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新课标高中数学人教A版必修五全册课件3.4基本不等式(二)
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内容提示：a?b ab ? 2。复习引入。(1) 如果a , b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅 当a ? b时取“?”号) ;。复习引入。(1) 如果a , b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅 当a ? b时取“?”号) ; a?b ( 2) 如果a , b是正数, 那么 ? ab (当且 2 仅当a ? b时取“?”号) ;。复习引入。(1) 如果a , b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅 当a ? b时取“?”号) ; a?b ( 2) 如果a , b是正数, 那么 ? ab (当且 2 仅当a ? b时取“?”号) ;。前者只要求a, b都是实数，而后者要 求a, b都是正数.。复习引入。a?b a ? b ? 2ab和 ? ab成立的条 2 件是不同的 .。复习引入。4 (1) f ( x ) ? 2 ? 3 x ? 最 ___ 值是 _______( x ? 0). x。1 ( 2) sin x ? 最 ___ 值是 _____( ?? ? x ? 0). 2 sin x。( 3)已知2a ? b ? 2, 求f ( x ) ? 4 ? 2 的最值及 此时的a和b.。复习引入。4 大 值是 _______( x ? 0). (1) f ( x ) ? 2 ? 3 x ? 最 ___ x。1 ( 2) sin x ? 最 ___ 值是 _____( ?? ? x ? 0). 2 sin x。( 3)已知2a ? b ? 2, 求f ( x ) ? 4 ? 2 的最值及 此时的a和b.。复习引入。4 2 ? 4 3 x ? 0). 大 值是 _______( (1) f ( x ) ? 2 ? 3 x ? 最 ___ x。1 ( 2) sin x ? 最 ___ 值是 _____( ?? ? x ? 0). 2 sin x。( 3)已
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请问高中数学中基本不等式，在使用时为什么要“当且仅当相等时”？
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高中数学中基本不等式是a^2+b^2&=2ab(当且仅当a=b时,取等号)这要回过头来看推导过程（a-b）^2&=0a^2-2ab+b^2&=0a^2+b^2&=2ab当且仅当a=b时（a-b）^2=0，也就是a^2+b^2=2ab希望能帮到你,不懂再问,欢迎采纳!!!
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老前辈老腐朽老泰斗传承下来的累赘的劣习其实只要“仅当相等时”
因为定义域中要有这个数的存在所以取等号
要是不在定义域中取不到等号
因为利用基本不等式求最值问题时等号成立的条件恰好就是当且仅当a=b时。
“当”是说明充分性，“仅当”是说明必要性。这就相当于“等价于”。
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【人教A版】2012高三数学（文）《优化方案》总复习课件：第6章第4课时
【答案】　D 【名师点评】　本题的考查目的很明显：就是基本不等式求最值．考生都知道解题的入手点是通过拆项或补项使之成为能适合基本不等式的表达式，这也是本题的难点．若a<b0，b>0 a＝b 2ab ≤ 基础梳理 思考感悟 上述四个不等式等号成立的条件是什么？ 提示：满足a＝b. ≥ 2 x＝y 最小 x＝y 最大 课前热身 答案：A 答案：C 答案：D 5．长为24 cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为________． 答案：36 cm2 答案：－2 考点探究?挑战高考 利用基本不等式证明不等式 考点突破 利用基本不等式证明不等式，先观察题目条件是否满足基本不等式的应用环境，若不满足，则应通过添项、拆项、配系数，等方法，使其满足应用条件，再结合不等式的基本性质，达到证明的目的． 例1 证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd. 【思路分析】　利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条件． 【证明】　a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2 ＝2(a2b2＋c2d2)≥2?2abcd＝4abcd. 故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2， 且c2＝d2，ab＝cd. 【名师点评】　证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立，同时也要注意应用基本不等式的变形形式． 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值．“三相等”是利用基本定理求最值时，必须验证等号成立这一条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这是最容易发生错误的地方． 例2 基本不等式的实际应用 解实际应用题要注意以下几点： (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 例3 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计． (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价； (2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价． 【方法小结】　(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围，这对最优化问题起着关键作用． (2)在求函数的最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号的情形，此时要利用函数的单调性求解． 