什么是正弦，余弦_百度知道
什么是正弦，余弦
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y （斜边为r，对边为y，邻边为x。） 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数 versinθ =1-cosθ 余矢函数 coversθ =1-sinθ 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α) cos^2(α)=1 cos^2a=(1 cos2a)/2 tan^2(α) 1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)/2 cot^2(α) 1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α β γ)=sinα·cosβ·cosγ cosα·sinβ·cosγ cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α β γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α β γ)=(tanα tanβ tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα Bcosα=(A^2 B^2)^(1/2)sin(α t)，其中 sint=B/(A^2 B^2)^(1/2) cost=A/(A^2 B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα Bcosα=(A^2 B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1 cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1 cosα))=sinα/(1 cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1 cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1 cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1 tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1 tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α β) sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α β) cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα sinβ=2sin[(α β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α β)/2]sin[(α-β)/2] cosα cosβ=2cos[(α β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α β)/2]sin[(α-β)/2] ·推导公式 tanα cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1 cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1 sinα=(sinα/2 cosα/2)^2 ·其他： sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) sin(α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1)/n]=0 cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) cos(α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α) sin^2(α-2π/3) sin^2(α 2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A B) tanA tanB-tan(A B)=0 cosx cos2x ... cosnx= [sin(n 1)x sinnx-sinx]/2sinx 证明： 左边=2sinx(cosx cos2x ... cosnx)/2sinx =[sin2x-0 sin3x-sinx sin4x-sin2x ...
sinnx-sin(n-2)x sin(n 1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差） =[sin(n 1)x sinnx-sinx]/2sinx=右边 等式得证 sinx sin2x ... sinnx= - [cos(n 1)x cosnx-cosx-1]/2sinx 证明: 左边=-2sinx[sinx sin2x ... sinnx]/(-2sinx) =[cos2x-cos0 cos3x-cosx ... cosnx-cos(n-2)x cos(n 1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx) =- [cos(n 1)x cosnx-cosx-1]/2sinx=右边 等式得证 全部在这里了！！！
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出门在外也不愁三角函数公示，正弦，余弦，正切，余切，还有相关定理公示_百度知道
三角函数公示，正弦，余弦，正切，余切，还有相关定理公示
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倒数关系：　　tanα ·cotα=1　　sinα ·cscα=1　　cosα ·secα=1　　　商的关系：　　　sinα/cosα=tanα=secα/cscα　　cosα/sinα=cotα=cscα/secα　　平方关系：　　sin^2(α)+cos^2(α)=1　　1+tan^2(α)=sec^2(α)　　1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式　　sin^2(α)+cos^2(α)=1　　tan α *cot α=1一个特殊公式　　（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）　　证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]　　=sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式　　我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，　　即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作　　a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.锐角三角函数公式　　正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边　　余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边　　正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边　　余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式　　正弦　　sin2A=2sinA·cosA　　余弦　　1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)　　2.Cos2a=1-2Sin^2(a)　　3.Cos2a=2Cos^2(a)-1　　即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)　　正切　　tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式　　 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)　　三倍角公式推导　　　sin(3a)　　=sin(a+2a)　　=sin2acosa+cos2asina　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina　　=3sina-4sin^3a　　cos3a　　=cos(2a+a)　　=cos2acosa-sin2asina　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa　　=4cos^3a-3cosa　　sin3a=3sina-4sin^3a　　=4sina(3/4-sin²a)　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]　　=4sina(sin²60°-sin²a)　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)　　cos3a=4cos^3a-3cosa　　=4cosa(cos²a-3/4)　　=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]　　=4cosa(cos²a-cos²30°)　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)　　上述两式相比可得　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)　　现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式　　sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)半角公式　　sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα万能公式　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]其他　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式　　sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式　　sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式　　sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式　　sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式　　sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式　　sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式　　sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)N倍角公式　　根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ) 为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c 考虑n为正整数的情形： cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... +C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... =&比较两边的实部与虚部 实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... 