 2P(Z=2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)=1-e分布律 Z P 6. 详解】 (1) f Y (y) = 【详解】 012e 2+∞e 2 -e2 ( x + y)11-ey&01 2∫ 2 (x + y)e011 dx = (ye
y + e y ) 21 (x + y)e
( x + y) f (x, y) 2 y + x x e 所以, FX|Y (x|y) = = = 1 f Y (y) y +1 y y (ye + e ) 2(2) P(Z=1)=P(x ≥ Y)=+∞∫01 1 1 dx ∫ (x+y)e
( x + y) dy=
P(Z=0)= 2 2 2 0x0 1
2 1 x&0 0 ≤ x&1 x ≥17. 详解】 (1)X,Y 不相关且服从二维正态分布 =& X,Y 相互独立 【详解】 X,Y ～N ( 2,2 2 ) =& X-Y ～N ( 2,2 2 )Fz (z)=P(Z ≤ z)=P(-z ≤ |x-y| ≤ z)=P(-z ≤ u ≤ z)= ∫-z
z2 16z1 2π 8eu2 16du = ∫0z1 2 πeu2 16du′ 所以, f Z (z) = FZ (z)=1 2 πe72 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)1
16 2 2 e dz =8 (2) E(Z)= ∫ zf Z (z)dz= ∫ z e dz = , E(Z )= ∫ z π 2 π 2π -∞ 0 0所以 D(z)=E(Z )-[E(Z)] =2 2∞+∞z2∞z28π(π -2)k=1,2,…….,n8. 详解】 设 A k ={ 第 k 个人收到自己的资费单 } 【详解】P(A k )=1 nP(A i A j )=P(A j |A i )1 1 1 P(A i )=
= n n-1 n(n-1)则 Z=设 Xk = 1 01 nA k出现 A k 不出现E(X k )= 1 nn∑Xk=1nk所以 P(X k =1)=nD( X k )=nn-1 n2E(Z)=E(∑ X k )=1k=1D(Z)=D(∑ X k )= ∑ D(X k ) + 2Cn 2 cov(x i , x j )k=1 k=1cov(x i , x j ) = E(x i x j )
Ex i Ex j =1 1 1 1 1 1+[1]
= 2 n(n-1) n(n-1) n n n (n-1)所以 D( Z)=n n-1 n(n-1) 1 +2
2 =1 2 n 2 n (n-1)9. 详解】 由题知两台 X,Y 设备服从指数 λ 分布且独立. 【详解】EX=EY=1λ=5000=&λ =0.00020.0002( x + y)所以 X,Y 联合密度函数 f(x,y)= 0.0004 ex,y & 0Z = min(X, Y) E(Z) = ∫∫ min(X, Y)f (x, y)dxdy= ∫∫ yf (x, y)dxdy+ ∫∫ xf (x, y)dxdy= 1 21 4 = 1 +21 ={(x,y)|0 ≤ x ≤ ∞,0 ≤ y ≤ x}2 ={(x,y)|0 ≤ y ≤ ∞,0 ≤ x ≤ y}73欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 10. 详解】 【详解】 (1) P(x1 =0)=3 10P(x1 =1)=7 10P(x 2 =0)=8 10P(x 2 =1)=2 101 1 P(x1 =0,x 2 =0)=P(x 3 =1)= 10 10 2 7 P(x1 =0,x 2 =1)=P(x 2 =1)= P(x1 =1,x 2 =0)=P(x1 =1)= 10 10 P(x 3 =0)= P(x 3 =1)=9 10P(x1 =1,x 2 =1)=0 x10 1P j0.8 0.2 1x20 1 0.1 0.2 0.3 0.7 0 0.7Pi(2) Ex1 =0.7Ex 2 =0.2 Dx 2 =0.16Ex 21 =0.7Ex 2 2 =0.2Dx1 =0.21E(x1x 2 )=0cov(x1 ,x 2 ) = E(x1x 2 )-Ex1Ex 2 = -0.14ρx x =1 2cov(x1 ,x 2 ) -0.12 = =-0.76 Dx1 Dx 2 0.21 0.1611. 详解】 【详解】 (1) L(x1 ,x 2 , ,x n ) =1θne1
[(x1 -a)+(x 2 -a)++ ( x n -a)]θln L(x1 ,x 2 , ,x n ) =
ln L(θ , a) n = a θ∑ (x θi =11ni a) ln L(θ , a) n 1 =- + 2 θ θ θ∑ (x -a)i =1 in74 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 因为nθ&0 故 L (θ , a) 关于 a 单调增加,且 x i &a所以 a 可取最大值 min(x1 ,x 2 , ,x n ) ,L (θ , a) 对于固定 θ 取得最大. 所以 a = min(x1 ,x 2 , ,x n )(2) 1 = EX =+∞ +∞θ = x
min(x1 ,x 2 , ,x n )+∞∞ +∞∫xf (x)dx =∫θaxex aθdx = a + θ 2 = EX 2 =∞∫x 2 f (x)dx =∫ax2θex aθdx = a 2 + 2θ (a + θ )a + θ = x
2 a + 2θ (a + θ ) = ∑ x i 2
n i =1 x=1 n ∑ xi n i =1 得θ =1 n ∑ (x i
x)2 n i =1 a = x-1 n ∑ (x i
x)2 n i =112. 详解】 【详解】 (1)因为 E(x1 )=E(x 2 )=EX= 所以, EY=E(ax1 +bx 2 )=(a+b) 当 a+b=1 时 EY= (2) Dx1 =σ2n1Dx 2 =σ2n2 a 2 b 2 2 a 2 (1-a) 2 2 + )σ =[ + ]σ n1 n 2 n1 n2DY = D(ax1 +bx 2 )=(dDY 2a 2(1-a) 2 n1 n2 =[
a = 此时 b = da n1 n2 n1 + n 2 n1 + n 2欢迎访问文都网校:netschool. 75 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 13. 详解】 【详解】P{|x- 0 |&K}=0.05 , P{|即 P{4|σx- 0 n|&K nσ}=0.05x- 0σ|≤ K4所以 P{4 从而x- 0σ}=0.95 }=0.975σ≤ K4σ4Kσ=1.96则 K=0.49676 欢迎访问文都网校:netschool.}
y=(1-e^(1/x))/(x+e^1/x)渐近线有几条，请分别解答
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1、水平渐近线：lim(x→+∞)(1+x)/(1-e^(-x))=∞
lim(x→-∞)(1+x)/(1-e^(-x))=洛=lim(x→-∞)1/(e^(-x))=0所以水平渐近线为x=0;2、铅直渐近线：去分母为0，1-e^(-x)=0，x=0，所以铅直渐近线为y=0;3、斜渐近线：lim(x→+∞)y/x=lim(x→+∞)(1+x)/(x*(1-e^(-x)))=lim(x→+∞)(1+x)/x*lim(x→+∞)1/(1-e^(-x))=1*1=1lim(x→+∞)(y-1*x)=lim(x→+∞)(1+x-x+x*e^(-x))/(1-e^(-x))=lim(x→+∞)(e^x+x)/(e^x-1)=1所以斜渐近线y=x+1lim(x→-∞)y/x=lim(x→-∞)(1+x)/(x*(1-e^(-x)))=lim(x→-∞)(1+x)/x*lim(x→-∞)1/(1-e^(-x))=1*0=0lim(x→-∞)(y-0*x)=lim(x→-∞)(1+x)/(1-e^(-x))=洛=lim(x→-∞)(1)/(e^(-x))=0所以斜渐近线不存在综上三点，共有三条渐近线。
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1y=e^x/(1+x)lim(x→0)e^x/(1+x)=1水平渐近线y=12x^2+x+1=0(x+1/2)^2+3/4=0(x+1/2)^2&=0没有实根
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出门在外也不愁高等数学复习题(答案)_省心范文网
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考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)高 等 数 学一,填空题1.曲线 y =∫xx 0sin t dt 的全长=_________.2.设 f (x ) 在 x = 0 点的某邻域内连续,且 f (0) = 1 ,∫ ∫ 则 limdt0 x →0tf (u )du0sin x 22x 02=__________.3.设 f ( x ) =∫e t dt + 1 , y = f (x) 的反函数是 y =
(x) ,则 ′(1) =___________.4.设二阶常系数线性微分方程 y ′′ + αy ′ + βy = γe
x 的一个特解 为 y = e + (1 + x )exx,则此方程的通解为___________.5.设函数 f (x ) 在 x = 0 点的某个邻域内连续,且 limf ( x) = 2 ,则曲线 x →0 e x
1y = f (x) 在 x = 0 处的法线方程为_________.6.曲线
sin t π 在 t = 处的曲率半径 R=___________. 2
y 2 的上侧.7.∫∫ z dxdy =___________,其中 ∑ 为 z =∑18.若函数 y = f ( x ) 处处二阶可导,且点 ( p, f ( p )) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点, 则 lim limf ( p + k + h)
f ( p + k )
f ( p + h) + f ( p )
= _________. k →0 h→ 0 kh
y 2z 9.设 z = f ( xy, ) ,且 f 有二阶连续偏导数,则 = _________________. x xy欢迎访问文都网校:netschool. 1 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 10.点 (1, 1, 0) 到直线x y z 3 = = 的距离为___________. 1 2 12 211.若函数 f ( x, y ) 在 D : x + y ≤ 4 上连续,且xy∫∫ f ( x, y)dxdy = f ( x, y)
2 ,则 f ( x, y) =__________.D12.级数 ∑ 2 + cos n x 的收敛区间为__________.n n n =1∞()13.∫ ∫dy011 ye
x dx =__________.214.已知曲线的方程为 f ( x) =∫x 1(1 | t |) dt ,则曲线 y = f (x) 与 x 轴围成的平面图形的面积为__________. 15. ∑1 = ___________. n 1 n =1 n
3∞二,选择题1.若 f (x) 在 x0 点处取得极大值,则下面结论正确的是 (A) f ′( x0 ) = 0 ,且 f ′′( x 0 ) & 0 (B) f ′( x0 ) = 0 ,且 f ′′( x0 ) & 0 (C) f ′( x0 ) = 0 ,且 x & 0 时 f ′( x ) & 0 , x & 0 时 f ′( x ) & 0 (D) f (x ) 在 x0 点处有可能不可导 2 . 设 f (x ) 在 x0 点 的 某 个 邻 域 内 存 在 ( n + 1) 阶 连 续 导 数 , 且 ( )f ′( x0 ) = f ′′( x0 ) =
= f ( n ) ( x0 ) = 0 , f ( n+1) ( x0 ) & 0 ,则(A)当 n 为奇数时, ( x 0 , f ( x 0 )) 必是曲线 y = f (x ) 的拐点 (B)当 n 为偶数时, ( x 0 , f ( x 0 )) 必是曲线 y = f (x ) 的拐点 (C)当 n 为奇数时, f (x ) 在 x0 点处必不取得极值 (D)当 n 为偶数时, f (x ) 在 x0 点处必取得极值()2 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)1
x cos + a sin x 3.设 f ( x ) =
x bx + c (A) a = b , c = 0 (C) a = b , c 任意x&0 x≥0,且 f (x ) 在 x = 0 处可导,则 ( )(B) a = b , c = 0 (D) a = b , c 任意x 0∫ ( x
t )dt ,则 4.设 f (x ) 是 (
∞, + ∞ ) 内连续的正值函数, ( x ) = ∫ f (t )dtx 0( (A)
∞, 0) 内单调增加,在 (0, + ∞) 内单调减少 (B)
∞, + 0) 内单调减少,在 (0, + ∞) 内单调增加 (C)
∞, + ∞ ) 内单调增加 (D)
∞, + ∞ ) 内单调减少 5.曲线 y = x
2 arctan x 的渐近线有 (A)一条 6.若级数 ∑∞ n)( (D)四条 ()(B)二条(C)三条∞ 3 a n 收敛,则 ∑ (1) n na n 是 n n =1 2 n =1)(A)绝对收敛的 (B)发散的(B)条件收敛的 (D)收敛与否与 a n 有关7. f (x) 是具有一阶连续导数的非负任意函数, 设 且 与 4x 等价的无穷小量,则 f ′(0) =2∫f ( x) 0f (t )dt 是当 x → 0 时( )(A)0(B)1(C)2(D)1 2)8 . 已 知 曲 线 y = f ( x) 过 原 点 , 且 在 原 点 处 的 法 线 垂 直 于 直 线y
3 x = 1, y = y ( x) 是微分方程 y ′′
2 y = 0 的解,则 y ( x) = ((A) ex e2x(B) e2x ex3欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) (C) e
ex 2 x(D) ex → x02 x ex9.若函数 y = f (x ) 满足 lim 的微分 dy 是f ( x) = 1 ,则当 x → x0 时,该函数在 x = x0 处 x
x0( (B)与 x 等价的无穷小 (D)比 x 低阶的无穷小 )(A)与 x 同阶不等价的无穷小 (C)比 x 高阶的无穷小10.设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数,它在一个周期内的表达式为x + 1 f ( x) =
x0 ≤ x ≤1 1& x ≤ 2,则 f ( x ) 的付立叶级数a0 ∞ + ∑ (a n cos nπx + bn sin nπx) 在 x = 3 处收敛于 2 n =1(A)1 (B)( (D)0 ()3 2(C)211.设 f ( x ) 在 [ a, b] 上单调增加且连续,则下列说法正确的是 (A)必
唯一一点 ξ ∈ [ a, b] ,使 (B)必