方法感悟 方法技巧 1．合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值． 2．当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法． 失误防范 考向t望?把脉高考 考情分析 通过对近几年浙江高考试题的统计和分析可以发现，本节主要考查利用基本不等式求函数的最值．若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆、添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升．对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题． 预测2012年浙江高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力． 真题透析 例 优化方案系列丛书 第6章
不等式与推理证明 双基研习?面对高考 考点探究?挑战高考 考向t望?把脉高考 1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．2．常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)；(2)ab ()2(a，b∈R)；(3)___ ()2(a，b∈R)；(4)＋≥ (a，b同号且不为零)．3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有值是.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有值是.(简记：和定积最大)21．“a>0且b>0”是“≥ ”的(　　)A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件2．当x>1时，关于函数f(x)＝x＋，下列叙述正确的是(　　)A．函数f(x)有最小值2
B．函数f(x)有最大值2C．函数f(x)有最小值3
D．函数f(x)有最大值33．设0<x<，则函数y＝x(3－2x)的最大值是(　　)A.
D.4．(2010年高考重庆卷)已知t>0，则函数y＝的最小值为________．(1)设0<x<2，求函数y＝的最大值；(2)求＋a的取值范围；(3)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．【思路分析】→→→【解】　(1)0<x0，y＝＝?≤?＝，当且仅当x＝2－x即x＝1时取等号，当x＝1时，函数y＝的最大值是.(2)显然a2，当a>2时，a－2>0，＋a＝＋(a－2)＋2≥2 ＋2＝6，当且仅当＝a－2，即a＝4时取等号，当a<2时，a－2<0，＋a＝＋(a－2)＋2＝－[＋(2－a)]＋2≤－2
＋2＝－2，当且仅当＝2－a，即a＝0时取等号，＋a的取值范围是(－－2][6，＋)．(3)x>0，y>0，且x＋y＝1，＋＝(＋)(x＋y)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4，当且仅当＝，即2x＝y时等号成立，＋的最小值为7＋4.【误区警示】　(1)对于第(2)小题中变形为a－2＋＋2后，易忽视了a－2的符号不定，从而得原式≥6这样的错误结论，同时当a－2<0时要注意变号．(2)第(3)小题要求根据条件求最值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关键，方法是在式子上乘以(x＋y)．利用基本不等式求最值时，要注意三个条件，即：“一正、二定、三相等”，本题常见的误解为：x>0，y>0，x＋y＝1≥2xy≤，≥4.＋≥2 ≥2＝8，此法错误的原因是没有考虑等号成立的条件，＝和x＝y同时成立是不可能的．所以在不等式连续放缩的时候，要时刻注意是否在同一条件下进行放缩，放缩时还要注意有目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况．互动探究　把本例(3)中的条件改为x>0，y>0且＋＝1，求x＋y的最小值．解：∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝3＋＋＋4≥7＋2?＝7＋4，当且仅当＝，即2x＝y时取等号，∴x＋y的最小值为7＋4.【思路分析】　设污水池的宽为x米，则长为米，则问题(1)可通过建立函数关系式利用基本不等式求最值；而问题(2)是在(1)的函数关系下，由变量x的取值范围，通过函数的单调性来求最值．【解】　(1)设污水处理池的宽为x米，则长为 米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1296x＋＋12960＝1296(x＋)＋1×2 ＋12960＝38880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16.设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，由函数性质易知g(x)在[10，16]上是增函数，∴当x＝10时(此时＝16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值1296×(10＋)＋1(元)．∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．应用基本不等式≤时要注意的问题(1)注意不等式成立的条件a>0，b>0.(2)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想．(2010年高考四川卷)设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(　　)A．1　　　　　　　　　　B．2C．3
D．4【解析】　a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)A．最大值为0
B．最小值为0C．最大值为－4
D．最小值为－4解析：选C.x0，x＋－2＝－(－x＋)－2≤－2－2＝－4，等号成立的条件是－x＝，即x＝－1.2．若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是(　　)A.
