因式分解总结_百度文库
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因式分解总结|
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初中数学因式分解说课教案
电话：010-57
中学学科网解一元三次方程_百度百科
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人类很早就掌握了的解法但是对一元三次方程的研究则是进展缓慢希腊和等地的数学家都曾努力研究过一元三次方程但是他们所发明的几种解法都仅仅能够解决特殊形式的三次方程对一般形式的三次方程就不适用了 在十六世纪的欧洲随着的发展一元三次方程也有了固定的求解方法在很多文献上把三次方程的求根公式称为卡尔丹公式历史事实并不是这样数学史上最早发现一元三次方程通式解的人是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳Niccolo Fontana
冯塔纳出身贫寒少年丧父家中也没有条件供他念书但是他通过艰苦的努力终于自学成才成为十六世纪意大利最有成就的学者之一由于冯塔纳患有口吃症所以当时的人们昵称他为Tartaglia 也就是语中结巴的意思后来的很多书中都直接用塔尔塔里亚来称呼冯塔纳经过多年的探索和研究冯塔纳利用十分巧妙的方法找到了一般形式的求根方法这个成就使他在几次公开的较量中大获全胜从此名扬但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世因为那个年代意大利盛行打冯塔纳把他解三次方程的作为是他获得比赛的胜利的宝剑
当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹有的资料也称为卡尔达诺对冯塔纳的发现非常感兴趣他几次诚恳地登门请教希望获得冯塔纳的求根可是冯塔纳始终守口如瓶滴水不漏虽然卡尔丹诺屡次受挫但他极为执着软磨硬泡地向冯塔纳挖秘诀后来冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言把三次方程的解法透露给了卡尔丹冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的咒语可是卡尔丹的悟性太棒了他通过解三次方程的对比实践很快就彻底破译了冯塔纳的秘密卡尔丹把冯塔纳的三次方程求根写进了自己的学术著作大法中但并未提到冯塔纳的名字随着大法在欧洲的出版发行人们才了解到三次方程的一般求解方法由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹因此后人就把这种求解方法称为有的资料也称为卡尔丹他人的并且据为已有这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页这个结果对于付出艰辛劳动的冯塔纳当然是不公平的但是冯塔纳坚持不公开他的研究成果也不能算是正确的做法起码对于人类科学发展而言是一种不负责任的态度
卡尔丹是第一个把写在二次内的数学家并由此引进了的概念后来经过许多数学家的努力发展成了的理论从这个意义上卡尔丹对的发展作出了巨大贡献史称卡尔丹公式是伟大的公式
解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题虚数概念的引进复数理论的建立就是于解三次方程问题一元三次方程应用广泛如电力工程水利工程建筑工程机械工程动力工程数学教学及其他领域等用根号解一元三次方程虽然有著名的并有相应的判别法但是使用卡尔丹公式解题比较复杂缺乏性上世纪80年代中国的一名中学教师对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索发明了比卡尔丹更实用的新求根公式并建立了简明的直观的实用的新判别法盛金判别法同时提出了盛金定理盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题且很有趣味盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b^2－3acB=bc－9adC=c^2－3bd和总判别式Δ=B^2－4AC来构成体现了数学的有序对称和谐与简洁美简明易记解题直观准确高效特别是当Δ=B^2－4AC=0时盛金公式3X⑴=－b/a+KX⑵=X⑶=－K/2其中K=B/A(A≠0)其表达式非常漂亮不存在开方此时的卡尔丹公式仍存在手算解题效率高盛金公式3被称为超级简便的公式与判别法及形成了一套完整的简明的实用的具有的解三次方程的理论范盛金创造出的这套万能的系统方法对研究解问题及提高解三次方程的效率作出了贡献
数学家至晚在1247年就已经发现一元三次方程的求根公式秦九韶一元三次方程求根公式欧洲人在400多年后才发现但在中国的课本上这个公式仍是以那个的来命名的数学九章等卡尔丹公式法
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (pq∈R)
Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω
其中ω=(－1+i3^(1/2))/2
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0abcd∈R且a≠0
令X=Yb/(3a)代入上式
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0
卡尔丹判别法
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3&0时方程有一个实根和一对
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时方程有三个实根其中有一个两重根
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3&0时方程有三个不相等的除了上文中的解法还有其它解法列举如下法不是对所有的三次方程都适用只对一些简单的三次方程适用对于大多数的三次方程只有先求出它的根才能作因式分解当然对一些简单的三次方程能用因式分解求解的当然用因式分解法求解很方便直接把三次方程