唯一一点 ξ ∈ ( a, b) ,使 (C)不可能存在 ξ ∈ ( a, b) ,使)∫bb a b af ( x)dx = f (ξ )(b
a ) f ( x)dx = f (ξ )(b
a )∫∫af ( x)dx = f (ξ )(b
a )b a(D)至少
两点 ξ 1, 2 ∈ ( a, b) ,使∫f ( x)dx = f (ξ i )(b
a )(i = 1, 2)12. y1 , y 2 , y3 是微分方程 y ′′ + py ′ + qy = f (x ) 的三个线性无关的解, 1 , c2 设 c 为任意常数,则 y = c1 y1 + c2 y2 + (1
c2 ) y3 (A)是此方程的解,但不一定是它的通解 (C)是此方程的特解 13.下列说法不正确的是 (A)若 u n ≥ 0 ,且 ∑ u n 收敛则 limn =1 ∞()(B)不是此方程的解 (D)是此方程的通解 ( )u n+1 &1 n→∞ u n4 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (B)若 lim nu n = 1 ,则 ∑ u n 必发散n→∞∞n =1(C)若 lim n u n =2 n→∞ ∞ 2 ∞∞ 1 ,则 ∑ u n 必收敛 n =1 2 2 ∞(D)若 ∑ u n , ∑ v n 都收敛,则 ∑ u n v n 必绝对收敛n =1 n =1 n =114. I =∫L( x + y )dx
y )dy ,L 为 | x | + | y |= 1 的顺时针方向,则 I = x2 + y2( ) (B) 2π (C)
2π (D) π (x →0(A)015.下列说法正确的是)(A)若 f ( x ) 和 g ( x ) 在 x = 0 点的某邻域无界,则 lim f ( x ) g ( x) = ∞ (B)若 f (x ) 在 x = 0 点的某邻域内有界, g (x ) 在 x = 0 的某邻域无界,则f ( x)
g ( x) 在 x = 0 点的某邻域一定无界(C)若 f (x ) 和 g (x ) 都在 x = 0 点的某邻域有界,则 f ( x ) + g ( x ) 在 x = 0 点 的某邻域一定有界 (D)若 f ( x ), g ( x) 在 x = 0 点的某邻域内都有界,则必有 lim f ( x ) g ( x ) = 0x →0三,解答题1,求极限 (1) lim . +x→0x x
(sin x) x sin 2 x
ln(1 + tan x)x 0∫ t | cos t | dt (2) lim .x→ +∞x2欢迎访问文都网校:netschool. 5 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) x tf (t ) dt
a ∫x≠0 x=0,其中 f (x ) 在 x = 0 的某邻域内连续,在x = 0 处可导,且 f (0) = 0 .(1)确定 a 的值,使
(x ) 在 x = 0 处可导; (2)对确定的 a 值,
′(x ) 在 x = 0 处是否连续?3,设函数 θ (x ) 在 (
∞, + ∞ ) 内连续, f ( x ) = sin[θ ( x )] , f ′( x ) = cos[θ ( x )] , 当 时,求 θ ′( x0 ) .4,设函数 F (u , v) 有二阶连续偏导数,6 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 证明由方程 F
= 0 所确定的函数满足下列两个方程: ,
z0 ,z z ( x
x0 ) + ( y
z 0 x y2z 2z
25,设 f ′(x ) 是 f (x ) 的导函数,证明: 其中1 d 2u 1 d 2 v = . u dx 2 v dx 2u = [ f ′( x)]1 / 2v = f ( x)[ f ′( x)]1 / 26,求下列积分 (1) .∫2 x arctan x dx (1 + x 2 ) 2(2) .∫π /30sin 2 x 1+ esin2dx x(3) .∫+∞0e
x sin xdx欢迎访问文都网校:netschool. 7 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)7,设 f (x ) 在 [
nπ , nπ ] ( n ∈ N ) 上连续, 且 f ( x) = cos x +4sin 3 x + 1 + cos 4 x∫nπ
nπf ( x) | sin x | dx ,求 f (x)8,设 n, k 为正整数,且 1 ≤ k ≤ n2
(1)证明: ln1 + π≤ n
n (2)求 limn →∞∫k π n k 1 π nsin nx ln(1 + x)dx ≤2
n ∫π0sin nx ln(1 + x)dx9,计算下列重积分8 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (1) .∫∫D sin x sin y max( x, y )dxdy2D:0≤ x ≤π 0 ≤ y ≤π(2) .∫∫∫ ( x y = 2z + y 2 )dv ,其中
x = 0绕 z 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2 , z = 8 所围立体.10,已知f (t )在(∞, ∞)内连续,且满足f (t ) = 3∫∫∫ f ( 1
x 2 + y 2 + z 2 )dv + t 3 ,
: x 2 + y 2 + z 2 ≤ t 2 求 f
4π 11,计算∫2/2 0e
x dx2∫xxe
y dy +2∫1e
x dx22/2∫1 x 2
y dy .2欢迎访问文都网校:netschool. 9 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)12,设 c 是对称于坐标轴的光滑闭曲线, 计算∫ (xc3y + e y )dx + ( xy 3 + xe y
2 y )dy .13,设 x & 1 时,函数 f (x ) 连续可微,且 f (0) = 何闭曲线 c ,恒有6 ,在半平面 x & 1 上的任 5∫ [ y
5 yec2 xf ( x)]dx + e 2 x f ( x)dy = 0 ,求 f (x) .14,求下列曲线积分10 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (1)
L∫ x ∫Γ2
2 + 其中 L 2 2 2
x + y 2 + ( x
1) 2 + y 2 dy ,
是不经过点 (0, 0) 和 (1, 0) 的任意正向简单闭曲线. (2)( y
z )dx + ( z
x)dy + ( x
y )dz ,其中 Γ 为椭圆x 2 + y 2 = 1, x + z = 1 ,若从 z 轴正向看去, Γ 为逆时针方向.15,计算曲面积分 (1) .∫∫ ( x∑22 2 + y 2 )dzdx + ( z
1)dxdy , 其中 ∑ 为锥面 z = x + y ( z ≤ 1) 在第一卦限部分的下侧x 2 + y 2 , z ≥ x 2 + y 2
(2) . f ( x
z )ds ,其中 f ( x, y, z ) =
0 , 其它 x 2 + y 2 + z 2 =1 ∫∫欢迎访问文都网校:netschool. 11 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 16,判断级数 ∑ sin(π n + a ) ( a ≠ 0) 的敛散性. 若收敛,是绝对收敛还是2 2 n =1 ∞条件收敛?17 , (1)设 F ( x, y ) =f ( y
x) y2 及 F (1, y ) =
y + 5 . 任取 x0 & 0 ,作 2x 2n→∞x1 = F ( x0 , 2 x0 ) , x2 = F ( x1, 2 x1 ) ,…, xn +1 = F ( xn , 2 xn ) ,证明 lim xn 存在并求其值. (2)证明级数 ∑ ( xn +1
xn ) 与 ∑
n =1 n =1 xn +1 ∞∞ 1112 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 18,设 a 0 , a1 ,
为等差数列 ( a0 ≠ 0) (1)求幂级数 ∑ an x 的收敛半径;n =0 ∞ ∞ n(2)求级数 ∑an 的和. n n =0 219,设 f ( y ) 满足方程f ′( y ) y′ + 2 xf ( y )
x = 02( f ′( y ) ≠ 0)求 lim f [ y ( x)] .x → ∞20, (1)设曲线 C : y = f ( x ) 上任何一点 M 的切线与 OX 轴交点 T 间的线段1 1 MT 等于 OX 轴上线段 OT ,且曲线过点
,求曲线的方程. 2 2(2)求∫∫ ( xD2+ y 2 )dxdy ,其中 D 为由(1)中 C 所围成的平面区域.欢迎访问文都网校:netschool. 13 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)21,设有一匀质(密度为
)材料的旋转体支柱其顶面所受的压力为 p ,顶半 径为 a 高为 h ,若任一水平截面上的压强均相等. (1)求该支柱的轴截面的边界(非直线)曲线的一个方程; (2)求此旋转支柱的外表面的方程; (3)求该柱体的体积.22,设函数 f (x ) 是以 2π 为周期的偶函数, 且 f ( x ) 二阶可导,求方程f ′( x) + 2 f ( x)
3∫x 0f (t
x)dt = sin x 1 cos x 的解. 214 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 23,质量为 M 长为 L 的均匀细杆吸引着其延长线上距其较近端为 a 处一质量 为 m 的质点. (1)求杆和质点间的相互引力; (2)计算当质点在杆的延长线上从距离为 a 处移动到 2a 处引力所作的功.24,设 f (x ) 在 [0, 1] 上连续,在 (0, 1) 内可导, 且 f (1) = 2
∫3/ 4 1/ 4e x f ( x)dx ∫3/ 4 1/ 4f ( x)dx
证明:方程 f ( x ) + (1
x ) f ′( x ) = 0 在 (0, 1) 内至少有两个实根.欢迎访问文都网校:netschool. 15 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 25,设 f (x ) 在 [ a, b] 上可微,且当 x ∈ (a, b) 时 f ′( x) ≤ M ,证明:对任意n ≥ 1 (n ∈ N ) 有∫b aba n f ( x)dx
n k =1∑ f a + k (b
n 26,已知 f (x ) 在 ( ∞, + ∞) 上有三阶连续导数,并且当 h ≠ 0 时,f ( x + h)
= f ′ x +
h 2 证明:必存在常数 a, b, c ,使 f ( x ) = ax 2 + bx + c .16 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 27,设 f (x ) 在区间 [ a, b] 上具有二阶导数且′ ′ f (a ) = f (b) = 0, f + (a)
(b) & 0 ,证明:必 ξ ∈ ( a, b), η ∈ ( a, b) 使 f (ξ ) = 0, f ′′(η ) = 0 .28,设 f (x ) 是 [0, 1] 上单调减少的函数,证明对于 0 & α & β ≤ 1 ,有∫α0f ( x)dx &α β∫βαf ( x)dx .欢迎访问文都网校:netschool. 17 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)线 性 代 数一,填空题1 1
,则 A 50 = ___________. 0 0 1
2.设三阶方阵 A, B 满足 A (E
B) = E ,且 AB
中 E 为三阶单位矩阵,则 | A | =_________. 3.设 A, B 均为三阶矩阵, E 是三阶单位矩阵,已知1 0 1
AB = 2 A + B , B =
E) 1 = _________. 1 0 1
4. α 1 = (1, 1, 1) , 2 = (1, 2, 3) , 3 = (1, 3, t ) , t = _______时, 1 , α 2 , α 3 设 α α 当 α 线性相关. 1 2
,B 为三阶非零矩阵,且 AB = O ,则 t = ________. 5.设 A =
6. α 1 = (1 + a, 1, 1), α 2 = (1, 1 + a, 1), α 3 = (1, 1, 1 + a ) , β = (0, a, a 2 ) 可 设 若 由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示且表示法不唯一,则 a = ______.18 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 7.设 A 是三阶矩阵,已知 | A + iE |= 0 (i = 1, 2, 3) , E 是三阶单位矩阵,则 秩 ( A + 4E) = ________.1 2 3
8.已知矩阵 A =
可对角化,则 a = ______. 0 0 0
9.二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x1 + ax 2 + x 3 + 2( x1 x 2
ax1 x3 ) 的正,负惯2 2 2性指数都是 1,则 a = _______. 10.已知二次曲面 x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2byz + 2 xz = 1 经正交变换( x, y, z ) T = Q( x ′, y ′, z ′) T 化为椭圆柱面方程 ( y ′) 2 + 2( z ′) 2 = 1 ,则常数 a 和b 应满足的条件是_________.二,选择题1.若 A 为 n 阶矩阵且满足 AA T = E ( E 为 n 阶单位矩阵) | A |= 1 ,则 ,| A + E |=(A)1 (B)
1 (C)0()(D)以上都不对T2.设 A 是三阶矩阵,如果对任意一个三维列向量 β = (b1 , b2 , b3 ) ,都有Aβ = 0 ,则(A) A = E (B) A = aE (C) A = O 3.设 A 是三阶矩阵, P 为三阶初等矩阵,则 (A)秩 ( PA ) & 秩 ( A ) (C)秩 ( PA ) = 秩 ( A ) (A)秩 ( A ) + 秩 (B ) = n (C)秩 ( A ) + 秩 (B ) ≥ n 5 . 若 向 量 组 ε 1 = (1, 0, 0) , ε2()(D) A 是可逆矩阵 ( )(B)秩 ( PA ) & 秩 ( A ) (D)秩 (PA ) = 3 ( ) (B)秩 ( A ) + 秩 (B ) ≤ n (D)秩 ( A ) + 秩 (B ) = 04.设 A, B 都是 n 阶矩阵,且 AB = O ,则= (0, 1, 0) , ε 3 = (0, 0, 1) 能 由 向 量 组α 1 = (a1 , a 2 , a 3 ), α 2 = (b1 , b2 , b3 ), α 3 = (c1 ,c 2 , c3 ) 线性表示,则向量组 α 1 , α 2 , α 3 的秩为欢迎访问文都网校:netschool.