对所有的自然数n， 1. cos(nθ)： 公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。 2. sin(nθ)： (1)当n是奇数时： 公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。 (2)当n是偶数时： 公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是 cosθ)的一次方无法消掉。 (例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)半角公式　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.　　sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2　　cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2　　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 和差化积　　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]　　 sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]　　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]　　cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ　　cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ　　sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差　　sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2　　cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2　　sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2　　cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数　　sh a = [e^a-e^(-a)]/2　　ch a = [e^a+e^(-a)]/2　　th a = sin h(a)/cos h(a)　　公式一：　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：　　sin（2kπ+α）= sinα　　cos（2kπ+α）= cosα　　tan（2kπ+α）= tanα　　cot（2kπ+α）= cotα　　公式二：　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：　　sin（π+α）= -sinα　　cos（π+α）= -cosα　　tan（π+α）= tanα　　cot（π+α）= cotα　　公式三：　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：　　sin（-α）= -sinα　　cos（-α）= cosα　　tan（-α）= -tanα　　cot（-α）= -cotα　　公式四：　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：　　sin（π-α）= sinα　　cos（π-α）= -cosα　　tan（π-α）= -tanα　　cot（π-α）= -cotα　　公式五：　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：　　sin（2π-α）= -sinα　　cos（2π-α）= cosα　　tan（2π-α）= -tanα　　cot（2π-α）= -cotα　　公式六：　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：　　sin（π/2+α）= cosα　　cos（π/2+α）= -sinα　　tan（π/2+α）= -cotα　　cot（π/2+α）= -tanα　　sin（π/2-α）= cosα　　cos（π/2-α）= sinα　　tan（π/2-α）= cotα　　cot（π/2-α）= tanα　　sin（3π/2+α）= -cosα　　cos（3π/2+α）= sinα　　tan（3π/2+α）= -cotα　　cot（3π/2+α）= -tanα　　sin（3π/2-α）= -cosα　　cos（3π/2-α）= -sinα　　tan（3π/2-α）= cotα　　cot（3π/2-α）= tanα　　(以上k∈Z)　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =　　√{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }　　√表示根号,包括{……}中的内容三角函数的诱导公式（六公式）　　公式一　sin(-α) = -sinα　　cos(-α) = cosα　　tan (-α)=-tanα　　公式二sin(π/2-α) = cosα　　cos(π/2-α) = sinα　　公式三 sin(π/2+α) = cosα　　cos(π/2+α) = -sinα　　公式四sin(π-α) = sinα　　cos(π-α) = -cosα　　公式五sin(π+α) = -sinα　　cos(π+α) = -cosα　　公式六tanA= sinA/cosA　　tan（π/2+α）=－cotα　　tan（π/2－α）=cotα　　tan（π－α）=－tanα　　tan（π+α）=tanα　　诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式　　sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]　　cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]　　tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]　　 其它公式　　 (1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）　　(2)1+(tanα)^2=(secα)^2　　(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2　　证明下面两式，只需将一式,左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可　　(4)对于任意非直角三角形，总有　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　证：　　A+B=π-C　　tan(A+B)=tan(π-C)　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)　　整理可得　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　得证　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论　　(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)　　(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC　　(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC　　其他非重点三角函数　　　csc(a) = 1/sin(a)　　sec(a) = 1/cos(a)　　(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2　　幂级数展开式　　sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞&x&∞)　　cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞&x&∞)　　arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|&1)　　arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|&1)　　arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)　　无限公式　　sinx=x(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)……　　cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)……　　tanx=8x[1/(π^2-4x^2)+1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)+……]　　secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)-+……]　　(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8……　　(1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/π　　arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)　　和自变量数列求和有关的公式　　sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)　　cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2)　　tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx)　　sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx　　cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)编辑本段内容规律　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。　　1．三角函数本质：　　 [1]　根据右图，有　　sinθ=y/ cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：　　推导：　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。　　A(cosα,sinα),B(cosβ，sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）　　单位圆定义　　单位圆　　六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：　　图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。　　两角和公式　　 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