例如x^3-x=0
对左边作因式分解得x(x+1)(x-1)=0得方程的三个根x1=0x2=1x3=-1对于一般形式的三次方程先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型
令x=z-p/3z代入并得z^3-p/27z+q=0再令z=w代入得w^2+p/27w+q=0这实际上是关于w的解出w再顺次解出zx利用求的函数的极大极小值单调递增及递减区间画出函数图像有利于方程的大致解答并且能快速得到方程解的个数此法十分适用于高中数学题的解答
如f(x=x^3+x+1,得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1,
y1的导数y1'=3x^2+1,得y1'恒大于0y1在R上单调递增所以方程仅一个解且当y1=-1时x在-1与-2之间可根据f(x1)f(x2)&0的公式无限逼近求得较精确的解应用广泛用根号解虽然有著名的并有相应的判别法但使用卡尔丹公式解题比较复杂缺乏直观性推导出一套直接用abcd表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式并建立了新判别法盛金判别法
当b=0c=0时盛金公式1无意义当A=0时盛金公式3无意义当A≤0时盛金公式4无意义当T&－1或T&1时盛金公式4无意义
当b=0c=0时盛金公式1是否成立盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值盛金公式4是否存在T&－1或T&1的值盛金定理给出如下回答
盛金定理1当A=B=0时若b=0则必定有c=d=0此时方程有一个三重实根0盛金公式1仍成立
盛金定理2当A=B=0时若b≠0则必定有c≠0此时适用盛金公式1解题
盛金定理3当A=B=0时则必定有C=0此时适用盛金公式1解题
盛金定理4当A=0时若B≠0则必定有Δ&0此时适用盛金公式2解题
盛金定理5当A&0时则必定有Δ&0此时适用盛金公式2解题
盛金定理6当Δ=0时若A=0则必定有B=0此时适用盛金公式1解题
盛金定理7当Δ=0时若B≠0盛金公式3一定不存在A≤0的值此时适用盛金公式3解题
盛金定理8当Δ&0时盛金公式4一定不存在A≤0的值此时适用盛金公式4解题
盛金定理9当Δ&0时盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值即T出现的值必定是-1&T&1
显然当A≤0时都有相应的盛金公式解题
注意盛金定理逆之不一定成立如当Δ&0时不一定有A&0
盛金定理表明盛金公式始终保持有意义任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解
当Δ=0时3不存在开方当Δ=0(d≠0)时仍存在开立方与卡尔丹公式相比较的表达形式较简明使用盛金公式解题较直观效率较高盛金判别法判别较直观重根判别式A=b^2-3acB=bc-9adC=c^2-3bd是最简明的式子由ABC构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子是非常美妙的式子其形状与一元二次方程的根的判别式相同盛金公式2中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式这些表达形式体现了数学的有序对称和谐与简洁美
以上解法的结论发表在海南师范学院自然科学版第2卷第2期1989年12月中国海南国内统一CN46-1014第9198页一元三次方程的新求根与新判别法虽然判别式正确然而此公式不正确
例1X^3+4X^2+24X-404=0
a=1 b=4 c=24 d=-404
A=-56 B=3732 C=5424 △=
因为△&0所以用②
ans^3+4ans^2+24ans-404≠0
例2X^3-18X^2+107x-210=0
a=1 b=-18 c=107 d=-210
A=306 B=-36 C=109 △=-132120
∵△&0 ∴用④
arccos-1.=?
例3 X^3-29X^2+264X-720=0
A=49 B=-1176 C=7056 △=0
∵△=0 ∴用③
K=144 X1=173 X2=X3=-72
而原方程之三根为51212
5≠173 12≠-72上述三个例子是没有正确运用盛金公式解题因而得出错误的结果但并不表示公式不正确
正确地运用解答上述三个例子如下
例1解方程X^3+4X^2+24X404=0
a=1b=4c=24d=404
A=56B=3732C=5424△=
∵△&0∴应用用盛金公式2求解
X2X3=4.±7.i
X1+X2+X3=3.
X1(X2+X3)+X2X3=24
X1X2X3=404.0000001
经用韦达定理检验结果正确
例2X^318X^2+107X210=0
a=1b=18c=107d=210
A=3B=36C=109△=12
∵△&0 ∴应用盛金公式4求解
把有关值代入盛金公式4得
X1=5X2=7X3=6
用韦达定理检验
X1+X2+X3=18
X1(X2+X3)+X2X3=107
X1X2X3=210
经用韦达定理检验结果正确
例3X^329X^2+264X720=0解
a=1b=29c=264d=720
A=49B=1176C=7056△=0
∵△=0 ∴应用盛金公式3求解
把有关值代入盛金公式3得
X1=5X2=X3=12
用韦达定理检验
X1+X2+X3=29
X1(X2+X3)+X2X3=264
X1X2X3=720
经用韦达定理检验结果正确
在所得的结果是的情况下如果把近似值代入原方程那么原方程的左边不为零此时用检验不能判断结果是否正确要用韦达定理检验才能判断结果是否正确
是的三次方程求根公式只要运算过程操作不失误在允许输入足够的位数的情况下就可达到所需要的足够的
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