( )19 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) (A)1 (B)2 (C)3 )成立 (D)不确定6.设 A 是 n 阶矩阵,若 | A |= 0 ,则((A) A 中必有一行向量是其余向量的线性组合 (B) A 中任一行向量是其余向量的线性组合 (C) A 中必有两行元素对应成比例 (D) A 中必有一行元素全为零 7.设有向量组α 1 , α 2 , , α s β 1 , β 2 , , β t α 1 , , α s , β 1 , , β t它们的秩分别为 r1 , r2 ,r3 ,则 (A) max(r1 , r2 ) ≤ r3 ≤ r1 + r2 (C) max(r1 , r2 ) ≤ r1 + r2 ≤ r3(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) ( )(B) max(r1 , r2 ) ≥ r3 ≥ r1 + r2 (D) r1 ≤ r2 ≤ r3 ( ) (B)方程组 Ax = b 有无穷多解8.设 A 为 4 × 5 矩阵,且 A 行向量组线性无关,则 (A) A 的列向量组线性无关(C)方程组 Ax = b 的增广矩阵 A 的任意 4 个列向量构成的向量组线性无关 (D) A 的任意 4 个列向量所构成的向量组线性无关 9 . 设 α 1 , α 2 , α 3 是 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = b 的 三 个 解 向 量 , 且 秩( A) = 3 ,α 1 = (1, 2, 3, 4) T ,α 2 +α 3 = (0, 1, 2, 3) T ,C 为任意常数,则线性方程组 Ax = b 的通解是 (A) (1, 2, 3, 4) + C (1, 1, 1, 1)T T T( (B) (1, 2, 3, 4) + C (0, 1, 2, 3)T)(C) (1, 2, 3, 4) T + C ( 2, 3, 4, 5) T 10.设 A =
(D) (1, 2, 3, 4) T + C (3, 4, 5, 6) T ( )1 2
,则下列矩阵与 A 不相似的是 3 (B)
0 320 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (C)
1 2三,解答题1,设有 s + 1 个向量:α 1 , α 2 ,
, α s , β ,且β = α 1 + α 2 +
+ α s ( s & 1 ) , 证明: (1)若α 1 , α 2 ,
, α s 线性无关,则β
α s 也线性无关; (2)若α 1 , α 2 ,
, α s 线性相关,则β
α s 也线性相关.2 , 已 知 向 量 α 1 = (3a, 2a
1) , α 2 = (2a + 1, 2a
1, 3a ) ,α 3 = (a + 1, a
2, 2a ) , β = (a, a + 1, 1) ,试求 a 的值,使(1)β 不能由α 1 , α 2 , α 3 线性表示; (2)β 可唯一地由α 1 , α 2 , α 3 线性表示,并求出其表示式; (3)β 可由α 1 , α 2 , α 3 线性表示,但表示法不唯一. 并求出其表示式.欢迎访问文都网校:netschool. 21 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 3,设 n 阶矩阵 A 的 n 个列向量为α i = ( a1i , a 2 i ,
, a ni )T(i = 1, 2,
, n) ,n 阶矩阵 B 的 n 个列向量为 α 1 + α 2 , α 2 + α 3 ,
, α n 1 + α n , α n + α 1 ,试问当秩(A ) = n 时,齐次线性方程组 Bx = 0 是否有非零解?并证明你的结论.4,设α 0 , α 1 ,
, α n r 为 Ax = b (b ≠ 0) 的 n
r + 1 个线性无关的解向量, A 的秩为 r ,证明α 1
α 0 , α 2
α 0 , , α n 1
α 0 是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的 基础解系.(1 + λ ) x1 + x 2 +
x1 + (1 + λ ) x 2 +
5,设齐次线性方程组为
x1 + x 2 +
+ (1 + λ ) x n = 0 讨论 (1) λ 为何值时,方程组仅有零解. (2) λ 为何值时,方程组有非零解,并求其通解.22 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)6,已知线性方程组 x1 + x 2 + x3 + x 4 = 0
x 2 + 2 x3 + 2 x 4 = 1
2 x 4 = b 3x1 + 2 x 2 + x3 + ax 4 = 1 当 a, b 为何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?并在有解时求方程组的全 部解.7,已知 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 是四阶矩阵, α 1 , α 2 , α 3 , α 4 是四维列向量,若 方程组 Ax = β 的通解是 (1, 2, 2, 1) T + k (1,
2, 4, 0) T , B = (α 3 , α 2 , α 1 , β
α 4 ) 求方程组 Bx = α 1
α 2 的通解.欢迎访问文都网校:netschool. 23 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)证明: Ax = b 若 8, n 元非齐次线性方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 的秩为 r . 设 有解, 则它有 n
r + 1 个线性无关的解向量, Ax = b 的任一解均可由这 n
r + 1 且 个解向量线性表示.1 ρ ρ
ρ 2 ρ 9, 设 n 阶矩阵 = a
(1)求 A 的特征值与特征向量; (2)求可逆阵 P ,使 P 1 AP 为对角阵.(0 & ρ & 1, a ≠ 0)24 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) a b c
10,已知 A =
相似,求 a, b, c 及可逆阵
P ,使 P 1 AP = B . 1 1
11,已知 A =
(1) a 取何值时, A 可对角化? (2) a 取何值时, A 不可对角化?欢迎访问文都网校:netschool. 25 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 12,已知三元二次型 x Ax 经正交变换化为 2 y1
y 3 ,又知 A α = α ,T2 2 2*其中α = (1, 1,
1) . 求此二次型的表达式.T13,设 A, B 为两个 n 阶矩阵,且 A 的 n 个特征值两两互异,若 A 的特征向量 恒为 B 的特征向量,则 AB = BA .26 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)概 率 统 计一,填空题1.已知 P ( A) = 0.8, P ( A
B ) = 0.1 ,则 P ( AB ) = _______. 2.设 f ( x ) = k e x 2 +4 x 4(∞ & x & +∞) ,为某随机变量的概率密度函数,则 k = ______. 3.设 X ~ N (1, 22 ), Y ~ N (0, 1) ,且 X 与 Y 相互独立,则 Z = X
Y + 1 的 概率分布为______. 4.设随机变量 X , Y 的联合密度函数为 f ( x, y ) =
6e 2 x 3 y
0 x & 0, y & 0 其它则P{ X & Y } = _________.e
若0 & x & y 其它5. 已知随机变量 X 和 Y 的联合密度函数为 f ( x, y ) =
变量 Y 的边缘密度函数为__________., 则关于6 . 若 X 1 , X 2 ,
, X n 相 互 独 立 同 分 布 N (
, 22 ) 则 根 据 切 比 雪 夫 不 等 式p{| X
|≥ 2} ≤ ______.7.设 D ( X ) = 1,D(Y ) = 4, ρ XY = 0.3 ,则 cov( X , Y ) = _______.X pX0 1 28.设随机变量 X 的分布律为9c
5c27欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 则 c = _______. 9.设总体 X ~ N ( 1 , 2) ,Y ~ N (
2 , 2) 且 X , Y 相互独立,从总体 X , Y 中抽 出样本容量分别为 m, n 的简单随机样本,其样本方差依次为 S1 , S 2 ,则统 计量 V =2 21 2 [(m
1) S12 + (n
1) S 2 ] ,服从_____分布,其自由度为______. 210.设总体 X ~ N (
, (1 / 2) 2 ) ,从总体中抽取样本容量为 16 的样本,计算得X = 10,____.S 2 = 0.16 ,则总体参数
的置信度 1
α = 0.95 的置信区间为(附: (1.65) = 0.95 , (1.96) = 0.975 ,0.05 (15) = 1.7531 , 0.025 (15) = 2.1315 ) Φ Φ t t 11.设 X 1 , X 2 ,
, X n 是总体 N (
, σ 2 ) 的随机样本, σ =总体参数 σ 的无偏估计量,则 k = _______. 12.设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) =
其分布函数 F (x ) ________.1 n 1 ∑ X i +1
X i 是 k i =1axe 2 x 0x≥0 ,则 x&013.设 X , Y 相互独立同分布 N (
, σ 2 ) , ξ = X + Y , η = X
Y ,则ρξη = ______.14.设 X 1 , X 2 ,
, X 100 是独立同服从于参数为 1 的泊松分布的随机变量, X 是其算术平均值,则由中心极限定理 P{ X ≤ 1.196} =________. 15.一个仪器由两个部件组成,其总长度 Z 为此二部件长度 X , Y 的和, X , Y 的分布律分别为X pX8 0.29 0.510 0. 3Y pY6 0.37 0.728 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 则 E (Z ) = _________.二,选择题1.若 A , B 是任意两个事件, 则下列命题正确的是 (A)若 P ( A) = P ( B ) ,则 A = B (C)若 A
B = A ,则 AB = φ ( ) (B)若 AB = A ,则 AB =
(D)若 A + B = A ,则 B = φ ( )2.若对任意两个事件 A 和 B ,若 P ( AB ) = 0 ,则 (A) AB = φ (C) P ( A) P ( B ) = 0 (B) A B = φ (D) P ( A
B ) = P ( A)3.下列论断:①连续型随机变量的密度函数是连续函数;②连续型随机变量的 分布函数的值域为 [0, 1] ;③连续型随机变量取值为 0 的概率为 0;④两连续 型随机变量之和是连续型的 其中正确的是 (A)①② (B)②③ (C)②③④ 4.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布,则 (A) X + Y 一定服从正态分布 (B) ( X , Y ) 服从二维正态分布 (C) X 与 Y 不相关则 X , Y 相互独立 (D)若 X 与 Y 相互独立,则 X
Y 服从正态分布 5. 设随机变量 X , 相互独立, Y 其概率分布相应为 X ~
1 则 (A) P{ X = Y } = 0 (C) P{ X = Y } = (B) P{ X = Y } = 1 (D) P{ X ≠ Y } =( (D)①②④ () )0
21 0 1, ~ 1 Y
2)1 21 429欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 6.对于随机变量 X 1 , X 2 ,
, X n ,下列说法不正确的是 (A)若 X i , X j (i, j = 1, 2,
, n, i ≠ j ) 两两不相关,则 ( )D( X 1 + X 2 +
+ X n ) = D( X 1 ) + D( X 2 ) +
+ D ( X n )(B)若 X 1 , X 2 ,
, X n 相互独立,则D( X 1 + X 2 +
+ X n ) = D( X 1 ) + D( X 2 ) +
+ D( X n )(C)若 X 1 , X 2 ,
, X n 相互独立同分布 N (
, σ ) , X 是其算术平均值,2则 D( X ) =σ2n(D)若 D ( X 1 + X 2 +
+ X n ) = D ( X 1 ) + D ( X 2 ) +
+ D ( X n ) , 则 X 1 , X 2 ,