D．8解析：选C.由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0得.故＋＝＝≥＝＝4.当且仅当a＝b＝时上式取“＝”．3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为(　　)A．50
B．25C．50
D．100解析：选A.设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.于是S＝xy≤＝50，当且仅当x＝y时等号成立．4．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．解析：由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时，取等号，则2＋1＝4，解得p＝.答案：【人教A版】2012高三数学（文）《优化方案》总复习课件：第6章第4课时--博才网
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59利用基本不等式求最值的“定”
利用基本不等式求最值的“定”扬中市第二高级中学刘；摘要基本不等式在不等式的证明和求最值过程中有着广；关键词一正二定三相等基本不等式最值；函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要；一、基本不等式的主要形式及注意点；1.；a?ba?b?a,b?0????①，其中称22为；a和b的几何平均数；会用到它的变形形式：a?b?a,b?0????②；2.通过基本不
利用基本不等式求最值的“定” 扬中市第二高级中学
212200摘要
基本不等式在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的运用。求最值是高考中的热点，在平时的教学过程中，要让学生知道运用基本不等式求最值的条件，即我们经常强调的“一正二定三相等”。本文主要是笔者在平时教学之余，把自己对利用不等式求最值时“定”的条件做一些分析。关键词
一正二定三相等 基本不等式 最值函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重阐述利用基本不等式求最值时如何利用定值。一、 基本不等式的主要形式及注意点1.a?ba?b?a,b?0????①，其中称22为a和ba和b的几何平均数。而我们经常会用到它的变形形式：a?b?a,b?0????②.这两个式子在形式上是一致的，而②式应用起来更加方便，比如：当a?0时，求代数式a?的最小值。2. 通过基本不等式的主要形式，我们发现，对于两个正数a和b，如果它们的乘积为定值，则它们的和a?b有最小值，即a?b?1a????②；如果它们的和a?b为定值，则它们的乘积2?a?b?ab???????③。当然，在用完基本不等?2?式之后，还要去验证一下不等式中等号成立的条件：当且仅当a?b时等号成立。利用基本不等式求最值时，一定要引导学生去验证用不等式的这三个条件，即我们平常经常说的“一正二定三相等”。二、什么时候能用基本不等式求最值对于三个条件中的第一和第三个条件，往往不难验证，能否运用基本不等式，主要体现在和与积当中，要有一个定值。比如本文之前提到的：当a?0时，求代数式a?的最小值。本题中，很显然，相加的两个正数a和都是正数，而它们的乘积恰巧为定值1，所以我们可以运用基本不等式，得a???2，当且仅当a?，即a?1时等式成立。而《苏教版数学必修5》中88页的例2：已知函数y?x?16,x?(?2,??)，求此函数的最小值。本题看上去是因为x不一x?21a1a1a1a定大于0，不能直接运用不等式，实则不然。我们将题目适当改一下，16,x?(2,??)，求此函数的最小值。很显然，很x?216?0，于是直接运用基本不等式，得多同学发现，x?0，x?2如：已知函数y?x?y?x?16做到这一步之后，又发现根号里面含有变量x，?x?2问题没有得到解决。参照课本，教师往往会教学生将函数适当变形，得到y?x?1616?(x?2)??2，然后对前两项运用基本不等式，从x?2x?2而得到函数的最小值。其实，变形的目的是使得根号下面乘起来是一个定值才行，但是为什么要将x改写成(x?2)?2，而没有将16改成x?216，是因为第一种改法，我们可以保证对函数的恒等变形，而第二种x改写比较困难，如果恒等变形，还要再乘以含有参数x的一个式子x，不利于问题的解决。 x?2下面我们再看几个例题。例1 已知a,b?0，且a?b?1，求ab的最大值。分析：本题正好满足基本不等式求最值的前两个条件，于是，运a?b??1?1用③式，我们有，ab????????，注意验证等号成立的条?2??2?422件，当且仅当a?b?时取等号。变式
