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MATLAB求矩阵分解,特征值与特征向量
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矩阵的特征值与特征向量的求法
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幂法求解矩阵特征值及特征向量
【算法原理】幂法是通过求矩阵特征向量来求出特征值的一种迭代法.其基本思想是:若我们求某个n阶方阵A的特征值和特征向量,先任取一个初始向量X(0),构造如下序列:&&&&&&&X(0)&&,X(1)&&=AX(0)&&,X(2)&&=AX(1)&,&,&X(K)&&=AX(K+1)&&,&&&⑴&&&&&&&当k增大时,序列的收敛情况与绝对值最大的特征值有密切关系,分析这一序列的极限,即可求出按模最大的特征值和特征向量.&&&&&&&假定矩阵A有n个线性无关的特征向量.n个特征值按模由大到小排列:&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&│&1│&=│&2│&=&&=│&n│&&&&&&&&&&&&&&⑵&&&&其相应的特征向量为:&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&V1&,V2&,&&,Vn&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑶&&&&&它们构成n维空间的一组基.任取的初始向量X(0)由它们的线性组合给出&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&X(0)=a1V1+a2V2+&+anVn&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑷&&&&&由此知,构造的向量序列有&&&&&&&&&&X(k)&&=AX(k-1)&=&A2X(k-2)&=&=AkX(0)&&=&a1&1kV1+a2&&2kV2+&+an&nkVn&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑸&&&下面按模最大特征值&1是单根的情况讨论:&&&&&&&由此公式(5)可写成&&&&&&&&&&&&&&&&&&&X(k)&=&&1k&(a1V1+a2&(&2/&1)kV2+&+an(&n/&1)kVn&&)&&&&&&&⑹&&&&若a1&0，由于|&i/&1&|&1&(i&2),故k充分大时，&&&&&&&&&&&&&&&&&&X(k)&=&&1k&(a1V1+&k)&&&&其中&k为一可以忽略的小量，这说明X(k)与特征向量V1相差一个常数因子，即使a1=0，由于计算过程的舍入误差，必将引入在方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程的进展而逐渐成为主导，其收敛情况最终也将与相同。特征值按下属方法求得：&&&&&&&&&&&&&1&&Xj(k+1)/&Xj(k)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑺其中Xj(k+1)，&Xj(k)分别为X(k+1)，X(k)的第j各分量。&&&&实际计算时，为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，将向量&归一化&即用的按模最大的分量&&&&&&&&&max&&|Xj(k)|&1&j&n去除X(k)的各个分量,得到归一化的向量Y(k),并令X(k+1)&=&AY(k)由此得到下列选代公式&:&&&&&&&&&&Y(k)&=&X(k)/║&X(k)║&&&&&&&&&&&&X(k+1)&=&AY(k)&&&&&&&&&&&k=0,1,2,&&&&&&&&&&&&&&⑻当k充分大时,或当║&X(k)-&X(k+1)║&&时,&&&&&&&&&&Y(k)&V1&&&&&&&&&&max&&|Xj(k)|&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&⑼&&&&&&&&&&1&j&n【算法描述】设矩阵&有&个线性无关的特征向量，主特征值&满足&&&&&&&&&&&&&&&&&&&，则&，下式构造的向量序列&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&有&&&&&，&&【源代码】////////////////////////////////////////////////////////幂法求矩阵特征值&&&&&&//&//author:zhiyong&fang&&&&&&&&&&&////date:15/11/2004&&&&&&&&&&&&&&//////////////////////////////////////////////////////#include&&iostream.h&#include&&math.h&#define&N&3void&matrixx(double&A[N][N],double&x[N],double&v[N]){&&&&for(int&i=0;i&N;i++)&&&&&&&&&&{&&&&&&&&&&&&v[i]=0;&&&&&&&&&&&&for(int&j=0;j&N;j++)&&&&&&&&&&&&&&&&v[i]+=A[i][j]*x[j];&&&&&&&&&&}&&&&}double&slove(double&v[N]){&&&&double&&&&&for(int&i=0;i&N-1;i++)&max=v[i]&v[i+1]?v[i]:v[i+1];&&&&return&}void&main()&&&&{&&&&//data&inputdouble&A[N][N]={1.0,1.0,0.5,1.0,1.0,0.25,0.5,0.25,2.0};&&&&double&x[N]={1,1,1};&&&&double&v[N]={0,0,0};&&&&double&u[N]={0,0,0};&&&&double&p[N]={0,0,0};&&&&double&e=1e-10,delta=1;&&&&int&k=0;&&&&while(delta&=e)&&&&{&&&&&&&&&&&&&&&&for(int&q=0;q&N;q++)&p[q]=v[q];&&&&&&&&matrixx(A,x,v);&&&&&&&&for(int&i=0;i&N;i++)&u[i]=v[i]/(slove(v));&&&&&&&&delta=fabs(slove(v)-slove(p));&&&&&&&&k++;&&&&&&&&for(int&l=0;l&N;l++)&x[l]=u[l];&&&&}&&&&cout&&&&&迭代次数&&&&&k&&&&&&&&cout&&&&&矩阵的特征值&&&&&slove(v)&&&&&&&&cout&&&&&(&&;&&&&for(int&i=0;i&N;i++)&cout&&&&u[i]&&&&&&&&;&&&&cout&&&&&&)&&&&&}&[checkdata]原始数据double&A[N][N]={1.0,1.0,0.5,1.0,1.0,0.25,0.5,0.25,2.0};&&&&double&x[N]={1,1,1};&&&&double&v[N]={0,0,0};&&&&double&u[N]={0,0,0};&&&&double&p[N]={0,0,0};&&&&double&e=1e-10,delta=1;输出结果迭代次数41矩阵的特征值2.53653(0..&)精度满足要求，程序设计及算法合理
* 以上用户言论只代表其个人观点，不代表CSDN网站的观点或立场
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矩阵特征值和特征向量求法的探讨
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