, X n 两两不相关 7.若 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) ,则 (A) X 和 Y 相互独立 (C) D ( XY ) = D ( X ) D (Y ) (B) X 与 Y 不相关 (D) D ( X + Y ) = D ( X ) + D (Y )2()8.设总体 X ~ N (
, σ 2 ) ,其中 σ = 4 , X 1 , X 2 ,
, X n 为来自总体 X 的样 本,样本均值为 X ,样本方差为 S ,则下列各式中不是统计量的是2 2()(A) X(B) S(C)X σ(D)(n
1) S 2σ29.设随机变量 X 1 , X 2 ,
相互独立,则辛钦大数定律成立只须X 1 , X 2 , , X n , (A)有相同的数学期望30 欢迎访问文都网校:netschool. () 考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) (B)服从于同一离散型分布 (C)服从于同一连续随机变量 (D)服从于同一指数分布 10.在假设检验中,下列说法错误的是 (A) H 1 真时拒绝 H 1 称为犯第二类错误 (B) H 1 不真时接受 H 1 称为犯第一类错误 (C)设 P{拒绝H 0 | H 0 真} = α , P{接受H 0 | H 0 不真} = β ,则 α 变大时 β 变小 (D) α , β 的意义同(C) ,当样本容量一定时, α 变大时则 β 变小.()三,解答题1,一架长机和两架僚机一同飞往某地进行轰炸. 要到达目的地上空,非有无 线电导航不可, 而只有长机有此设备. 一旦到达目的地上空, 各机将独立进行轰炸, 每机炸毁目标的概率为 0.3. 在到达目的地上空之前必须经过敌方高射炮阵地上 空,此时每一飞机被击落的概率为 0.2. 求目标被炸毁的概率.2,设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, F (x) 是其分布函数. 证明随机 变量 F ( X ) 在区间 (0, 1) 上服从于均匀分布.欢迎访问文都网校:netschool. 31 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)3,设随机变量 X 和 Y 有相同的概率分布
0.2 0.6 0.2 P{ XY = 0} = 1求(1) X , Y 的联合分布律和边缘分布律; (2) P{ X = Y } .4,设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) =
(1)求 (2)求 f X (x) 和 fY ( y ) ; (3)问 X , Y 是否相互独立.cx 2 y
0x2 ≤ y ≤ 1 其它32 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 5, 设打靶时子弹着点 A( X , Y ) 的坐标 X 和 Y 相互独立, 且都服从 N (0, 1) . 规 定 点 A 落 在 区 域 D1 = {( x, y ) | x + y ≤ 1} 得2 22分 ; 点 A 落 在D2 = {( x, y ) | 1 & x 2 + y 2 ≤ 4} | 得 1 分,点 A 落在 D3 = {( x, y ) | x 2 + y 2 & 4} 得 0分. 以 Z 记打靶的得分,试写出 X , Y 的联合概率密度函数并求 Z 的分布律.1 ( x + y)
( x + y )e 6,设 ( X , Y ) 的联合密度函数 f ( x, y ) =
0 引入随机变量 Z = x&0 y&0 其它 1
0X ≥Y X &Y(2)求 Z 的分布律和分布函数(1)求条件概率密度 f X |Y ( x | y ) ;欢迎访问文都网校:netschool. 33 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 7,设二维正态随机变量 ( X , Y ) 不相关且都服从于参数
= 2, σ = 2 的正态2 2分布, Z =| X
Y | (2)求 E ( Z ), D ( Z ) 求: (1) Z 的概率密度函数;8, 电信公司将 n 个人的电话资费单分寄给 n 个人, 但信封上的收信人的地址是 随意的填写的,以 Z 表示收到自己资费单的人数,求 E ( Z ), D ( Z ) .9, 某宽带网站有两台重要设备, 其中任意一台设备发生故障都要引起网络故障, 假设两台设备的无故障工作时间都服从于指数分布,且平均无故障工作时间都为 5000(小时) ,试求网络无故障工作时间的数学期望.34 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)10,设一批共 100 件产品,其中一等品为 70 件,二等品 20 件,三等品 10 件, 现从中任抽取一件,记 X k = 1 若抽到k等品 0 否则(k = 1, 2, 3)求: (1)随机变量 X 1 , X 2 的联合分布; (2) ρ X1 X 2 . 1 ( x a) /θ
e 11,设总体 X 的概率密度函数为 f ( x ) = θ
0 x&a 其它其中 a, θ (a, θ & 0) 为未知参数, X 1 , X 2 ,
, X n 为从总体中抽取的样本容 设 量为 n 的样本. 求: (1) θ 与 a 的最大似然估计; (2) θ 与 a 的矩估计.欢迎访问文都网校:netschool. 35 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)12, 设总体 X ~ N (
, σ ) (σ22& 0) , 从总体 X 分别抽出样本容量为 n1 , n 2 的两个独立样本,样本均值分别为 X 1 和 X 2 . (1)当常数 a, b 满足什么条件时,才能使 Y = aX 1 + bX 2 是未知参数
的无 偏估计; (2)当 Y 为无偏估计时确定 a, b 使 D (Y ) 最小.13,已知总体 X ~ N (
, σ 2 ) ,其中
是未知参数, X 1 , X 2 ,
, X 16 为来自 总 体 X 的 样 本 , X 为 样 本 均 值 , 如 果 对 检 验 , H 0 :
= 0 , 取 拒 绝 域D : {| X
|& k} ,求 k (α = 0.05) .36 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)高 等 数 学 参考答案 答案详解 参考答案详解一,填空题1. 答案】 4 【答案】+ 【提示】 利用 ds = 1 y ( x) 提示】'2dx2. 答案】 【答案】1 2【详解】 利用 Hospital 法则 详解】∫ dt ∫ f (u)dulimx →0 0 0xtsin x2f (0) 1 = lim 0 = lim 0 = = x → 0 (sin x 2 )′ x → 0 2xcosx 2 2 2∫ f (u)dux∫ f (u)dux3. 答案】 【答案】1 2【提示】 利用反函数求导法则. y = f ′(x) ,
′(x) = 提示】 4. 答案】 y = c1e + c 2 e 【答案】x x1 . f ′(x)+ xe x【详解】 将特解代入原方程得: α = 0, β = 1, γ = 2 详解】 所以,原方程为: y′′
y = 2e x , 进而求得通解为y = c1e x + c 2 e
x + xe x .欢迎访问文都网校:netschool. 37 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)5. 答案】 y =
【答案】x 2【详解】 由 lim 详解】f (x) = 2
f ′(0) = 2 x →0 e x
1 1 . 2所以,y=f(x)在 x=0 的切线方向为 2 ,法线方向为
6. 答案】 2 2 【答案】 【详解】 利用 详解】1 =| Ry′′ (1 + y′ )3 2 2| ,dy dy ( )t dy dt sin t d2 y 1 将 = = ; 2 = dx =
代入, dx dx dx 1
cos t dx (1
cos t) 2 dt dt就得到 R =|y′′(1 + y′ ) |= 2 2 . y′′3 2 27. 答案】 2πR 【答案】 【详解】 利用极坐标 x=r cos θ cos
,y=r sin θ cos
, z= r sin
详解】π2 1 1 r ∫∫ zdxdy = ∫∫ R 2
y2 dxdy=4∫ d ∫ R 2
r 2 dr=2π R ∑ ∑ 0 0 R8. 答案】 0 【答案】 详解】 【详解】 运用导数和拐点的定义.f (p + k + h)
f (p + k) f (p + k)
f (p) f ′(p + k)
)= h →0 kh kh k f ′(p + k)
f ′(p) lim = f ′′(p) = 0 k →0 k lim(38 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)9. 答案】 f 1 + xyf 11
【答案】y 1 f 2
3 f 22 2 x x【详解】 运用链式法则,即符合函数求导公式. 详解】y z y z=f(xy, ) = yf1
2 f 2 x x x 2 z 1 y = f1 + xyf11
3 f 22 xy x x10. 答案】 【答案】11(1, 0) B= 1, , (0, 3) 则 AB = {1, 1, 3} AB
{1, 2,1} = 0 0, , 【详解】 令 A= 详解】 所以, AB 垂直该直线,点 A(1,1,0)到该直线的最短距离为|AB| =11. 答案】 8πxy + 2 【答案】11 .∫∫ f(x,y)dxdy=a【详解】 详解】Dxya=f(x,y)-2
f(x,y)=axy+2 ∫∫ f(x,y)dxdy= ∫∫ (axy+2)dxdyD D a= ∫∫ axydxdy+ ∫∫ 2dxdy=a ∫∫ xydxdy+8π = 8πD D Df (x, y) = 8π xy+212. 答案】 [
【答案】1 1 , ] 2 2n【提示】 lim 提示】 13. 答案】 【答案】n →∞2n + cos n = 2,所以收敛区间为 [ 1 1 , ] 2 21 (1
e 1 ) 2【提示】 利用变换积分次序. 提示】 欢迎访问文都网校:netschool. 39 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)14. 答案】1 + 【答案】2 2 3x 0 xx2 1 +x+ , 详解】 【详解】 f (x) = ∫ (1 | t |)dt = ∫ (1 + t)dt + ∫ (1-t)dt =
2 2 1 1 0令 f(x)=0,得 x1 =1- 21+ 2x2 = 1+ 2 ,f (x)dx = 1 + 2 2 . 3f(x)与 x 轴所围面积=∫1- 215. 答案】 3ln 【答案】2 3【详解】 设 s = 详解】∑ n3n =1∞1n 1,∞ 1 1 s=∑ n 3 n =1 n3 x ∞∞ 1 1 s(x) = ∑ x n 3 n =1 n x对其先求导,再积分得出n-1 ∫ ∑ x dx = ∫ 0 n =11 dx =
x) 1-x 0令 x=1 1 2 ,则 s=
ln 3 3 3,s= 3ln2 3二.选择题1. 答案】 D 【答案】 提示】 【提示】 极大值点不一定可导,故选 D 2. 答案】 B 【答案】 【详解】 当 n 为偶数时,可设 n=2 则 f ′(x 0 ) = f ′′(x 0 ) ,而 f ′′′(x 0 ) & 0 ,则 详解】 ( x 0 , f (x 0 ) )必为拐点,可用排除法. 3. 答案】 B 【答案】 详解】 【详解】 可导必连续.f(x)在 x=0 处可导,从而一定在 x=0 处连续,所以,x → 0+′ lim f (x) = lim f (x) ,即得 c=0 又 f -′(0) = f + (0) ,x →040 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 所以 lim +f (x)
f (0) f (x)
f (0) = lim 得 x →0 x →0 x x 1 x 2 cos +asinx bx x lim = a lim = b
a=b + x →0 x →0 x x4. 答案】 C 【答案】 【提示】 若 f(x)可导, f ′(x) & 0 , f(x)递增; f ′(x) & 0 则 f(x)递减. 提示】 5. 答案】 B 【答案】 【详解】 lim 详解】y = 1 , lim y
x = π , lim y
x = π , x→∞ x x →∞ x →∞ 所以它有两条斜渐近线 :y=x- π 与 y = x + π6. 答案】 A 【答案】 【详解】 详解】∑ | (1)n na n | = ∑ n | a n | = ∑ nn =1 n =1 n =1∞∞∞2n 3n | a n | ,由阿贝尔判别法, 3n 2n原级数绝对收敛. 7. 答案】 C 【答案】f (x )∫【详解】 利用洛必达法则. lim 详解】x →0 0f (t)dt 4x2= limf (f (x))f ′(x) =1 x →0 8x答案 C 正确. 8. 答案】 B 【答案】 【详解】 f ′(0)=3 又 f(0)=0 ,解得微分方程的通解为: y=c1e 详解】2x+ c2 e