已知a,b?0，且a?2b?1，求ab的最大值。分析：本题和例1题型非常类似，有的老师在讲解的时候，可能没有注意到这两题的本质，而直接运用基本不等式，解答如下：?a?0,b?0，从而得到ab??1?a?2b?1，当且仅当a?2b，812即a?,b?时等号成立。考察整个阶梯过程，应该说没有问题，但是下次遇到类似的问题时，学生就不一定能够想到这样的方法去做。仔细分析这两个题目，其实是同一个题目。例1是两个正数a和b的和为定值，求它们的积ab的最大值，而变式题是已知两个正数a和2b的和为定值，求它们的积a?2b的一半的最大值，于是我们有11?a?2b?1?1?1ab?(a?2b)????????，一步到位，然后再去验证等22?2?2?2?8221214号能否成立。这道题的本质还是“和定积最大”，要引导学生去探索发现。例2
已知x?1,y?1，且lgx?lgy?4，求lgx?lgy的最大值。 分析：本题，我们注意到，在条件x?1,y?1下，lgx以及lgy都是正数，因而本题仍然是“和定积最大”的一种题型，易得?lgx?lgy??4?lgx?lgy???????4 2???2?22例3已知0?x?f(x)?x2(2?x2)的最大值。 分析：本题和例2是同一题型，只要注意x2?(2?x2)?2为定值，问题就迎刃而解。但是，适当将题目改变一下，我们看下面一个例题例4已知0?x?f(x)?x2(4?2x2)的最大值。 分析：本题和例3区别在于，x2?(4?2x2)?4?x2，其结果不为定值，于是，学生可能想到，此处不能利用基本不等式求解。仔细观察发现，相加之后不为定值的原因在于x2前的系数不是相反数，如果变为相反数，就可以把x2项消去。而办法并非唯一， 解法一?0?x?2x2?0,4?2x2?0，从而11?2x2?4?2x2?2222f(x)?x(4?2x)??2x(4?2x)????2， 22?2?2当且仅当2x2?4?2x2，即x?1时，等号成立。解法二?0?x?x2?0,2?x2?0，从而?x2?2?x2?2222f(x)?x(4?2x)?2x(2?x)?2???2， 2??2当且仅当x2?2?x2，即x?1时，等号成立。 包含各类专业文献、专业论文、生活休闲娱乐、中学教育、外语学习资料、行业资料、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、59利用基本不等式求最值的“定”等内容。
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q　当 时,求 y = x (8 ? 2 x ) 的最大值。 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 解析:由 积的形式,但其和不是定值...
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　2 在基本不等式的应用中,我们需要注意以下三点: “一正” a 、b 是正数,这是利用基本不等式求最值的前提条件。 : “二定” :当两正数的和 a ? b 是...
q　利用基本不等式求最值山东省泰安第一中学 许兴堂一、学习目标: 学习目标: 1、理解利用基本不等式求最值的原理 2、掌握利用基本不等式求最值的条件 3、会用基本...
q　①若 p 为定值,那么当且仅当 ②若 s 为定值,那么当且仅当 时,s=x+y 有时,p=xy 有 注:① 注意运用基本不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”...
s　利用基本不等式求最值的技巧注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最...
s　sin x cos x(0 ? x ? 2 ? 2 ) 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;② 熟悉一个重要的不等式链: 解析:① 2...
　当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 解析:由知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子 积的形式,但其和不是定值。...
　综上所述,应用均值不等式求最值要注意: 一要正:各项或各因式必须为正数; 二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值...
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