（2007o沈阳）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE=3，ED=6，求AB的长．★★★★★推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差教师讲解错误
错误详细描述：
已知：如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于D，E两点，过B点的切线交OE的延长线于点F，连接FD，下列结论：①；②FD是⊙O的切线；③∠C＝∠DFB；④AD∥OF．其中一定正确的结论是（　　）．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【思路分析】
首先利用三角形的中位线定理证明OE∥AC，然后证得∠BOE=∠EOD可得：① ，再证明△FDO≌△FBO，可以得到DF是圆的切线；利用等腰三角形的性质：等边对等角即可判断③的正误；然后根据角相等证明E在∠FAB和∠FBD的角平分线上和E在∠FBD的平分线上，利用内心的定义可得到④的正误．
【解析过程】
解：连接AE，DO，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，又∵AB=AC，∴BE=CE，又∵OA=OB，∴OE∥AC，∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO，∵∠BAC=∠ADO，∴∠BOE=∠EOD，∴，故①正确；在△FDO和△FBO中，∵
，∴△FDO≌△FBO（SAS），∴∠ODF=∠OBF=90°，即△FDO是直角三角形，DF是⊙O的切线．故②正确；设∠C=x°，则∠CAB=（180-2x）°，则在直角△ABD中，∠ABD=90°-（180-2x）°=（2x-90）°，∵BF是切线，则∠ABF=90°，∴∠DBF=90°-∠ABD=90°-（2x-90）°=（180-2x）°，在等腰△BDF中，∠DFB=180°-2∠DBF=180°-2（180-2x）°=（4x-180）°，而4x-180与x不一定相等，故③不正确．连接DE，DB，∵FD、FB是圆的切线，∴FD=FB，又∵OB=OD∴OF是BD的中垂线，∴E在∠FBD的平分线上，∵，∴∠FBE=∠CBD，∠FDE=∠DEB，∴E在∠FDB和∠FBD的角平分线上，∴E是△BFD的内心，故④正确．故选：B．
此题主要考查了三角形的内心、外心以及切线的判定，解答的关键是正确证得DF是圆的切线．
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京ICP备号 京公网安备如图：AB是⊙O的直径，AC是⊙O上一条弦，AC在AB下方，在⊙O上存在一点D．
（1）（如图a），当D点在O点在正上方，连接AD、CD、BC、BD，CD交AB于E，则，在图中你可以发现多少对相似三角形？请列举出来，并说明理由．
（2）①（如图b），当D点在劣弧上运动（不与B、C重合）则AD＞AC（在横线上填写“＞”、“＜”或“=”）并说明理由；
②（如图c），当D点在劣弧上运动（不与A、C重合）则AD＜AC（在横线上填写“＞”、“＜”或“=”）并说明理由；
（3）如图d，以B点为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，∠DCA=∠CBA=60°，连接BD，过C点作CE∥DB，求证：四边形CDBE为平行四边形．
解：（1）相似三角形△ADE和△CBE，△DEB和△AEC（2分）
∵AC=AC?&，∴∠ADE=∠CBE，
又∵∠DEA=∠BEC，∴△ADE∽△CBE（3分）
另两个三角形同理可证．（4分）
（2）①AD＞AC．（5分）
证明：连接BD；
∵在圆O中AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴AD2=AB2-BD2，AC2=AB2-BC2（6分）
又∵在△BDC中，∠BDC是优弧所对的角，
∴∠BDC＞90°，∴BC＞BD，
∴AD＞AC；（7分）
②AD＜AC；（8分）
证明同上．（10分）
（3）证明略，请老师们酌情扣分．（12分）
证明：∵∠DCA=∠CBA=60°，
∴AB⊥CD；
又∵AB⊥BE，则CD∥BE；
已知CE∥BD，故四边形CDBE是平行四边形．
（1）图中，点A、B、C、D分圆所得的四段弧，所对的四组圆周角相等，根据这四组等角即可证得△ADE∽△CBE、△DEB∽△AEC．
（2）当D在劣弧BC上时，连接BD，显然∠BDC＞90°，故BD＞BC；在Rt△ABC和Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2，AC2=AB2-BC2，上面已经证得BD＞BC，故AD＜AC；
当D在劣弧AC上时，解题思路同上．
（3）已知CE∥BD，只要证得CD∥BE即可．由于∠DCA=∠CBA=60°，故弧AD=弧CD，根据垂径定理知AB⊥CD，而AB⊥BE，由此可得CD∥BE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得所求的结论．已知A B C D是圆O上的四个点，且AB=BC，BD交AC于点E，连接CD,AD._百度知道
已知A B C D是圆O上的四个点，且AB=BC，BD交AC于点E，连接CD,AD.
(1)求证：DB平分∠ADC；(2)若BE=3,ED=6,求AB的长。跪求，第二问的解题过程啊、
提问者采纳
因为∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）,∠AED=∠CEB(对顶角相等），所以三角形AED相似于CEB.所以BE/DE=BC/DA,因BE=3,ED=6.所以BE/ED=BC/DA=1/2.因为AB=BC所以AB/AD=1/2,所以AD为圆的直径。所以三角形ABD是直角三角形。BD=BE+DE=9,在直角三角形ABD中勾股定理：AB平方+BD的平方＝AD平方。AB=1/2AD,可以求出AB＝3倍根号3
提问者评价
谢谢谢，谢了，大大的谢谢，，，
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