x ,所以c1 + c 2 = 0 , 2c1 -c 2 = 3利用联立方程组的方法. 9. 答案】 B 【答案】c1 =1 c2 = 1 即 y=e 2x -e
x ,【详解】 运用微分的定义及已给的极限式.因为 dy = f ′(x)dx , 详解】 所以 limx→x0f (x) dy = lim f ′(x) = 1 而 lim = lim f ′(x) = 1 x→ x 0 x → x 0 dx x→x0 x-x 0答案为 B.欢迎访问文都网校:netschool. 41 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 10. 答案】 【答案】 11. 答案】 【答案】 提示】 【提示】 12. 答案】 【答案】 B B 由积分中值定理即可. D【详解】 可将 y 代入原微分方程,正好满足,所以它是解,又含有 c1 ,c 2 两个独 详解】 立的任意常数,所以是通解. 13. 答案】 A 【答案】 提示】 【提示】 A 颠倒了逻辑次序,将充分条件当作了必要条件. 14. 答案】 B 【答案】 提示】 【提示】 利用格林公式.答案为 B. 15. 答案】 C 【答案】 详解】 因为 f(x)g(x)在 x=0 的某邻域有界, 必存在 M&0 , 【详解】利用局部有界的定义. 使|f(x)| &M ,|g(x)| &M ,所以|f(x)+g(x)|&|f(x)|+|g(x)|&2M. 答案为 C.三.解答题1. 详解】 (1)反复利用洛必达法则 【详解】 原式=x x
(sin x) x x x lnx
(sin x) x ln sin x
(sin x) x lim = lim = lim 2 x → 0+ sin xln(1+tanx) x → 0+ x → 0+ sin 2 x 1 x3 1+tanx 1 + x 2=1 6(2)运用洛必达法则∫ t|cost|dtlim0xx →∞x2= limxcosx 1 = x →∞ 2x π2. 详解】 (1)
(x) 在 x=0 处可导时,则
(x) 一定在 x=0 处连续. 【详解】42 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)x所以, lim
(0)x →0lim
(x) = lim 0x →0 x →0∫ tf(t)dtx2= limx →0xf (x) f (0) = =0 2x 2得到:
(0) = 0 即 a=0 (2)利用导数的基本定义x
f(x) 2x 3 ∫ tf(t)dt +
3 f (0) x xx≠0且x=0f(x) f(x) 2 1 lim
′(x) = lim(2x ∫ tf(t)dt + ) = 2 lim x 3 ∫ tf(t)dt + lim = f ′(0)
f ′(0) = f ′(0) x →0 x→0 x →0 x→0 x x 3 3 0 03而
′(0) =1 f ′(0) 3所以
′(x) 在 x=0 处连续.3. 详解】 运用求导的链式法则. 【详解】f ′(x 0 ) = cos(θ (x 0 ))θ ′(x 0 )所以 θ (x 0 ) = 1 . 4. 详解】 对方程 F( 【详解】, f ′(x 0 ) = cos(θ (x 0 )) ,x-x 0 y-y 0 , )=0 两边分别对 x 求导,得到: z-z 0 z-z 0 x-x 0 y-y 0 -1
( z-z + (z-z ) 2 z x )-Fv (z-z ) 2 z x =0
1 z +F′ ( 1
y-y 0 z )=0
u (z-z 0 ) 2 y v z-z 0 (z-z 0 ) 2 y 联立解出 z x ,z y ,代入即可得出 (x-x 0 )z x + (y-y 0 )z y = z
z 0 , 同理,对上述方程再进行二次求导,即得二式. 5. 详解】 运用复合函数求导的链式法则即可. 【详解】 欢迎访问文都网校:netschool. 43 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)1 23
1 f ′(x) 2 f ′′(x) 2u = f ′(x), u′ = 3 5
1 1 3 u ′′ =
f ′(x) 2 f ′′′(x) +
f ′(x) 2 f ′′2 (x) 2 2 2所以u ′′ 1 3 =
f ′(x) 1 f ′′′(x) + f ′(x) 2 f ′′2 (x) u 2 4 1 2 1 3 1 ′ = f ′(x) 2 +f(x)
( )f ′(x) 2 f ′′(x) v 2v = f (x)f ′(x)v′′ =而1 1 5 3
1 1 3 f ′(x) 2 f ′′(x)
[f ′(x) 2 f ′′(x) + f (x)( )f ′(x) 2 f ′′2 (x) + f (x)f ′(x) 2 f ′′′(x)] 2 2 2v′′ 1 -1 1 1 3 1 1 = f (x)f ′′(x)
f ′′(x) + f ′(x) 2 f -1 (x)f ′′2 (x)
f ′(x)1 f ′′′(x) = u ′′ v 2 2 f(x) 4 2 u6. 详解】 (1) 【详解】 被积函数可看作由 原式=2x 和 arctan x 两部分组成,用分部积分法. (1+x 2 ) 2∫ arctan xd( 1 + x ∫ (1 + x112)=arctanx 1 arctanx 1 +∫ d arctan x=
+∫ dx 2 2 2 1+ x 1+ x 1+ x (1 + x 2 ) 2利用换元 , 令 x= tan t2 2)dx= ∫ cos 2 tdt= ∫1+cos2t t sin2t arctanx x dt= + +c= + +c 2 2 4 2 2(1+x 2 )(2) 利用两次换元法, 注意积分上下限的变化. 思考被积函数中 sin2x 和 可以看出:1 1+esin x2,sin 2 x =(3)1
cos 2x cos 2x sin 2x = ( )′ ,再利用换元法 t=cos2x ,本题即可解出. 2 244 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)A A Ax x A x A A x ∫ e sinxdx=-e sinx|0
∫ e cosxdx=-e sin A + (-e cos A + 1)
∫ e sinxdx 0 A 0 0=&∫e0x1 sinxdx = (-e
A cos A + 1) 2π7. 详解】 奇函数在对称区间上的积分为 0 .设 【详解】∫π f (x) | sin x | dx = Asin 3 x 则 f (x) = cos x + + A ,在对该式两边积分 1 + cos 4 x4 A=4n sin 3 x 4n 4 =& f(x)= f (x) = cos x + + 4 5(1-4n) 1 + cos x 5(1-4n)k 1 k π ≤ x ≤ π 时,有 n n8. 详解】 (1)对于人意的自然数 n 与 k ,当 【详解】 k 1
≤ ln(1 + x ) ≤ ln1 + π
n 从而 k 1
∫ sin nx dx ≤ n
k 1πn k π n kπk π nk π nk 1 π n∫ sin nx ln(1 + x )dx ≤ ln1 + n π
∫ sin nx dx
k 1 π nk k π n1 1 2 而 ∫ sin nx dx = sin ∫1)π x dx = n ∫ sin xdx = n ,故 n (k
k 1 0nππ2
ln1 + π≤ n
n 由此推出 (2)k π nk 1 π n∫ sin nx ln(1 + x )dx ≤ n ln1 + n π
2k 欢迎访问文都网校:netschool. 45 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)2 n
≤ ∫ sin nx ln(1 + x )dx ≤ ∑ ln1 + π
0又由于π1 n
1 lim ∑ ln1 + π
= lim ∑ ln1 + π
= ∫ ln(1 + x )dx n→∞ n n
n→∞ n k =1
π 0 k =1= 由夹逼准则π1π[(1 + x ) ln(1 + x )
x ]π 0π=1π2[(1 + π ) ln(1 + π )
π ]n→∞lim ∫ sin nx ln(1 + x )dx =0π[(1 + π ) ln(1 + π )
π ]9. 详解】 (1)将区域 D 分成两部分 D1 和 D 2 .则原式等于: 【详解】∫∫ sinxsiny
xdxdy + ∫∫ sinxsiny
ydxdy = ∫ ∫ sin x sin y
xdydx + ∫ ∫ sin x sin y
ydydx =D1 D2 0 0 0 0π xπ y5π 2x 2 + y2 (2)利用球坐标计算.旋转曲面的方程为 z = , 22π因此原式=∫ dθ ∫ rdr ∫ r dz 或 ∫ dz ∫∫2 0 0 2 2 x 2 + y 2 ≤ 2z488(x 2 + y 2 )dxdyz10. 详解】 令 【详解】 f(t)的表达式.∫∫∫ f(x 2 + y 2 + z 2 )dz = A 代入到等式中得到 A 的值.从而得到将 t=134π代入即可.11. 详解】 将累次积分化为二重积分,考虑在积分区域上利用换元法. 【详解】原式=∫ dx ∫ e0 -x2 2x (x 2 + y 2 )dy +∫ dx ∫2 211-x 2e
(x2+ y2 )dy , 令 x = r cos θ , y = r sin θ ,- 1-x246 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)π得到原式=r ∫ dθ ∫ re dr =241π4(1
e1 )-π0412. 提示】 注意对称性的灵活运用.利用格林公式,将曲线积分化为曲面积分, 【提示】 再化为二重积分进行计算. 13. 详解】 利用格林公式, 令 P = y
5ye 2x f (x) , Q = e2x f (x) 【详解】Q P = 2e 2x f (x) + e2x f ′(x) , = 1
5e 2x f (x) x y Q P
= 3e2x f (x) + e 2x f ′(x)
1 x y取闭曲线 C 为以 x=1 为圆心, 半径为 1 的圆的圆周, x = 1 + rcosθ , y=rsinθ . 令 原式=x &1∫∫(Q P
)dxdy = x y2π2(1+ r cosθ ) f(1 + r cos θ )+e 2(1+ r cosθ ) f ′ (1 + r cos θ ) cos θ )dr ∫ dθ ∫ r(3e 0 0114. 详解】 (1)分三种情况计算: 闭曲线 L 内部不包含这两点;闭曲线内部包 【详解】 含这两点;闭曲线内部包含两点之一.再分别利用格林公式即可. (2)令 x = cos θ , y = sin θ ,则 z = 1
cos θ 所以,原式等于:2π∫ (sinθ + cosθ
2)dθ = 4π02 215. 详解】 (1)作辅助平面 z=1,然后利用高斯公式. 【详解】 (2) 曲面方程为 z = 1
y , 曲面在 x O y 平面上的投影区域 D 是 x 2 +y 2 ≤ 1 , 且 ds = 1 + z x 2 + z y 2 dxdy =1 1
x 2 -y 247欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)x 2 +y 2 则有: ∫∫ dxdy = 1
x 2 -y 2 D2π∫ d ∫0 x 2 +y 21r31 4 5 2 dr=( )π 2 1 r 3 6 (n → ∞)16. 详解】 【详解】 利用级数敛散性的一个必要条件: 若收敛, 则通项 a n → 02 2而 a n = sin(π n + a ) lim a n = lim sin(π n + a ) ≠ 0 ,所以,该级数发散.2 2 n →∞ n →∞17. 详解】(1) F (1, y ) = 【详解】 因 迭代公式为1 1 9 2 f ( y
1) + , f ( x ) = x 2 + 9 . 有 则 2 2 2x n +1 =1 9
① 2 xn 由于初值 x 0 & 0 ,显然有 x n ≥ 3 ( n ≥ 1 ) .由于2 9
x n = ≤0 2xn可知 {x n }n=1 构成单调减少而有下界的数列,从而极限 lim x n = α 存在.在迭代公∞n→∞式①内令 n → ∞ 取极限得α 2 = 9 α = 3 .(2)由(1)知级数∑ (xn =1 n∞n x n +1 ) 为正项级数,其部分和S n = ∑ ( x k
x k +1 ) = x1
lim S n = x1
3k =1 n→∞级数∞∑ ( x n
x n+1 ) 收 敛 , 从 而 ∑ ( x n+1
x n ) 也 收 敛 . 对 于 正 项 级 数n =1 n =1∞∞∑xn =1 1 n +11
有 xn 48 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)x
x n +1 x n
= n ≤ x n+1 x n x n x n +1 9由比较审敛法知:级数 18. 详解】 【详解】 (1)令 a1 = a 0 + d,a n = a 0 + nd . lim∑xn =1∞ 1 n +11