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二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导．
通过学习使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法
三、课时安排
四、教与学过程设计
师：上一节我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切，我们大家一起回忆六个公式．
sin()=sincos cossin
师：对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去识记它，另一方面要从公式的结构特点上去记忆．我们还要注意公式的正用、逆用和变用．今天我们要继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式．
师：请同学们想一想在公式Sα+βCα+βTα+β=
sin(+)=sincos+cossin
得　 sin2=2sin cos
cos(+)=coscos-sinsin
得　 cos(+)= cos2-sin2
师：这样我们很轻松地得到二倍角的三个公式，但对于公式tg2=
生：要使tg21-tg20tg
生：利用诱导公式．
师：下面请同学想想看公式 cos2= cos-sin
生：有．()
∵ 　sin2+cos2=1
∴　 sin2=1-cos2 cos2=1-sin2
∴　 cos2=2cos2-1
师：(S2αC2αT2αC2αcos=
意以下问题()1 sincossin2cos2 tgtg2
即用单角的三角函数表示复角的三角函数．
师：要求sin2sincostg2tgcostgP216
例2　 (1)sinsin3
(2)coscos3
师：我们没有关于332+(sinsin3coscos3)
例3　 [sin(1+ sin)+ cos(1+cos)]
[sin(1-sin)+cos(1-cos)]=sin2
思考题：请同学们比较式子两边的结构提出证题的方向？
生：左边都是单角的三角函数，右边是二倍角，因为左边比右边明显复杂的多，所以应由左边证向右边，注意把单角的三角函数变为二倍角．
证明：左边=(sin+ sin+cos+cos)(sin-sin+cos-cos)
=(sin+cos+1)(sin+cos-1)=(
sin+cos)2-1
师：这道题大家都会感到无从下手，很难看出有什么公式可以直接使用，两个角5010()()
生：可以尝试把正切化弦看看有否公式可用．
师：好的()
小结：本道题在尝试把正切化为弦()
生：矩形应内接于圆．
师：既然矩形内接于圆，那么矩形的对角线就是圆的直径长度为2R
生乙()2Rsin2RcosS= 4Rsincos
师：对于甲同学提供的方案暂不评说，但乙同学提供的方案却能很快求出问题的解．()S=4Rsincos= 2R2sin2
∵　 sin21　 S2R
当 sin2= 1S 2R2
所以，当2=90=45
小结：甲同时提供的方案也可以解决问题，但要用到二次函数求最佳的方法，比较烦，课后大家可尝试．但是以角做为辅助量，在一些场合却给大家带来许多便利，望大家能好好掌握．
本课结合公式Sα+βCα+βTα+β=C2α
课本P219123456
六、板书设计正弦余弦的关系和公式是什么啊
正弦余弦的关系和公式是什么啊
学过都忘了
会的帮下忙
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割&在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有&正弦函数 sinθ=y/r&余弦函数 cosθ=x/r&正切函数 tanθ=y/x&余切函数 cotθ=x/y&正割函数 secθ=r/x&余割函数 cscθ=r/y&（斜边为r，对边为y，邻边为x。）&以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：&正矢函数 versinθ =1-cosθ&余矢函数 coversθ =1-sinθ&同角三角函数间的基本关系式：&·平方关系：&sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2&tan^2(α)+1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)/2&cot^2(α)+1=csc^2(α)&·积的关系：&sinα=tanα*cosα&cosα=cotα*sinα&tanα=sinα*secα&cotα=cosα*cscα&secα=tanα*cscα&cscα=secα*cotα&·倒数关系：&tanα·cotα=1&sinα·cscα=1&cosα·secα=1&直角三角形ABC中,&角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,&余弦等于角A的邻边比斜边&正切等于对边比邻边,&·三角函数恒等变形公式&·两角和与差的三角函数：&cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ&cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ&sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ&tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)&tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)&·三角和的三角函数：&sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ&cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ&tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)&·辅助角公式：&Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中&sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)&cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)&tant=B/A&Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B&·倍角公式：&sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)&cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)&tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]&·三倍角公式：&sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)&cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα&·半角公式：&sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)&cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)&tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα&·降幂公式&sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2&cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2&tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))&·万能公式：&sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]&cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]&tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]&·积化和差公式：&sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]&cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]&cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]&sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]&·和差化积公式：&sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]&sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]&cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]&cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]&·推导公式&tanα+cotα=2/sin2α&tanα-cotα=-2cot2α&1+cos2α=2cos^2α&1-cos2α=2sin^2α&1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2&·其他：&sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0&cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及&sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2&tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0&cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx&证明：&左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx&=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）&=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边&等式得证&sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx&证明:&左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)&=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)&=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边&等式得证&全部在这里了！！！&&
提问者 的感言：谢谢了！
其他回答 (3)
幼儿园怎么学的啊你
sin?θ+cosθ?=1
基础公式tanA:tanB=a?:b?
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数学领域专家}