收敛. xn a + (n+1)d a n +1 = lim 0 =1 ,所以 r=1. n →∞ a a 0 + nd nn →∞(2)∞ a 0 + nd ∞ a 0 ∞ nd 1 n =∑ n + ∑ n = a 0 + d ∑ n = 2(a 0 + d) ∑ 2n n =0 2 n = 0 2 1 n =0 n =0 2 1 2 ∞令 f (x) =∑nx x ,则 ∫ f (x)dx = ∑ n = n x n =1 2 n =1 2 1 2∞n-1∞nx 2, f (x) =2 , f(1)=2 (2
x) 2所以∑2n =0∞nn=219. 详解】 设 f (y(x)) = G(x) 【详解】 则 G ′(x) + 2xG(x)
ex2=0G(x)= e ∫2xdx( ∫ e
x e x dx + c) = e x (x + c)2 22lim G(x) = 0x→∞20. 详解】 【详解】 (1)设 MT 所在的直线方程为 Y
y = y′′(X
x) ,所以 T 为 (y + x, 0) y′|MT|=|OT| 得x 2
y2 =2xy 解得: x 2 +y 2 = y y′欢迎访问文都网校:netschool. 49 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)πsin θ(2)2 2 ∫∫ x +y dxdy = ∫ dθ D 0∫0r 3dr =3 π 3221. 详解】以顶面圆心为原点,以旋转轴为 z 轴建立直角坐标系.设旋转面在 yoz 【详解】 面内位于 y & 0 的截线方程为y = y (z )则依题意有 ∫ πy 2 (t )dt π y 2 (z )0z=k即 ∫ y 2 dt =zhk 2 y 2,求导得微分方程ky ' =
y用分离变量法解得通解为y = Ce kz由于 z = 0 时, y = a ,定出 C = a ,故 y = ae z k.又由于p = πa 2得曲线的方程为k 2p k = 2 πa 2πa 2 2p zy = ae旋转面的方程为πa 2 x + y = ae2 22pz而旋转体的体积为50 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)h zV = π ∫ y dz = πa2 0h2∫e0hπa 2 pzdz =pπa 2 ep0xp = e
1 22. 详解】 原方程可化为 y′ + 2y
3∫ f (t)dt=sinx- cosx , 两边对 x 求导得到: 【详解】 2 01 1 y′′ + 2y′
3y=cosx+ sinx ,得其通解为 y = c1e3x +c2 e x - cosx 2 4 1 因为 f(x)为周期是 2π 的偶函数,所以 y = - cosx 423. 详解】 (1)由所学过的物理知识和质点间的相互引力为 【详解】L+aKMm a(L + a)(2)∫aKMm KMm 2(L+a) dx = ln (a + L + x)L L 2a+L24. 详解】 设 F(x) = (e x
1)f (x) ,则 F(0)=F(1)=0,由 Rolle 定理知 ζ ∈ (0,1) , 【详解】 使 F′(ζ ) = 0 即 ζ 是 f (x) + (1
e-x )f ′(x) = 0 的一个根.3 4因为 F(x)dx=0 所以,F(x)在 ( ,1 4∫1 3 ) 之间必有一个零点 η , F(η ) = 0 4 4F(x) 在 (0,η ),(η ,1) 上分别应用 Rolle 定理即得证.25. 详解】运用 Lagrange 微分中值定理. 【详解】 原式=|∑k =1 a+na+k(b-a) n∫f(x)dx
∑k =1 a+na+k(b-a) n∫f(a+(k-1)(b-a) n(k-1)(b-a) nk(b-a) )dx | n欢迎访问文都网校:netschool. 51 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)a+ k(b-a) n≤∑k =1 a+n∫|f(x)-f(a+(k-1)(b-a) n a+ k(b-a) nk(b-a) )|dx n∑ ∫k =1 a+nM(k-1)(b-a) nb-a b-a dx = M n n
= 0 ,由罗必达法则 226. 详解】由于 f ( x + h)
x + 【详解】h h 1 h
f ( x + h)
f ' ( x + h)
lim = lim 3 2 h→0 h→ 0 h 3hh 1 h
f & ( x + h)
hf ′′′ x +
= lim = f ′′′( x ) = 0 h→0 6h 24即 f ′′′( x ) = 0 .由此积分三次得f ( x ) = ax 2 + bx + c′ ′ 27. 详解】 反复运用 Rolle 定理,因为 f ′(x) 连续,不妨设 f + (a) & 0 , f
(b) & 0 【详解】所以 ξ 2 ∈ (a, a + ε ),η2 ∈ (b
ε , b) ,使 f (ξ 2 ) & 0 f (η2 ) & 0 ,由介值定理知ξ ∈ (ξ 2 ,η2 )
(a,b) ,使 f (ξ ) = 0f(x)在 [a, ξ ] 和 [ξ , b] 上分别满足 Rolle 定理. 又 从而, 分别 ξ1 ∈ (a, ξ ), ξ 3 ∈ (ξ , b) 使 f ′(ξ1 ) = 0 f ′(ξ 3 ) = 0 , f ′(x) 在 [ξ1 ,ξ3 ] 上满 足 Rolle 定理,所以, η ∈ (ξ1 ,ξ3 )
(a,b) ,使 f ′′(η ) = 052 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 28. 详解】 利用积分中值定理. 【详解】 由积分中值定理, f (x)dx = α f (ξ1 )α∫0ξ1 ∈ [0,α ] , ∫ f (x)dx = ( β
α )f (ξ 2 )αβξ 2 ∈ [α , β ]1 1 ∫ f (x)dx ≥ f (α ) ≥ β
α α f (x)dx ≥ β α f (x)dx ∫ ∫ α0结论成立.1αββ欢迎访问文都网校:netschool. 53 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)线 性 代 数 参考答案 答案详解 参考答案详解一,填空题 1 50 -100
0 1 【答案 答案】 0
【详解】 利用矩阵的初等行(列)变换. 详解】A 2 可看作对矩阵 A 的初等变换①第一列乘以 1 加到第二列②第一列乘以-2 加到第三列,得到 1 2 4
22. 答案】 8 【答案 答案】 详解】 【详解】 A(E-B)=E =& AE-AB=E 而 AB-2E=-E =& AB=E =& A=2E 且 A 为 3 阶阵 =& A= 23 =81 -0 0
1 3. 答案】 【答案 答案】
1 【 详 解 】 AB-B=2A (A-E)(B-2E)=2E =& 则 (A-E)B=2A-2E+2E =& (A-E)B=2(A-E)+2E =& -1 0 1
(A-E) (B-2E)=E 且 B-2E= 0 -1 0
54 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) -1 0 1
E) = 0 -1 0
14. 答案】 5 【答案 答案】1 1 1
详解】 【详解】 1 2 3
= 0 =& 1 3 t
t-5=0 =& t=55. 答案】 -3 【答案 答案】 详解】 【详解】 |AB|=|A||B|=0,因为 B 为任意矩阵,所以 |A|=0 6. 答案】 0 【答案 答案】|A|=t+3=0 则 t=-31
详解】 【详解】
= 0 =& a=0 或 a=3 ,当 a=0 时,表法唯一.
所以 a=-3 7. 答案】 3 【答 详解】 【详解】 -1,-2,-3 为 A 的特征值,且 A 为 3 阶阵,所以,-4 肯定不是 A 的 特征值,从而|A+4E| ≠ 0 即 r(A+4E)=3. 8. 答案】 0 【答案 答案】 【提示】 | λ E
特征值为 λ = 1, λ = 0 (二重) 提示】 当 λ = 0 时要对应两个线形无关的特征向量,故 a = 0 . 9. 答案】 -2 【答案 答案】0
【详解】 将 f(x)化为规范二次型.二次型矩阵 A = 0 a-1 详解】 0
0 a-1 2-a 2
正负惯性指数都是 1,所以 a=-2 10. 答案】 a = b = 0 【答案 答案】 【详解】 设 A 为已知曲面的二次型矩阵,B 为椭圆柱面的二次型矩阵.由已知 详解】| λ E-A| =| λ E-B |欢迎访问文都网校:netschool. 55, 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) λ 3
3λ 2 + (2-a 2 + b 2 )λ + (a 2 + b 2
2ab) = λ 3
3λ 2 + 2λ由待定系数可得 a + b = 0 ,得到 a=0,b=0.2 2二,选择题1. 答案】 C 【答案 答案】T T 【 详 解 】 因 为 (A+E)A = E + A = (E + A) 所 以 | A + E||A|=|A+E| 又 因 为|A|=-1,所以|A+E|=0 2. 答案】 C 【答案 答案】1
提示】 【提示】 由线性无关的向量构成的矩阵可逆.分别取 β = 0 ,
可知 A 为零阵. 3. 答案】 C 【答案 答案】 提示】 【提示】 初等行列变换不改变矩阵的秩. 4. 答案】 B 【答案 答案】 详解】 【详解】 设 r(A)=r ,r(B)=s,由 AB=0 知 B 的每一列向量都是 AX=0 的解向量. ①当 r=n 时,AX=0 只有零解,故 B=0,而 r(A)=n 得到:r(A)+r(B)=n ②当 r& n 时,AX=0 的基础解系含有 n-r 个解,从而 B 的列向量组的秩 ≤ n-r. 故 r(A)+r(B) ≤ n 5. 答案】 C 【答案 答案】 【提示】 提示】ε1 , ε 2 , ε 3 与 α1 ,α 2 ,α 3 可互相线性表示,等价向量组具有相同的秩.6. 答案】 A 【答案 答案】 提示】 【提示】 |A|=0,则 A 中的行向量必线性相关,从而必有一行向量是其余行向量 的线性组合. 7. 答案】 A 【答案 答案】 【详解】 不妨设 r1 ≠ 0, r2 ≠ 0 ,设 α1 , α 2 α r1 ; β1 , β 2
β r2 ; γ 1 , γ 2 γ r3 分别是它 详解】 们的极大无关组. 显然, γ 1 , γ 2 γ r3 可由 α1 , α 2 α r1 ; β1 , β 2
β r2 线性表示,56 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 又因 γ 1 , γ 2 γ r3 线性无关,从而 r3 ≤ r1 + r2 且 α1 , α 2 α r1 ; β1 , β 2
β r2 可由 γ 1 , γ 2 γ r3 线性表示 , 则 max(r1 ,r2 ) ≤ r3 ≤ r1 +r2 8. 答案】 B 【答案 答案】 提示】 【提示】 r(A) =4 ,从而方程组有解. 9. 答案】 C 【答案 答案】 【提示】 提示】α 2 + α 3
2α1 为对应齐次线性方程组 AX=0 的解.所 AX=b 的通解为α1 + c(α 2 + α 3
2α1 ) .10. 答案】 C 【答案 答案】 提示】 【提示】 矩阵与它的相似矩阵有相同的行列式.答案为 C.三,解答题1. 详解】 (1)设 k1 ( β
α1 ) + k 2 ( β
+ k s ( β
α s ) = 0 【详解】 则 (k1 +k 2 + +k s )β
k1α1 -k 2α 2
k sα s =0 ,且 β = α1 + α 2 + +α s 得到:∑ k iα1 + ∑ k iα 2 + +∑ k iα s =0i ≠1 i≠2 i ≠ssss s ∑ k i = 0
s ∑ k i = 0 因为 α1 , 2 ,…. , α s 线性无关, α . 从而
s ∑ k i = 0
i ≠s即 β
α 2 ,……., β
α s 线性无关. (2)利用反证法 欢迎访问文都网校:netschool. , 可得到 k i =0 (i=1, …,s) 2,57 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 只需证明:若 β
α 2 ,……., β
α s 线性无关,则 α1 , α 2 ,…. α s 也线 ., 性无关即可.设 k1α1 + k 2α 2 +
+ k sα s = 00 … 1
α s ) = (α1 ,α 2 , ,α s )
| A | = (s
1)(1)s 1所以,若α1 , α 2 ,… .. , α s 也 线 性 相 关 , 则β
α 2 ,……., β
α s 也线性相关.2. 详解】 【详解】 ( 1 ) 若 β 不 能 由 α1 , α 2 , α 3 线 性 表 示 , 必 有 | α1 α 2 α 3 |= 0 得 3a 2a-1 4a-1
det 2a+1 2a-1 3a =0
a+1 a-2 2a
从而 (a + 1)(a
1) 2 =0 , a=1 或 a=-1 ,当 a=1 时, 不符合题意, 排除. 所以 a=-1 (2)若 β 可由 α1 , α 2 , α 3 唯一线性表示,则 | α1 α 2 α 3 |≠ 0a ≠ ±1(3)若 β 可由 α1 , α 2 , α 3 线性表示,但表示法不唯一,则 | α1 α 2 α 3 |= 0 得a= ± 1 ,经验证,a=-1 时不合题意.所以 a=1.3. 详解】 令 β1 = α1 + α 2 , β 2 = α 2 + α 3
β n = α n + α1 【详解】 性无关,得∑x βi =1 ini= 0 由αi 线x1 +x n =x1 +x 2 =
=x n-1 +x n = 0 1 0… 0 1
这个齐次线性方程组的系数行列式为 D=
= 1 + (1) n +1
58 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 讨论 (1)当 n 为奇数时, D = 2 ≠ 0 ,方程组只有零解. (2)当 n 为偶数时,D=0,方程组有非零解. 4. 详解】 显然, α1
α 0 , , α n-r
α 0 是 AX=0 的解. 【详解】 下证:其线性无关性. 设 k1 (α1
α 0 ) + k 2 (α 2
+ k n-r (α n-r
α 0 ) = 0 则 k1α1 + k 2α 2 +
+ k n-rα n-r
(k1 +k 2 + +k n-r )α 0 = 0 因为 α 0 , α1 , α 2
, α n-r 线性无关.所以, k1 =k 2 =
= k n-r = 0 秩(A)=r ,所以,基础解系所含向量为 n-r 个. 5. 详解】 【详解】 (1) λ ≠ 0 且 λ ≠ n 时,方程组仅有零解 (2)当 λ =
n ,或 λ = 0 时方程有非零解. 当 λ = 0 时,方程组等价于 x1 + x 2 +
+ x n = 0 故 通 解 为k1η 1 +
+ k n 1η n 1,其中η 1 = (1, 1, 0,
, 0) T,η 2 = (1, 0, 1,
, 0) T ,…,η n 1 = (1, 0,
, 1) T .当 λ = n 时1 1
0其基础解系为η = (1, 1,
, 1) T ,从而通解为 kη . 6. 详解】 把方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯形 【详解】1 1 0
0 0 1 A= → 0 1 a
0 a 1 0 b + 1
1 1(1)当 a
1 ≠ 0 ,即 a ≠ 1 时,方程组有唯一解,其唯一解为 欢迎访问文都网校:netschool. 59 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)x1 =ba+2 a
3 b +1 , x2 = , x3 = , x4 = 0 a 1 a 1 a 1(2)当 a = 1 且 b ≠ 1 时,秩 (A ) = 2 & 秩 ( A ) = 3 ,知方程组无解. (3)当 a = 1 且 b = 1 时,秩 (A ) = 秩 ( A ) = 2 ,方程组有无穷多解.1
0 将 A 进一步化为 A →
1 2 2 1 0 0 0 0
0 0 0 0 T T故全部解为 ( 1, 1, 0, 0) + k1 (1,
2, 1, 0) + k 2 (1,
2, 0, 1) 意数)( k1 , k 2 为任 β1
为 AX=0 的通解,
为 AX= β 的通解,令 β =
7. 详解】 【详解】
分别代入到 AX=0 ,AX= β 中得到 α1
2α 2 + 4α 3 = 0 ; 4
,从而得到 α
2α + 2α =
2α 2 + 2α 3 + α 4 = 1 2 3 4
β4 B = (α 3 , α 2 , α1 , β
= (α ,α ,α ,α ) 0 BX = (α 3 ,α 2 ,α1 ,α1
2α 2 + 2α 3 ) 1 2 3 4
0 x4 0 1 0 01 0 0 01 2 2 0
x4 60 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) =α1
α 20 0 推出
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 2 0
-1 = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 )
0 推 出 x1 =
x 4 ,x 2 = 2x 40
-1 x 3 = 1
x 4 ,令 x 4 =0 得到
为 BX= α1
α 2 的一个特解. 1
令 BX=0,易求出 BX=0 的基础解系为 k1 1
-1 所以 BX= α1
α 2 的基础解系为 k1
0 8. 详解】 由于方程组 AX=b 【详解】 (1) 的系数矩阵的秩为 r, 故对应的齐次线性方程组 的基础解系有 n-r 个解向量,设为 α1 , α 2 , , α n-r ,若 α 是非齐次线性方程组(1) 的一个解,那么(1)的 n-r+1 个解向量α ,α1 + α ,α 2 + α , ,α n-r + α 是线性无关的. β 是方程组 设 (1) 的任一解向量, β
α = γ 是对应齐次线性方程组的解. 则 从 而可由 α1 , α 2 , , α n-r 线性表示, β
α = c1α1 +c2α 2 +
+ c n-rα n-r 于是有β = α + c1α1 +c 2α 2 +
+ c n-rα n-r= α + c1 (α1 + α )+c 2 (α 2 + α ) +
+ c n-r (α n-r + α )
c n-rα欢迎访问文都网校:netschool. 61 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)= c1 (α1 + α )+c 2 (α 2 + α ) +
+ c n-r (α n-r + α ) + (1
c n-r )α即 β 可由 α , α1 + α , α 2 + α , , α n-r + α 线性表示. 9. 详解】 【详解】| λE
a2ρ a2ρ λ
(a 2 + a 2 (n
1) ρ )][λ
a 2 ρ )] n 1 ∴ λ1 = a 2 [1 + (n
1) ρ ] , λ 2 = a 2 (1
ρ )当 λ = a 2 (1
ρ ) 时 a2ρ
a2ρ 从而特征向量为 a2ρ
η 1 = (1, 1, 0,
, 0) T , η 2 = (1, 0, 1, 0,
, η n1 = (1, 0,
, 1) T2 当 λ = a [1 + ( n
1) ρ ] 时 a2
a2ρ a2ρ a2
a2ρ a 2 ρ
所以,η n = (1, 1,
, 1) 是其特征向量.T62 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)1 1
0 1 0 1 (2) P =
1 1 a 2 (1
2 a [1 + (n
n 10. 详解】 相似的矩阵有相同的特征多项式,再利用待定系数法,即可得到: 【 详解】 a=5,b=-2,c=21
且 A 的特征值为 λ = 1,λ = 2,λ = 1 ,当 λ = 1 时,求得特征向量为 α1 = 1 ,当
,当 λ = 1 时,求得特征向量为 α = 1
, λ = 2 时,求得特征向量为 α 2 = 3
11. 详解】 A 的特征多项式 【详解】欢迎访问文都网校:netschool. 63 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)λ 1| λ E
2 a1aλ 1+ a1aλa1λa 2 = 0 2 λ 1 λ 1+ a 1 λ 1进而可得到= (λ + a
1)得 A 的特征值为 λ1 = 1
a, λ 2 = a, λ 3 = a + 1 .λ1 = 1
a 的特征向量为ξ 1 = (1, 0, 1) T λ 2 = a 的特征向量为ξ 2 = (1, 1
2a, 1) Tλ3 = a + 1 的特征向量为ξ 3 = (2
4a, a + 2) T则 若 λ1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 , 1
a ≠ a + 1, a ≠ a + 1, 即 a ≠ 1 / 2 且 a ≠ 0 时,A 有三个不同的特征值, A 可以对角化.若 a = 1 / 2 ,即 λ1 = λ 2 = 1 / 2 ,此时属于 λ1 = λ 2 = 1 / 2 的线性无关的特征向 量只有一个,故 A 不可对角化. 若 a = 0 ,即 λ1 = λ3 = 1 ,此时属于 λ1 = λ3 = 1 的线性无关的特征向量只有一 个,故 A 不可对角化. 12. 详解】由题设条件知三阶实对称矩阵 A 的特征值为 【详解】λ 1 = 2 ,λ 2 = λ 3 =
1由于 A = A A ,知 A* 对应于特征值 1 的特征向量是 A 对应于特征值 λ1 = 2 的* 1特征向量.故 α = (1 , 1 ,
1) 为 A 对应于特征值 λ1 = 2 的特征向量.而 A 对应于特T征值 λ2 = λ3 = 1 的特征向量与 α 正交,由x1 + x 2
x 3 = 0求 得 属 于 特 征 值 λ2 = λ3 = 1 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 为 α 2 = (1 , 0 , 1) ,Tα 3 = (0 , 1,)T .将这三个向量单位正交化得到 164 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 1
3 求的二次型为1 2 0 1 2 0
1 ,则 A = P 0
2 x 2 x 313. 证明】 【证明】 设 A 的属于不同特征值 λ1 , λ 2 ,
, λ n 的特征向量分别为α 1 , α 2 ,
, α n .由条 件 知 , α 1 , α 2 , , α n 也 是 B 的 特 征 向 量 . 因 为 λi ≠ λ j (i ≠ j ) , 所 以α 1 , α 2 ,
, α n 线性无关,即 B 有 n 个线性无关的特征向量,从而 B 也可对角化.令 P = (α 1 , α 2 ,
, α n ) ,则 P AP = diag{λ1 , λ 2 ,
, λ n }1P 1BP = diag{1 ,
n }从上式可知: α i = λiα i , Bα i =
iα i (i = 1, 2,
, n) , A 两端分别乘 B 与 A 得(BA)α i = λi Bα i = λi
iα i1( AB)α i =
i λ iα i ,从而有(BA)α i = ( AB)α i = λ i
iα i , BA[α 1 , α 2 ,
, α n ] = AB[α 1 , α 2 ,
, α n ] 在 故等式两端右乘 P= [α 1 , α 2 ,
, α n ] 1 即得 AB = BA .欢迎访问文都网校:netschool. 65 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)概 率 统 计 参考答案详解一,填空题1. 答案】 0.3 【答案】 【详解】 因为 详解】P( A) = P( A ∩ ( B ∪ B)) = P( AB) + P( AB) = P( AB) + ( A
B)所以 P ( AB ) = 0.7 2. 答案】 k = 【答案】P( AB) = 1
P( AB) = 0.31π【详解】 因为 详解】∫+∞∞f ( X ) = 1 ,所以 d ( x
2) = ∫ ke∞ +∞
y2 2 +∞ y d( ) = ∫ k π ∞ 2∫+∞∞ke ( x
y2 e dy = 1 2π2从而 k π = 1 3. 答案】 N (1, ( 5 ) 2 ) 【答案】k=1π【详解】 X , Y 相互独立,所以, Z 服从正态分布 详解】 由 E ( X
Y + 1) = EX
EY + 1 = 2
Y + 1) = DX
DY = 5得N (1, ( 5 ) 2 )66 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)4. 答案】 【答案】3 5【详解】 P { X & Y } = 详解】 5. 答案】
【答案】∫ ∫0+∞x06e2 x 3 y dydx = ∫ 2e 2 x (1
e 3 x )dx =0+∞3 5 ye
y y & 0 y≤0 0【详解】 f y ( y ) = 详解】 6. 答案】 0,1 【答案】∫y0 ye
y dx = ye y ( y & 0) ,所以 f y ( y ) =
0 y ≤ 0【详解】 X ~ N (
, 详解】 7. 答案】 0.6 【答案】X
2 1 ) ~ N (0, )
p( α N n2X
2( ≥ 1) ≤1π1)2 =1 n【详解】 cov( X , Y ) = ρ DX 详解】 8. 答案】 【答案】DY = 0.61 32 2 【详解】 9c
9c + 3 = 1 详解】推出 c1 = 9. 答案】 【答案】 【详解】 详解】3 (舍), 2c2 =1 3(当 c1 =3 时 2p2 & 0 , p3 & 0 )χ 2,m + n
1) s12 ~ χ 2 (m
1) 2(n-1)s 2 2 ~ χ 2 (n
1) =& 2V ~ χ 2 (m + n
2)10. 答案】 [9.755,10.245] 【答案】 【详解】 因为 V = 详解】10
x = = 8(10
) σ 0 / n 1/ 2 / 41
α = 0.9567欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 取 Φ (1.96) = 0.9758 10
≤ 0.97510
≤ 0.245 ∈ [9.755,10.245]11. 答案】 【答案】(n
1 2 )π2【详解】 xk +1
xk ~ N (0, σ ) 详解】E xk +1
xk = ∫+∞∞x1 2π 2σ2ex 4σ 2dx=2σπ 所以 E (σ ) =1 n 1 1 2 ∑ E xi+1
1) π σ = σ k i =1所以 K = 2( n
1) / π 12. 答案】
【答案】1-e 2 x
2 xe 2 x x ≥ 0 x&0 0【详解】 因为 详解】∫+∞∞f ( x)dx = 1
∫ axe 2 x dx = 1
a = 40+∞F ( x) = ∫x∞ x 4 xe 2 x dx x ≥ 0 1
2 xe 2 x x ≥ 0
= f ( x)dx =
∫0 x&0 0 0 x&0 13. 答案】 0 【答案】2 2 2 2 2 2 2 2 【详解】 E (ξη ) = E ( X
+ σ ) = 0 详解】Eξ Eη = E ( X + Y ) E ( X
) = 0ρξη = 014. 答案】 0.975 【答案】 【详解】 因为 E X = 1 详解】DX =1 1 = n 10068 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)
x2 所以 P X ≤ 1.196 = P
≤ 1.96 = ∫ e dx = 0.975 ∞ 2π
100 {}15. 答案】 15.8 【答案】 【详解】 因为 p14 = 0.2 × 0.3 = 0.06 详解】p15 = 0.2 × 0.7 + 0.5 × 0.3 = 0.29 p16 = 0.5 × 0.7 + 0.3 × 0.3 = 0.44 p17 = 0.3 × 0.7 = 0.21所以 E ( Z ) = 14 × 0.06 + 15 × 0.29 + 16 × 0.44 + 17 × 0.21 = 15.8二,选择题1. 答案】 C 【答案】 【详解】 A
B = AB 详解】 2. 答案】 D 【答案】 【详解】 P ( A) = P ( AB ∪ AB ) = P ( AB ) + P ( AB ) = P ( A
B ) + P ( AB ) 详解】 由 P ( AB ) = 0
P ( A) = P ( A
B ) 3. 答案】 B 【答案】 提示】 【提示】 ①中均匀函数,密度函数不连续. ④中均匀函数随机变量 ξ ∈ [a, b],η ∈ [c, d], b & c 则④错. 4. 答案】 D 【答案】 5. 答案】 C 【答案】 详解】 【详解】A = AB ∪ AB AB = P ( X = Y ) = P {( X = 0, Y = 0) ∪ ( X = 1, Y = 1)} = P ( X = 0, Y = 0) + P ( X = 1, Y = 1) =6. 答案】 D 【答案】 欢迎访问文都网校:netschool. 691 2 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 【提示】 D 中不一定两两不相交 提示】 7. 答案】 B 【答案】(XY)=EX
EY ,所以 cov( X , Y ) = 0 【详解】 因为 E 详解】故 D ( X + Y ) = DX + DY 8. 答案】 C 【答案】 9. 答案】 D 【答案】 提示】 【提示】 D 服从指数分布有 EX 存在 10. 答案】 C 【答案】 【提示】 C 确定样本容量才成立三,解答题1. 详解】 设 Ai 为 i 架飞机到达目标上空 B 为目标被炸毁 【详解】P( A0 )=0.2P( A1 ) = 0.8 × 0.2 × 0.2 = 0.0321 P ( A2 ) = C2 × 0.8 × 0.2 × 0.8 = 0.256 P ( A3 ) = (0.8)3 = 0.512P ( B | A0 ) = 0 P ( B | A1 ) = 0.3P( B | A2 ) = 1
P ( B | A2 ) = 1
0.7 2 = 0.51 P( B | A3 ) = 1
P( B | A3 ) = 1
0.73 = 0.657P( B) = ∑ P( B | Ai )P( Ai ) = 0.4765i =0 32. 详解】 当 y & 0 时 【详解】FY (y) = P(Y ≤ y) = P{F(x) ≤ y} = P(φ ) = 0当 0 ≤ y ≤ 1时FY (y) = P(Y ≤ y) = P{F(x) ≤ y} = P(x ≤ F1 (y)) = F[F1 (y)] = y当 y&1 时FY (y) = P(Y ≤ y) = P{F(x) ≤ y} = P() = 170 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)′ 综上所述, FY (y) = FY (y) = 3. 详解】 【详解】 (1) X Y -1 0 1 -1 0 0.2 0 0.2 01 0y ∈ [0,1] 其它1 0 0.2 0 0.2P j0.2 0.6 0.2 10.2 0.2 0.2 0.6PiP(XY=0)=1 P(XY ≠ 0)=0P1,1 = P1,1 = P1,1 = P1,1 = 0(2) P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.2∞ ∞4. 详解】 (1) 【详解】∞ ∞∫2 ∫ f (x, y)dxdy = 1
c ∫ x dx ∫ ydy = 1
c = 1 x21121 4 1 21 2
x (1-x ) -1 ≤ x ≤ 1 (2)f X (x) = ∫ f (x, y)dy =
x 2 4 = 8 ∞
0∞ y 21 7 5
∫ x 2 ydx
y 2 = 2 f Y (y) = ∫ f (x, y)dx =
0∞0 ≤ y ≤1其它(3) f(x,y) ≠ f X (x)f Y (y) 不独立1 x 5. 详解】 f(x,y) = e 【详解】 2π2+ y2 2,欢迎访问文都网校:netschool. 71 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类)1 x P(Z=0)= ∫∫ e 2π x 2 + y2 & 42+ y2 2dxdy=e 2 1 21 x P(Z=1)= ∫∫ e 2π ≤ ax 2 + y 2 ≤ 42+ y2 2dxdy=e -e2 1 2P(Z=2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)=1-e分布律 Z P 6. 详解】 (1) f Y (y) = 【详解】 012e 2+∞e 2 -e2 ( x + y)11-ey&01 2∫ 2 (x + y)e011 dx = (ye
y + e y ) 21 (x + y)e
( x + y) f (x, y) 2 y + x x e 所以, FX|Y (x|y) = = = 1 f Y (y) y +1 y y (ye + e ) 2(2) P(Z=1)=P(x ≥ Y)=+∞∫01 1 1 dx ∫ (x+y)e
( x + y) dy=
P(Z=0)= 2 2 2 0x0 1
2 1 x&0 0 ≤ x&1 x ≥17. 详解】 (1)X,Y 不相关且服从二维正态分布 =& X,Y 相互独立 【详解】 X,Y ～N ( 2,2 2 ) =& X-Y ～N ( 2,2 2 )Fz (z)=P(Z ≤ z)=P(-z ≤ |x-y| ≤ z)=P(-z ≤ u ≤ z)= ∫-z
z2 16z1 2π 8eu2 16du = ∫0z1 2 πeu2 16du′ 所以, f Z (z) = FZ (z)=1 2 πe72 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类)1
16 2 2 e dz =8 (2) E(Z)= ∫ zf Z (z)dz= ∫ z e dz = , E(Z )= ∫ z π 2 π 2π -∞ 0 0所以 D(z)=E(Z )-[E(Z)] =2 2∞+∞z2∞z28π(π -2)k=1,2,…….,n8. 详解】 设 A k ={ 第 k 个人收到自己的资费单 } 【详解】P(A k )=1 nP(A i A j )=P(A j |A i )1 1 1 P(A i )=
= n n-1 n(n-1)则 Z=设 Xk = 1 01 nA k出现 A k 不出现E(X k )= 1 nn∑Xk=1nk所以 P(X k =1)=nD( X k )=nn-1 n2E(Z)=E(∑ X k )=1k=1D(Z)=D(∑ X k )= ∑ D(X k ) + 2Cn 2 cov(x i , x j )k=1 k=1cov(x i , x j ) = E(x i x j )
Ex i Ex j =1 1 1 1 1 1+[1]
= 2 n(n-1) n(n-1) n n n (n-1)所以 D( Z)=n n-1 n(n-1) 1 +2
2 =1 2 n 2 n (n-1)9. 详解】 由题知两台 X,Y 设备服从指数 λ 分布且独立. 【详解】EX=EY=1λ=5000=&λ =0.00020.0002( x + y)所以 X,Y 联合密度函数 f(x,y)= 0.0004 ex,y & 0Z = min(X, Y) E(Z) = ∫∫ min(X, Y)f (x, y)dxdy= ∫∫ yf (x, y)dxdy+ ∫∫ xf (x, y)dxdy= 1 21 4 = 1 +21 ={(x,y)|0 ≤ x ≤ ∞,0 ≤ y ≤ x}2 ={(x,y)|0 ≤ y ≤ ∞,0 ≤ x ≤ y}73欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 10. 详解】 【详解】 (1) P(x1 =0)=3 10P(x1 =1)=7 10P(x 2 =0)=8 10P(x 2 =1)=2 101 1 P(x1 =0,x 2 =0)=P(x 3 =1)= 10 10 2 7 P(x1 =0,x 2 =1)=P(x 2 =1)= P(x1 =1,x 2 =0)=P(x1 =1)= 10 10 P(x 3 =0)= P(x 3 =1)=9 10P(x1 =1,x 2 =1)=0 x10 1P j0.8 0.2 1x20 1 0.1 0.2 0.3 0.7 0 0.7Pi(2) Ex1 =0.7Ex 2 =0.2 Dx 2 =0.16Ex 21 =0.7Ex 2 2 =0.2Dx1 =0.21E(x1x 2 )=0cov(x1 ,x 2 ) = E(x1x 2 )-Ex1Ex 2 = -0.14ρx x =1 2cov(x1 ,x 2 ) -0.12 = =-0.76 Dx1 Dx 2 0.21 0.1611. 详解】 【详解】 (1) L(x1 ,x 2 , ,x n ) =1θne1
[(x1 -a)+(x 2 -a)++ ( x n -a)]θln L(x1 ,x 2 , ,x n ) =
ln L(θ , a) n = a θ∑ (x θi =11ni a) ln L(θ , a) n 1 =- + 2 θ θ θ∑ (x -a)i =1 in74 欢迎访问文都网校:netschool.
考研数学冲刺系列之:考前专项高分突破(理工类) 因为nθ&0 故 L (θ , a) 关于 a 单调增加,且 x i &a所以 a 可取最大值 min(x1 ,x 2 , ,x n ) ,L (θ , a) 对于固定 θ 取得最大. 所以 a = min(x1 ,x 2 , ,x n )(2) 1 = EX =+∞ +∞θ = x
min(x1 ,x 2 , ,x n )+∞∞ +∞∫xf (x)dx =∫θaxex aθdx = a + θ 2 = EX 2 =∞∫x 2 f (x)dx =∫ax2θex aθdx = a 2 + 2θ (a + θ )a + θ = x
2 a + 2θ (a + θ ) = ∑ x i 2
n i =1 x=1 n ∑ xi n i =1 得θ =1 n ∑ (x i
x)2 n i =1 a = x-1 n ∑ (x i
x)2 n i =112. 详解】 【详解】 (1)因为 E(x1 )=E(x 2 )=EX= 所以, EY=E(ax1 +bx 2 )=(a+b) 当 a+b=1 时 EY= (2) Dx1 =σ2n1Dx 2 =σ2n2 a 2 b 2 2 a 2 (1-a) 2 2 + )σ =[ + ]σ n1 n 2 n1 n2DY = D(ax1 +bx 2 )=(dDY 2a 2(1-a) 2 n1 n2 =[
a = 此时 b = da n1 n2 n1 + n 2 n1 + n 2欢迎访问文都网校:netschool. 75 考研数学冲刺系列之: 考前专项高分突破 (理工类) 13. 详解】 【详解】P{|x- 0 |&K}=0.05 , P{|即 P{4|σx- 0 n|&K nσ}=0.05x- 0σ|≤ K4所以 P{4 从而x- 0σ}=0.95 }=0.975σ≤ K4σ4Kσ=1.96则 K=0.49676 欢迎访问文都网校:netschool.}
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